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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – AULA 3 2ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
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FUNÇÃO COMPOSTA – REGRA DA CADEIA 
 
 A regra de derivação de uma função composta é conhecida como regra da cadeia. 
 Sejam u ( x ) e v ( x ) duas funções deriváveis e f ( x ) = ( u ο v ) ( x ), ou seja f ( x ) = ( u ( v ( x )). O cálculo da 
função derivada é calculado por: 
f ( x ) = ( u ( v ( x )) ⇒ f ‘ ( x ) = u ‘ (v ( x )) . v ‘ ( x ). 
EXEMPLOS 
 1) Derivar as funções dadas abaixo: 
a) f ( x ) = ( x2 + 1)10. 
Tem-se: f ( x ) = u ( v ( x )), onde v ( x ) = x2 + 1 ⇒ v ‘ ( x ) = 2x e u ( x ) = (v ( x ))10 ⇒ u ‘ ( x ) = 10 . v ( x )10 – 1 ⇒ 
u ‘ ( x ) = 10 . v ( x )9 ⇒ u ‘ ( x ) = 10 . ( x2 + 1)9. Assim: 
f ‘ ( x ) = u ‘ (v ( x )) . v ‘ ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = 10 . ( x2 + 1)9 . 2x ⇒ f ‘ ( x ) = 20x . ( x2 + 1)9. 
 
b) f ( x ) = ln (3x + 6). Neste caso, tem-se: v ( x ) = 3x + 6 ⇒ v ‘ ( x ) = 3 e u ( x ) = ln (u ( x )) ⇒ u ‘ ( x ) = 1
u x( )⇒ 
u ‘ ( x ) = 1
3x + 6
. Portanto: 
f ‘ ( x ) = u ‘ (v ( x )) . v ‘ ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = 1
3x + 6
 . 3 ⇒ f ‘ ( x ) = 3
3x + 6
. 
 
c) f ( x ) = (x2 + 5x – 7)4. Agora, tem-se: v ( x ) = x2 + 5x – 7 ⇒ v ‘ ( x ) = 2x + 5 e u ( x ) = (v ( x ))4 ⇒ 
u ‘ ( x ) = 4 . (x2 + 5x – 7)4 – 1 ⇒ u ‘ ( x ) = 4(x2 + 5x – 7)3. Logo: 
f ‘ ( x ) = u ‘ (v ( x )) . v ‘ ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = 4(x2 + 5x – 7)3 . (2x + 5). 
2) Dada a função y = (x2 + 5x + 2)7, determinar dy
dx
. 
É possível escrever: y = g ( u ) = u7, onde u = x2 + 5x + 2. Assim, pela regra da cadeia, calculando-se, separadamente, 
dy
du
 e du
dx
, e obtém-se: 
dy
du
 = 7 . u6 e du
dx
 = 2x + 5. Portanto: 
dy
dx
= dy
du
 . du
dx
 ⇒ dy
dx
 = 7 . u6 . (2x – 5) ⇒ dy
dx
 = 7 . (x2 + 5x + 2)6 . (2x – 5) 
 
3) Seja a função y = 3x + 2
2x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
, encontrar y ’. 
É possível escrever a função dada como y = u5, onde u = 3x + 2
2x +1
. Assim: dy
dx
= dy
du
 . du
dx
. Há de se calcular, 
separadamente, dy
du
 e du
dx
. Tem-se, então: 
dy
du
 = 5 . u4 e du
dx
 = 
2x +1( ) . 3 − 3x + 2( ) . 2
2x +1( )2
 ⇒ du
dx
 = 6x + 3 − 6x − 4
2x +1( )2
 ⇒ du
dx
 = − 1
2x +1( )2
. Procedendo-se a 
substituição: 
dy
dx
= dy
du
 . du
dx
 ⇒ dy
dx
 = 5 . u4 . − 1
2x +1( )2
 ⇒ dy
dx
 = 5 . 3x + 2
2x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
 . − 1
2x +1( )2
 ⇒ dy
dx
 = 
− 5 . 3x + 2( )4
2x +1( )6
. 
 
