Aula_2

Prévia do material em texto

Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Os dois principais objetos com que se ocupa a Matemática são os números e as figuras geométricas. 	
  
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (  ) 
É o conjunto  = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. 
Um subconjunto importante de  é o conjunto * → * = {1, 2, 3, 4, 5, ...}, ou seja, o zero foi excluído do conjunto  
Pode-se considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaixo: 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS () 
O conjunto  = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...} é o conjunto dos números inteiros. 
O conjunto  é subconjunto de . Temos também outros subconjuntos de : 
• * =  – {0} 
• + = conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, ...} 
• – = conjunto dos inteiros não positivos = {0, – 1, – 2, – 3, ...} 
• *+ = + – {0} = conjunto dos inteiros positivos = {1, 2, 3, ...} 
• *– = conjunto dos inteiros negativos = {– 1, – 2, – 3, ...} 
Pode-se considerar o conjunto dos números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo: 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS () 
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador pertencente 
a  e o denominador pertencente a *). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros 
com as frações positivas e negativas. Então: , são exemplos de números racionais. 
Outros exemplos: 
a) b) 
Assim, pode-se generalizar: 
 = {x | x = , com a ∈Z, b ∈Z e b ≠ 0} ou 
 = {x | x = , com a ∈Z, b ∈Z ∧ b ≠ 0} ou  = {x | x = , com a ∈Z, b ∈Z* } 
 
É interessante considerar a representação decimal de um número racional, que se obtém dividindo a por b. 
 
Exemplos: 
a) decimais exatas ou finitas: 
 ; e 
b) decimais infinitas periódicas: 
; e 
Observe que toda representação decimal exata ou periódica pode ser escrita na forma de número racional. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na 
forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplos de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2, a raiz quadrada 
de 3, etc. ... 
 e 
Um número irracional bastante conhecido é o número π = 3.1415926535... 
 
 Alguns autores representam o conjunto dos números irracionais por . 
 
−2,−
5
4
,−1,
3
5
,1,
3
2
−3 =
−3
1
=
−6
2
=
−9
3
= ... 1=
1
1
=
2
2
=
3
3
= ...
a
b
a
b
a
b
1
2
= 0,5 −
5
4
= −1,25
75
20
= 3,75
1
3
= 0,333333...
6
7
= 0,857142857142...
7
6
= 1,1666666...
2 = 1,4142135... 3 = 1,7320508...
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS () 
Dados os conjuntos dos números racionais () e dos irracionais, descreve-se o conjunto dos números reais como: 
 
 =  ∪ {irracionais} = {x | x é racional ∨ x é irracional} ou  =  ∪ 
 
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: 
 
	
  
 
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. 
 •  ⊂  ⊂  ⊂  e ainda... ⊂ , então: 
 •  =  ∪ 
 •  ∩ = ∅ 
Como subconjuntos importantes de  temos: 
• * =  – {0} 
•  + = conjunto dos números reais não negativos 
•  – = conjunto dos números reais não positivos 
 
RELAÇÃO DE ORDEM DOS NÚMEROS REAIS 
Entre dois números inteiros consecutivos existem infinitos números reais, assim, é possível afirmar que entre os 
números inteiros 1 e 2 existem infinitos números reais: 
 
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999999 ... 
 
Dados dois números reais quaisquer, a e b, entre eles poderá ocorrer uma, e somente uma, das seguintes relações: 
1) a = b → a é igual a b; 
2) a < b → a é menor que b, e; 
3) a > b → a é maior que b. 
Assim, a desigualdade a < b indica que o número a está à esquerda de b na reta real: 
 
A desigualdade a > b indica que o número a está à direita de b na reta real: 
 
Observações 
1) É comum também usar as seguintes relações: 
• a ≥ b (lê-se “a é maior ou igual a b”) 
• a ≤ b (lê-se “a é menor ou igual a b”) 
2) Para a representação dos sinais de “<” ou de “>” pode-se utilizar: 
 • uma “bola vazia”, pois o número que está nesta representação não pertence ao conjunto; 
 • um colchetes com as “abas” virada ao contrário, ou; 
 • um parênteses. 
 O intervalo 1 < x < 4 pode ser representado por: 
 • 
 
