Sistemas Lineares

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SOCIEDADE EDUCACIONAL DE SANTA CATARINA – SOCIESC
 INSTITUTO SUPERIOR TUPY – IST
ALGEBRA LINEAR
JUMA BELITZKI
SISTEMAS LINEARES 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMA PRÁTICO
JOINVILLE, OUTUBRO 2012
Introdução
A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da
matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares,
sistemas de equações lineares e matrizes. 
Um problema fundamental que normalmente é encontrado na descrição
matemática de fenômenos físicos é o da solução simultânea de conjunto de
equações. Traduzindo para a linguagem matemática, tais fenômenos passam a
ser descritos por um conjunto de m equações em que se deseja determinar a
solução de n variáveis de interesse, chamadas incógnitas.
O primeiro registro histórico associado a formulação de um problema através
de um conjunto, ou sistema de equações algébricas lineares foi relatado em um
livro chinês, escrito aproximadamente 250 anos antes do surgimento da era
Cristã. Séculos se passaram até que os sistemas de equações algébricas
lineares fossem redescobertos na Europa, ganhando forma de arranjos
numéricos ordenados por linhas e colunas, como são usualmente
representados.
Resumo Histórico
O conceito de matriz e determinantes surgiu da necessidade de se resolver
sistemas de equações lineares com coeficientes constantes. Leibnitz utilizava o
determinante já em 1693, enquanto as matrizes foram primeiramente utilizadas
por Lagrange no final dos anos 1700. Lagrange buscava um método para
determinar máximos e mínimos de funções com várias variáveis. Para isso ele
exigiu que as derivadas parciais de primeira ordem fossem nulas e que uma
matriz, construída com as derivadas de segunda ordem obedecesse uma
determinada condição. Lagrange, no entanto não mencionou explicitamente a
palavra ou conceito de matriz. Em 1772 Laplace discutiu a solução de sistemas
lineares associados ao estudo de órbitas planetárias e apresentou seu método
de cálculo usando cofatores e "matrizes menores". Cramer apresentou sua
fórmula em 1750, a que hoje chamamos de Regra de Cramer.
Apesar da existência de manuscritos chineses muito antigos mostrando a
solução de sistemas de três equações em três incógnitas por "eliminação", o
método de Gauss só foi apresentado em 1800. Este método foi usado
inicialmente apenas em aplicações e sua importância teórica ignorada. A
introdução definitiva de método de Gauss na matemática se deu com a
contribuição de Wilhelm Jordan que aplicou o método de Gauss na solução de
problemas associados à medição e representação da superfície terrestre, a
geodesia. 
Solução de Sistemas de Equações Lineares
Uma das formas mais utilizadas para determinação da solução de sistemas de
equações lineares é conhecida como eliminação de Gauss. O método proposto
por Gauss consiste em reescrever o sistema de equações original em outro
sistema de equações equivalentes. Isto é possível desde que o novo conjunto
de equações seja coerente com as equações do sistema original. Desta forma,
algumas operações entre as linhas do sistema original podem ser realizadas
sem alterar sua solução.
Equação Linear
É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma
{ a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b } , em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes
reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:
x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0
Sistema Linear
Um sistema de equações lineares é um conjunto finito de equações lineares
aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Um conjunto de
p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear
com p equações e n incógnitas.
Exemplos:
x + y = 3
x – y = 1
Sistema linear com duas equações 
e duas variáveis.
2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30
Sistema linear com duas equações 
e três variáveis
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e 
três variáveis.
x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16
Sistema linear com três equações e 
quatro variáveis.
Classificação de um sistema linear 
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções
apresentadas por ele.
SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.
Associando um sistema linear a uma matriz
Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes
ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. 
O sistema:
x + y = 3
x – y = 1
pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa
 1 1 3
1 -1 1
 Matriz incompleta
 1 1
1 -1
Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Matriz completa
1 10 -12 120
4 -2 -20 60
-1 1 5 10
 Matriz incompleta
1 10 -12
4 -2 -20
-1 1 5
Equação matricial do sistema:
Resolução de um Sistema Linear através do Escalonamento: 
Forma genérica de um sistema linear escalonado
Poderemos resolver um sistema qualquer na sua forma original ou na forma
matricial. Para ambos os casos, devemos transformar o sistema em questão
em um sistema escalonado equivalente. Para isso, realizaremos operações
elementares com as linhas do sistema. São elas: 
- Trocar duas (ou mais) linhas de posição. 
- Multiplicar uma linha por uma constante não nula. 
- Somar um múltiplo escalar de uma linha com outra linha.
Exemplo:
• As equações podem ser trocadas de posição e ainda assim teremos um
sistema equivalente.
• Pode-se multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número
real diferente de zero. Multiplique todos os membros da equação por um
mesmo número real, que seja diferente de zero, e some esta equação obtida à
outra equação do sistema.
Substituir esta equação obtida no lugar da segunda equação.
Este processo deve ser repetido para as equações que possuem mesma
quantidade de incógnitas, neste exemplo seriam as equações 2 e 3.
A 1ª equação continuou normal, mesmo após ter sido multiplicada por -2. Esta
multiplicação é feita para obtermos coeficientes opostos (sinais trocados) para
que quando a soma seja realizada o coeficiente se anule e o escalonamento
seja feito. Não existe a necessidade de escrever a primeira equação de
maneira diferente, mesmo se você multiplicá-la.
• Uma possibilidade que existe neste processo é a obtenção de uma equação
com todos os coeficientes nulos, entretanto com o termo independente
diferente de zero. Caso isso aconteça, podemos afirmar que o sistema é
impossível, ou seja, não existe solução que o satisfaça.
Exemplo: 0x + 0y = 1
Conclusão
Com este trabalho, pudemos entender um pouco mais sobre a aplicação dos 
sistemas lineares em situações que, através da lógica, pode-se aplicar os 
conhecimentos obtidos com a álgebra linear.
Referências
http://phylos.net/matematica/algebra-linear/
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAenLEAI/historia-algebra
http://www.alunosonline.com.br/matematica/escalonamento-sistemas-
lineares.html