ESTATÍSTICA DESCRITIVA

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ESTÁTISTICA DESCRITIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Módulo 1. Estatística Descritiva. Introdução. 
 
 
Conteúdo 1. Classificação. População e Amostra. 
 
1. Estatística: Definição e Classificação. 
 
 
 
2. População e Amostra. 
 
População: é um conjunto de elementos que possuem, em comum, determinada 
característica. 
 
Amostra: subconjunto da população. 
 
 
 
3. Técnicas de Amostragem. 
 
 
 Amostragem Casual Simples. 
 
 Amostragem sistemática. 
 
 Amostragem Estratificada. 
 
 Amostragem por conveniência. 
 
 
4. Dados 
 
Os dados são as informações obtidas através de observações, medidas, respostas 
de pesquisas ou contagens em geral. 
 
 
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Os dados podem ser classificados em: 
 
Dados qualitativos: classificação por tipos ou atributos. 
 
Exemplo: A cor dos olhos (azuis, castanhos, verdes, etc.) das modelos de uma 
determinada agência. 
 
 
Dados quantitativos: quando seus valores são expressos em números. 
 
Exemplo: O peso líquido de cada um dos sabonetes produzidos por uma empresa. 
 
Exercício Resolvido 
 
Considere as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta. 
 
I. A qualidade de um produto, defeituoso ou não defeituoso, trata de um dado 
qualitativo. 
II. A altura dos atletas do time de basquetebol da escola “Aprender”, trata de um 
dado qualitativo. 
III. O diâmetro dos parafusos produzidos por certa máquina trata de um dado 
quantitativo. 
 
a) Todas as afirmações estão corretas. 
b) Apenas a afirmação I está correta. 
c) Apenas as afirmações I e III estão corretas. 
d) Todas as afirmações estão incorretas. 
e) Apenas a afirmação III está correta. 
 
Resposta Correta: C 
Justificativa: A altura dos atletas do time de basquetebol da escola “Aprender” trata 
de um dado QUANTITATIVO. 
 
 
 
 
 
Conteúdo 2. Representação dos dados em Tabelas e Gráficos. 
 
I. Representação em Tabelas (Dados isolados). 
 
 
Área das regiões do Brasil (em km2) 
Região Área (em km2) 
Norte 3 851 560 
Nordeste 1 556 001 
Sul 575 316 
Sudeste 927 286 
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Centro-Oeste 1 604 852 
Total 55.942.047 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Regi%C3%B5es_do_Brasil 
 
 
A tabela acima mostra a área em cada uma das regiões do Brasil, este número é 
denominado frequência. 
 
Podemos também encontrar a frequência relativa para cada modalidade, para 
isso basta dividir a freqüência de cada modalidade pelo total de frequências (n). 
 
 
Área das regiões do Brasil (em km2) 
Região Área (em km2) Frequência relativa 
Norte 3.851.560 0,45 
Nordeste 1.556.001 0,18 
Sul 575.316 0,07 
Sudeste 927.286 0,11 
Centro-Oeste 1.604.852 0,19 
Total 8.515.015 1 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Regi%C3%B5es_do_Brasil 
 
 
II. Gráfico (Dados isolados). 
 
Para construção do gráfico utilizamos o sistema de eixos cartesianos. No eixo das 
abscissas (x) ou ordenadas (y) representamos as variáveis em estudo, no outro 
eixo (abscissas ou ordenadas) ainda não utilizado, representamos as frequências. 
 
 
Exercícios Resolvidos. 
 
1. A vídeo-locadora “ALUGUE JÁ” anotou as locações do dia 18/01/2011, obtendo 
os dados da tabela abaixo: 
 
Tabela 10. Número de filmes locados na locadora “ALUGUE JÁ” por gênero, 
em 24/12/2007. 
Gênero de filme frequência 
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Drama 12 
Comédia 10 
Ficção 8 
Suspense 6 
Outros 4 
Total 40 
 
Para a tabela, pedem-se: 
 
a) as freqüências relativas. 
 
