Relatório colisão elástica bidimensional

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
RELATÓRIO II – COLISÃO ELÁSTICA BIDIMENSIONAL
TOLEDO - PR
Maio/2016
Denise Bialeski
Murilo Henrique Hernandez Candelaria
Thiago SpinardiKaminski
Uriel DilelliLupepsa
COLISÃO ELÁSTICA BIDIMENSIONAL
Relatório apresentado à disciplina de Física Geral e Experimental II. Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Campus de Toledo.
Professor: Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones
TOLEDO - PR
Maio/2016
RESUMO
O intuito desta prática foi verificar as conservações de momento linear e de energia cinética das esferas durante o movimento de colisão. Primeiramente colocou-se o papel A3 e o papel de carbono na bancada para servirem de marcadores das posições das esferas para a determinação da velocidade de contato e o ponto de queda destas, a fim de conseguir informações acerca do alcance para utilizá-las nos cálculos posteriores. Após sucessivas repetições de lançamentos, calculam-se através do tempo de queda, de alcance e de velocidade o momento linear e a energia cinética antes e depois da colisão. Determinaram-se os vetores dos momentos lineares dos dois corpos a partir dos conceitos de colisão elástica bidimensional, com conservação do momento linear e da energia cinética. Pela comparação dos resultados, verificou-se uma conservação do momento em y, assim como a conservação da energia cinética. Utilizando todos os resultados obtidos foi possível determinar um ângulo de 88º com o seu erro, estando este valor dentro do resultado esperado.
INTRODUÇÃO 
As forças internas vindas de interações á distância ou de contato são derivadas da troca das taxas de momento linear entre as partículas em sistemas isolados de duas ou mais partículas, obedecendo assim a terceira lei de Newton, resultando quetodas as forças internas sobre o sistema seja nula, garantindo que haja conservação do momento linear total do sistema (QUINONES, 2016).
Uma colisão entre duas partículas é um processo em que uma é lançada contra a outra, podendo trocar energia e momento em consequência da sua interação. As “partículas” podem ser macroscópicas ou pertencer á escala atômica ou subatômica, sendo resultado da colisão extremamente variado (NUSSENZVEIG, 2002).
Pode-se obter importante informações sobre a natureza das interações entre as partículas estudando parâmetros que caracterizam os produtos da colisão e a dependência de parâmetros característicos, como energia e momento, das partículas incidentes (NUSSENZVEIG, 2002).
As colisões podem ser divididas em dois tipos, as que conservam energia cinética e as que não conserva energia cinética, sendo chamadas de colisão elástica, e colisão inelástica, respectivamente (SILVA, 2003).
As colisões elásticas podem ser divididas em colisão elástica unidimensional e em colisão elástica bidimensional.
quando a colisão elástica ocorre em somente uma direção, por exemplo, uma colisão frontal, ou em um plano, tem-se uma colisão elástica unidimensional. Quando a colisão elástica ocorre pelo contato lateral entre as partículas e estas passam raspando uma da outra se desviando das suas respectivas direções iniciais tem-se uma colisão elástica bidimensional.
Em um sistema formado por duas partículas de massa m1 e m2, que se movem com velocidades v1 e v2, respectivamente, a quantidade de momento linear é definida pela Equação 01, e a energia cinética pela Equação 02. As equações encontram-se no Anexo A.
A energia cinética depende das massas e dos módulos das velocidades das partículas, sendo assim uma grandeza escalar. A analise e sua conservação são feitos comparando-se os valores obtidos a partir da aplicação direta da Equação 02 ao sistema de partículas antes e depois da colisão.
A lei da conservação da quantidade de movimento afirma que em um sistema que esta livre da ação de força resultante externa, dito como sistema mecanicamente isolado, a quantidade de movimento neste é constante (MARQUES, 2005).
As forças externas serão desprezíveis frente a força impulsiva de interação, isto porque durante uma colisão a intensidade da força impulsiva é muito maior do que quaisquer forças externas. Assim, a quantidade de movimento linear do sistema de partículas se conserva, sendo a mesma imediatamente antes e logo após a colisão (BEER, et. al. 1991).
Segundo Nussenzveig, 2002, as direções de movimento de duas partículas de massas iguais, após uma colisão elástica com uma delas inicialmente em repouso, são perpendiculares (90º).
Como a quantidade de movimente é uma grandeza vetorial, é necessário, para analise da sua conservação, decompor o vetor quantidade de movimento linear (Eq1) em relação a um sistema de referência, assim obtendo suas componentes e então realizar uma comparação antes e depois da colisão. Pode-se escrever essa decomposição de modo como as Equações 03 e 04 (vide anexo).
Sendo as componentes dos vetores velocidades das partículas no sistema de referência adotado. A Figura 01 mostra a transferência de momento.
Segundo HALLIDAY, 1994, queda livre é o movimento de subida ou descida que os corpos realizam no vácuo quando estão nas proximidades da terra. Todos os corpos, independentemente de sua massa, forma ou tamanho, quando em queda livre, caem com aceleração constante e igual, ou seja, o movimento de queda livre independe da massa.
