Elemat(Lista 4) (2013)

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Universidade Federal de Goia´s Professor: Maxwell
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica Turma: Elemat
Lista 4
Continuidade
Vimos em sala de aula que lim
x→c
f(x) existe se, e somente se, os limites laterais lim
x→c
+
f(x) e lim
x→c
−
f(x) existem E sa˜o iguais.
[EXEMPLO1] Considere a segunte func¸a˜o f(x) =


x2 +
√
x− 2, 0 6 x < 1
x2 − 2x, 1 < x 6 2
10−Ax, x > 2
a) O limite lim
x→1
f(x) existe? JUSTIFIQUE
b) Encontre o valor de A de modo que o limite lim
x→1
f(x) exista!
[SOLUC¸O˜ES]:
a) Note que


i) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(x2 +
√
x− 2) = 1 +√1− 2 = 0
ii) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
(x2 − 2x) = 12 − 2(1) = −1.
Como os limites laterais existem mas na˜o sa˜o iguais,
o limite lim
x→1
f(x) NA˜O EXISTE!
b) Vamos FORC¸AR que os limites existam e sejam iguais! Note que


i) lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(x2 − 2x) = 4− 4 = 0
ii) lim
x→2+
f(x) = lim
x→1+
(10− Ax) = 10− 2A.
Portanto PRECISAMOS que 0 = 10− 2A Ou seja, A = 5.
AGORA VAMOS INTRODUZIR O CONCEITO DE CONTINUIDADE!!!
Dizemos que f : D → R e´ cont´ınua em x = c ∈ D SE lim
x→c
f(x) = f(c).
[EXEMPLO 2] Considere a segunte func¸a˜o f(x) =
{
(x− 2)2 + 1, x < 1
√
x+ 1, x > 1
Verifique SE f(x) e´ cont´ınua em x = 1.
[SOLUC¸A˜O] Basta verificar SE lim
x→1
f(x) = f(1)!!! Note que para x > 1 temos que f(x) =
√
x+1. Logo f(1) =
√
1+1 = 2.
Isto e´, f(1) = 2.
Agora vamos calcular lim
x→1
f(x). Como x = 1 e´ um ponto onde ocorre mudanc¸a na lei de formac¸a˜o, precisamos calcular os
limites laterais!

i) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(x− 2)2 + 1 = (1− 2)2 + 1 = 2
ii) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(
√
x+ 1) = 2.
Portanto o limite existe e E´ igual a 2 = f(1).
Conclusa˜o: f(x) e´ cont´ınua em x = 1.
[EXEMPLO 3] Encontre o valor da constante a de modo que f(x) =


(x− a)2 + 4, x < 0
4a√
x+ 1
, x>0
seja cont´ınua em x = 0.
[SOLUC¸A˜O] Note que f(0) =
4a√
0 + 1
= 4a. Temos tambe´m que
• lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(x− a)2 + 4 = (0 − a)2 + 4 = a2 + 4 • lim
x→0+
f(x) = lim
x→0−
4a√
x+ 1
=
4a√
0 + 1
= 4a
Desta forma, precisamos que a2 + 4 = 4a. Ou seja, a2 − 4a+ 4 = 0. Portanto(utilizando a fo´rmula de Ba´skara) a = 2.
[EXERCI´CIOS] a) Seja f(x) =


√
x+ 7− 3
x2 − 4 , x 6= 2
a, x=2.
Encontre a de modo que f(x) seja cont´ınua em x = 2.
b) Encontre a,b de modo que f(x) =
{
3x+ 6a, x < −1
3ax− 7b, −1 6 x 6 1
x− 12b, x > 1
seja cont´ınua. (dica: os limites lim
x→−1
f(x) e lim
x→1
f(x) precisam
existir!)
c) f(x) =
{
x sin
(
1
x
)
, x 6= 0
0, x = 0
e´ cont´ınua? d) Existe alguma possibilidade de f(x) =
{
x, x < 0
1, x = 0
x2, x > 0
ser cont´ınua?