ANALISE VETORIAL Integrais de linha

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José	
  Pojo.	
  Mestre	
  em	
  Matemática	
  e	
  Especialista	
  em	
  Matemática	
  Superior	
   1	
  
	
  PROF.	
  POJO	
  DISCIPLINA:	
  CÁLCULO	
  II	
  CURSO:	
  ENGENHARIAS	
  	
  
EXERCÍCIOS	
  
	
  01.	
  Calcule	
  o	
  divergente	
  e	
  o	
  rotacional	
  dos	
  seguintes	
  campos	
  vetoriais:	
  a)	
  
 

F x, y, z( ) = x3 + y3( )i + 3xyj + 3y2zk 	
  b)	
   F x, y, z( ) = e2x cos 2y( )i + e2xsen 2y( ) j + 5e2z k 	
  c)	
   F x, y, z( ) = sen xy( )i + sen xy( ) j + zcos xy( ) k 	
  
d)	
   

F = y

i + 2x2 j 	
  
e)	
   

F = ex cos yi + exsenyj 	
  	
  02.	
  Dada	
   a	
   curva	
  C	
   de	
   equação	
   vetorial	
   R t( ) ,	
   encontre	
   um	
  vetor	
   tangente	
   e	
   unitário	
   à	
   curva	
   no	
  ponto	
  P	
  dado:	
  a)	
  
 

R t( ) = t, t 2, 0( ) ,	
  	
  P 2, 4, 0( ) 	
  b)	
   R t( ) = 5cos t, 5sent, 0( ) ,	
  	
  P 4, 3, 0( ) 	
  c)	
   R t( ) = 3cos t, 3sent, 4t( ) ,	
  	
  P 3, 0, 8π( ) 	
  	
  03.	
  	
  Se	
  
 

R = e− t

i + ln t 2 +1( ) j − tg tk ,	
  achar,	
  para	
   t = 0 :	
  a)	
  
 
d

R
dt 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  b)	
   d 2 Rdt 2 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  c)	
   d Rdt 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  d)	
   d 2 Rdt 2 	
  	
  	
  04.	
   Achar	
   o	
   vetor	
   velocidade	
   e	
   a	
   aceleração	
   de	
   uma	
  partícula	
   que	
   se	
   desloca	
   ao	
   longo	
   da	
   curva	
  
x = 2sen3t ,	
   y = 2cos3t ,	
   z = 8t 	
  num	
  tempo	
  qualquer	
   t > 0 .	
  Achar	
  o	
  módulo	
  do	
  vetor	
  velocidade	
  e	
  da	
  aceleração.	
  	
  05.	
   Achar	
   um	
   vetor	
   unitário	
   tangente	
   ,	
   em	
   t = 0 ,	
   à	
   curva	
   x = acosωt ,	
   y = asenωt ,	
   z = bt onde	
  
a, b,ω 	
  são	
  constantes.	
  	
  06.	
  Encontre	
  o	
  comprimento	
  e	
  esboce	
  a	
  curva	
  (hélice	
  circular)	
   R t( ) = 2cos t, 2sent, 6t( ) de	
   2, 0, 0( ) 	
  a	
  
2, 0, 24π( ) .	
  	
  07.	
  Encontre	
  o	
  comprimento	
  e	
  esboce	
  a	
  curva	
  (catenária)	
   R t( ) = t, cosh t( )de	
   t = 0 	
  a	
   t = 1 .	
  	
  08.	
   As	
   forças	
   no	
  movimento	
   de	
   objetos	
   (como	
   carros,	
   aviões,	
   etc.)	
   requerem	
   que	
   o	
   engenheiro	
  conheçam	
  as	
  correspondentes	
  acelerações	
  tangencial	
  e	
  normal.	
  Encontre-­‐as,	
  juntamente	
  com	
  as	
  velocidades	
  vetorial	
  e	
  escalar,	
  para	
  os	
  seguintes	
  movimentos.	
  a)	
   R t( ) = 4t, − 3t, 0( ) 	
  b)	
  
 

R t( ) = t, t 2, 0( ) 	
  	
  	
  
José	
  Pojo.	
  Mestre	
  em	
  Matemática	
  e	
  Especialista	
  em	
  Matemática	
  Superior	
   2	
  
