CALCULO 4 Caderno de Exercícios 2

Prévia do material em texto

Ana´lise Matema´tica III - 2013/14 Equac¸o˜es Diferenciais
6 Equac¸o˜es diferenciais
6.1 Equac¸o˜es lineares homoge´neas
79. (a) Mostre que as func¸o˜es x1(t) = cos (ω t) e x2(t) = sin (ω t), ω 6= 0 constituem um sistema
fundamental de soluc¸o˜es para a equac¸a˜o x ′′ (t) + ω2 x(t) = 0.
(b) Determine a soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o referida na al´ınea anterior que satisfaz as condic¸o˜es
iniciais x(0) = 1 e x ′(0) = ω.
80. Determine o integral geral das seguintes equac¸o˜es diferenciais lineares de coeficientes constantes e, nos
casos indicados, determine o integral particular que verifica as condic¸o˜es iniciais dadas:
(a) y′′ − y′ − 2y = 0 ;
{
y(0) = 0
y′(0) = 3
;
(b) y′′′ − 6y′′ + 12y′ − 8y = 0 ;

y(0) = 1
y′(0) = 0
y′′(0) = −3
;
(c) d
3x
dt3
− 2d2x
dt2
− 3dx
dt
= 0 ;
{
x(0) = 1
x′(0) = 6 = x′′(0)
;
(d) ((D − 1)2 + 1)y = 0 ;
{
y(0) = 0
y(pi2 ) = e
pi
2
;
(e) y(4) + y(2) = 0;
(f) y(4) = y;
(g) (D3 − 4D2 + 4D)y = 0;
(h) y(4) + 18y′′ + 81y = 0;
(i) ((D + 1)2 + 4)2y = 0.
81. Escreva uma equac¸a˜o diferencial linear de 3a¯ ordem, homoge´nea, com coeficientes constantes, sabendo
que o polino´mio caracter´ıstico associado admite 4 por ra´ız simples e −5 por ra´ız dupla.
82. O polino´mio caracter´ıstico associado a uma equac¸a˜o diferencial linear, homoge´nea, com coeficientes cons-
tantes, tem as ra´ızes −12 e 3 + i . Escreva uma equac¸a˜o nessas condic¸o˜es.
83. (a) Escreva a equac¸a˜o diferencial linear, homoge´nea, de coeficientes constantes, de ordem mı´nima que
admite as func¸o˜es y1 = x e y2 = e
x por soluc¸o˜es particulares.
(b) Determine a soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o da al´ınea anterior, que satisfaz as condic¸o˜es iniciais
y(0) = 1 , y ′(0) = −1 e y ′′(0) = 1.
84. Determine uma equac¸a˜o diferencial linear, homoge´nea, de coeficientes constantes e de ordem mı´nima e
que admite a soluc¸a˜o particular seguinte:
(a) y = 4e2x + 3e−x;
(b) y = 7 + 2x + 5e3x;
(c) y = 2x + 5xe3x;
(d) y = 4 + 2x2 − e−3x;
(e) y = 4e−x sin 2x;
(f) y = 6xe2x sin 3x;
(g) y = 6 + 3xex cosx;
(h) y = x2 − 5 sin 3x;
(i) y = 34 sinx− 14 sin 3x;
(j) y = xe−x sin 2x− 3e−x cos 2x.
16
Ana´lise Matema´tica III - 2013/14 Equac¸o˜es Diferenciais
6.2 Equac¸o˜es na˜o homoge´neas
85. Usando o me´todo do polino´mio anulador, integre as seguintes equac¸o˜es diferenciais completas de coefici-
entes constantes:
(a) y′′ − 9 y = e3x;
(b) y′′′ − 4 y′′ + 5 y′ − 2 y = 2x + 3;
(c) y′′ − y′ − 6 y = e3x sin 2x;
(d) y′′ + 4 y = sin22x;
(e) y′′′ − y′ = 3(2− x2);
(f) y′′ − y = 3e2x cosx;
(g) y′′ + y = xex + 2e−x;
(h) y′′ − 5y′ + 6y = sinx.
86. Considere a equac¸a˜o diferencial
y′′ + 8y = 5x + 2 e−x .
(a) Determine, pelo me´todo do polino´mio anulador, o integral geral da equac¸a˜o dada.
(b) Determine a soluc¸a˜o particular, Yp , que verifica Yp(0) = 0 e Y
′
p(0) =
29
72 .
87. (a) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o y′′′ + 4 y′ = cosx .
(b) Sabendo que ex
2