 • ] 1 , 4 [ ou ( 1 , 4 ) 
3) Para a representação dos sinais de “≤” ou de “≥” pode-se utilizar: 
 • uma “bola cheia”, pois o número que está nesta representação pertence ao conjunto; 
 • um colchetes com as “abas” normais, ou; 
 O intervalo 1 ≤ x ≤ 4 pode ser representado por: 
 • 
 
 • [ 1 , 4 ] 
4) Pode-se fazer a composição das representações. 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 O intervalo 1 ≤ x < 4 pode ser representado por: 
 • 
 
 • [ 1 , 4 [ ou [ 1 , 4 ) 
 
Exemplos 
 
1) Se A = {x ∈  | - 3 < x < 4} e B = {x ∈  | – 1 ≤ x < 2}, qual é o conjunto A ∩ B? (Para encontrar a solução, utilize a 
representação por retas). 
Solução: 
A forma mais fácil de visualizar a interseção solicitada é representar cada conjunto, A e B, em uma reta numerada. 
 
Para encontrar a interseção basta olhar a região que está “pintada” nas duas retas simultaneamente. A solução será 
dada em uma terceira reta, que representará a interseção das duas retas acima dela. Observe: 
 
Logo, a interseção solicitada será A ∩ B = – 1 ≤ x < 2. 
 
2) Se A = {x ∈  | 0 < x ≤ 5} e B = {x ∈  | – 1 < x ≤ 2}, qual é o conjunto A ∩ B? (Para encontrar a solução, utilize a 
representação por retas). 
Solução: 
Fazendo a representação dos conjuntos e da interseção solicitada em retas, obtém-se: 
 
Assim, a interseção solicitada é A ∩ B = 0 < x ≤ 2. 
3) Se A = {x ∈  | 0 < x ≤ 5} e B = {x ∈  | – 1 < x ≤ 2}, qual é o conjunto A ∪ B? (Para encontrar a solução, utilize a 
representação por retas). 
Solução: 
Fazendo a representação dos conjuntos e da interseção solicitada em retas, obtém-se: 
 
Portanto, a união solicitada é A ∪ B = – 1 < x ≤ 5. 
 
RELAÇÕES 
 
Relação e Produto Cartesiano 
Um par ordenado é um par de valores “x” e “y” representados da seguinte maneira: ( x, y ) e que cada par ordenado 
representa um ponto no Plano Cartesiano. 
Em Matemática existem situações onde há a necessidade de distinguir dois pares pela ordem em que são apresentados. Uma 
dessas situações pode ser visualizada em sistemas de equações. 
 
Exemplo 
No sistema de equações a solução é dada por: x = 4 e y = – 1, formando o conjunto solução 
representado por S = { ( 4 , – 1 ) }, onde o 1º número do par representa o valor da variável “x” e o 2º número do par representa 
o valor da variável “y”. 
O par ( – 1 , 4 ) não é solução do sistema de equações por causa da ordem dos seus elementos. Nesse par, o valor 
da variável “x” seria – 1, e o valor da variável “y” seria 4. 
Assim, par ordenado é um conceito primitivo em que atribui uma ordem para a escrita dos elementos de um conjunto. 
Assim, no caso do sistema de equações dado com exemplo anteriormente, a solução do mesmo é dada por um par ordenado, 
onde o 1º elemento do par representa o valor da incógnita “x” e o 2º elemento do par representa o valor da incógnita “y”. 
Desta forma é possível escrever a seguinte relação:( a , b ) = ( c , d ) ⇔ a = c e b = d 
x + y = 3
x − y = 5
⎧
⎨
⎩
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
Definimos como produto cartesiano de A por B, e representamos por A x B o conjunto formado por todos os pares 
ordenados em que o primeiro elemento, “x”, pertence ao conjunto A e o segundo elemento, “y”, pertence ao conjunto B. Ou 
seja: 
A x B = { ( x, y ) / x ∈ A e y ∈ B } 
 
Lê-se: A cartesiano B (ou “produto cartesiano de A por B”) é o conjunto formado pelos pares ordenados (x , y) tal 
que x pertence a A e y pertence a B. 
Uma relação de A em B é um subconjunto do produto cartesiano, ou seja: 
 