4) Dada a função y = (3x2 + 1)3 . (x – x2)2, determinar dy
dx
. 
Pode-se escrever a função dada como y = u ( x ) . v ( x ), um produto de funções. Logo, a derivada da função será 
obtida utilizando-se uma das propriedades já vistas: y ‘ = u ‘ ( x ) . v ( x ) + u ( x ) . v ‘ ( x ). 
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Calculando-se separadamente as derivadas envolvidas: 
 u ( x ) = (3x2 + 1)3 ⇒ u ‘ ( x ) = 3 . (3x2 + 1)3 – 1 . 6x ⇒ u ‘ ( x ) = 18x . (3x2 +1)2. 
 v ( x ) = (x – x2)2 ⇒ v ‘ ( x ) = 2 . (x – x2)2 – 1 . (1 – 2x) ⇒ v ‘ ( x ) = 2 . (x – x2) . (1 – 2x). 
Portanto: 
y ‘ = u ‘ ( x ) . v ( x ) + u ( x ) . v ‘ ( x ) ⇒ y ‘ = 18x . (3x2 +1)2 . (x – x2)2 + (3x2 + 1)3 . 2 . (x – x2) . (1 – 2x) ⇒ 
dy
dx
 = 2 . (3x2 + 1)3 . (x – x2) . (1 – 2x) + 18x . (3x2 +1)2 . (x – x2)2. 
 
5) Encontrar a derivada da função f ( x ) = (x2 + 3x – 1)2 . | x | 
Como a função dada envolve um produto de duas funções, deve-se, em primeiro lugar, obter as derivadas das 
funções envolvidas. Assim: 
  u ( x ) = (x2 + 3x – 1)2 ⇒ u ‘ ( x ) = 2 . (x2 + 3x – 1)2 – 1 . (2x + 3) ⇒ u ‘ ( x ) = 2 . (2x + 3) . (x2 + 3x – 1). 
 v ( x ) = | x | ⇒ v ‘ ( x ) = x
| x |
. 
Observação: A derivada de uma função modular é obtida pelo quociente da raiz quadrada função modular elevada ao 
quadrado e dividindo-a pela própria função modular (para que não ocorra erro de sinal). Observe: 
v ( x ) = | x | ⇒ v ‘ ( x ) = 
| x |2 
| x |
 ⇒ v ‘ ( x ) = 
| x |2 
| x |
 ⇒ v ‘ ( x ) = x
| x |
 
Aplicando a propriedade operatória da derivada de um produto de funções, obtém-se: 
 y ‘ = u ‘ ( x ) . v ( x ) + u ( x ) . v ‘ ( x ) ⇒ y ‘ = 2 . (2x + 3) . (x2 + 3x – 1) . | x | + (x2 + 3x – 1)2 . x
| x |
 ⇒ 
 y ‘ = 
2 . 2x + 3( ) . x2 + 3x −1( ) . | x | . | x | + x2 + 3x −1( )2 . x
| x |
 ⇒ 
 y ‘ = 
2x2 . 2x + 3( ) . x2 + 3x −1( ) + x2 + 3x −1( ) . x2 + 3x −1( ) . x
| x |
 ⇒ 
 y ‘ = 
2x2 . 2x3 + 9x2 + 7x − 3( ) + x4 + 6x3 + 7x2 − 6x +1( ). x
| x |
 ⇒ y ‘ = 5x
5 + 24x4 + 21x3 −12x2 + x
| x |
. 
 
EXERCÍCIOS 
 
Calcular as derivadas das funções dada abaixo, lembrando de aplicar a regra da cadeia: 
1) f ( x ) = (2x – 1)3 2) f ( x ) = (2x – 1)4 3) f ( x ) = (5x2 – 3x + 5)6 4) f ( x ) = 1
x2
+ 1
x
+1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
 
5) f ( x ) = 1
x2 − 3x − 2( )2
 6) f ( x ) = ln (3x2 – 2x) 7) f ( x ) =ln (x2 – 3x + 6) 8) f ( x ) = 2x 9) f ( x ) = 5x 
10) f ( x ) = ex + 3x 11) f ( x ) = ex
2−2x+1 12) f ( x ) = 3x
2 − 4 13) f ( x ) = e
x − 1x + 1 
14) f ( x ) = e x + e – x 15) f ( x ) = e
x + e−x
ex − e−x 
16) f ( x ) = 2x +1 17) f ( x ) = 2x +13 
18) f ( x ) = 6x2 + 2x +1( )
3
2
 