Figura 1 – Demonstração do momento linear da colisão das partículas.
(Fonte:http://www.feiradeciencias.com.br/sala05/05_Q4.asp)
A aceleração constante de um corpo em queda livre é denominada aceleração da gravidade. Este valor varia com a altitude e latitude.
Sendo a velocidade uma grandeza vetorial podemos decompô-la segundo os eixos x e y, com o intuito de estudarmos os movimentos separadamente. Com respeito a vertical, tem-se o movimento uniformemente variado e movimento uniforme segundo o eixo horizontal, visto que a aceleração da gravidade sendo vertical, não tem componente nesta direção (SANTOS e SILVA, 2001). Em termos das componentes da velocidade inicial, percebe-se que a componente de V, na direção do eixo x é dada pela Equação 05 (vide anexo A). A componente de V, na direção do eixo y é dada pela Equação 06.
Esta prática tem por objetivo verificar experimentalmente a representação vetorial do momento linear de dois corpos, bem como a verificação da conservação da energia cinética e do momento linear do sistema composto por dois corpos que colidem elasticamente.
.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Materiais 
Para a realização da prática utilizou-se um conjunto para lançamentos horizontais Moller, composto por um tripé, três sapatas niveladoras amortecedoras, uma rampa de lançamentos com escala de posicionamento vertical, suporte regulável de apoio da esfera alvo e um prumo nivelador.
Para as colisões e suas marcações foram utilizadas duas esferas metálicas de mesma massa, uma folha de papel carbono e folha A3, fita adesiva, lápis, régua e transferidor.
Métodos 
Para a realização do experimento, o procedimento foi dividido em duas etapas. Primeiramente sendo definidas as condições antes da colisão elástica bidimensional e, por segundo as condições após a colisão.
Medidas pré colisão.
Fez-se o uso da rampa de lançamento horizontal de projéteis para definir as condições do momento antes da colisão elástica bidimensional, como parâmetro de choque, velocidades iniciais das duas esferas, sendo que uma delas estava em repouso.
O plano de colisão foi definido como aquele paralelo a base da rampa de lançamento e que passava necessariamente pelo nível zero da rampa e pela posição do alvo (posição com suporte regulável).
As esferas foram pesadas para a determinação de suas respectivas massas. O papel A3 foi fixado com a fita adesiva na bancada próximo ao conjunto de lançamento (Figura 2) e colocou-se o papel carbono em cima.
Iniciaram-se os testes utilizando a esfera 1, onde esta foi colocada a umaaltura h acima do nível zero da rampa, que estava a uma altura H da bancada. Esse teste foi repetido 20 vezes para se ter uma melhor precisão na posição de contato demarcada no papel A3 pelo papel carbono, obtendo uma nuvem estatística de pontos. Utilizando as marcações feitas pelo contato da esfera no papel milimetrado, foi possível calcular o alcance médio, seu desvio longitudinal e transversal e a velocidade de saída () da rampa referente a esfera 1.
Figura 2 – Conjunto para lançamentos horizontais..
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/lancamento-de-projeteis/lancamento-horizontal.html)
Medidas após a colisão
Ajustou-se a esfera 2 no suporte de apoio de modo a ocorre a colisão entre as esferas, sem que houvesse a transferência de energia ou de momento para fora do sistema. Foram feitas medidas da posição de saída da esfera 1 da rampa, da posição da esfera 2 em repouso e estimado o ponto de colisão entre elas.
Colocou-se a esfera 1 no topo da rampa e liberou-a para que, em seguida, houvesse a colisão. O procedimento foi realizado 20 vezes, tendo sempre a mesma altura. Depois de efetuadas as colisões foi determinado os pontos médios das nuvens estatísticas referentes as duas esferas e pode-se obter o vetor posição (alcance) destes a partir do ponto de colisão pré-determinado. Calculou-se também a distância entre os pontos médios das nuvens depois das colisões até o vetor da .
Com auxilio de um transferidor, mediu-se o ângulo entre os vetores posição das esferas após a colisão.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Conservação do momento linear
Inicialmente a esfera de massa m1 foi solta de um altura h= 0, 314 ± 0, 0005 m acima do nível zero da rampa que se encontra a uma altura H = 0, 214 ± 0, 0005 m e sua distância de alcance foi medida, encontrando-se um valor de D = (0, 188 ± 3, 041.10-3 m)i , então sendo possível calcular o tempo de vôo em função de H e a velocidade inicial, conforme as Eq. 7 e 8 respectivamente, encontradas no Anexo B. o valor da gravidade utilizado foi de 9,81 . Logo, temos que o tempo encontrado foi de t = 0, 209 ± 4, 461.10-4 s, o erro foi calculado por meio da Eq. 9 de propagação de erro encontrada no Anexo B. assim o tempo encontrado foi utilizado para calcular as velocidades médias das esferas pré e depois da colisão.
A velocidade inicial encontrada foi de = 0,90 ± 4, 315.10-3 m/s, o erro foi calculado utilizando a Eq. 10 de propagação de erro.
Mediram-se os aglomerados de pontos formados do papel A3 e carbono foram medidos os alcances médios de cada esfera após a colisão, bem como seus respectivos erros (longitudinais e transversais) obtidos por calculo de erro percentual. Os resultados encontram-se na Tabela 1 abaixo.
Tabela 1 – Valores de alcance após a colisão com os respectivos erros.
	Esferas
	Alcance (m)
	