R é uma relação de A em B se, e somente se, R ⊂ A x B 
 
Se A ou B for o conjunto vazio, define-se o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio. 
A X ∅ = ∅; 
∅ X B = ∅, e; 
∅ X ∅ = ∅. 
Exemplos 
1) Sejam os conjuntos A = { 1 , 2 , 3 } e B = { 1 , 2 }. Determine o produto cartesiano: 
a. A X B. 
b. B X A. 
 Solução: 
 Para a item a, o 1º elemento do par ordenado do produto cartesiano deve pertencer ao conjunto A e o 2º elemento do 
par ordenado, ao conjunto B. Assim: 
A X B = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ), ( 2 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) } 
 Para a item b, o 1º elemento do par ordenado do produto cartesiano deve pertencer ao conjunto B e o 2º elemento do 
par ordenado, ao conjunto A. Assim: 
B X A = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ), ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) } 
2) Seja o conjunto A = { ( 3 , 4 ) }, determine o conjunto A X A. 
 Solução: 
A X A = { ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) e ( 4 , 4 ) }. 
Observação 
 O conjunto A X A também pode ser indicado por A2 ao qual se lê “A dois” ou “A ao quadrado”. 
3) Formar o produto cartesiano A X B sendo A = { x ∈  | 1 ≤ x < 3 } e B = { y ∈  | 0 ≤ x < 2 }. 
 Solução: 
 Deve-se, em primeiro lugar, discriminar os dois conjuntos, escrevendo os seus respectivos elementos: 
A = { 1 , 2 } e B = { 1 }. 
 Escrevendo o produto cartesiano solicitado, vem: 
A X B = { ( 1 , 1 ) , ( ( 2 , 1 ) }. 
4) Formar o produto cartesiano A X B sendo A = { x ∈  | 1 ≤ x ≤ 3 } e B = { y ∈  | 0 ≤ y ≤ 5 }. 
 Solução: 
 Na situação apresentada, como os número que formam os conjuntos A e B pertencem ao conjunto dos números reais, 
não se pode explicitar todos os pares ordenados que são possíveis de se formar. Assim, a solução desse problema é fazer a 
representação gráfica da situação exposta. 
 O produto cartesiano será: 
A X B = { ( x , y ) ∈ 2 | 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 5 }. 
 A representação gráfica desse produto cartesiano é um conjunto de pontos da superfície de um retângulo, ou seja: 
 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
Observações 
1) Se A ≠ B, então A X B ≠ B X A, isto é, o produto cartesiano de dois conjuntos não goza da propriedade comutativa. 
2) Se A e B são conjuntos finitos, com m e n elementos, respectivamente, então, A X B é um conjunto finito que 
possui m . n elementos. 
 Se A ou B for um conjunto infinito e nenhum deles for o conjunto vazio, então A X B é um conjunto infinito. 
 
 Agora, considere os conjuntos A = { 2 , 3 , 4 } e B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. 
 O produto cartesiano de A por B é o conjunto dado por: 
 
A X B = { ( x , y ) | x ∈ A e y ∈ B } 
 
 O produto cartesiano A x B é formado por 3 . 5 = 15 elementos que estão representados na figura abaixo. 
 
 
 Se considerarmos uma relação D formada apenas pelos pares ordenados ( x , y ) ∈A x B tais que x seja divisor de y, 
com resultado pertencente aos números naturais, ou seja: 
D = x , y( )∈ A X B | yx ∈ 
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 
teremos: 
D = { ( 2 , 4 ) , ( 2 , 6 ) , ( 3 , 6 ) }. 
Importante 
 Esta relação é denominada relação entre os elementos dos conjuntos A e B ou, mais simplesmente, “relação binária” 
de A em B. 
 Perceba que o conjunto D está contido em A X B e é formado por pares ordenados ( x , y ) em que o elemento x de A 
está “associado” ao elemento y de B por intermédio de um “critério de relacionamento” ou por uma “correspondência”. 
 Em muitas situações, é bastante útil representar essa relação com a utilização de setas em diagramas, como na figura 
abaixo: 
 
Conclusão 
 Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de relação binária de A em B todo subconjunto de A X B tal que: 
D é relação binária de A em B ⇔ D ⊂ A X B 
Exemplos 
1) Se A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } e B = { 1 , 2 , 3 , 4 }, quais são os elementos da relação R = { ( x , y ) ∈A X B | x < y }? 
 Solução: 
 Os elementos de R são todos os pares ordenados de A X B em que o primeiro elemento é menor que o segundo 
elemento, ou seja: 
R = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) } 
 
