3 LISTA DE EXERCÍCIOS DE CALCULO I CIVIL ELÉTRICA 2016.2

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FUNDAC¸A˜O UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
CAˆMPUS UNIVERSITA´RIO DE PALMAS
ENGENHARIA CIVIL - ENGENHARIA ELE´TRICA
Professor: Gilmar Pires Novaes
Aluno(a):
Matr´ıcula:
3a LISTA DE EXERCI´CIOS DE CA´LCULO I
[Exerc´ıcios: 1-10] Calcule as derivadas das func¸o˜es cujas expresso˜es sa˜o dadas a
seguir.
1. f(x) =
1
(x− 2x3)4/3
2. f(x) =
√
x2 + 1
x2 − 1
3. f(x) =
(
x+ 1
x− 1
)17
4. f(x) =
√
x+
√
x
5. f(x) =
√
1 + x+
√
1− x
3
√
x5
6. f(x) =
√
1− 3√x
7. f(x) =
√
x+
√
x+
√
x
8. f(x) = x3
√
1− 1
x2 + 1
9. f(x) =
√
sen(
√
x)
10. f(x) = [cos( 3
√
x)− sen( 3√x)]3
11. Dada a func¸a˜o f definida por
f(x) =
{
x2, se x ≤ 1√
x, se x > 1
,
verifique se ela e´ deriva´vel em x = 1. Em caso afirmativo, obtenha a derivada de f nesse
ponto.
12. Dada a func¸a˜o f definida por
f(x) =
{
x3 + 1
16
, se x < 1
2
3
4
x2, se x ≥ 1
2
,
verifique se ela e´ deriva´vel em x = 1
2
. Em caso afirmativo, obtenha a derivada de f nesse
ponto.
2
13. Dada a func¸a˜o f definida por
f(x) =
{
x2, se x ≤ 0
x2 + 1, se x > 0
,
demonstre que lim
x→0−
f ′(x) = lim
x→0+
f ′(x), mas que f ′(0) na˜o existe.
14. Dada a func¸a˜o f definida por
f(x) =
{
x2, se x ≤ 0
x3, se x > 0
,
demonstre que f ′(0) existe, mas que f ′′(0) na˜o existe.
15. Considere a func¸a˜o f definida por
f(x) =
{
xsen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
.
a) Calcule f ′(x) para todo x 6= 0.
b) Demonstre que f e´ cont´ınua em x = 0.
c) Use a definic¸a˜o de derivada para demonstrar que f ′(0) na˜o existe.
16. Considere a func¸a˜o f definida por
f(x) =
{
x2sen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
.
a) Calcule f ′(x) para todo x 6= 0.
b) Demonstre que f e´ cont´ınua em x = 0.
c) Use a definic¸a˜o de derivada para obter f ′(0).
d) Demonstre que f ′ na˜o e´ cont´ınua em x = 0.
[Exerc´ıcios: 17-21] Dadas as func¸o˜es definidas a seguir, determine, em cada caso,
um valor de a, se existe (bem como de b, quando necessa´rio), de modo que f seja deriva´vel
no valor de x indicado.
17.
f(x) =
{
3x2, se x ≤ 1
ax+ b, se x > 1
; x = 1.
18.
f(x) =
{
1
x
, se 0 < x < a
−1
4
x+ 1, se x ≥ a ; x = a.
19.
f(x) =
{
x2 − 7, se 0 < x ≤ a
6
x
, se x > a
; x = a.
20.
f(x) =
{
x2, se x < 1
ax+ b, se x ≥ 1 ; x = 1.
3
21.
f(x) =
{
ax+ b, se x < 2
2x2 − 1, se x ≥ 2 ; x = 2.
22. Dada a func¸a˜o f definida por
f(x) =
{
0, se x ≤ 0
xn, se x > 0
,
em que n e´ um nu´mero inteiro positivo, determine os valores de n para os quais f e´
deriva´vel para todos os valores de x.
23. Dada a func¸a˜o f definida por f(x) =
1
x
, calcule f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x). Demonstre
que a n-e´sima derivada de f (n inteiro positivo) e´ dada por
f (n) =
(−1)nn!
xn+1
.
[Exerc´ıcios: 24-28] Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes a`s curvas a seguir nos
pontos dados (pontos pertencentes aos gra´ficos das respectivas curvas).
24. y =
2x+ 3
4x+ 5
; (0, 3/5)
25. y =
2
2− x ; (−2, 1/2)
26. y =
1 +
√
x
1−√x ; (9,−2)
27. y =
√
x2 + 9; (4, 5)
28. y =
√
senx+ cosx; (pi/4, 4
√
2)
[Exerc´ıcios: 29-31] Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes a`s curvas a seguir nos
pontos dados (pontos na˜o pertencentes aos gra´ficos das respectivas curvas).