	x
	Y
	1
	0, 102 ± 3, 041.10-3
	- 0, 106 ± 3, 041.10-3
	2
	0, 099 ± 4, 031.13-3
	0, 092 ± 4, 031.13-3
	Total
	0, 201 ± 5, 049.10-3
	- 0, 014 ± 5, 049.10-3
Pode-se observar que a soma dos alcances após a colisão coincidem com o alcance pré colisão. 
Utilizando o tempo encontrado anteriormente e os alcances médios, calcularam-se as componentes da velocidade média utilizando a Eq. 7 (em anexo), após as colisões (finais). No cálculo de propagação de erro utilizou-se a Eq. 10. Os valores vetoriais de velocidades médias finais estão na Tabela 2.
Tabela 2 – velocidades médias finais e os erros médios
	Esferas
	Velocidades médias finais (m/s)
	
	X
	Y
	1
	O, 488 ± 1, 559.10-2
	- 0, 507 ± 1, 563.10-2
	2
	0, 474 ± 2, 029.10-2
	0, 440 ± 2, 022.10-2
Pelas Equações 3 e 4 (encontradas no Anexo A) e as massas das esferas onde, m1=m2= (16,28 ± 0,05).10-3 Kg , determinou-se as componentes do momento linear das esferas pré-colisão e pós-colisão, com os devidos erros calculcados pela Equação 11, encontrados na Tabela 3.
Tabela 3 – Vetores Momentos Lineares antes e após a colisão (kg.m/s)
	
	Esfera 1
	Esfera 2
	
	X
	Y
	X
	Y
	Antes da colisão
	148 ± 0,451
	0
	0
	0
	Após a colisão
	80 ± 0,000497
	83±0,0251
	77 ± 0,0240
	72 ± 0,253
Como deve haver conservação do momento, a variação do momento linear deve ser igual a 0. Na tabela acima, temos que para a esfera 2, não existe momento inicial. Foi estabelecido que quando a variação do erro total propagado é maior ou igual á variação de momento, este é conservado. Utilizando os dados da tabela 3 e os resultados dos cálculos pertinentes àconservação do momento linear com propagação de erros presentes no Anexo B, observou-se que o momento é apenas conservado em y e não em x onde, a variação do erro total propagado é menor que a variação do momento, justificando tal afirmação pela transferência de momento para o suporte ao qual a segunda esfera foi depositada.
Conservação de energia cinética
Utilizando o módulo das velocidades inicias e finais a partir da equação 2 apresentada no Anexo A e as equações 12 e 13 de propagação de erro apresentadas no Anexo B, obteve-se os valores de energia cinética pré e pós colisão e seus respectivos erros apresentados na tabela 4.
 
Tabela 4 – Valores obtidos de energia cinética inicial e final e seus respectivos erros.
	