Gênero de filme freqüência freqüência relativa 
Drama 12 0,30 
Comédia 10 0,25 
Ficção 8 0,20 
Suspense 6 0,15 
Outros 4 0,10 
Total 40 1 
 
 
b) construir um gráfico com a frequência relativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo 2. Distribuições de Frequências. 
 
Conteúdo 1. Distribuições de Frequências. Tabelas. 
 
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Uma distribuição de frequência é uma tabela de intervalos de classes com o número 
total de entradas de dados em cada classe. 
 
A frequência de uma classe é o número de entrada de dados na classe. 
 
Veja o exemplo. 
 
A tabela a seguir ilustra os salários, em reais, de 100 funcionários de um 
determinado setor de uma empresa automobilística. 
 
 
 Classes de salários 
Classes de 
salários (em reais) 
Número de funcionários 
500 |— 1000 10 
1000|— 1500 8 
1500 |— 2000 12 
2000 |— 2500 20 
2500 |— 3000 25 
3000 |— 3500 10 
3500 |— 4000 15 
 Total = 100 
 
A frequência neste caso é o número de funcionários que estão incluídos na classe 
de salários. 
 
Usamos a notação 500 |—1000, onde o intervalo é fechado à esquerda (pertencem 
à classe os valores iguais ao extremo inferior) e aberto à direita (não pertencem à 
classe os valores iguais ao extremo superior). 
 
Amplitude do intervalo de uma classe é a diferença entre o limite superior e 
inferior. 
 
Temos no exemplo 1000-500=500, logo a amplitude do intervalo de classe é de 
500 reais. 
 
O Ponto médio de um intervalo de classe é a metade da soma do limite inferior e o 
limite superior. 
Veja o exemplo: 
 Classes de salários e pontos médios 
Classes de 
salários (em 
reais) 
Número de 
funcionários 
Ponto Médio 
500 |— 1000 10 750 
1000|— 1500 8 1250 
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1500 |— 2000 12 1750 
2000 |— 2500 20 2250 
2500 |— 3000 25 2750 
3000 |— 3500 10 3250 
3500 |— 4000 15 3750 
 Total = 100 
 
A frequência relativa de uma classe é a frequência desta classe dividida pelo total 
de elementos da amostra(n). 
 
 
 Classes de Salários e frequências relativas. 
Classes de 
salários (em 
reais) 
Número de 
funcionários 
Frequências 
Freqüências 
Relativas 
 
500 |— 1000 10 0,10 
1000|— 1500 8 0,08 
1500 |— 2000 12 0,12 
2000 |— 2500 20 0,20 
2500 |— 3000 25 0,25 
3000 |— 3500 10 0,10 
3500 |— 4000 15 0,15 
Total: Total = 100 Total=1 
 
A Frequência Acumulada de uma classe é a soma da freqüência daquela classe com 
a de todas as classes anteriores. 
Veja o exemplo: 
 Classes de salários e frequências acumuladas. 
Classes de 
salários (em 
reais) 
Número de 
funcionários 
Frequências 
 
Frequências 
Acumuladas 
 
500 |— 1000 10 10 
1000|— 1500 8 18 
1500 |— 2000 12 30 
2000 |— 2500 20 50 
2500 |— 3000 25 75 
3000 |— 3500 10 85 
3500 |— 4000 15 100 
 Total = 100 
 
 
Exercício Resolvido: 
 
 
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1. Considere a tabela a seguir: 
 Rendimento, em reais de famílias de uma determinada 
comunidade. 
Classes de 
rendimentos (em 
reais) 
Número de famílias 
500|—1000 6 
1000|—1500 4 
1500|—2000 7 
2000|—2500 5 
2500|—3000 3 
3000|—3500 5 
Total 30 
 
a) Encontre os pontos médios de cada intervalo de classe. 
b) Encontre as frequências relativas. 
c) Encontre as frequências acumuladas. 
 