29. y = x2; (5, 9). 30. y = x3; (1, 5). 31. xy = 4; (3, 1).
32. Determine as coordenadas-x de todos os pontos do gra´fico da curva y = x3 +2x2−
4x+ 5 nos quais a reta tangente e´
a) horizontal. b) paralela a` reta 2y + 8x = 5.
33. Determine o ponto do gra´fico de y = x3 no qual a reta tangente tem intersecto-x
4.
34. Determine o ponto do gra´fico de y = x3/2−x1/2 no qual a reta tangente e´ paralela
a` reta y − x = 3.
35. Determine os pontos do gra´fico de y = x5/3 + x1/3 nos quais a reta tangente e´
perpendicular a` reta 2y + x = 7.
36. Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 2x2 + 3 que e´ paralela a` reta
8x− y + 3 = 0.
37. Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 3x2 − 4 que e´ paralela a` reta
3x+ y = 4.
38. Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 3x2 − 4x que e´ paralela a` reta
2x− y + 3 = 0.
4
39. Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = −1
3
x2 + 2 que e´ perpendicular a`
reta x− y = 0.
40. Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = x4 − 6x que e´ perpendicular a`
reta x− 2y + 6 = 0.
41. Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = (7x− 6)−1/3 que e´ perpendicular
a` reta 12x− 7y + 2 = 0.
42. Obtenha a equac¸a˜o da reta normal a` curva y = x
√
x2 + 16 que passa pelo ponto
(0, 0).
43. Obtenha a equac¸a˜o de cada uma das retas tangentes a` curva y = 2x2 − 1 que
passam pelo ponto (4, 13).
44. Obtenha a equac¸a˜o de cada uma das retas tangentes a` curva 3y = x3−3x2+6x+4
que sejam paralelas a` reta 2x− y + 3 = 0.
45. Obtenha a equac¸a˜o de cada uma das retas normais a` curva y = x3− 4x que sejam
paralelas a` reta x+ 8y − 8 = 0.
46. Obtenha a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto P (18, 0) que seja normal a` reta
tangente a` para´bola y = x2 em um ponto Q(a, a2).
47. Obtenha duas retas tangentes a` curva y = x3 pelo ponto (2, 8).
48. Obtenha as equac¸o˜es de todas as retas tangentes ao gra´fico de y = x3 − x que
passam pelo ponto (−2, 2).
49. Demonstre que a curva y = x5+2x na˜o tem tangentes horizontais. Qual e´ a menor
inclinac¸a˜o que uma reta tangente a essa curva pode ter?
50. Obtenha a curva y = ax2 + bx+ c cujo gra´fico tem um intersecto-x igual a 1, um
intersecto-y igual a −2 e uma reta tangente com inclinac¸a˜o −1 no intersecto-y.
51. Determine k de modo que a reta y = 2x seja tangente a` curva y = x2 + k
52. Obtenha a coordenada x do ponto sobre o gra´fico de y = x2 no qual a reta tangente
e´ paralela a` reta secante que intersecta essa curva em x = −1 e x = 2.
53. Obtenha a coordenada x do ponto sobre o gra´fico de y =
√
x no qual a reta
tangente e´ paralela a` reta secante que intersecta essa curva em x = 1 e x = 4.
54. Obtenha a coordenada x do ponto sobre o gra´fico de y =
x
x+ 1
no qual a reta
tangente e´ paralela a` reta secante que intersecta essa curva em x = 1 e x = 3.
55. Obtenha as coordenadas de todos os pontos sobre o gra´fico de y = 1 − x2 nos
quais a reta tangente passa pelo ponto (2, 0).
56. Determine os coeficientes a, b, c tais que a curva y = ax2 + bx+ c passe pelo ponto
(1, 3) e seja tangente a` reta 4x+ y = 8 no ponto (2, 0).
57. Determine os coeficientes a, b, c tais que a curva y = ax3+bx2+cx+d seja tangente
a` reta y = 3x− 3 no ponto (1, 0) e tangente a` reta y = 18x− 27 no ponto (2, 9).
58. Obtenha os valores de x nos quais a reta tangente ao gra´fico da curva y =
ax2 + bx+ c seja horizontal. x = − b
2a
59. Demonstre que qualquer par de retas tangentes a` para´bola y = ax2 (a 6= 0)
intersecta-a em um ponto que esta´ sobre uma reta vertical que passa pelo ponto me´dio
dos pontos de tangeˆncia.