e´ uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o y′′′ + 4 y′ = f(x), determine:
i. o integral geral de y′′′ + 4 y′ = 2 f(x)− 3 cosx;
ii. a func¸a˜o f(x).
88. (a) Use o me´todo do polino´mio anulador para determinar a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial
y′′ + 4 y = x ex .
(b) Atendendo a que sin x e´ soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o y′′ + 4 y = 3 sin x , determine a soluc¸a˜o de
y′′ + 4 y = sin x + 5x ex que verifica as condic¸o˜es
{
y(0) = 0
y′(0) = − 115
.
89. Determine o integral geral da equac¸a˜o diferencial
y′′ + y = cosx,
sabendo que admite
x sinx
2
como integral particular.
90. Utilizando o me´todo da variac¸a˜o das constantes arbitra´rias (me´todo de Lagrange), determine os integrais
gerais das seguintes equac¸o˜es diferenciais:
(a) y ′′ + y = tan x;
(b) y ′′ − 2 y ′ + y = e
x
x2
;
(c) y ′′ + 3y ′ + 2y = sin ex;
(d) y ′′ − 3y ′ + 2 y = e
x
1 + ex
;
(e) x ′′(t)− x′(t)− 2x(t) = 1.
91. (a) Resolva o problema de valor inicial
y ′′ − 4y ′ + 4y = sin x
y(0) = 0
y ′(0) = 1
, x ∈ R.
17
Ana´lise Matema´tica III - 2013/14 Equac¸o˜es Diferenciais
(b) Determine o integral geral da equac¸a˜o diferencial
y ′′ − 4y ′ + 4y = 25 sin x + e
2x
x
, x > 0.
92. Utilizando o me´todo do abaixamento de ordem (me´todo de d’Alembert), encontre os integrais gerais das
seguintes equac¸o˜es diferenciais, sabendo que as equac¸o˜es homoge´neas associadas admitem os integrais
particulares, yi, indicados.
(a) x y′′ − y′ = 0, com y1(x) = x2;
(b) x y′′ − y′ = x2ex, com y1(x) = x2;
(c) x y′′ + 2 y′ − x y = −ex, com y1(x) = e
x
x ;
(d) (2− x) y′′′ + (2x− 3) y′′ − x y′ + y = 0, x < 2, com y1(x) = ex;
(e) x y′′ − (1 + x) y′ + y = x2 e2x, x > 0, com y1(x) = 1 + x.
93. (a) Construa uma equac¸a˜o diferencial linear de 3a¯ ordem, com coeficientes constantes e completa que
admite y1(x) = x + ln x e y2(x) = ln x por soluc¸o˜es particulares, sabendo que y3(x) = e
2x e´ uma
soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o homoge´nea associada.
(b) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial constru´ıda na al´ınea anterior.
94. Sabe-se que
y(x) = c1 e
x + c2 e
−x +
1
3
x3, com c1, c2 ∈ R ,
e´ o integral geral de uma equac¸a˜o diferencial linear, completa, de coeficientes constantes. Determine:
(a) Um sistema fundamental de soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial homoge´nea associada.
(b) A equac¸a˜o diferencial homoge´nea associada.
(c) A equac¸a˜o diferencial completa.
6.3 Sistemas de equac¸o˜es diferenciais
95. Use o me´todo dos operadores diferenciais para determinar as soluc¸o˜es dos seguintes sistemas de equac¸o˜es
diferenciais:
(a)
{
y′ + y + 4z = 0
z′ + 2y − z = 0 ;
(b)
{
x′′ − y = 0
y′′ − x = 3 ;
(c)
{
x′ + x + y′ = t2
x′ + y′ − y = t ;
(d)
{
x′ − 3x + 2y = t
y′ + 2x = et
.
96. Use o me´todo dos operadores diferenciais para determinar as soluc¸o˜es dos seguintes sistemas de equac¸o˜es
diferenciais que satisfazem a`s condic¸o˜es iniciais dadas:
18
Ana´lise Matema´tica III - 2013/14 Transformadas de Laplace
(a)

