4 Funções 1a. parte

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IV - FUNÇÕES
4.1 - Funções - Definições
Uma função é um tipo particular de relação entre conjuntos, que possui uma
propriedade especial.
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação (ou correspondência) que
associa a cada elemento de A um único elemento em B.
Cada elemento x  A está associado a um único elemento y  B
Dizemos então que R é uma função de A em B.
Uma relação f de A em B é função se, e somente se, todo elemento de A estiver
associado, através de f, a um único elemento de B.
Usaremos a notação f : A B para indicar que f é função de A em B.
x y
f
Ex.:
As relações f e g são funções, pois:
 todo elemento de A está associado,
através de f, a um único elemento de B
 todo elemento de C está associado,
através de g, a um único elemento de D
A relação t não é função, pois o
elemento 4 está associado através de
t a mais de um elemento de O (1 e 6)
Ex.:
Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D),
contradomínio (CD) e conjunto imagem (Im) continuam válidos.
No exemplo temos:
D(f) = A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} DOMÍNIO
CD(f) = B = {18, 19, 16, 13, 15} CONTRADOMÍNIO
Im(f) = {16} IMAGEM
Ex.:
A = {a, b, c, d, e} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• a
• b
• c
• d
• e
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
A
B
x  A y  B
a 2
b 3
c 5
d 7
e 1
Essa relação é uma função porque
a todo elemento de A corresponde
um único elemento em B. Tal
relação também poderia ser
descrita pela tabela em que cada x
 A tem um único correspondente
y  B.
Também poderia ser descrita por um conjunto f de pares ordenados do tipo (x, y) em que x  A e y  B:
f = { (a,2) (b,3) (c,5) (d,7) (e,1) }
Ex.:
A = {a, b, c, d, e} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
De um modo geral, se f é um conjunto de pares ordenados (x, y) que define uma função de A em B,
indicamos:
f : A  B
Se, nessa função, y  B é imagem de x  A, indicamos:
y = f(x) 
No exemplo, temos:
f(a) = 2; f(b) = 3; f(c) = 5; f(d) = 7; f(e) = 1
f = { (a,2) (b,3) (c,5) (d,7) (e,1) }
Ex.: A lei que associa cada número racional x ao número racional y, sendo y o dobro 
de x, é uma função f definida pela fórmula:
FUNÇÕES DEFINIDAS POR FÓRMULAS
y = 2x ou f(x) = 2x
Ex.: A função f que associa a cada número natural x o número natural y, sendo y o 
cubo de x, é definida pela fórmula:
f(5) = f(-3) = f(11,5) = y = 7 então x = 
y = x³ ou f(x) = x³
f(2) = f(5) = y = 64 então x = 
Exercícios
1) Seja a função f: R  R definida por 𝑓 𝑥 = −
3𝑥+8
5
2) Seja f: R  R definida por f(x) = 4x + m, em que m é uma constante real. 
Calcular m, sabendo que f(-2) = 5
Calcular:
f(3); f(-2); f(1/4); f(2)
3) Dados o conjunto A = {3, 7, 9} e o conjunto B = {1, 5, 11, 13}, além das relações 
R1 = {(3, 1), (9, 13)}, R2 = {(3, 5), (7, 5), (7, 11), (9, 13)} e R3 = {(3, 1), (7, 11), (9, 1)}, 
quais destas relações não se tratam de funções de A em B, sendo que R1, R2 e R3
são relações de A em B? 
Exercícios
4) Quais dos diagramas abaixo se encaixa na definição de função de A em B,
onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.
5) Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B, onde
A={a,b,c} e B={1,2,3}.
Exercícios
6) Dada a função real f(x)=2x+3 definida sobre o conjunto A={1,2,3,4}, apresente o
conjunto de todos os pares ordenados pertencentes à função f.
7) Dada a função f:R R definida por:
determinar: f(0), f(-4), f(2) e f(10).
8) Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(-3), f(2) e f(10), se a função de R×R 
está definida por f(x)=x²-4x+7?
a. {67, 3, 4, 7} b. {0, -3, 2, 10}
c. {7, 28, 3, 67} d. {10, 2, -3, 0}
9) Calcular os valores: f(3), f(1), f(0) e f(-10), para a função real f=f(x) definida por:
4.2 - Gráfico de uma Função
O gráfico de uma função é a imagem que essa função possui.
Através do gráfico, podemos identificar qual é o tipo da função.
1°) Escolher valores para x
2°) Encontrar os pares ordenados no plano cartesiano
3°) Traçar o gráfico
Ex.: y = x + 1
Exercícios
10) Construir o gráfico da função dada por y = 2x, com domínio
D = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
11) Construir o gráfico da função dada por y = x² - 4, com domínio R
12) O gráfico abaixo mostra a produção diária de lixo orgânico de duas
pessoas. O dia da semana que o gráfico mostra que as produções de lixo das
duas pessoas foram iguais é:
4.3 - Funções do 1º. Grau – Função Afim
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de R em
R dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é
chamado termo constante.
