2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA E ARITMÉTICA

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CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE 
ÁLGEBRA E ARITMÉTICA
2
2.1. POTENCIAÇÃO E PROPRIEDADES
A potência de expoente n, n  N e n > 1, do número a é o produto de n fatores 
iguais a a. 
a = base 
n = expoente
Notação: an
an = a.a.a. ... .a
n fatores iguais a a
Multiplica-se a base (a) quantas vezes for o valor do expoente (n)
35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
I. Toda potência de base a  0 , elevada a expoente par, é positiva.
II. Toda potência de base a  0 , elevada a expoente ímpar, tem o sinal da base. 
-33 = -3 . -3 . -3 = -27
-34 = -3 . -3 . -3 . -3 = 81
Todo número a  0, elevado a um expoente negativo:
 inverte-se a base e eleva-se a nova base ao mesmo expoente com valor positivo
a-n = (1/a)n
5-2 = (1/5)2 (2/3)-3 = (3/2)3
OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS
I. Multiplicação de potências de mesma base repete-se a base e somam-se os
expoentes am . an = am+n
II. Divisão de potências de mesma base repete-se a base e subtraem-se os
expoentes am  an = am-n
III. a0 = 1 , qualquer que seja a base a e a1 = a para todo número real a
32 . 33 = 32+3 = 35
55  52 = 55-2 = 53
50 = 1 100 = 1 51 = 5 101 = 10 
OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS
IV. Potenciação de potência repete-se a base e multiplicam-se os expoentes
(am)n = am.n
V. Potenciação de um produto de bases diferentes conserva-se o produto entre as
bases e eleva-se ao mesmo expoente an . bn = (a.b)n
VI. Potenciação de um quociente de bases diferentes conserva-se o quociente entre
as bases e eleva-se ao mesmo expoente an / bn = (a/b)n
(52)3 = 52.3 = 56
32 . 22 = 62
32 / 52 = (3/5)2
73 . 75 = 
27 / 25 = 
34 . 24 = 206  56 = 
(34)5 = 
(-4)1 = 
3-5 . 3-2 = 
53 / 5-2 = 
2-5 . (1/2)-5 = 
43 / 23 = (23)4 = 
(-5)0 = 
2-7 . 24 = 
5-2 = 
2.2. RADICIAÇÃO E PROPRIEDADES
A raiz de índice n de um número a é o número b quando 
bn = a
Notação: 
𝑛 𝑎 = b
O índice n é um número inteiro maior que 1
O número a é o radicando.
Expoente fracionário: 
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛
3
42 = 4
2
3
√ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑛 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑚 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
PROPRIEDADES DOS RADICAIS
I. Raiz de um produto é igual ao produto das raízes
𝑛
𝑎. 𝑏 = 𝑛 𝑎 .
𝑛
𝑏
II. Raiz de uma divisão é igual a raiz do numerador dividida pela raiz do
denominador
𝑛 𝑎
𝑏
=
𝑛 𝑎
𝑛
𝑏
III. Quando multiplicamos ou dividimos o índice do radical e o expoente do
radicando por um mesmo número m, m  0 , a raiz não se altera
𝑛
𝑎𝑝 =
𝑛.𝑚
𝑎𝑝.𝑚
IV. Radicais semelhantes: possuem o mesmo índice e o mesmo radicando.
4
4 . 5 =
4
4 .
4
5
3
32. 24 =
3
32 .
3
24
4 4
5
=
4 4
4
5
3
42 =
3.2
42.2 =
6
44
8
46 =
8÷2
46÷2 =
4
43
OPERAÇÕES COM RADICAIS
I. Adição e Subtração (radicais semelhantes) conserva-se a raiz e soma-se os
coeficientes
5 2 + 3 2 = 5 + 3 2 = 8 2
6
3
5 − 2
3
5 = 6 − 2
3
5 = 4
3
5
II. Adição e Subtração (radicais não semelhantes) extrair as raízes, exatas ou
aproximadas, e somar ou subtrair os resultados
16 + 9 = 4 + 3 = 7
49 − 25 = 7 − 5 = 2
2 + 3 = 1,41 + 1,73 = 3,14
OPERAÇÕES COM RADICAIS
III. Multiplicação e Divisão (mesmo índice) conserva-se o índice e multiplicam-se/
dividem-se os radicandos
5 . 7 = 5 . 7 = 35 4 2 . 5 3 = 20 6
4
10 
4
2 =
4
10 ÷ 2 =
4
5 15 6  3 2 = 5 3
IV. Multiplicação e Divisão (índices diferentes) reduz-se ao mesmo índice
3
2 . 5 =
3.2
21.2.
2.3
51.3 =
6
22.
6
53 =
6
4.
6
125 =
6
4 . 125 =
6
500
5
7 ÷ 3 =
5.2
71.2 ÷
2.5
31.5 =
10
72 ÷
10
35 =
10
49 ÷
10
243 =
10
49 ÷ 243
2 3 + 5 3 =
2 . 3 . 5 =
3
15 ÷
3
5 =
−5
3
2 + 2
3
2 + 7
3
2 =
3
2 .
3
5 .
3
7 =
20 ÷ 2 =
2.3. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
É uma expressão que envolve números, letras e operações indicadas entre eles. 
Exemplo: 5𝑥𝑦𝑧 