 
 
 
 
 
Conteúdo 2. Histograma e Polígono de Frequências. 
 
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Histograma. 
 
O histograma é um gráfico composto por retângulos justapostosem que a base de 
cada um deles corresponde ao intervalo de classe e a sua altura à respectiva 
freqüência. No exemplo abaixo usamos o ponto médio de cada classe para constriur 
o histograma. 
Classes de 
salários (em reais) 
Número de funcionários 
500 |— 1000 10 
1000|— 1500 8 
1500 |— 2000 12 
2000 |— 2500 20 
2500 |— 3000 25 
3000 |— 3500 10 
3500 |— 4000 15 
 Total = 100 
 
 
Polígono de Frequências. 
 
Os dados apresentados em tabelas de distribuição de freqüências, também podem 
ser representados em um polígono de freqüências. 
 
A construção de um polígono de frequências é bastante simples, a partir do 
histograma, basta ligar os pontos médios de cada classe. Para fechar o polígono 
unimos os extremos da figura com o eixo horizontal, no ponto médio da classe 
anterior a primeira e no ponto médio da posterior a ultima classe. 
 
 
 
Exercício Resolvido: 
 
Construir um histograma da situação ilustrada na tabela a seguir: 
 
 Rendimento, em reais de famílias de uma determinada 
comunidade. 
Classes de 
rendimentos (em 
reais) 
Número de famílias 
 500|—1000 6 
1000|—1500 4 
1500|—2000 7 
2000|—2500 5 
2500|—3000 3 
3000|—3500 5 
Total 30 
 
 
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Módulo 3. Medidas de tendência central. 
 
Conteúdo 1. Média Aritmética, Mediana e Moda. 
 
1. Média aritmética (Dados isolados) 
 
. 
 
Veja o exemplo a seguir: 
 
Uma amostra contendo dez preços de etanol foi extraída em diversos postos no dia 
01/02/2011. Os preços em reais são: 
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 Preço, em reais, do etanol 
em 10 postos de combustível 
(01/02/2011) 
1,75 1,70 1,74 1,52 1,56 
1,70 1,45 1,42 1,70 1,86 
 
 
A média é calculada da seguinte maneira: 
 
 
 
 
2. Mediana 
 
A mediana é uma medida de tendência central. Ela divide um conjunto ordenado de 
dados em duas partes com igual número de elementos. 
 
 
Se a amostra é constituída por um número ímpar de elementos, a mediana é o 
valor que fica no centro dos dados ordenados. 
 
Exemplo: 12, 15, 20, 21, 32. 
A mediana é 20. 
 
Se a amostra é constituída por um número par de elementos, a mediana é a média 
aritmética dos dois valores centrais dos dados ordenados. 
 
Exemplo: 12, 15, 15, 20, 21 e 32 
A mediana é . 
 
3. Moda 
 
A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior frequência. 
 
Uma amostra contendo dez preços de etanol foi extraída em diversos postos no dia 
01/02/2011. Os preços em reais são: 
 
 
Preço, em reais, do etanol em 10 
postos de combustível 
Página 12 de 28 
 
(01/02/2011) 
1,75 1,70 1,74 1,52 1,56 
1,70 1,45 1,42 1,70 1,86 
 
 
A moda neste caso é 1,70 reais. 
 
Exercício Resolvido. 
 
 
 
 
Conteúdo 2. Média Aritmética (Distribuição de Frequências). 
 
Cálculo da média para distribuição de frequências: 
Veja o exemplo a seguir: 
 
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Em uma amostra de 20 parafusos produzidos por uma metalúrgica, foram medidos 
os diâmetros, em milímetros, conforme a tabela abaixo. Qual é a medida média do 
diâmetro? 
 
Diâmetro do parafuso, em 
milímetros. 
 
 
Nº de parafusos (fi) 
1,5 2 
1,8 4 
2 3 
2,4 6 
2,6 5 
Total 20 
 
Neste caso utilizamos a fórmula: , pois a tabela mostra que existem 2 
parafusos com diâmetro igual a 1,5 mm, 4 parafusos de 
 
diâmetro 1,8 mm e assim por diante. 
 