60. Seja L a reta tangente ao gra´fico de y = ax3+bx em x = x0. Obtenha a coordenada
x do ponto onde L intersecta o gra´fico uma segunda vez.
5
61. Demonstre que o segmento de reta tangente ao gra´fico de y =
1
x
que e´ intersectado
fora pelos eixos coordenados e´ bissectado pelo ponto de tangeˆncia.
62. Obtenha condic¸o˜es sobre a, b, c, d para que o gra´fico do polinoˆmio p(x) = ax3 +
bx2 + cx+ d
a) tenha exatamente duas retas tangentes horizontais.
b) tenha exatamente uma reta tangente horizontal.
c) na˜o tenha retas tangentes horizontais.
63. [Necessa´rio recurso computacional apropriado] Obtenha as equac¸o˜es das
treˆs retas distintas que passam pelo ponto P (3, 10) que sejam normais a` para´bola y = x2.
64. Obtenha as equac¸o˜es de duas retas distintas que passam pelo ponto P (0, 5
2
) que
sejam normais a` curva y = x2/3.
65. Definic¸a˜o:o gra´fico de uma func¸a˜o f cont´ınua em a tem uma tangente vertical
x = a no ponto P (a, f(a)) se lim
x→a
|f ′(x)| = +∞.
Obtenha as retas tangentes verticais aos gra´ficos das func¸o˜es dadas a seguir.
a) f(x) =
√
x− 4 b) f(x) = x1/3 + 2 c) f(x) = 3(x+ 1)1/3 − 4
66. Definic¸a˜o: um ponto P (a, f(a)) do gra´fico de uma func¸a˜o f cont´ınua em a e´ de-
nominado ponto de reversa˜o (ou ponto cuspidal) se sa˜o satisfeitas (simultaneamente)
as seguintes condic¸o˜es:
i) f ′(x)→ +∞ quando x tende a a por um lado;
ii) f ′(x)→ −∞ quando x tende a a pelo outro lado.
Determine o ponto de reversa˜o do gra´fico de f definida por f(x) = 2(x− 8)2/3 − 1.
67. Definic¸a˜o: duas curvas sa˜o denominadas tangentes em um dado ponto no qual
elas se intersectam se teˆm a mesma reta tangente nesse ponto.
a) Determine uma constante k tal que as curvas y = −kx2 + kx + 1 e y = x4 sejam
tangentes em (1, 1).
b) Determine os nu´meros a e b de modo que as curvas y =
√
x e y = ax2 + b sejam
tangentes em (1, 1).
68. Definic¸a˜o: duas curvas sa˜o denominadas perpendiculares em um dado ponto
no qual elas se intersectam se suas retas tangentes nesse ponto sa˜o perpendiculares.
a) Determine uma constante n tal que as curvas y = 1
2
x−2 e y = 1
2
xn sejam perpendi-
culares no ponto (1, 1
2
).
b) Determine os nu´meros a e n de modo que as curvas y = x3 + x2 + x e y = axn
sejam perpendiculares em (1, 3).
69. Demonstre que nenhuma reta pode ser tangente a` curva y = x2 em dois pontos
distintos. (Sugesta˜o: suponha que uma reta seja tangente tanto em (a, a2) como em (b, b2).
Use derivada para mostrar que a = b.)
70. Obtenha o intersecto-x da reta tangente a` curva y = xn (n ≥ 2 inteiro arbitra´rio)
no ponto P (x0, y0).
[Exerc´ıcios 71-75] Os exerc´ıcios 71-75 referem-se a` curva y =
xn
1 + x2
, n = 0, 1, 2, 3.
71. Demonstre que, para n = 0 e n = 2, a curva dada tem um u´nico ponto no qual a
reta tangente e´ horizontal.
72. Para n = 1, existem dois pontos na curva dada nos quais a reta tangente e´
horizontal. Determine-os.
6
73. Demonstre que, para n ≥ 3, (0, 0) e´ o u´nico ponto no gra´fico da curva dada no
qual a reta tangente e´ horizontal.
74. Para n = 3, existem dois pontos no gra´fico da curva dada nos quais a reta tangente
tem inclinac¸a˜o 1. Determine-os.
75. Para n = 3, existem treˆs pontos no gra´fico da derivada da curva dada nos quais a
reta tangente e´ horizontal. Determine-os.
7
RESPOSTAS
1. −4
3
(x− 2x3)−7/3(1− 6x2)
2. −2x(x2 + 1)−1/2(x2 − 1)−3/2
3. −34(x+ 1)
16
(x− 1)18
4.
1 +
1
2
√
x
2
√
x
√
x+
√
x
5.