5 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑥𝑦𝑧 → 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
Expressão numérica:
a = 7+5+4  a = 
b = 5+20-87  b = 
c = (6+8)-10  c = 
d = (5×4)+15  d = 
Expressão algébrica:
X = 2a+7b 
Y = (3c+4)-5 
Z = 23c+4
2.3. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Consideremos P = 2a+10 e tomemos a=5. Assim, P = ?
Se a=9, o valor numérico de P = ?
Seja X = 4a+2+b-7 e tomemos a=5 e b=7. Assim, X = ?
Seja Y=18-c+9+d+8c, onde c= -2 e d=1. Então, Y = ?
PRIORIDADE DAS OPERAÇÕES NUMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
1. Potenciação ou Radiciação
2. Multiplicação ou Divisão
3. Adição ou Subtração
OBSERVAÇÕES:
Antes de cada operação deve-se realizar a operação que estiver dentro dos
parênteses, colchetes ou chaves.
A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal,
desde que fique clara a intenção da expressão.
MONÔMIOS E POLINÔMIOS
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde
podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os
principais tipos são:
Monômio m(x,y) = 3xy
Binômio b(x,y) = 6x²y - 7y
Trinômio f(x) = ax² + bx + c
Polinômio p(x) = 2x3- 5x2 + 7x – 1
O grau de um monômio é obtido através da soma dos expoentes de todas as
variáveis. O coeficiente numérico deve ser diferente de zero, caso contrário o
monômio será nulo.
MONÔMIOS E POLINÔMIOS
Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que p(7,2) = ?
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos ?
A = -(4x)+(-7x) = ?
B = -(4x)+(+7x) = ?
C = +(4x)+(-7x) = ?
D = +(4x)+(+7x) = ?
7xy2 é um monômio de grau ?
O monômio -5x4 é de grau ?
182 é de grau ?
OPERAÇÕES COM MONÔMIOS
I. Adição e Subtração (monômios semelhantes): repete-se a parte literal e somam-se/
subtraem-se os coeficientes.
3x2y + 5x2y + 7x2y = (3+5+7)x2y = 15x2y
7xy - 3xy = (7-3)xy = 4xy
II. Multiplicação e Divisão: multiplicam-se/dividem-se as partes literais e os
coeficientes.
5ab2c . 3bc3 = (3 . 5).(a).(b2 . b).(c . c3) = 15ab3c4
15x7y4  5x3y2 = (15  5).(x7-3).(y4-2) = 3x4y2
III. Potenciação de Monômios: realizar a potenciação do valor numérico levando em
consideração o sinal, tomar as potências literais
(-5x2y4)3 = (-5)3.(x2)3.(y4)3 = -125x6y12
CLASSIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
I. Racionais Inteiras: Não aparece incógnita no denominador ou elevado a expoente
negativo/fracionário.
II. Racionais Fracionárias: possui variável no denominador.
III. Irracionais: possui variável dentro da raiz ou elevado a expoente fracionário.
5
𝑥+4
7𝑦−4 =
7
𝑦4
3 + 
5𝑧
3 + x 5
5𝑥+1
4
POLINÔMIOS
Expressões algébricas racionais inteiras.
O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é o grau do seu termo de maior grau.
Exemplo: -5x4 + 14x5y2 - 7x3y2  grau 7
4a2b3 + 5a5  grau 5
Operações com Polinômios
a. Adição e Subtração: adicionam-se/subtraem-se os termos semelhantes.
b. Multiplicação: multiplicam-se cada termo de um polinômio por todos os termos
do outro polinômio, e, a seguir, reduzem-se os termos semelhantes.
c. Divisão: divisão entre números reais e entre potências de mesma base.
2.4. FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS
Fatorar é transformar uma soma de uma ou mais parcelas num produto de um ou
mais fatores.
a) Fator comum (evidencia):
Exemplos: a+ab = a(1+b) , a2+ab = a(a+b)
b) Agrupamento: 
Exemplo: ax + bx + ay + by = x (a+b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)
c) Produtos notáveis
2.4. FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS
 QUADRADO DA SOMA
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 9 + 4
2
= 9
2
+ 2 9 4 + 4 ²
 QUADRADO DA DIFERENÇA(x - y)2 = x2 - 2xy + y2 9 − 4
2
= 9
2
− 2 9 4 + 4 ²
 PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA
(x + y)(x – y) = x2 - y2 9 + 4 9 − 4 = 9
2
− 4 ²
 CUBO DA SOMA
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
 CUBO DA DIFERENÇA
(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³
2.4. FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS
Quadrado da soma 
 