2) Se A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } e B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, quais são os elementos da relação binária T de A em B 
definida por T = { ( x , y ) ∈A X B | y = x + 2 }? 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 Solução: 
 Utilizando a representação por setas: 
 
 Portanto: T = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 6 ) 
 
Domínio 
 Denomina-se “domínio” da relação R ao conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados 
pertencente à R. 
x ∈ D ⇔ ∃ y , y ∈B | ( x , y ) ∈ R 
Contradomínio 
Denomina-se “contradomínio” da relação R ao conjunto CD de todos os elementos que podem ser os segundos 
elementos dos pares ordenados pertencentes à R. O contradomínio é o conjunto todo de chegada da relação R, normalmente 
o segundo conjunto inteiro. 
 
Conjunto imagem 
 Denomina-se de “conjunto imagem” ou simplesmente “imagem” da relação R ao conjunto “Im” de todos os segundos 
elementos dos pares ordenados pertencentes a R. 
y ∈ Im ⇔ ∃ x , x ∈A | ( x , y ) ∈ R 
 
Exemplos 
 1) Se A = { 0 , 2 , 3 , 4 } e B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, determine qual é o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem 
da relação R = { ( x , y ) ∈A X B | y = x + 1} ? 
 
 Solução: 
D = A = { 0 , 2 , 3 , 4 }; CD = B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } e Im = { 1 , 3 , 4 , 5 } 
 2) Se A = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 3 } e B = { y ∈  | 1 ≤ y ≤ 4 }, qual é o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da 
relação dada por R = { ( x , y ) ∈ A X B | y = 2x } ? 
 Solução: 
 Fazendo a representação gráfica da relação dada, vem: 
 
 Verificando, pelo esquema representativo, percebe-se que: 
D = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 2 }; CD = B = { y ∈  | 1 ≤ y ≤ 4 } e Im = { y ∈  | 2 ≤ y ≤ 4 }. 
 3) Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 3, 4, 5, 6 } seja R a relação apresentada pelos diagramas: 
 
 
 
 
 
 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
Ou seja, R = { ( 1, 2 ); ( 2, 4 ) ; ( 3, 6 ) }. 
 Observe que: 
• o elemento 1 do conjunto A está associado ao elemento 2 de B; 
• o elemento 2 do conjunto A está associado ao elemento 4 de B e 
• o elemento 3 do conjunto A está associado ao elemento 6 de B. 
 Dizemos que o conjunto formados pelos valores 2, 4 e 6, ou seja, { 2, 4, 6} é o conjunto IMAGEM da relação. 
Representamos por Im(R) = { 2, 4, 6 } 
 Ainda: pela relação R, todo elemento de B é o dobro do elemento do conjunto A. 
 Podemos, portanto, representar a relação R por: 
R = { ( x, y) / x ∈ A ; y ∈ B e y = 2x } 
 (nesse caso usamos uma equação ( y = 2x ) que representa a relação.) 
 4) Sejam A = { 0, 1, 2, 3 } e B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } e R a relação : 
R = { ( x, y ) / x ∈ A ; y ∈ B e x + y ≤ 4 } 
 Para entendermos essa relação, vamos utilizaruma tabela de valores: 
x ∈ A y ∈ B 
0 1, 2, 3, 4 
1 1, 2, 3 
2 1, 2 
3 1 
Note que o elemento 0 ∈ A está sendo relacionado com mais de um elemento do conjunto B, e isso não impede que a 
relação R exista. 
 