19) f ( x ) = x +1+ x2 − 3x +13 
 
20) f ( x ) = x + x +1 21) f ( x ) = 2x +13
22) f ( x ) = x +1
3x − 2
 23) f ( x ) = ln 3x2 +1 25) f ( t ) = 7t
2 + 6t( )7 . 3t −1( )4 26) f ( t ) = 7t +12t2 + 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
 
27) f ( x ) = 2
3x2+6x
 28) f ( s ) = 7s
2 + 6s −1( )3 + 2 . e − 3s 29) f ( t ) = e
t
2 . t2 + 5t( ) 30) f ( s ) = log3 s +1 
 
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RESPOSTAS 
Observação: Até o exercício nº 4 foi realizado o desenvolvimento da derivada obtida até não ser possível mais 
simplifica-la. 
1) f ‘ ( x ) = 6(2x – 1)2 ou f ‘ ( x ) = 24x2 – 24x + 6 
2) f ‘ ( x ) = 8(2x – 1)3 ou f ‘ ( x ) = 64x3 – 96x2 + 48x – 8 
3) f ‘ ( x ) = 6(5x2 – 3x + 5)5 . (10x – 3) ou f ‘ ( x ) = 187500x11 – 618750x10 +1781250x9 – 3138750x8 – 4818000x7 – 5406030x6 
+ 5281374x5 – 3861450x4 + 2409000x3 – 1046250x2 + 356250x – 56250 
4) f ‘ ( x ) = 3 1
x2
+ 1
x
+1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. − 2
x3
− 1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ou f ‘ ( x ) = 
− 3x5 +12x4 + 21x3 + 24x2 +15x + 6( )
x7
 
5) f ‘ ( x ) = 
− 2 . 2x − 3( )
x2 − 3x − 2( )3
 6) f ‘ ( x ) = 6x − 2
3x2 − 2x
 7) f ‘ ( x ) = 2x − 3
x2 − 3x + 6
 
8) f ‘ ( x ) = 2x . ln 2 ou f ‘ ( x ) = 2x . 0,69314718 9) f ‘ ( x ) = 5x . ln 5 ou f ‘ ( x ) = 5x . 1,60943791 
10) f ‘ ( x ) = ex + 3x . ln 3 ou f ‘ ( x ) = ex + 3x . 1,09861229 11) f ‘ ( x ) = (2x – 2) . ex
2−2x+1
 
12) f ‘ ( x ) = 2x . 3x
2 − 4 . ln 3 ou f ‘ ( x ) = 2,19722458 . x . 13) f ‘ ( x ) = x
2 +1
x2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . e
x2+x − 1
x 14) f ‘ ( x ) = ex – e – x 
15) f ‘ ( x ) = 0 16) f ‘ ( x ) = 1
2x +1
 17) f ‘ ( x ) = 2
3 . 2x +1( )23 
 18) f ‘ ( x ) = 18x + 3( ) . 6x2 + 2x +1 
19) f ‘ ( x ) = 1
2 . x +1
+
2x − 3( )
 3 . x2 − 3x +13
 20) f ‘ ( x ) = 1
2 . x 
+ 1
 2 . x +1 
 21) f ‘ ( x ) = 2
3 . 2x +1( )23 
 
22) f ‘ ( x ) = − 5
2 . x +1
3x − 2
 . 3x − 2( )2
 24) f ‘ ( x ) = 
25) f ‘ ( t ) = 7t2 + 6t( )6 . 3t −1( )3 . 12 . 7t2 + 6t( ) + 7 . 3t +1( ) . 14t + 6( )⎡⎣ ⎤⎦ 
26) f ‘ ( t ) = 
3 . 7t +1( )2 . − 14t − 4t + 21( )
2t2 − 3( )4
 27) f ‘ ( x ) = 23x
2+6x . 6 . x +1( ) . ln 2 ou f ‘ ( x ) = 4,15888308 . 23x2+6x . x +1( ) 
28) f ‘ ( s ) = 6 . 7s2 + 6s −1( )2 . 7s + 3( ) − e − 3s⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
 29) e
t
2 . t
2
2
+ 9t
2
+ 5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 30) 
log3 e
2 . s +1( )3x
2 − 4
3x
3x2 +1