RELATÓRIO MODULO DE TORÇÃO

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO DE TORÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOLEDO/PR 
2016 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
Denise Bialeski 
Murilo Henrique Hernandez Candelaria 
Uriel Dilelli Lupepsa 
Thiago Spinardi Kaminski 
 
 
 
MÓDULO DE TORÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOLEDO/PR 
2016 
Relatório entregue como requisito 
parcial de avaliação da disciplina de 
Física Geral e Experimental II do curso 
de Engenharia Química da 
Universidade Estadual do Oeste do 
Paraná – Campus Toledo. 
 
Prof Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-
Quiñones. 
 
 
RESUMO 
Através de um experimento utilizando a balança de torção, determinou-se o 
módulo de torção de um fio metálico. Através da torção analisaram-se e 
utilizaram-se as leis de Hooke e Newton para sistemas mecânicos oscilatórios. 
Na prática decorrida, foi determinado o módulo de torção do mesmo fio de aço 
ajustado em quatro comprimentos diferentes (55 cm, 45 cm, 35 cm e 25 cm) a 
partir da medida do tempo em que o fio preso a uma haste, que servia de 
suporte aos corpos, oscilava cinco vezes em torno de seu eixo, sondo solto de 
um ângulo conhecido. O experimento foi realizado diversas vezes, com 
combinações de hastes e pesos diferentes na contagem das oscilações, 
resultando em tempos diferentes para o cálculo do módulo de torção. Por fim, 
verificou-se que o módulo de torção decresce com o aumento do comprimento 
do fio e esse aumento faz com que o período de oscilação para cada 
configuração de massa também aumente. Isso pode ser explicado pela Lei de 
Hooke, como também pela Lei de Newton para rotações. A partir dos valores 
encontrados para o módulo de torção calculou-se a tensão de cisalhamento S 
= 6,765 x1012 ± 1,2351 x1010 g cm-1 s-2 e comparando-a com valores teóricos 
comprovou-se que o fio em questão era realmente de aço. 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
1.1. Torque 
Um corpo sólido cilíndrico sofre torção quando, por exemplo, um de 
seus extremos está fixo e o outro está submetido a uma força tangencial à 
superfície lateral. Se o corpo não for rígido, camadas superficiais do mesmo 
deslizariam entre si como no caso de fluidos líquidos devido às forças 
tangenciais. Em corpos sólidos as forças geram tensões de cisalhamento cuja 
tendência é separar as camadas do material, gerando assim deformações em 
torno do eixo do cilindro. Essas deformações podem ser temporárias ou 
permanentes, dependendo da intensidade da força, se o corpo volta a sua 
condição original após cessar a força extrema, diz-se que ele se comporta 
como um sistema elástico. (QUIÑONES, 2016). 
Nos sólidos é comum que as forças internas sejam muito intensas para 
impedir rupturas que podem ser causadas por forças externas. Caso haja uma 
deformação temporária, a partir do momento que as forças externas cessam, o 
sólido tende a voltar à forma original através de um torque (força) restaurador 
que se opõe ao torque (força) que o deformou. 
1.2. Força de torção 
Para um melhor entendimento, pode-se usar como exemplo um cilindro 
com os extremos fixos em barras metálicas e as laterais sendo submetidas a 
forças tangenciais que irão provocar uma torção. A Figura 1 demonstra este 
exemplo. 
Para encontrar a deformação angular resultante devido à força externa 
aplicada, deve-se dividir o corpo sólido em camadas cilíndricas de raio interno 
r, espessura dr e comprimento L (figura 1). Cada camada cilíndrica se fosse 
estendida formaria um retângulo de largura 2π.r e altura L, sob ação de uma 
força tangencial se deformando em um paralelogramo. A deformação de 
cisalhamento (Ɛ) é ao longo do perímetro do cilindro e cresce com o 
comprimento (z), representado na Figura 2. 
 
 
FIGURA 1-Corpo sólido dividido em camadas cilíndricas de raio interno 
r, espessura dr e comprimento L. (QUIÑONES, E. R. F., Apostila da aula 
prática IV, 2016). 
 