 
 
 
 
Utilizando pares ordenados, podemos representar a relação R por: 
R = { ( 0, 1); ( 0, 2); ( 0, 3); ( 0, 4); ( 1, 1); ( 1, 2) ; ( 1, 3) ; ( 2, 1) ; ( 2, 2) ; ( 3 ; 1) } 
 
5) Sejam A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } , B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 25} e R a relação : 
R = { ( x, y ) / x ∈ A ; y ∈ B e y = x2 } 
 Visualizando a tabela de valores, temos: 
x ∈ A y ∈ B 
0 0 
1 1 
2 4 
3 9 
4 16 
5 25 
 
Observe que nessa relação, cada elemento de A está associado a um único elemento em B: 
 
 A relação R pode ser representada como um conjunto de pares ordenados: 
 
R = { (0, 0 ); ( 1, 1, ); ( 2, 4) ; ( 3, 9) ; ( 4, 16 ) ; ( 5, 25 ) } 
 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
Você já aprendeu, em nível fundamental e médio, que pares ordenados podem ser representados em um Plano 
Cartesiano. Logo, como toda relação é um conjunto de pares ordenados, podemos representar uma relação como pontos em 
um plano cartesiano. Essa representação chama-se gráfico da relação. 
 A relação R desse exemplo poderia ser representada graficamente por: 
 
Exemplos: 
 Represente a relação R = { ( x, y ) / x ∈ A ; y ∈ B e y = x + 3}, onde A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3 } e B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } na 
forma de conjunto com pares ordenados, usando diagramas e graficamente. 
 Inicialmente vamos construir uma tabela para conseguirmos montar os pares ordenados de números que satisfaçam a 
relação R. 
x ∈ A y ∈ B 
-2 y = -2 + 3 = 1 
-1 y = -1 + 3 = 2 
0 y = 0 + 3 = 3 
1 y = 1 + 3 = 4 
2 y = 2 + 3 = 5 
3 - 
 
Não há associação para o elemento 3, pois caso existisse, o número 3 reveria estar associado ao número 6, mas 6 
não pertence ao conjunto B. 
 Logo: R = { ( -2, 1); ( -1, 2); ( 0, 3); ( 1, 4); ( 2, 5 ) } 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico dessa relação, no plano cartesiano será: 
 
Exemplo: 
 Observe o diagrama a seguir. Estabeleça a relação R entre A e B e construa o gráfico dessa relação. 
 
 Pelo diagrama podemos observar que cada elemento do conjunto B está sendo relacionado com um elemento do 
conjunto A. Assim sendo podemos montar a relação R, representando-a como um conjunto de pares ordenados: 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
R = { ( 0, 0 ); ( 0, 1 ); ( 0, 2 ) ; ( 1, 0) ; ( 1, 1 ) ; ( 1, 3 ); (2, 1 ); ( 2, 2 ) }. 
 Não há nenhuma propriedade nessa associação e portanto, não podemos representar R por meio de uma equação. 
Mas, graficamente teríamos: 
 
 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL INDEPENDENTE 
 
Definição 
 Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação “ f ” de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou 
função definida em A com imagem em B ou, simplesmente, função de A em B se, e somente se, para todo x pertencente a 
A existir um único y pertencente a B tal que ( x , y ) pertença a f. 
f é função de A em B ⇔ ∀ x ∈ A , y ∈ B | ( x , y ) ∈f 
 Essa última frase é lida: “f é uma função do conjunto A no conjunto B se, e somente se, para todo elemento “x” 
pertencente ao conjunto A existir um único elemento “y” pertencente ao conjunto B, tal que o par ordenado (x , y) 
pertença à função f” 
 Pela definição é possível perceber que, para termos uma função: 
1) é necessário que todo elemento x ∈A participe de pelo menos um par ordenado ( x , y ) ∈ f, isto é, todo 
elemento de A deve servir como ponto de partida de uma seta na representação por setas, e; 
2) é necessário que cada elemento x ∈A participe de apenas um único par ( x , y ) ∈f, isto é, deve servir como 
ponto de partida de uma única seta na representação por setas. 
 Uma relação f não é uma função se não satisfizer uma das condições elencadas acima. 
 Pode-se verificar se uma relação é ou não uma função em uma representação gráfica se, e somente se, ao traçar-se 
uma reta paralela ao eixo y, conduzida pelo ponto ( x , 0 ), onde x ∈ A, encontra sempre o gráfico representativo da relação em 
um só ponto. 
 
Exemplos 
 1) A relação f de A em , com A = { x ∈ | – 1 ≤ x ≤ 3 }, representada abaixo, é uma função de uma variável 
independente, pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa x ∈ A encontra sempre o gráfico representativo da 
relação em um único ponto. 
 