Dx + z = et
(D − 1)x + Dy + Dz = 0
x + 2y + Dz = et
;
(b)
{
x′ + 5x + y = 0
y′ − 4x + y = 0 ;

x(0) = 1
y(0) = −1
z(0) = 2
;
{
x(1) = 0
y(1) = 1
.
7 Transformadas de Laplace
7.1 Propriedades e ca´lculo
97. Determine as transformadas de Laplace das func¸o˜es definidas pelas seguintes expresso˜es anal´ıticas:
(a) f(t) = t2 + 6 t− 3;
(b) f(t) = t
(
et + e2 t
)2
;
(c) f(t) = e3 t cos (2 t);
(d) f(t) = t2 sin t;
(e) f(t) = t
5
2 ;
(f) f(t) = cos2 3t;
(g) f(t) = sin 5t cos 2t;
(h) f(t) = t3 e−t.
98. Calcule
(a) L−1
{
1
s3
}
;
(b) L−1 {(s− 2)−2};
(c) L−1
{
7
(s− 1)3 +
1
(s + 1)2 − 4
}
;
(d) L−1
{
s
(s + 1)2
}
;
(e) L−1
{
e−2s
s2(s− 1)
}
;
(f) L−1
{
1
s (s + 1)
}
;
(g) L−1
{
e−pis
s2 + 16
}
;
(h) L−1
{
s
(s2 + 1)2
}
;
(i) L−1 {arctan (4/s)};
(j) L−1
{
e−s
s (s + 1)
}
.
7.2 Aplicac¸o˜es das Transformadas de Laplace
99. Use o operador Transformada de Laplace para determinar a soluc¸a˜o do problema de valor inicial:
(a) y′′ + 4y′ + 4y = e−x,
{
y(0) = 0
y′(0) = 1
.
(b) y′′ + 4y′ + 3y = 0,
{
y(0) = 0
y′(0) = 1
.
(c) y′′ + 6y − 7 = 0,
{
y(0) = 1
y′(0) = 0
.
(d) y′′ − y′ − 2y = x,
{
y(0) = 0
y′(0) = 0
.
19
Ana´lise Matema´tica III - 2013/14 Transformadas de Laplace
(e) y(iv) − 16 y = 0,

y(0) = 1
y′(0) = 0
y′′(0) = 0
y′′′(0) = 0
.
(f) y′′ − 2y′ + 5y = 0,
{
y(0) = 0
y′(0) = 1
.
(g) y′′ − 9y′ = 5e−2t,
{
y(0) = 1
y′(0) = 2
.
(h) y′′ − 5y′ + 6y = 3e3t,
{
y(0) = 0
y′(0) = 0
.
(i) y′′ + 4y = 9t,
{
y(0) = 0
y′(0) = 7
.
(j) y′′ + y = cost,
{
y(0) = 0
y′(0) = −1 .(k) y′′′ − 4y′ = sh t,

y(0) = 0
y′(0) = 0
y′′(0) = 0
.
(l) y′′ + y′ − 2y = 5e−t sin 2t,
{
y(0) = 1
y′(0) = 0
.
100. Determine a soluc¸a˜o de cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
(a)

y′′ + 4y =
{
1 se 0 ≤ t < 4
0 se t ≥ 4
y(0) = 3
y′(0) = −2
.
(b)

y′′ + y =
{
2 se 0 ≤ t < 3
3t− 7 se t ≥ 3
y(0) = 0
y′(0) = 0
.
(c)

y′′ + 2y′ + y = 2(t− 3)U(t− 3)
y(0) = 2
y′(0) = 1
.
101. Determine a soluc¸a˜o de cada um dos seguintes problemas:
(a)
{
y′(t) + 2y(t) +
∫ t
0 y(u)du = sin t
y(0) = 1
.
(b)
{
y′(t) = sin t +
∫ t
0 y(t− u) cosudu
y(0) = 0
.
20
Ana´lise Matema´tica III - 2013/14 Transformadas de Laplace
102. Use a Transformada de Laplace para determinar as soluc¸o˜es dos seguintes sistemas de equac¸o˜es diferen-
ciais que satisfazem a`s condic¸o˜es iniciais dadas.
(a)
{
y′1 + y2 = 0
y′2 + y1 = 0
,
{
y1(0) = 1
y2(0) = 0
.
(b)

d2x
dt2
− 6dy
dt
− 7x = 0
d2y
dt2
+ x = 3
,
{
x(0) = 0 = x′(0)
y(0) = 0 = y′(0)
.
(c)
{
x′ + 4x + 3y = 0
y′ + 3x + 4y = 2et
,
{
x(0) = 0
y(0) = 0
.
(d)
{
y′ + 2y + z = sinx
z′ − 4y − 2z = cosx ,
{
y(0) = 0
z(0) = 1
.
(e)
{
5y′ + z′′ + 4z = sin t
y′′ + 2z′ + y = 0
,
{
y(0) = 0 = y′(0)
z(0) = 0 = z′(0)
.
21