	Energia Cinética (J)
	Esferas
	Ki± 
	Kf± 
	1
	6,593 ± 0,475
	4,031 ± 0,253
	2
	0
	3,405 ± 0,510
	Total
	6,593 ± 0,475
	7,436 ± 0,763
Para que ocorra uma colisão elástica deve-se observar a conservação da energia cinética, ou seja, a somatória da energia cinética inicial deve se igualar a somatória da energia cinética final. Como antes da colisão a esfera de massa M2 estava em repousou sua energia cinética inicial é nula. Para análise do momento linear onde, utilizando os dados da tabela 4 e os resultados obtidos pelos cálculos pertinentes á conservação da energia cinética com propagação de erro presentes no Anexo B, observou-se que houve conservação de energia cinética em que a variação do erro total propagado é maior que a variação do momento.
É importante ressaltar que o ângulo formado entre a trajetória de ambas as esferas, onde em caso de conservação de energia cinética e momento linear, sendo os corpos idênticos, deve-se obter 90 graus após a colisão das duas esferas. Pelas marcações obtidas em papel A3 (anexada ao trabalho) durante o experimento e com o auxilio de um transferidor obteve-se 88 ± 5 °, onde o valor esperado pertence ao intervalo indicado, considerando-se os erros e verificando-se conservação de energia e momento.
5. CONCLUSÃO
A realização do experimento aliada com a análise dos dados obtidos mostrou resultados satisfatórios no estudo da conservação de momento linear e energia cinética de uma colisão elástica bidimensional, uma vez que foram comprovadas as Leis da Conservação.
De acordo com a teoria, em uma colisão 2-D de corpos de massas iguais, o ângulo esperado é de 90º, o qual foi obtido e comprovado no experimento. Dessa forma, o modelo teórico foi confirmado mesmo sabendo que o sistema não era ideal, pois este estava sujeito a falhas e incertezas experimentais, as quais podem ser corrigidas, aperfeiçoando a realização do experimento, de forma geral.
Logo, a colisão realizada teve um comportamento quase ideal, onde os conhecimentos de momento de inércia e conservação de energia cinética de sistemas envolvidos em colisões elásticas bidimensionais foram aprimorados. 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. WALKER, J. Fundamentos da Física – volume 1. Tradução José Paulo Soares de Azevedo. 6ª edição. Editora LTC, 2002, RJ.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física – volume 1. 4ª edição. Editora LTC, 1983, RJ.
NUSSENZVEIG, M.H.. Curso de física básica 1-mecânica. 4a edição São Paulo: Edgar BlucherLtda, 2002.
Apostila de Física Geral Experimental II. Prof. Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones. 2015
ANEXO A
Equações referentes ás citadas na introdução
Quantidade de momento linear
+Equação 1
Energia Cinética+.Equação 2
Decomposição do momento em x
=Equação 3
Decomposição do momento em y
=Equação 4
Componente de V na direção do eixo x
 Equação 5
Componente de V na direção do eixo y
 Equação 6
ANEXO B
Equações para o tempo de voo, as velocidades, a variação do tempo de voo e variações das velocidades, assim como conservação do momento linear e seu cálculo.
 Equação 7
Onde:
tempo de voo (s)
H= altura (m)
G=9,79 m/s² (constante)
Cálculo da velocidade:
 Equação 8
Onde:
velocidade (m/s)
tempo de voo (s)
D= alcance (m)
Propagação de erro para o tempo de voo e para as velocidades, respectivamente:
 Equação 9
Onde:
erro para o tempo (s)
H= altura (m)
erro para a altura (m)
 Equação 10
Onde: 
erro da velocidade (m/s)
D= alcance (m)
erro do tempo de voo (s)
= erro do alcance (m)
Propagação de erro do momento linear:
 Equação 11
Onde: 
= erro do momento linear (Kg m/s)
M= massa da esfera (Kg)
𝛥m= erro da balança (Kg)
𝛥v= erro da velocidade (m/s)
V= velocidade (m/s)
Propagação do erro na energia cinética:
Propagação do quadrado da velocidade:
Equação 12
Onde:
= erro do quadrado da velocidade (m2/s2)
𝛥v= erro da velocidade (m/s)
V= velocidade (m/s)
 Equação 13
Onde:
𝛥k= erro associado a energia cinética (J)
= erro do quadrado da velocidade (m2/s2)
m= massa da esfera (Kg)
𝛥m= erro da balança (Kg)
v2= quadrado da velocidade (m2/s2)
Conservação do momento linear com propagação de erro:
Equação 14
Onde:
momentolinear final da esfera 1;
momento linear final da esfera 2;
Para x:
Equação para o cálculo do erro da soma do momento final:
Equação 15
Equação para o cálculo do erro total propagado:
Equação 16
Para y:
Equação para o cálculo do erro da soma do momento final:
Equação 17
Equação para o cálculo do erro total propagado:
Equação 18
Conservação da energia cinética com propagação de erro:
Ki1 = Kf1 + Kf2Equação 19
Onde:
Ki1= energia cinética inicial da esfera 1;
Kf1= energia cinética final da esfera 1;
Kf2= energia cinética final da esfera 2.
Equação para o cálculo do erro da soma da energia cinética final:
∆Kf=Equação 20
Equação para o cálculo da variação do erro total propagado:
Equação 21