FIGURA 2 – Deformação de um retângulo de largura 2π.r e altura L, sob 
ação de uma força tangencial, formando um paralelogramo. (QUIÑONES, E. R. 
F., Apostila da aula prática IV, 2016). 
 
A Equação (1) demonstra o aumento da deformação por unidade de 
comprimento. 
𝜀
𝑧
=
𝑟
𝐿
 . 𝜃 
A força de torção externa comunica diferenciais de forças tangenciais 
(𝑑�⃗� = 𝑑𝐹. �̂�)a cada camada cilíndrica, que se distribuem sobre a superfície de 
cada anel de área: 𝑑𝐴 = 2𝜋 . 𝑟 . 𝑑𝑟. �̂�, gerando tensões de cisalhamento σ, 
demonstrado pela Equação (2). 
𝜎 =
|𝑑�⃗�𝑡|
|𝑑𝐴|
= 
𝑑𝐹𝑡
2𝜋 . 𝑟 . 𝑑𝑟
 
1.3. Módulo de cisalhamento 
No caso de torções elásticas há uma relação linear entre a deformação 
angular e a força elástica restauradora, governada pela Lei de Hooke. Para 
pequenas deformações, ou seja, dentro do limite elástico do fio sob torção, as 
tensões de cisalhamento obedecem a Lei de Hooke, exibindo valores 
proporcionais à deformação de cisalhamento, como mostra a Equação (3). 
𝜎 = −𝑆 .
𝜀
𝑧
 . 𝜃 = −𝑆.
𝑟
𝐿
 . 𝜃 
Onde S é o módulo de cisalhamento, r representa o raio do cilindro, L o 
comprimento do mesmo e 𝜃 é o ângulo de desvio do sistema barra-cilindro em 
relação à sua posição original. 
1.4. Torque restaurador 
Tem se que para um pequeno deslocamento angular, o torque 
restaurador é dado conforme a Equação (4). Sua dedução é apresentada no 
anexo A. 
𝜏 = −𝐾 . 𝜃. �̂� 
Onde, 𝐾 = 
𝜋.𝑆.𝑅4
2𝐿 
, e �̂� representa a direção do torque. 
 
1.5. Segunda Lei de Newton para rotações 
Iniciando-se o movimento de rotação pode-se representar o torque 
utilizando o momento da inércia em relação ao eixo de rotação. O movimento 
de rotação do fio cilíndrico em torno de seu eixo de simetria depende da inércia 
do sistema, ou seja, do momento de inércia do cilindro e o da barra acoplada 
ao mesmo. Para um torque levando o sistema para posição de equilíbrio, a 
resposta dinâmica vai depender da inércia do sistema. Assim quanto maior for 
a inércia, o sistema vai girar sob menor aceleração angular, ou seja, mais 
lentamente. A segunda Lei de Newton para as rotações é dada pela Equação 
(5). 
𝜏 = 𝐼 .
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 
Onde 𝐼 representa o momento de inércia do sistema sob rotação, em 
relação ao eixo de rotação do corpo. 
As Equações (4) e (5) exprimem o mesmo resultado, porém a Equação 
(4) reflete a resposta elástica interna do corpo à torção e a Equação (5) indica a 
aceleração transmitida ao mesmo corpo sob rotação. Utilizando-se duas 
equações, e fazendo-se deduções que são apresentadas no anexo A, se 
obtém a Equação (6) que representa o movimento oscilatório do corpo elástico 
de torção. 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝐾
𝐼
 . 𝜃 = 0 
O sistema dinâmico descrito pela Equação (6) chama-se de oscilador 
harmônico simples (unidimensional). A variável ϴ que caracteriza o único grau 
de liberdade descreve os pequenos desvios da posição de equilíbrio estável do 
fio. A restrição a pequenos desvios limita o movimento oscilatório para regiões 
onde o sistema se comporta elasticamente. Se passar do limite elástico do fio, 
o sistema não retorna à posição de equilíbrio, tendo deformações permanentes 
(QUIÑONES, 2016). 
O período de um sistema é o tempo necessário para o corpo voltar á 
posição inicial ou para repetir o movimento oscilatório.Esse é função do 
inverso da frequência angular do sistema (Equação 7). 
𝑇 = 
2𝜋
𝜔
 