 
 
 
 
 
Diâmetro do 
parafuso, em 
milímetros. 
xi 
 
número de 
parafusos 
 
xi.fi 
1,5 2 3 
1,8 4 7,2 
2 3 6 
2,4 6 14,4 
2,6 5 13 
Total 20 43,6 
 
 
 
 
 
Página 14 de 28 
 
Veja o exemplo a seguir: 
 
 
Classes 
de salários (em 
reais) 
 
Ponto Médio 
Número de 
funcionários 
 
xi.fi 
500 |— 1000 750 10 7.500 
1000|— 1500 1250 8 10.000 
1500 |— 2000 1750 12 21.000 
2000 |— 2500 2250 20 45.000 
2500 |— 3000 2750 25 68.750 
3000 |— 3500 3250 10 32.500 
3500 |— 4000 3750 15 56.250 
 Total = 100 Total=241.000 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 
 
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Módulo 4. Medidas de Dispersão. 
 
Conteúdo 1. Medidas de Dispersão (Dados Isolados). 
 
Quando descrevemos nossos dados através das medidas de tendência central, 
necessitamos muitas vezes de complementos que são denominadas de medidas de 
dispersão. As medidas de dispersão utilizadas são a amplitude, a variância, o 
desvio-padrão e o coeficiente de variação. 
 
As medidas de dispersão indicam o quanto os dados variam em torno da região 
central. 
 
1. Amplitude. 
 
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor dado observado. 
Por utilizar apenas os extremos, a amplitude não é uma boa medida de dispersão. 
 
 
2. Variância. 
 
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A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo 
tamanho da amostra menos 1. 
 
 
 
O desvio em relação à média é a diferença entre cada dado e a média do conjunto. 
 
 
Veja o exemplo a seguir: 
 
Preço, em reais, do etanol em 10 
postos de combustível 
(01/02/2011) 
1,75 1,70 1,74 1,52 1,56 
1,70 1,45 1,42 1,70 1,86 
 
 
 
A variância é calculada da seguinte maneira: 
 
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4. Coeficiente de Variação (CV). 
 
 
O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média. 
 
. 
 
Podemos expressar o coeficiente de variação na forma de porcentagem. 
 
 
 
 
Exercício Resolvido. 
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Conteúdo 2. Medidas de Dispersão (Distribuição de frequências). 
 
No caso de uma distribuição de frequências usamos a fórmula: 
 
, onde xi é o ponto médio do intervalo de classe e fi é a 
frequência de cada classe. 
 
Diâmetro do parafuso, em 
milímetros. 
 
 
Número de parafusos (fi) 
 
1,5 2 0,9248 
1,8 4 0,5776 
2 3 0,0972 
2,4 6 0,2904 
2,6 5 0,882 
Total 20 2,772 
 
 
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Para o calculo da variância, desvio-padrão e coeficiente de variação para classes de 
frequências, temos: 
 
 
 Exercício Resolvido 
 
 
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Módulo 5. Probabilidades. 
 
Conteúdo 1. Espaço amostral e Evento. 
 
Em um experimento aleatório, temos: 
 
Espaço Amostral (S) é o conjunto de todos os resultados possíveis. 
 
Exemplo: No lançamento de um dado honesto de 6 faces temos: S1= {1, 2, 3, 4, 5, 
6} 
O número de elementos do espaço amostral é dado por n(S). No exemplo, temos 
n(S) =6 
 
Evento (E) é qualquer subconjunto de um espaço amostral. 
 
Exemplos: No lançamento de um dado honesto de 6 faces, podem ocorrer os 
eventos: 
 
E: sair ponto ímpar. 
E= {1, 3, 5} n(E) =3 
 
F: sair ponto maior ou igual a 3. 
F= {3, 4, 5, 6} n(F) =4 
 
Dentre os eventos, devemos considerar os seguintes: S, considerado evento 
certo, pois sempre ocorre e Φ, considerado evento impossível, pois nunca 
ocorre. 
 