(a+b)
2 
= a
2 
+ 2 ab + b
2
 
 
Quadrado da diferença 
 
(a-b)
2 
= a
2 
- 2 ab + b
2
 
 
Produto da soma pela 
diferença 
 
(a+b)(a-b) = a
2
-b
2
 
Cubo de uma soma 
 
(a+b)
3
= a
3
 + 3 a
2
b + 3 ab
2
 + b
3
 
Cubo de uma diferença 
 
(a-b)
3
= a
3
 - 3 a
2
b + 3 ab
2
 - b
3
 
Quadrado da soma de três 
termos 
(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ac 
Soma do cubo de dois termos a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
) 
Diferença do cubo de dois 
termos 
a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
) 
Produto de Stevin (x+a)(x+b) = x
2
+ (a+b) x +ab 
 Quando x
n
 for impar teremos 
 
 ax
2
+bx+c=a(x-r1)(x-r2) onde r1e r2 são raízes da 
equação ax
2
+bx+c=0 
 
3x + 2y , para x = -3 e y = 2
Qual o grau do monômio 7x2y3z ?
5a3x2 - 8a3x2 + 4a3x2 + 2a3x2 = 
4ax2 + (-5ax2) = 
(x3 - 3x2 + 5x – 1) + (2x3 - 4x2 - 3x – 2) = 
(-5x3y) - (-2x3y) = 
(3x2y3 + 2x2y - 3xy2 + x3) - (2x2y3 + 3x2y - x3) = 
(2x2y) . (3xy2) = 
(2x + 3) . (3x - 1) = 
35x2  5x =
(x3 – 4x2 + 3x)  x =
2.5. RAZÃO E PROPORÇÃO
Razão entre dois números a e b, b  0, é o quociente a/b = k
A razão compara quantidades, calculando o quociente entre estas quantidades.
Dizemos que “a está para b”.
Nomenclatura:
Os números a e b são os termos da razão.
O numerador a é o antecedente e o denominador b é o consequente da razão.
Exemplo: Sabe-se que a razão entre o salário de João e o salário de Abreu é 25.
Portanto, sabe-se que
𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑜ã𝑜
𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑏𝑟𝑒𝑢
= 25
2.5. RAZÃO E PROPORÇÃO
Razões Equivalentes
Duas ou mais razões são equivalentes quando as frações que as representam são
equivalentes.
Exemplo:
3
5
=
12
20
Razões Inversas
Duas razões são inversas quando o antecedente da primeira é igual ao consequente
da segunda e vice versa.
Exemplo:
2
5
𝑒
5
2
2.5. RAZÃO E PROPORÇÃO
Chamamos de proporção à igualdade entre razões:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= 𝑘
Sendo a, b, c, d números reais com b e d diferentes de zero.
Nomenclaturas:
k é constante da proporção
a e d de extremos da proporção
b e c de meios da proporção
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= 𝑘
2.5. RAZÃO E PROPORÇÃO
• PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Seja a proporção
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
1. Propriedade Fundamental da Proporção: O produto dos meios é igual ao produto
dos extremos. 𝑎 . 𝑑 = 𝑏 . 𝑐
9
6
=
3
2
⇒ 9 . 2 = 6 . 3 ⇒ 18 = 18
2.5. RAZÃO E PROPORÇÃO
• PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
2. Propriedade da Soma ou da Diferença: A soma ou a diferença entre o primeiro e o
segundo termo está para o primeiro ou para o segundo termo, assim como a soma
ou a diferença entre o terceiro e quarto termos está para o terceiro ou para o
quarto termo.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑎+𝑏
𝑎
=
𝑐+𝑑
𝑐
ou
𝑎+𝑏
𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑑
9
6
=
3
2
, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
9+6
9
=
3+2
3
⇒
15
9
=
5
3
𝑜𝑢
9+6
6
=
3+2
2
⇒
15
6
=
5
2
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑎−𝑏
𝑎
=
𝑐−𝑑
𝑐
ou
𝑎−𝑏
𝑏
=
𝑐−𝑑
𝑑
9
6
=
3
2
, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
9−6
9
=
3−2
3
⇒
3
9
=
1
3
𝑜𝑢
9−6
6
=
3−2
2
⇒
3
6
=
1
2
2.5. RAZÃO E PROPORÇÃO
• PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
3. Propriedade da Soma ou Diferença dos Antecedentes e Consequentes: A soma
ou a diferença entre os antecedentes está para a soma ou a diferença entre os
consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
=
𝑎
𝑏
ou
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
=
𝑐
𝑑
9
6
=
3
2
, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
9+3
6+2
=
9
6
⇒
12
8
=
9
6
ou
9+3
6+2
=
3
2
⇒
12
8
=
3
2
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑎−𝑐
𝑏−𝑑
=
𝑎
𝑏
ou
𝑎−𝑐
𝑏−𝑑
=
𝑐
𝑑
9
6
=
3
2
, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
9−3
6−2
=
9
6
⇒
6
4
=
9
6
ou
9−3
6−2
=
3
2
⇒
6
4
=
3
2
2.5. RAZÃO E PROPORÇÃO
4. Troca dos meios.
5. Troca dos extremos.
6. Inversão das razões.
2.6. REGRA DE TRÊS: SIMPLES
A regra de três simples é uma regra prática para determinar o quarto termo de uma
proporção, conhecendo-se os outros três termos.
Quando há somente duas grandezas, a regra é simples.
Para resolvermos a regra de três simples, após organizá-las em uma tabela, basta que
identifiquemos se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
• Se as grandezas são diretamente proporcionais, mantemos as razões e montamos
a proporção entre estas razões.
• Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos uma das razões e
montamos a proporção.
Para produzir 2 lotes de mercadorias, um trabalhador demora 3 dias. Para
produzir 4 lotes dessa mesma mercadoria, quanto o trabalhador demorará?
4 empregados produzem um lote de mercadorias em 5 dias, então em quanto
tempo 5 empregados produzirão esse mesmo lote de mercadorias?
2.6. REGRA DE TRÊS: COMPOSTA
A regra é dita composta quando envolve três ou mais grandezas, sejam elas diretas ou
inversas.
O primeiro passo para resolvermos uma regra de três composta é organizar as
grandezas em uma tabela, colocamos cada grandeza e seus valores em suas colunas.
Marcamos o valor conhecido que está na mesma coluna de x. O que se faz depois é
identificar se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais,
relacionando cada grandeza com a grandeza cujo valor é desconhecido (x).
Se as grandezas são diretamente proporcionais, marcamos o valor que está na direção
em forma de X com o valor marcado referente à grandeza desconhecida.
Se as grandezas são inversamente proporcionais, marcamos o valor que está em linha
com o valor marcado da coluna da grandeza desconhecida.
O valor de x será o produto dos números marcados, divididos pelo produto dos números
não marcados.
4 empregados produzem um lote de mercadorias em 5 dias, então em quanto
tempo 5 empregados produzirão 3 lotes de mercadorias?
4 empregados produzem 2 lotes de mercadorias em 5 dias, trabalhando 6 horas
por dia, então quantos lotes 5 empregados, trabalhando 8 horas por dia, em 6
dias, produzirão?
2.7. PORCENTAGEM
Formas de representação:
• Forma fracionária: 20/100
• Forma decimal ou taxa unitária: 0,20
• Forma ou taxa Percentual: 20%
Uma pessoa A tem 25 anos de idade, enquanto uma outra pessoa B tem 20 anos de idade.
A razão da idade da pessoa A para a idade da pessoa B é de:
Um objeto custa R$3,50 em uma determinada loja. Uma pessoa deseja comprar 10 desses
objetos. Sabendo que a loja não oferece nenhum tipo de desconto, quanto essa pessoa
pagará por esses 10 objetos?
Em uma gráfica existem 3 impressoras que funcionam ininterruptamente, 10 horas por dia,
durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-se quebrado uma das impressoras e
necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por dia deverão
funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes?
Uma casa com aluguel no valor de R$2.000,00 teve esse valor reajustado para
R$3.200,00. Qual foi o percentual de aumento?