Prova 1 Ricardo Misturini 2017/1

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Disciplina - MAT01167
Equac¸o˜es diferenciais II/ Turma A1
Prova 1 - 05/05/2017
Questo˜es:
1. (2pt) Resolva o problema de valor inicial
xy′ + 2y = 3, y(1) = 4
e determine o intervalo ma´ximo de definic¸a˜o da soluc¸a˜o.
2. (2pt) Um poss´ıvel modelo para a velocidade v de um corpo de massa m caindo sob a
influeˆncia da gravidade e´ dado pela equac¸a˜o diferencial autoˆnoma
m
dv
dt
= mg − kv2,
onde g e´ a constante de acelerac¸a˜o da gravidade e k e´ uma constante positiva. (Obs. Note
que este modelo assume que a forc¸a de resisteˆncia do ar e´ proporcional ao quadrado da
velocidade). Assumindo esta modelagem, calcule, em termos de m, g e k, a velocidade
terminal do corpo, isto e´ limt→+∞ v(t).
Dica: Na˜o e´ necessa´rio resolver a equac¸a˜o. Fac¸a um estudo qualitativo.
3. (2pt) Seja y(t) a temperatura no instante t de um corpo imerso em um meio de temperatura
constante ym. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variac¸a˜o de y e´ proporcional
a` diferenc¸a (ym − y), isto e´, dydt = k(ym − y). No instante t = 0 um bolo e´ tirado do forno
e sua temperatura e´ 120 oC. Treˆs minutos mais tarde a temperatura do bolo e´ de 60 oC.
Supondo que a temperatura do ambiente e´ controlada e constante em 20 oC, encontre uma
expressa˜o expl´ıcita para y(t), a temperatura do bolo no instante t.
4. (2pt) Considere a equac¸a˜o diferencial
x2y′′ + 2xy′ − 2y = 0.
Sabendo que y1(x) = x e´ uma soluc¸a˜o, encontre uma outra soluc¸a˜o y2 tal que {y1, y2} seja
linearmente independente.
5. (2pt)
(a) Seja z a soluc¸a˜o do seguinte problema de valor inicial:{
z′′ − z′ − 6z = 0
z(0) = 3, z′(0) = β
.
Informe a condic¸a˜o que β deve satisfazer para que limt→∞ z(t) = 0.
(b) Seja y a soluc¸a˜o do seguinte problema de valor inicial:{
y′′ + 2y′ + ky = 0
y(0) = 3, y′(0) = −2 .
Informe a condic¸a˜o que k deve satisfazer para que existam infinitos valores de t para
os quais y(t) = 0.
1
Soluc¸o˜es:
1. y(x) = 3
2
+ 5
2x2
I = (0,∞).
2. Note que dv
dt
= f(v) onde f(v) = g − k
m
v2. O gra´fico de f e´ dado abaixo.
Note que se 0 ≤ v < (mg
k
)1/2
, enta˜o v′ > 0, e portanto v e´ crescente.
Agora se v >
(
mg
k
)1/2
enta˜o v′ < 0, e portanto v e´ decrescente.
Essa ana´lise permite concluir que a velocidade limite e´
√
mg
k
.
Obs. Consideremos que a constante g de acelerac¸a˜o da gravidade e´ positiva. Sendo assim, na
equac¸a˜o mdv
dt
= mg−kv2, o termo mg, que representa a forc¸a peso, contribui positivamente
para dv
dt
. Portanto, a orientac¸a˜o foi escolhida de modo que o movimento para baixo e´ o que
tem velocidade positiva. Note que, neste modelo, a forc¸a˜o de resisteˆncia do ar, representada
por −kv2, tem sinal negativo sempre. Portanto esse modelo na˜o se aplica a situac¸o˜es em
que um objeto e´ lanc¸ado para cima (o que corresponde a velocidade negativa). Ja´ que, neste
caso, a forc¸a de resisteˆncia do ar, tendo o mesmo sinal que a velocidade, estaria favorecendo
o movimento, o que e´ incoerente. Foi por isso que acima desenhamos o gra´fico de v′ = f(v)
apenas para v ≥ 0.
3. y(t) = 20 + 100 ·
(
2
5
)t/3
, ou equivalentemente y(t) = 20 + 100 · e− t3 ln(5/2).
4. Uma opc¸a˜o e´ y2(x) = x
−2. A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e´ dada por y(x) = C1x+ C2x−2.
5. (a) β = −6
(b) E´ preciso que as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica na˜o sejam reais. Isso ocorre se k > 1.
2