Através de deduções, apresentadas no anexo A, envolvendo a solução 
geral da equação diferencial Equação (6) e a Equação (7), tem-se que o 
período também pode ser calculado pela Equação (8). 
𝑇 = 2𝜋. √
𝐼
𝐾
 
O fato de que o período T é independente da amplitude de oscilação 
(desde que não ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o 
isocronismo das pequenas oscilações do pêndulo, descoberto por Galileu 
(QUIÑONES, 2016). 
Este relatório tem por objetivo realizar a verificação das oscilações 
harmônicas de um sistema conservativo, a validade da Lei de Hooke na torção 
de um fio, a relação entre o período de oscilação e o módulo de torção, 
dependência do módulo de torção de um fio com seu comprimento, diâmetro e 
material e momento de inércia de qualquer objeto com uso da balança de 
torção. 
 
 
 
 
 
 
 
2. MATERIAIS E MÉTODOS 
2.1. MATERIAIS 
Utilizou-se uma balança de torção básica para mecânica, composta 
por: uma haste cilíndrica vertical acoplada na parte de baixo a uma base 
quadrada com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras, e na parte de cima 
um suporte horizontal; duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal 
central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame); duas 
travas auxiliares de latão para o corpo de prova e duas hastes com o corpo 
central e com rebaixo nos extremos de comprimento de 11 cm e 21 cm. A esta 
balança foram combinados jogos de pesos (corpos de prova) e um único fio de 
aço ajustado a quatro comprimentos diferentes. Para auxiliar nas medidas do 
ângulo, fio, tempo e massa utilizou-se respectivamente transferidor, régua 
metálica, cronômetro e balança. 
2.2. PROCEDIMENTO 
O objetivo da pratica foi medir o tempo das oscilações de cada haste 
(11 cm e 21 cm), mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades, 
suspensas por um único fio ajustado em 55 cm, 45 cm, 35 cm e 25 cm. 
Primeiramente mediram-se as massas dos jogos de discos e seus 
respectivos suportes, e verificou-se se os extremos dos fios estavam bem 
presos em suas travas, utilizando os parafusos das próprias travas. 
Para isso, utilizou-se um cronômetro digital para medir o tempo na qual 
a haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam. Fez-se isso tanto para 
haste de 11 cm e 21 cm, variando-se os pesos assim como o comprimento do 
foi. A haste foi posicionada em um ângulo de 60° com a horizontal da base da 
balança de torção. Acionava-se o cronômetro, soltava-se a haste e parava-se 
assim que ela completasse cinco oscilações. Desse modo, percebeu-se que o 
módulo de torção do fio de aço dependia do seu comprimento, dos 
comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados a ela. Com auxilio 
do tempo medido, foi possível calcular o módulo de torção de cada caso e por 
fim o módulo de torção de cisalhamento do fio de aço empregado. A figura 3 
representa o módulo utilizado no experimento. 
 
FIGURA 3 – Representação esquemática da balança de torção para 
determinação do módulo de torção do fio metálico. (QUIÑONES, E. R.F., 
Apostila da aula prática IV, 2016). 
 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO. 
 
3.1. Resultados experimentais 
 
 Mediu-se, primeiramente, a massa dos pesos, das hastes e da cesta, e o 
comprimento das hastes e dos fios empregados, com as medidas expostas na 
Tabela 1. 
 