Exercício Resolvido 
 
No lançamento de um dado honestode seis faces, determinar: 
 
a) o espaço amostral. 
 
S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
b) sair número par. 
 
E= {2, 4, 6} 
 
c) sair número maior que 3. 
F= {4, 5, 6} 
 
d) sair número par e maior que 3. 
 
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G= {4, 6} 
 
 
 
Conceito de Probabilidade. 
 
A probabilidade P(E) de ocorrer um evento E é o quociente entre o número de 
elementos de E e o número de elementos de S, ondeS é difrente do conjunto vazio. 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
a) No lançamento de um dado honesto de 6 faces, qual a probabilidade de ocorrer 
ponto ímpar? 
 
 
S= {1, 2, 3, 4, 5,6} n(S) =6 
 
E= {1, 3, 5} n(E) =3 
 
 
P(E)=3/6=0,5. 
 
 
 b) Em um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se retirar uma 
carta de copas? 
Em um baralho comum de 52 cartas temos 13 cartas de copas. Considerando F 
como sendo o evento sair carta de copas, então: n(S) =52 e n(F) =13 
 
P(F)=13/52=1/4 
 
 
 
 
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Exercício Resolvido. 
 
No lançamento de um dado honesto de 6 faces, qual a probabilidade de ocorrer 
ponto maior que 5? 
 
S= {1, 2, 3, 4, 5,6} n(S) =6 
E= {6} n(E) =1 
 
 
P(E)=1/6 
 
 
 
 
 
Distribuição Binomial: 
 
Problemas que envolvem situações onde um experimento aleatório com dois 
resultados possíveis é repetido independentemente várias vezes. 
 
Suponha que n repetições independentes sejam realizadas e que a probabilidade de 
sucesso em qualquer repetição seja p. Seja x o número total de sucessos dentre 
as n repetições. Então a distribuição de probabilidade da variável x é dada pela 
fórmula: 
 
p: probabilidade do sucesso 
q = 1- p: probabilidade do fracasso. 
 
Exemplo: Se 18% das peças produzidas por uma máquina são defeituosas, qual é 
a probabilidade de que, entre 10 peças escolhidas ao acaso, 
 
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a) duas peças sejam defeituosas? 
 
n=10 
 
p: probabilidade do sucesso (ser defeituosa) = 18%=0,18. 
 
q: probabilidade do fracasso (não ser defeituosa) = 1 – 0,18=0,82. 
 
b) no máximo 2 serem defeituosas? 
 
No máximo 2 serem defeituosas significa que poderá haver nenhuma (zero), uma 
ou duas peças defeituosas. 
 
P(máximo duas peças defeituosas) =P(0) + P(1) + P(2). 
 
c) no mínimo 2 peças defeituosas? 
 
No mínimo 2 serem defeituosas significa 2, 3, 4,...10 peças defeituosas. 
 
P(mínimo 2 peças defeituosas)=P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+...+P(10) ou 
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Distribuição de Poisson 
 
A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidades para eventos que 
ocorrem em um intervalo de tempo ou de espaço. 
 
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Distribuição Normal 
 
Características da Distribuição Normal. 
 
(1) A variável aleatória pode assumir qualquer valor real. 
 
(2) O gráfico é uma curva em forma de sino. A curva é simétrica em relação a 
média ( μ). 
 
(3) A área sob a curva normal é igual a 1. Essa área corresponde a probabilidade 
de a variável aleatória assumir qualquer valor real. 
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Exercício Resolvido 
 
A vida média da bateria tipo I da empresa “Dura Mais” é distribuída normalmente 
com uma média de 600 dias e desvio padrão de 75 dias. Qual a probabilidade de 
uma bateria retirada ao acaso da produção desta empresa durar: 
a) menos de 450 dias? 
 
v 
 
 
 
 
 
 
 
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