formas quadráticas

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Jorge Orestes Cerdeira, Inst. Sup. Agronomia, 2005
Formas quadra´ticas
Def. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A forma quadra´tica
associada a A e´ a expressa˜o Q(x) =
∑n
i=1
∑n
j=1 aijxixj = x
>Ax, em
que x =

x1
...
xn
.
Ex. A =
 4 0
0 −5
 , Q(x) = 4x21 − 5x22.
A =
 2 5
1 −7
 , Q(x) = 2x21 + 5x1x2 + 1x2x1 − 7x22 = 2x21 +
6x1x2 − 7x22 =
[
x1 x2
] 2 3
3 −7

 x1
x2
.
Prop. Toda a forma quadra´tica esta´ associada a uma matriz
sime´trica.
Note que x>Ax = (x>Ax)> = x>A>x e assim x>Ax = x
>Ax+x>A>x
2 =
x>
A+ A>
2︸ ︷︷ ︸
sime´trica
x. 2
... Q(x) = x>Ax = x>A+A
>
2 x.
1
Ex. x21 + 7x
2
2 − 3x23 + 4x1x2 − 2x1x3 =
[
x1 x2 x3
]

1 2 −1
2 7 0
−1 0 −3


x1
x2
x3

Repare que
(i) Os coeficientes dos termos ao quadrado esta˜o na diag. principal
(ii)
Os coeficientes dos termos esta˜o nas posic¸o˜es
x1x2 (1,2) e (2,1)
x1x3 (1,3) e (3,1)
x2x3 (2,3) e (3,2)
Obs. x>Ax = x|Ax.
Teor. Toda a forma quadra´tica e´ ortogonalmente diagonaliza´vel.
Considere x>Ax, com A sime´trica,
P :=
 v1 · · · vn
| |
 matriz ortogonal dos vectores pro´prios,
D :=

λ1 · · · 0
. . .
0 · · · λn
 matriz diagonal dos valores pro´prios.
Tem-se
2
x>Ax = x>PDP>x
||
(P>x)>DP>x x = Py ↪→ y = P>x
||
y>Dy
||
λ1y
2
1 + λ2y
2
2 + · · ·+ λny2n
... x>Ax = λ1y21 + λ2y
2
2 + · · ·+ λny2n, em que y = P>x e λ1, . . . , λn
sa˜o os valores pro´prios associados a`s colunas de P .
Ex. Reduzir x21 − x23 − 4x1x2 + 4x2x3 a uma soma de quadrados.
x21 − x23 − 4x1x2 + 4x2x3 =
[
x1 x2 x3
]

1 −2 0
−2 0 2
0 2 −1

︸ ︷︷ ︸
A

x1
x2
x3
 .
det(A− λI) = det

1− λ −2 0
−2 −λ 2
0 2 −1− λ
 = (9− λ2)λ.
3
det(A− λI) = 0⇔ λ = 0, 3,−3.
E(0) =< {(1, 1
2
, 1)} > −→ (1,
1
2 , 1)
‖(1, 12 , 1)‖
= (
2
3
,
1
3
,
2
3
)
E(3) =< {(−2, 2, 1)} > −→ (−2, 2, 1)‖(−2, 2, 1)‖ = (−
2
3
,
2
3
,
1
3
)
E(−3) =< {(−1,−2, 2)} > −→ (−1,−2, 2)‖(−1,−2, 2)‖ = (−
1
3
,−2
3
,
2
3
)
P :=

2
3 −23 −13
1
3
2
3 −23
2
3
1
3
2
3
 x = Py ⇐⇒
x1 =
2
3y1 − 23y2 − 13y3
x2 =
1
3y1 +
2
3y2 − 23y3
x3 =
2
3y1 +
1
3y2 +
2
3y3
x21−x23−4x1x2+4x2x3 =
[
y1 y2 y3
]

0 0 0
0 3 0
0 0 −3


y1
y2
y3
 = 3y22−3y23.
Def. A forma quadra´tica x>Ax, com A sime´trica, diz-se:
definida positiva se x>Ax > 0, para todo x 6= ~0,
definida negativa se x>Ax < 0, para todo x 6= ~0,
semidefinida positiva se x>Ax ≥ 0, para todo x,
4
semidefinida negativa se x>Ax ≤ 0, para todo x.
Diz-se indefinida se na˜o estiver em qualquer destas situac¸o˜es. Diz-
se tambe´m que a matriz A e´ definida positiva, definida negativa, ...
se a forma quadra´tica x>Ax e´ definida positiva, definida negativa,
...
Teor. Uma matriz sime´trica A e´ definida positiva sse os valores
pro´prios sa˜o positivos.
x>Ax = λ1y21 + λ2y
2
2 + · · ·+ λny2n
λ1, λ2, . . . , λn valores pro´prios
x = [v1 v2 · · · vn]y
v1, v2, . . . , vn vectores pro´prios ortonormais
Nota : x = ~0 sse y = ~0.
se λ1, λ2, . . . , λn > 0⇒
λ1y
2
1 + λ2y
2
2 + · · ·+ λny2n︸ ︷︷ ︸ > 0, ∀y 6= ~0
|| m
x>Ax > 0, ∀x 6= ~0
se um λi < 0⇒ x := vi (vector pro´prio associado)
x>Ax = v>i Avi = v
>
i λivi = λi‖vi‖2 < 0. 2
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Teor. A matriz A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
an1 an2 · · · ann

e´ definida positiva
sse todas as submatrizes A1 = [a11], A2 =
 a11 a12
a21 a22
, A3 =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
, . . ., An = A teˆm determinantes positivos.
Teor. Uma matriz e´ semidefinida positiva sse todas as submatrizes
principais teˆm determinantes na˜o negativos.
Submatriz principal e´ qualquer submatriz obtida eliminando linhas
e colunas com os mesmos ı´ndices.
Obs. A matriz A e´ definida negativa sse −A e´ definida positiva.
A matriz A e´ semidefinida negativa sse −A e´ semidefinida positiva.
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