Tabela 1 - Medidas de massa e comprimento para os instrumentos 
empregados. 
Instrumento Massa (g) Comprimento (cm) 
Suporte 1 17,30 ± 0,005 - 
Suporte 2 18,30 ± 0,005 - 
Peso cilíndrico 50,13 ± 0,005 - 
Haste menor 7,37 ± 0,005 11,0 ± 0,05 
Haste maior 11,34 ± 0,005 21,0 ± 0,05 
Fio metálico 1 - 55,0 ± 0,05 
Fio metálico 2 - 45,0 ± 0,05 
Fio metálico 3 - 35,0 ± 0,05 
Fio metálico 4 - 25,0 ± 0,05 
 
 O experimento foi realizado para 4 comprimentos de fio (L), utilizando-se 
quatro configurações de momento de inércia para cada comprimento. Calculou-
se o momento de inércia de configuração e o seu intervalo de erro a partir das 
equações (A) e (B) do Anexo I, indicando os valores na Tabela 2. 
 Para efeitos de simplificação, baseando-se na propriedade aditiva, não 
se somou os momentos de inércia do suporte e do fio ao momento de inércia 
total, o que resultou em um deslocamento da curva período quadrado em 
função do momento de inércia. 
 
Tabela 2- Momento de inércia das configurações utilizadas. 
Configuração 
Largura da haste 
(cm) 
Número de 
pesos utilizados 
Momento de 
inércia (10³ g 
cm²) 
1 11 1 par 2,581 ± 0,051567 
2 11 2 pares 5,088 ± 0,05226 
3 11 3 pares 7,594 ± 0,05295 
4 21 1 par 10,431 ± 0,1853 
5 21 2 pares 20,457 ± 0,1860 
6 21 3 pares 30,483 ± 0,1867 
 
 Utilizando-se quatro das cinco configurações calculadas na Tabela 2, 
mediu-se o tempo para 10 oscilações do sistema haste-pesos, partindo de uma 
angulação de aproximadamente 60º, que permitiu o torque do fio sem entrar na 
região inelástica de deformação do mesmo. As Tabelas 3, 4, 5 e 6 indicam o 
tempo cronometrado para quatro diferentes configurações e o momento de 
inércia utilizadas em cada uma das quatro larguras de fio escolhidas. 
 
Tabela 3 - Medidas de tempo para 10 oscilações para o fio de comprimento 55 
cm. 
Config. 1 2 3 4 5 6 
T
e
m
p
o
 p
a
ra
 1
0
 
o
s
c
il
a
ç
õ
e
s
 T
1
0
 (
s
) 
16,22 21,19 24,53 31,22 40,37 48,22 
16,28 21,09 24,56 31,40 40,63 48,12 
16,31 21,06 24,50 31,28 40,66 48,10 
16,31 21,16 24,59 31,25 40,50 48,12 
16,32 21,13 24,51 31,25 40,55 48,14 
16,19 21,15 24,54 31,25 40,57 48,09 
16,28 21,07 24,58 31,29 40,49 48,13 
16,21 21,10 24,59 31,30 40,54 48,11 
16,34 21,14 24,52 31,27 40,62 48,20 
16,22 21,22 24,57 31,35 40,60 48,06 
T10 médio 
(s) 
16,28 ± 
0,025 
21,13 ± 
0,024 
24,55 ± 
0,010 
31,27 ± 
0,025 
40,56 ± 
 0,064 
48,12 ± 
0,021 
𝑰 (𝟏𝟎³ 𝐠 𝐜𝐦²) 2,581 ± 
0,051567 
5,088 ± 
0,05226 
7,594 ± 
0,05295 
10,431± 
0,1853 
20,457 ± 
0,1860 
30,483 ± 
0,1867 
 
 
Tabela 4 - Medidas de tempo para 10 oscilações para o fio de comprimento 45 
cm. 
Config. 1 2 3 4 5 6 
T
e
m
p
o
 p
a
ra
 1
0
 
