Elemat(Lista 3) (2013)

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Universidade Federal de Goia´s Professor: Maxwell
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica Turma: Elemat
Lista 3
OBSERVAC¸A˜O: SEMPRE QUE NECESSA´RIO, UTILIZE AS SEGUINTES IDENTIDADES:
a) (
√
x−√a)(√x+√a) = x− a, onde a, x > 0. b) (x− a)(x+ a) = x2 − a2.
c) (x3 − a3) = (x − a)(x2 + ax+ a2) d) (x4 − a4) = (x − a)(x3 + ax2 + a2x+ a3)
e) (x5 − a5) = (x− a)(x4 + ax3 + a2x2 + a3x+ a4)
f) (xn − an) = (x− a)(xn−1 + axn−2 + a2xn−3 + · · ·+ an−2x+ an−1), onde n 6= 0 e´ um nu´mero natural.
0) Simplifique as expresso˜es:
a)
x2 − 1
x− 1 b)
x3 − 8
x2 − 4 c)
4x2 − 9
2x+ 3
d)
1
x
− 1
x− 1 e)
x4 − 1
x− 1 f)
1
x2
− 1
9
x− 3 g)
(x+ h)2 − x2
h
h)
(x+ h)3 − x3
h
i)
1
x+h
− 1
x
h
j)
x− a√
x−√a l)
(x4 − 16)
(
√
x−√2)
1) Calcule os seguintes limites.
a) lim
x→4
x− 4
x+ 4
b) lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 3x+ 2
c) lim
x→1
x3 − 3x+ 2
x4 − 4x+ 3 d) limh→0
(x+ h)3 − x3
h
e) lim
x→1
(
1
1− x −
x2 + 2x
1− x3
)
f) lim
x→a
√
x−√a
x− a g) limh→0
3
√
x+ h− 3√x
h
h) lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x i) limx→2
x4 − 16
x− 2 j) limx→7
2−√x− 3
x2 − 49
Respostas da questa˜o 1): a)0, b)−2, c)1
2
, d)3x2, e)1
3
, f) 1
2
√
a
, g) 1
3
3
√
x2
, h)− 1
3
, i)24, j)− 1
56
.
2) Ca´lculo de limites atrave´s de substituic¸a˜o.
a) lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1 b) limx→64
√
x− 8
3
√
x− 4 c) limx→1
3
√
x2 − 2 3√x+ 1
(x− 1)2 d) limx→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1
Dica para a letra a): Fac¸a a seguinte substituic¸a˜o x+ 1 = y6. onde 6 = 2 · 3 ( 2√x+ 1 e 3√x+ 1)
Respostas da questa˜o 2): a)3
2
, b)3, c)1
9
, d)4
3
.
3) Ca´lculo de limites no infinito.
a) lim
x→∞
(√
x+ a−√x) b) lim
x→∞
(√
x(x+ a)− x
)
c) lim
x→∞
(√
x2 − 5x+ 6− x
)
d) lim
x→∞
x
(√
x2 + 1− x
)
Dica: Racionalize as expresso˜es acima! Lembre-se que
√
A−B = (
√
A−B)
√
A+B√
A+B
.
Respostas da questa˜o 3): a)0, b)a
2
, c)− 5
2
, d)1
2
.
5) Suponha que, para a fabricac¸a˜o de CD’s, deve-se produzir disco pla´stico de raio r0 cm e a´rea igual a A(r0) = pir
2
0 cm
2. No
entanto, devido ao processo de fabricac¸a˜o, o disco produzido tem raio r = r0 + h cm e a´rea A(r) = pi(r0 + h)
2 cm2, em que∣∣r − r0∣∣ = ∣∣h∣∣ e´ o erro no raio do disco. Como a qualidade de gravac¸a˜o do CD depende da precisa˜o da a´rea do disco, o erro∣∣h∣∣ deve ser pequeno para minimizar os erros de gravac¸a˜o. Suponha que o erro ∣∣h∣∣ seja sempre menor que 1 cm, e portanto∣∣h∣∣2 6 ∣∣h∣∣.
a) Determine constantes a e b tais que A(r0 + h)−A(r0) = a h+ b h2.
b) Usando que
∣∣h∣∣ e´ sempre menor do que 1, determine uma constante K > 0 tal que ∣∣A(r0 + h)−A(r0)∣∣ 6 K ∣∣h∣∣.
c) Obtenha δ > 0 com a propriedade de que, se o erro no raio for inferior a δ, enta˜o o correspondente erro na a´rea sera´
inferior a 1 cm2.
d) Dado uma margem de toleraˆncia � > 0, determine uma margem de seguranc¸a δ > 0 tal que, se 0 <
∣∣h∣∣ < δ, enta˜o∣∣A(r0 + h)−A(r0)∣∣ < �.