AD2 Q2 2017 1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Questa˜o 1 (2,5 pontos) Considere a equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0.
(a) Se a < 0, quais sa˜o os sinais de b e c para que a equac¸a˜o tenha duas ra´ızes positivas?
(b) Se a < 0, quais sa˜o os sinais de b e c para que a equac¸a˜o tenha ra´ızes de sinais contra´rios, sendo
o mo´dulo da raiz positiva maior do que o mo´dulo da raiz negativa?
(c) Se a < 0, qual e´ o valor de c e o sinal de b para que a equac¸a˜o tenha uma raiz igual a 0 e uma
raiz negativa?
(d) A partir da fatorac¸a˜o do trinoˆmio x2 − (r1 + r2) · x + r1 · r2, com r1 < r2, explique por que a
soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 − (r1 + r2) · x + r1 · r2 < 0 e´ o intervalo (r1, r2).
(e) Qual deve ser o sinal de a e a relac¸a˜o que a, b e c devem satisfazer para que a soluc¸a˜o da
inequac¸a˜o ax2 + bx + c < 0 seja toda reta?
(f) Qual deve ser o sinal de a e a relac¸a˜o que a, b e c devem satisfazer para que a soluc¸a˜o da
inequac¸a˜o ax2 + bx + c > 0 seja apenas um nu´mero real?
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, procedendo como no EP10, se uma equac¸a˜o ax2 + bx+ c = 0 possui ra´ızes r1 e r2,
ela pode ser escrita na forma fatorada
a(x− r1)(x− r2) = 0.
Assim,
ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2)
= a(x2 − r1x− r2x + r1r2)
= a(x2 − (r1 + r2)x + r1r2)
= ax2 − a(r1 + r2)x + ar1r2.
Assim, se a equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0 tem ra´ızes r1 e r2, temos
b = −a(r1 + r2) e c = ar1r2.
(a) Se a < 0 e as ra´ızes r1 e r2 sa˜o positivas, temos
r1 + r2 > 0 ∴
a<0
a(r1 + r2) < 0 ∴ −a(r1 + r2) > 0 ∴ b > 0.
r1r2 > 0 ∴
a<0
ar1r2 < 0 ∴ c < 0.
Assim, b e´ positivo e c e´ negativo.
(b) Se as ra´ızes r1 e r2 teˆm sinais contra´rios, temos r1r2 < 0. Se o mo´dulo da raiz positiva e´ maior
que o da negativa, temos r1 + r2 > 0. Assim,
r1 + r2 > 0 ∴
a<0
a(r1 + r2) < 0 ∴ −a(r1 + r2) > 0 ∴ b > 0.
r1r2 < 0 ∴
a<0
ar1r2 > 0 ∴ c > 0.
Logo, b e c sa˜o positivos.
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 2 2
(c) Suponhamos r1 = 0 e r2 < 0. Temos r1r2 = 0 e r1 + r2 < 0. Com isso,
r1 + r2 < 0 ∴
a<0
a(r1 + r2) > 0 ∴ −a(r1 + r2) < 0 ∴ b < 0.
r1r2 = 0 ∴ ar1r2 = 0 ∴ c = 0.
Logo, b e´ negativo e c = 0.
(d) O trinoˆmio pode ser fatorado como
x2 − (r1 + r2) · x + r1 · r2 = (x− r1)(x− r2),
logo, a inequac¸a˜o
x2 − (r1 + r2) · x + r1 · r2 < 0
e´ reescrita como
(x− r1)(x− r2) < 0.
Como r1 < r2, estudando os sinais, temos
(−∞, r1) r1 (r1, r2) r2 (r2,∞)
sinal de (x− r1) − 0 + + +
sinal de (x− r2) − − − 0 +
sinal de (x− r1)(x− r2) + 0 − 0 +
Com isso, a soluc¸a˜o de x2 − (r1 + r2) · x + r1 · r2 < 0 e´ o intervalo (r1, r2).
(e) Para a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o
ax2 + bx + c < 0
ser toda a reta, precisamos que a ax2 + bx+ c seja sempre negativo. Para isto, e´ necessa´rio que
a < 0 e que ax2 + bx + c = 0 na˜o tenha ra´ızes, isto e´, que
∆ = b2 − 4ac < 0.
Neste caso, a para´bola sera´ da forma abaixo:
Assim, precisamos ter a < 0 e b2 − 4ac < 0.
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Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 2 3
(f) Para a soluc¸a˜o da equac¸a˜o
ax2 + bx + c > 0
ser apenas um ponto, precisamos que ax2 + bx+ c seja negativo exceto para um valor de x, no
qual ax2 + bx + c = 0. Assim, e´ necessa´rio que a < 0 e que
∆ = b2 − 4ac = 0.
Neste caso, a para´bola sera´ da forma abaixo:
Assim, precisamos ter a < 0 e b2 − 4ac = 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