o
s
c
il
a
ç
õ
e
s
 T
1
0
 (
s
) 
14,68 18,69 22,31 28,22 36,66 43,62 
14,34 18,65 22,33 28,35 36,84 43,63 
14,41 18,75 22,29 28,41 36,80 43,70 
14,53 18,69 22,20 28,53 36,66 43,53 
14,53 18,66 22,19 28,35 36,70 43,69 
14,51 18,91 22,28 28,41 36,67 43,56 
14,49 18,88 22,22 28,40 36,56 43,47 
14,50 18,80 22,34 28,37 36,65 43,60 
14,52 18,78 22,36 28,37 36,60 43,65 
14,45 18,85 22,25 28,43 36,72 43,66 
T10 médio 
(s) 
14,50 ± 
0,070 
18,76 ± 
0,078 
22,28 ± 
0,032 
28,38 ± 
0,054 
36,67 ± 
0,064 
43,64 ± 
0,047 
𝑰 (𝟏𝟎³ 𝐠 𝐜𝐦²) 2,581 ± 
0,051567 
5,088 ± 
0,05226 
7,594 ± 
0,05295 
10,431± 
0,1853 
20,457 ± 
0,1860 
30,483 ± 
0,1867 
 
 
Tabela 5 - Medidas de tempo para 10 oscilações para o fio de comprimento 35 
cm. 
Config. 1 2 3 4 5 6 
T
e
m
p
o
 p
a
ra
 1
0
 
o
s
c
il
a
ç
õ
e
s
 T
1
0
 (
s
) 
14,48 17,26 20,19 28,15 35,21 40,54 
14,52 17,30 20,22 28,18 35,22 4,43 
14,40 17,22 20,15 28,06 35,14 40,46 
14,45 17,22 20,20 28,00 35,17 40,44 
14,46 17,16 20,30 28,06 35,20 40,51 
14,39 17,28 20,25 28,15 35,16 40,52 
14,51 17,22 20,29 28,20 35,25 40,49 
14,57 17,20 20,36 28,22 35,15 40,50 
14,55 17,35 20,35 28,30 35,30 40,54 
14,56 17,19 20,42 28,25 35,28 40,56 
T10 médio 
(s) 
14,49 ± 
0,036 
17,22 ± 
0,029 
20,27 ± 
0,06628,17 ± 
0,079 
35,21 ± 
0,027 
40,51 ± 
0,017 
𝑰 (𝟏𝟎³ 𝐠 𝐜𝐦²) 2,581 ± 
0,051567 
5,088 ± 
0,05226 
7,594 ± 
0,05295 
10,431± 
0,1853 
20,457 ± 
0,1860 
30,483 ± 
0,1867 
 
Tabela 6 - Medidas de tempo para 10 oscilações para o fio de comprimento 25 
cm. 
Config. 1 2 3 4 5 6 
T
e
m
p
o
 p
a
ra
 1
0
 
o
s
c
il
a
ç
õ
e
s
 T
1
0
 (
s
) 
11,38 14,38 17,10 21,32 27,63 32,68 
11,28 14,43 16,98 21,34 27,66 32,83 
11,38 14,47 16,80 21,37 27,57 32,78 
11,31 14,42 16,87 21,35 27,61 32,76 
11,35 14,41 16,86 21,40 27,62 32,81 
11,34 14,45 16,84 21,37 27,59 32,73 
11,32 14,47 16,81 21,38 27,60 32,74 
11,38 14,46 16,83 21,34 27,64 32,80 
11,37 14,43 16,91 21,33 27,58 32,79 
11,31 14,42 16,90 21,32 27,67 32,78 
T10 médio 
(s) 
11,35 ± 
0,011 
14,43 ± 
0,007 
16,87 ± 
0,074 
21,35 ± 
0,006 
27,62 ± 
0,010 
32,78 ± 
0,017 
𝑰 (𝟏𝟎³ 𝐠 𝐜𝐦²) 2,581 ± 
0,051567 
5,088 ± 
0,05226 
7,594 ± 
0,05295 
10,431± 
0,1853 
20,457 ± 
0,1860 
30,483 ± 
0,1867 
 