 2) A relação d de A em , com A = { x ∈ | – 2 ≤ x ≤ 2 }, representada abaixo, não é uma função de uma variável 
independente, pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos. Basta existir uma reta paralela ao eixo y 
que intercepte o gráfico da relação em mais de um ponto para que a relação não seja uma função. 
 
∃ |
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 3) Dados os conjuntos A = {– 1, 0 , 1, 2} e B = { x ∈  | – 5 ≤ y < 6}, verificar se a relação dada por f ( x ) = 2 . x + 1 
representa ou não uma função de uma variável independente. 
 Solução: 
 Para resolver essa questão, é necessário, em primeiro lugar, determinar quais são os elementos do conjunto B. São 
números pertencentes ao conjunto dos números inteiros, maiores ou iguais a – 5 e menores que 6. Então, os elementos do 
conjunto B são: B = {– 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 Faz-se os cálculos para ver qual a relação existente entre os elementos do conjunto A com os elementos do conjunto 
B. Encontra-se: 
• para x = – 1 ⇒ y = f (– 1 ) ⇒ y = 2 . (– 1) + 1 ⇒ y = – 2 + 1 ⇒ y = – 1 
• para x = 0 ⇒ y = f ( 0 ) ⇒ y = 2 . ( 0 ) + 1 ⇒ y = 0 + 1 ⇒ y = 1 
• para x = 1 ⇒ y = f ( 1 ) ⇒ y = 2 . ( 1 ) + 1 ⇒ y = 2 + 1 ⇒ y = 3 
• para x = 2 ⇒ y = f ( 2 ) ⇒ y = 2 . ( 2 ) + 1 ⇒ y = 4 + 1 ⇒ y = 5 
 Pode-se, então, montar a seguinte representação da situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclui-se, então, que o exposto representa uma função de uma variável independente, pois, para cada valor de 
x ∈A, existe um único y ∈ B. 
 
NOMENCLATURA 
 Considerando uma função f de A em B, serão definidos alguns termos da nomenclatura normalmente utilizada ao se 
trabalhar com funções, alguns deles já explicados anteriormente. 
 Variável independente – normalmente representada pela letra x, é a variável que assume os possíveis valores do 
conjunto A. 
 Variável dependente – normalmente representada pela letra y, é a variável que assume os possíveis valores do 
conjunto B. 
 Domínio – representado pela letra D – conjunto de elementos do primeiro conjunto (conjunto A). 
 Contradomínio – representado por CD – conjunto de elementos do segundo conjunto (conjunto B). 
 Conjunto imagem – representado por Im – conjunto formado apenas pelos elementos do contradomínio que se 
relacionam com elementos do domínio. 
 Lei de formação - lei que define como os elementos do domínio se relacionam com os elementos do contradomínio. 
 
 Quando D ( f ) =  e CD ( f ) = , sendo  o conjunto dos números reais, diz-se que a função f é uma função real de 
variável real (função real de uma variável independente real). 
Exemplo 
1) Sejaa função f : A → , onde A = { x ∈ | – 2 ≤ x ≤ 2 }, definida por y = 2 x + 1, determine: 
a. a variável independente; 
b. a variável dependente; 
c. o domínio da função; 
d. o contradomínio da função; 
e. a lei de formação da função, e; 
f. o conjunto imagem da função. 
 Solução: 
 A variável independente está representada por x. 
 A variável dependente está representada por y. 
 O domínio da função é o conjunto A = { – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 }, ou seja, D = A. 
 O contradomínio da função é o conjunto dos números reais, ou seja, CD = . 
 A lei de formação é y = 2 x + 1, lei que estabelece a relação existente entre as variáveis dependente e independente. 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 O conjunto imagem é determinado pelos valores da variável dependente ao se substituir os valores da variável 
independente na lei de formação da função, ou seja: 
• para x = – 2 ⇒ y = 2 . (– 2) + 1 ⇒ y = – 3; 
• para x = – 1 ⇒ y = 2 . (– 1) + 1 ⇒ y = – 1; 
• para x = 0 ⇒ y = 2 . ( 0 ) + 1 ⇒ y = 1; 
• para x = 1 ⇒ y = 2 . ( 1 ) + 1 ⇒ y = 3, e; 
• para x = 2 ⇒ y = 2 . ( 2 ) + 1 ⇒ y = 5; 
 Logo, o conjunto imagem da função é Im = { – 3 , – 1 , 1 , 3 , 5 }. 
 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 Seja dada uma função f :  → definida pela lei de formação y = f ( x ). 
 Pode-se representar os pares ordenados ( x, y ), obtidos por meio da lei de formação, que possuem x ∈D ( f ) e 
y = f ( x ), num sistema de coordenadas cartesianas. 
 A curva obtida com a ligação dos pares ordenados é a representação geométrica da função, usualmente denominada 
de gráfico da função f. 
 