Nota:	
  
 
v t( ) =

′R t( )⇒ v t( ) =

′R t( )
a t( ) =

′′R t( )⇒ a t( ) =

′′R t( )
a = atan +
anorm;
atan =
a ⋅ v
v ⋅ v
v; anorm =
a − atan
	
  
	
  09.	
  Se	
  C1 	
  e	
  C2 	
  são	
  vetores	
  constantes	
  e	
  λ é	
  um	
  escalar,	
  mostrar	
  que	
  H = e−λx C1senλy +C2 cosλy( ) 	
  satisfaz	
  à	
  equação	
  diferencial	
  parcial	
   ∂2H
∂x2 +
∂2H
∂y2 = 0 .	
  10.	
  Calcule	
  a	
  integral	
  de	
  linha	
   xy2 dx − x + y( )
C
∫ dy ,	
  onde	
  C	
  é	
  a)	
  o	
  segmento	
  de	
  reta	
  de	
  (0,	
  0)	
  a	
  (1,	
  2);	
  b)	
  o	
  arco	
  da	
  parábola	
   y = x2 	
  de	
  (0,	
  0)	
  a	
  (1,	
  1);	
  c)	
  a	
  poligonal	
  de	
  (0,	
  0)	
  a	
  (1,	
  0)	
  a	
  (1,	
  2).	
  Esboce	
  todos	
  os	
  caminhos.	
  	
  11.	
  Calcule	
   dxy + dyxC∫ ,	
  onde	
  C	
  é	
  a	
  parte	
  da	
  hipérbole	
   xy = 4 	
  de	
  (1,	
  4)	
  a	
  (4,	
  1).	
  	
  12.	
  Calcule	
  
 
3x + 4y( )
C
∫ dx + 2x + 3y2( )dy 	
  onde	
  C	
  é	
  a	
  circunferência	
   x2 + y2 = 4 percorrida	
  no	
  sentido	
  anti-­‐horário	
  a	
  partir	
  de	
  (2,	
  0).	
  	
  13.	
  Uma	
  partícula	
  se	
  move	
  em	
  torno	
  do	
  quadrado	
  de	
  (0,	
  0)	
  a	
  (1,	
  0)	
  a	
  (1,	
  1)	
  a	
  (0,	
  1)	
  a	
  (0,	
  0)	
  sob	
  a	
  ação	
  do	
  campo	
  de	
  forças	
   F = 2x + y( )i + x + 4y( ) j .	
  Calcule	
  o	
  trabalho	
  realizado.	
  	
  14.	
   Calcule	
  
 
2xydx + x2 + y2( )dy
C
∫ 	
  onde	
   C	
   é	
   a	
   fronteira	
   da	
   região	
   semicircular	
   x2 + y2 ≤1, y ≥ 0 ,	
  descrita	
  no	
  sentido	
  anti-­‐horário.	
  	
  15.	
  Calcule	
  a	
  integral	
  de	
  linha	
   xy + 3x( )
C
∫ ds ,	
  	
  sendo	
  C	
  o	
  segmento	
  que	
  une	
  o	
  ponto	
  A(-­‐1,	
  0)	
  ao	
  ponto	
  B(2,	
  3).	
  	
  16.	
  Calcule	
  a	
  integral	
  curvilínea	
  	
   xy
C
∫ ds onde	
  C	
  	
  é	
  a	
  curva	
  dada	
  pelas	
  equações	
  	
   x2 + y2 = 4 e	
   y + z = 8 	
  17.	
   Determine	
   a	
   integral	
  
 

F ⋅d

R
C
∫ 	
  dos	
   campos	
   vetoriais	
   F 	
  sobre	
   as	
   curvas	
   C,	
   nos	
   sentidos	
   dos	
  valores	
  crescentes	
  de	
  t.	
  a)	
  	
   F→ = −4xy i→+ 8y j→+ 2 k→ , C: R(t) = (t,t2 ,1), 0 ≤ t ≤ 2 	
  b)	
   F→ = xy i→+ y j→− yzk→ , C: R(t) = (3t,4t,0), 0 ≤ t ≤1 	
  c)	
   F = x i→+ y j→ ,	
   C:	
   Curva	
   definida	
   pelo	
   arco	
   semicircular	
   R(t) = acos t i→+ asent j→ , 0 ≤ t ≤ π ,	
   e	
   pelo	
  segmento	
  de	
  reta	
   R(t) = t i→ , -a ≤ t ≤ a .