Lista 2 de Cálculo 2 - 2013.2

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
INSPCTITUTO FEDERAL DO CEARÁ - IFCE 
CAMPUS QUIXADÁ 
PROF. ISAAC RICARTE EVANGELISTA 
CÁLCULO 2 
 
LISTA 2 DE INTEGRAIS 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
01. Calcule as integrais. 
a) 
 dxxe
x2
 b) 
 dx)x4(xsen
 c) 
 dx)x3cos(x
2
 d) 
 dx)x(ln
2
 
e) 
 dxxsen
2
 f) 
 dx)x3(sene
x2
 g) 
 dxxsec
3
 h) 
 dxex
2x3
 
g) 
 dx)x(lnsen
 h)
 dx)xln(cosxsen
 i) 
 dx
e
)x2(sen
x
 j) 
 dxxcos
 
k) 


dx
)1x(
xe
2
x l) 

2 
1 2
dx
x
xln
 m) 

4 
1 
dt tln
 l) 

1 
0 
tdtte
 
o) 

4 
1 
dtlnt t
 p) 

/3 
0 
dxxcos)x3(sen
 q) 

/2 
0 
x dxxsene
 r) 

2 
1 
dxxln
 
 
02. Use integração por partes para mostrar que 
  dx)x('f x)x(xfdx)x(f
. 
03. Mostre que 

  dx xsen
n
1n
xsen xcos
n
1
 dx xsen 2n1nn
. 
04. Use a questão 03 para mostrar que 
C
4
x2sen
2
x
xdxsen2 
. 
05. Mostre que 

  dx xcos
n
1n
xcos xsen
n
1
 dx xcos 2n1nn
. 
06. Mostre que 




1
0
1n21
0
n2 dx)x1(
1n2
n2
dx)x1(
. 
 
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS 
 
07. Calcule as integrais. 
a) 
 dx xcosxsen
23
 b) 
 dx xcosxsen
36
 c) 
 dx xsen xcos
22
 
d) 
 dx )x2(sen
3
 e) 
 dx )x3(sen
2
 f) 
 dx xcos 
5
 
g) 


dx 
xsec
xtg1
2
2 h) 
 
dx
xcos1
1
 i) 


dx
xcos
senx1
 
j) 
 dx xtg
2
 k) 
 dx )x2(tg
3
 l) 
 dx xsec
4
 
m) 
 dx xsecxtg
33
 n) 
 dx xtg
4
 o) 
 dx xsecxtg
2
 
p) 

/4 
0 
24 dx xsecx tg
 q) 

 2/ 
0 
4 dt tcos
 r) 



/4 
0 
dx cos(4x)1
 
s) 
 dx )x5cos()x7cos(
 t) 
 dx )xcos()x3(sen
 u)
 dx )x2(sen)x5(sen
 
v) 
 
0
dx )x2cos()x4(sen
 w) 

 2/
0
dx )x3cos()xcos(
 x) 



dx )x3(sen)x3(sen
 
Cálculo 2 – Prof. Isaac Ricarte Lista 2 de Integrais 
 
2 
 
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
08. Calcule as integrais. 
a) 


dx 
x25x
1
22
 b) 


dx 
4xx
1
2
 c) 


dx 
x
9x
4
2 
d) 
  dx x1x
23
 e) 


dx 
x
1x 2 f) 


dx 
x
25x 2 
g) 


32 
0 2
3
dx 
x16
x
 h) 
 
2 
0 
23 dx 4xx
 i) 


2 
2 23
dt 
1tt
1
 
09. Use a substituição trigonométrica para mostrar que 
  Caxxln
ax
dx 22
22



. 
10. Mostre que a área da elipse 
1
b
y
a
x
2
2
2
2

 é 
ab
. 
 
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS 
 
11. Calcule as integrais. 
a) 
 

dx
xx
x
 
)2)(5(
9
 b) 
 

dx
xx
x
 
2
2 1
 c) 
 
dx
xx
 
)1()5(
1
2
 d) 
 
1 
0
 dx
x
x
2)1(
32
 
e) 
 
2 
1
2
 dx
xx
x
2
3
3
 f) 
 
dx
x
 
1
1
3
 g) 
 

dx
xx
x
22 )1(
14
 h) 
 

dx
xx
x
 
22 )42(
3
 
 
08. O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) notou que a substituição 







2
x
tgt
, 
– < x < , converte qualquer função racional de sen(x)cos(x) em uma função racional ordinária 
de t. Mostre que: cos






2
x
 = 
21
1
t
 , sen






2
x
 = 
21 t
t

 , cos(x) = 
2
2
1
1
t
t


 , sen(x) = 
21
2
t
t

 
e dx = 
21
2
t
dt. 
 
09. Use a substituição do Exercício 08 para transformar o integrando em uma função racional de t e 
então calcule a integral. 
a) 
 
dx
xsen
 
53
1
 b) 
 
dx
xxsen
 
cos43
1
 c) 
 
dx
xsenxsen
 
22
1
 d) 
 
/2 
/3
 


dx
xxsen cos1
1
 
 
10. Avalie as afirmativas em V (verdadeiro) ou F (falso), justificando sua resposta: 
a) 
0)3(
1
1
2  dxxsenx
. b) 
0)(3  dxxsenx


 c) 
1)(
2/
0
 dxxsenx

 
d) 
5)ln(
1
2  dxxx
e
 e) 22
0
2
2
)2cos( 








dxsenxxxx
 
f) 
)2ln(2
4
3
)ln(
2
1
 dxxx
 g)
 2
2
1
ln 1
1
du u u C
u
   