Ex.:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
Podemos classificar a função do primeiro grau como crescente e decrescente
Exercícios
13) O preço de uma corrida de táxi, em geral, é constituído de uma parte fixa,
chamada bandeirada, e de uma parte variável, que depende do número de
quilômetros rodados. Em uma cidade M a bandeirada é R$10,00 e o preço do
quilômetro rodado é R$0,50.
a) Determine a função que representa o preço da corrida.
b) Se alguém pegar um táxi no centro da cidade e se deslocar para sua casa,
situada a 8km de distância, quanto pagará pela corrida?
14) Construa o gráfico cartesiano das funções de em:
𝑎) 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑏) 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑐) 𝑦 = 3𝑥 + 2
𝑑) 𝑦 =
2𝑥 −3
2
𝑒) 𝑦 = −3𝑥 − 4 𝑓) 𝑦 = −𝑥 + 1
𝑔) 𝑦 = −2𝑥 + 3 ℎ) 𝑦 =
4 −3𝑥
2
4.3.1 - Crescimento e Decrescimento
Função Afim Crescente
A função do 1º. grau f(x) = ax + b é crescente se, e somente se, a > 0.
Ex.: f(x) = 2x - 8 é crescente, pois o coeficiente de x, a = 2 é positivo
Função Afim Decrescente
A função do 1º. grau f(x) = ax + b é decrescente se, e somente se, a < 0.
Ex.: f(x) = - 2x + 4 é decrescente, pois o coeficiente de x, a = -2 é negativo
OBS.: a = 0, então a função é constante, ou seja, f(x) = b
4.3.2 - Estudo do sinal da função do 1º. grau
Estudar o sinal da função do 1º. grau
y = ax + b
é determinar os valores reais de x para os quais se tenha y < 0, y = 0 ou y > 0.
 y = 0 se x = - b / a
 y < 0 ou y > 0, devemos considerar o sinal do coeficiente a
O gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à inclinação
da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta.
Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto
em que a reta corta o eixo Oy.
1º. caso: Se a > 0, a função é crescente. Nesse caso temos:
 x < - b / a, então, y < 0 (função negativa)
 x > - b / a, então, y > 0 (função positiva)
Ex.: y = 3x - 1
Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1)
Para y = 0, temos 0 = 3x – 1 x = 1/3; portanto, outro ponto é (1/3, 0)
Marcamos os pontos (0, -1) e (1/3, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma
reta.
2º. caso: Se a < 0, a função é decrescente. Nesse caso temos:
 x > - b / a, então, y < 0 (função negativa)
 x < - b / a, então, y > 0 (função positiva)
Ex.: y = - 2x + 10
Para x = 0, temos y = -2 · 0 + 10 = 10; portanto, um ponto é (0, 10)
Para y = 0, temos 0 = -2x + 10 x = 10/2 = 5; portanto, outro ponto é (5, 0)
Marcamos os pontos (0, 10) e (5, 0) no plano cartesiano
e ligamos os dois com uma reta.
y
10
5 x
Exercícios
15) A função real de variável real, definida por f(x) = (3 – 2a)x + 2, é crescente
quando:
16) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor
de f(3) é:
17) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um
custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades
produzidas:
a) escreva a lei da função que forneceo custo total de x peças.
b) calcule o custo para 100 peças.
4.3.3 - Estudo das raízes da função do 1º. grau
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x,
para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta
intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:
y = ax + b
y = 0 
ax + b = 0 
ax = -b 
x = -b/a 
Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 
1º grau, basta utilizar a expressão x = -b/a. 
Ex.: 
Determine a raiz da função y = -2x + 10
y = 0
- 2x + 10 = 0
- 2x = - 10 (-1)
2x = 10
x = 10/2
x = 5
A reta representada pela função y = - 2x + 10 intersecta o eixo x no valor: 5
4.3.4 - Inequação Produto e Inequação Quociente
Resolver uma inequação produto consiste em encontrar os valores de x que
satisfazem a condição estabelecida pela inequação. Para isso utilizamos o estudo do
sinal de uma função.
Ex.: Resolver em R a inequação (2x + 4)(6 – 3x) > 0
f (x) = 2x + 4:
raiz de f : 2x + 4 = 0  x = - 2
variação de sinal da função f : a > 0  f é crescente
g (x) = 6 – 3x:
raiz de g : 6 – 3x = 0  x = 2
variação de sinal da função g : a < 0  g é decrescente
-2 2
f(x) = 2x + 4 - + +
g (x) = 6 – 3x + + -
f(x)g(x) = (2x + 4)(6 – 3x) - + -
Obtivemos os sinais na última linha, aplicando a regra de sinais para o
produto f(x).g(x)
Como nos interessa que esse produto seja positivo,
(2x + 4)( 6 – 3x) > 0
temos que o conjunto solução é:
S = {x  R | -2 < x < 2} ou S = ]-2, 2[
Exercícios
18) Resolver em R a inequação:
a) (2x + 6).( – 3x + 12) > 0
b) (x+1)/(2x-1) ≤ 0
c) (2x + 1).(x + 2) ≤ 0
d) (2x-3)/(1-x) ≤ 0