(3x− 10)√1− x− (3x+ 10)√1 + x
6x8/3
√
1− x2
6. − 1
6
3
√
x2
√
1− 3√x
7.
1 +
1 +
1
2
√
x
2
√
x+
√
x
2
√
x+
√
x+
√
x
8. 3x2
√
1− 1
x2 + 1
+
x4
(x2 + 1)2
√
1− 1
x2 + 1
9.
cos(
√
x)
4
√
x
√
sen(
√
x)
10. −(cos(
3
√
x)− sen( 3√x))2(cos( 3√x) + sen( 3√x))
3
√
x2
11. f e´ cont´ınua em 1; lim
x→1−
f ′(x) = 2; lim
x→1+
f ′(x) =
1
2
; f na˜o e´ deriva´vel em 1
12. f e´ cont´ınua em 1
2
; lim
x→ 1
2
−
f ′(x) =
3
4
; lim
x→ 1
2
+
f ′(x) =
3
4
; f e´ deriva´vel em 1 : f ′(
1
2
) =
3
4
13. Observe que f na˜o e´ cont´ınua em 0
14.
f e´ cont´ınua em 0; lim
x→0−
f ′(x) = 0; lim
x→0+
f ′(x) = 0; f e´ deriva´vel em 0 : f ′(0) = 0
lim
x→0−
f ′′(x) = 2; lim
x→0+
f ′′(x) = 0; f na˜o e´ deriva´vel em 0
15.
a) f ′(x) = sen
(
1
x
)− 1
x
cos
(
1
x
)
, x 6= 0
b) lim
x→0
f(x) = 0 (= f(0))
c) lim
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
na˜o existe.
16.
a) f ′(x) = 2xsen
(
1
x
)− cos ( 1
x
)
, x 6= 0
b) lim
x→0
f(x) = 0 (= f(0))
c) f ′(0) = 0
d) lim
x→0
f ′(x) na˜o existe, pois cos
(
1
x
)
oscila entre −1 e 1
17. a = 6; b = −3
18. a = 2
19. a = 3, mas f na˜o e´ deriva´vel em 3
20. a = 2; b = −1
21. a = 8; b = −9
22. n > 1
23. Demonstrac¸a˜o por induc¸a˜o sobre n com base no padra˜o de f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x).
8
24. y = − 2
25
x+
3
5
25. y =
1
8
x+
3
4
26. y =
1
12
x− 11
4
27. y =
4
5
x+
9
5
28. y = 4
√
2
29. y = 2x− 1; y = 18x− 81 30. y = 3x+ 2
31. y = −x+ 4; y = −1
9
x+ 4
3
32.
a) x = 2
3
;x = −2 b) x = 0;x = −4
3
33. (6, 216)
34. (1, 0)
35.
(
± 1
5
√
5
,± 26
25
√
5
)
; (±1,±2)
36. y = 8x− 5
37. y = −3x− 19
4
38. y = 2x− 3
39. y = −x+ 11
4
40. y = −2x− 3
41. y = − 7
12
x+
3 + 4
√
2
6
42. y = −1
4
x
43. y = 28x− 99; y = 4x− 3
44. y = 2x+
4
3
; y = 2x
45. y = −1
8
x− 1
4
; y = −1
8
x+
1
4
46. y = −1
4
x+
9
2
47. y = 3x+ 2; y = 12x− 16
48. y = −x; y = 26x− 54
49. A equac¸a˜o y′ = 0 na˜o tem soluc¸a˜o; a menor inclinac¸a˜o e´ 2
50. y = 3x2 − x− 2
51. k = 1
52. x =
1
2
53. x =
9
4
54. x = −1± 2√2
55. x = 2±√3
56. a = −1; b = 0; c = 4
57. a = 3; b = −6; c = 6; d = −3
58. x = − b
2a
62.
a) b2 − 3ac > 0
9
b) b2 − 3ac = 0
c) b2 − 3ac < 0
63. y = −1
6
x+
21
2
; y = − 1
3 +
√
11
x+
33 + 10
√
11
3 +
√
11
; y = − 1
3−√11x+
33− 10√11
3−√11
64. y = −3
2
x+
5
2
; y =
3
2
x+
5
2
65.
a) x = 0 b) x = 0 c) x = −1
66. (8,−1)
67.
a) k = −4
b) a =
1
4
; b =
3
4
68.
a) n = 2
b) a = 3;n = − 1
18
70. x =
n− 1
n
x0
72.
(
−1,−1
2
)
;
(
1,
1
2
)
74.
(
1,
1
2
)
;
(
1,−1
2
)
75. (0, 0);
(
−√3, 9
8
)
;
(√
3,
9
8
)