 Manipulando-se a Equação (8), elevando-se ao quadrado ambos os 
lados da igualdade, percebe-se uma relação linear entre o quadrado do período 
e o momento de inércia do sistema. 
𝑇² =
4𝜋²
𝑘
𝐼 
 Dessa forma, calculou-se o período de oscilação de cada configuração 
para cada fio, e elevou-se o resultado ao quadrado para obter-se os valores de 
T². Assim, com o auxilio do Software Estatistico OriginPro 8.5 plotou-se os 
gráficos de quadrado do período em função do momento de inércia para cada 
comprimento de fio utilizado. As Figuras 3-6 demonstram as curvas 
encontradas. Os valores de T² e momento de inércia plotados encontram-se 
nas Tabelas A.1-A.4 no Anexo II. Para criterios de análise o ponto 
correspondente a configuração 4 foi retirado, pois este estava muito fora da 
curva. 
0 5 10 15 20 25 30 35
0
10
20
30
40
50
60
70
80
T2
 (s
)
I (10
3
g cm
2
)
Figura 3 - Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de 
55 cm
0 5 10 15 20 25 30 35
0
20
40
60
80
100
T2
(s
)
I (10
3
g cm
2
)
 
 
Figura 4 - Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de 
45 cm. 
0 5 10 15 20 25 30 35
0
10
20
30
40
50
60
70
T2
 (s
)
I (10
3
 g cm)
 
Figura 5 - Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de 
35 cm. 
0 5 10 15 20 25 30 35
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
T2
(s
)
I(10
3
 g cm)
 
Figura 6 - Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de 
25 cm. 
 
 De cada curva plotada, retirou-se a equação da reta da mesma, uma vez 
que, a partir do coeficiente angular da reta, pode-se determinar o módulo de 
torção pela relação 
𝐾 =
4𝜋²
𝑏
 
 
onde b é o coeficiente angular da reta do tipo y = a + bx. 
 A Tabela 7 indica as equações da reta, os coeficientes angulares e o 
módulo de torção calculado respectivamente para cada comprimento de fio 
utilizado. O erro do módulo de torção é calculado segundo a equação (C) do 
Anexo I. 
 
 
 
 
 
 
Tabela 7 - Valores de módulo de torção calculados a partir das equações das 
retas plotadas. 
Comprimento 
do fio (cm) 
Equação da reta 
R² do 
ajuste 
Coeficiente angular 
da reta (10-3 s² g-1 
cm-2) 
Módulo de torção 
(103 g cm² s-2) 
55 Y= 2,63715+2,98769x 0,99816 2,98769 13,2136 ± 0,1783 
45 Y=1,79474+2,4669x 0,99863 2,4669 16,0032 ± 0,3086 
35 Y=1,85004+2,15549x 0,98917 2,15549 18,3152 ± 0,074128 
25 Y=1,39729+1,37945x 0,99839 1,37945 28,6189 ± 0,1284 
 
 Manipulando-se a Equação (4), percebe-se uma relação linear entre o 
módulo de torção e o inverso do comprimento do fio 
 
𝐾 = (
𝜋𝑆𝑅4
2
)
1
𝐿
 
 
 Assim, plotou-se o gráfico entre o módulo de torção e o inverso do 
comprimento do fio, a fim de se determinar o módulo de cisalhamento S. A 
Figura 7 indica a curva plotada. 
 
0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
K(
g 
cm
2 s
-2
)
1\L (cm
-1
)
 
 
Figura 7 - Gráfico de módulo de torção em função do inverso do comprimento. 
 
 A partir do gráfico, fez-se o ajuste linear, encontrando um valor de R² 
igual à 0,98776, considerado bom para tal ajuste. A equação da reta 
encontrada é y = (701,1508 ± 44,97) x + (0,18666 ± 1,28004). 
 A partir da relação entre K e 1/L manipulada acima, e considerando a 
reta de equação y = ax, tem-se que 
𝑆 =
2𝑎
𝜋𝑅4
 
 
 Sabendo que R = 0,00285 cm, com a = 701,1508 x103 g cm3 s-2, 
encontrou-se que 
S = 6,765 x1012 ± 1,2351 x1010 g cm-1 s-2 
 
 O erro foi calculado segundo a equação (D) no Anexo I. 
 
 Analisando-se os dados, percebe-se uma clara relação linear entre o 
quadrado do período e o momento de inércia total do sistema. O coeficiente 
linear da reta encontrada indica o quadrado do período para o momento de 
inércia do suporte e do fio para cada comprimento de fio. 
 Ao plotar-se o gráfico entre módulo de torção em função do inverso do 
comprimento do fio percebe-se também a relação linear entre as duas 
grandezas. Sabendo-se que o fio é feito de aço, e comparando-se com o valor 
encontrado na literatura (CRANDALL et al., 1978) de S 6,765 x1012 g cm-1 s-2, 
percebe-se certa concordância entre os dois valores. 
 
 
1. CONCLUSÃO. 
 
 A partir dos dados analisados e dos resultados discutidos, pode-se 
concluir que os resultados experimentais estão, em sua maioria, em 
concordância com o proposto pela teoria. Dessa forma, a realização do 
experimento foi satisfatória na compreensão do sistema físico estudado, 
consolidando os conhecimentos teóricos adquiridos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 
 
ESPINOZA-QUIÑONES, F.R. Apostila de aulas práticas IV – Módulo de 
torção, Toledo, 2014. 
 
HALLIDAY, D., RESNIK R., KRANE, D.S. Física 1, Volume 1, 4ª Ed, Rio de 
Janeiro: LTC, 1996. 
 
CRANDALL, S.H., DAHL N.C., LARDNER, T.J.An introduction to the 
Mechanics of Solids, 2ª Ed, New York: McGraw-Hill, 1978. 
 
 
ANEXOS 
 
Anexo I – Equações empregadas durante os resultados. 
 
𝐼 =
1
12
𝑀𝑣𝐿
2 + 𝑀𝑡𝑟
2 (A) 
∆𝐼 = 
1
12
𝐿2∆𝑀𝑣 +
1
6
𝐿𝑀𝑣∆𝐿 + 𝑟
2∆𝑀𝑡 + 2𝑀𝑡𝑟∆𝑟 (B) 
∆𝐾 =
4𝜋2∆𝑏
𝑏²
 (C) 
∆𝑆 =
2∆𝑏
𝜋𝑅4
 (D) 
 
Anexo II – Tabelas empregadas durante os resultados. 
 
Tabela A.1 - Dados de período quadrado e de momento de inércia para o fio 
de 55 cm. 
𝑰 (10³ g cm²) T10(s) T (s) T2 (s²) 
2,581 ± 0,051567 16,28 3,25 10,60 
5,088 ± 0,05226 21,13 4,22 17,86 
7,594 ± 0,05295 24,55 4,91 24,10 
10,431 ± 0,1853 31,27 6,25 39,12 
20,457 ± 0,1860 40,56 8,11 65,80 
30,483 ± 0,1867 48,12 9,62 92,62 
 
 
 
 
 
 
Tabela A.2 - Dados de período quadrado e de momento de inércia para o fio 
de 45 cm. 
𝑰 (10³ g cm²) T10(s) T (s) T2 (s²) 
2,581 ± 0,051567 14,51 2,90 8,41 
5,088 ± 0,05226 18,76 3,75 14,08 
7,594 ± 0,05295 22,28 4,45 19,86 
10,431 ± 0,1853 28,38 5,67 32,22 
20,457 ± 0,1860 36,66 7,33 53,77 
30,483 ± 0,1867 43,62 8,72 76,17 
 
 
Tabela A.3 - Dados de período quadrado e de momento de inércia para o fio 
de 35 cm. 
𝑰 (10³ g cm²) T10(s) T (s) T2 (s²) 
2,581 ± 0,051567 14,49 2,87 8,28 
5,088 ± 0,05226 17,22 3,46 12,01 
7,594 ± 0,05295 20,27 4,05 16,47 
10,431 ± 0,1853 28,17 5,63 31,78 
20,457 ± 0,1860 35,21 7,04 49,57 
30,483 ± 0,1867 40,51 8,10 65,62 
 
 
Tabela A.4 - Dados de período quadrado e de momentode inércia para o fio 
de 25 cm. 
𝑰 (10³ g cm²) T10(s) T (s) T2 (s²) 
2,581 ± 0,051567 11,34 2,2 5,14 
5,088 ± 0,05226 14,43 2,88 8,32 
7,594 ± 0,05295 16,86 3,37 11,37 
10,431 ± 0,1853 21,34 4,26 18,22 
20,457 ± 0,1860 27,61 5,52 30,50 
30,483 ± 0,1867 32,78 6,55 42,98 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO B 
Dedução das equações que se encontram na introdução. 
A força tangencial diferencial atuando em cada camada do cilindro pode 
ser relacionada com o ângulo de torção total do extremo inferior do fio, usando 
a tensão de cisalhamento equação (B.1). 
𝑑𝐹𝑡 = 2𝜋. 𝜎. 𝑟. 𝑑𝑟 
𝑑𝐹𝑡 = −𝑆.
2𝜋
𝐿
. 𝜃. 𝑟2. 𝑑𝑟 
O torque para restaurar o fio de um ângulo de 𝜃 pode ser obtido 
relacionando a força tangencial aplicada a camada cilíndrica com raio interno 
da camada (Equação 6 e 7). 
𝑑𝜏 = 𝑟 × 𝑑�⃗� = 𝑟. 𝑑𝐹𝑡. (𝑟 × �̂�) 
𝑑𝜏 = − 
2𝜋. 𝑆
𝐿
. 𝑟3. 𝑑𝑟. 𝜃. �̂� 
O torque para restaurar as posições iniciais das camadas cilíndricas do 
fio é dado pela integral definida, desde a camada de raio zero até a camada da 
periferia do cilindro de raio R. 
𝜏 = − 
2𝜋. 𝑆. 𝜃
𝐿
∫ 𝑟3. 𝑑𝑟. �̂�
𝑅
0
 
𝜏 = −
𝜋. 𝑆. 𝑅4
2𝐿 
. 𝜃. �̂� 
Onde, 𝐾 = 
𝜋.𝑆.𝑅4
2𝐿 
 
𝜏 = −𝐾. 𝜃 
A segunda Lei de Newton para as rotações é dada pela Equação (B.8). 
𝜏 = 𝐼. ∝ 
𝜏 = 𝐼.
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 
Igualando as Equações (B.7) e (B.9), tem-se: 
𝐼.
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −𝐾. 𝜃 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝐾
𝐼
. 𝜃 = 0 
A equação (B.11) é uma equação diferencial ordinária para 𝜃(𝑡) e de 
segunda ordem, cuja solução geral é dada pela equação (B.12). 
𝜃(𝑡) = 𝜃𝑜 . cos(𝜔. 𝑡 + 𝜑) 
Onde 𝜃𝑜 representa a amplitude de oscilação ou máximo deslocamento 
angular. A função cos(𝜔. 𝑡 + 𝜑)é uma função periódica, onde o parâmetro 𝜔 
representa a frequência angular. O tempo que o sistema demora em voltar a 
sua condição inicial ou repetir o movimento oscilatório é chamado de período. 
cos(𝜔. 𝑡 + 𝜑) = cos(𝜔. (𝑡 + 𝑇) + 𝜑) 
cos(𝜔. 𝑡 + 𝜑 + 2𝜋) = cos(𝜔. 𝑡 + 𝜑 + 𝜔. 𝑇) 
O período de um sistema é o tempo necessário para o corpo voltar à 
posição inicial ou para repetir o movimento oscilatório. Esse é função do 
inverso da frequência angular do sistema. 
𝑇 = 
2𝜋
𝜔
 
Logo a solução harmônica do sistema de torção pode ser escrita como: 
𝜃(𝑡) = 𝜃𝑜 . cos (
2𝜋
𝑇
. 𝑡 + 𝜑) 
Derivando duas vezes esta função harmônica, obtêm-se: 
𝑑2𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2
= − (
2𝜋
𝑇
)
2
. 𝜃𝑜 . cos (
2𝜋
𝑇
 . 𝑡 + 𝜑) 
𝑑2𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2
= − (
2𝜋
𝑇
)
2
. 𝜃𝑜(𝑡) 
Substituindo a equação acima na equação (B.15), obtêm-se a equação 
(B.16): 
𝑇 = 2𝜋. √
𝐼
𝐾