Exemplo 
 1) Fazer o gráfico da função f : A → , definida pela lei de formação dada por f ( x ) = 2 . x – 3, sabendo que o 
conjunto A = { 1, 2, 3, 4}. 
 Solução: 
 Cálculo das imagens geradas pelos valores da variável independente: 
• para x = 1 ⇒ y = f ( 1 ) = 2 . 1 – 3 ⇒ y = 2 – 3 ⇒ y = – 1, logo, o par ordenado ( 1, – 1); 
• para x = 2 ⇒ y = f ( 2 ) = 2 . 2 – 3 ⇒ y = 4 – 3 ⇒ y = 1, logo, o par ordenado ( 2, 1); 
• para x = 3 ⇒ y = f ( 3 ) = 2 . 3 – 3 ⇒ y = 6 – 3 ⇒ y = 3, logo, o par ordenado ( 3, 3); 
• para x = 4 ⇒ y = f ( 4 ) = 2 . 4 – 3 ⇒ y = 8 – 3 ⇒ y = 5, logo, o par ordenado ( 4, 5). 
 Ao representar os pares ordenados em um sistema de eixos cartesianos, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
que é o gráfico representativo da função. 
2) Fazer o gráfico da função f : A → , definida pela lei de formação dada por f ( x ) = 2 . x – 3, sabendo que o 
conjunto A = { x ∈ | 1 ≤ x ≤ 4}. 
 A lei de formação dessa função é a mesma do exemplo anterior, mas o domínio da função, agora, é o intervalo [ 1, 4]. 
Isso indica que, além dos pontos marcados no exemplo anterior, devemos marcar todos os pontos intermediários, desde o 
número 1 até o número 4. 
 O gráfico ficará: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
3) Fazer o gráfico da função f :  →  , definida pela lei de formação dada por f ( x ) = 2 . x – 3. 
 A diferença deste exercício para os anteriores é que, agora, o domínio é o conjunto dos números reais. Assim, não há 
restrição para os valores da variável independente x, podendo ser pego qualquer valor do conjunto dos números reais, o que 
significa que a representação gráfica não tem início nem final definido. O gráfico de tal função será representado, então, por 
uma reta infinita: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
a) a projeção da curva sobre o eixo dos x, nos dá o domínio da função; 
b) a projeção da curva sobre o eixo dos y, nos dá o conjunto imagem da função, e; 
c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função intercepta o gráfico da função em um único ponto. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Se A = {x ∈ | - 1 < x < 2} e B = {x ∈ | 0 ≤ x < 3}, qual o intervalo que representa o conjunto A ∩ B ? 
 a. ( ) [0, 2). 
 b. ( ) (0, 2). 
 c. ( ) [– 1, 3]. 
 d. ( ) (– 1, 3). 
 e. ( ) (– 1, 3]. 
Resp.: Alternativa “a”. 
 
2) A diferença A – B, sendo A = {x ∈ | - 4 ≤ x ≤ 3} e B = { x ∈ | - 2 ≤ x < 5} é igual a: 
a. ( ) { x ∈ | – 4 ≤ x < – 2}. 
b. ( ) { x ∈ | – 4 ≤ x ≤ – 2}. 
c. ( ) { x ∈ | 3 < x < 5}. 
d. ( ) { x ∈ | 3 ≤ x ≤ 5}. 
e. ( ) { x ∈ | – 2 ≤ x < 5}. 
 Resp.: Alternativa “a”. 
 
3) Dados os intervalos A = ]-3, 10] e B = [5, 13[, determine: 
 a. A ∪ B. 
 b. A ∩ B. 
 c. A – B. 
 d. B – A. 
 Resp.: A ∪ B = {x ∈ | - 3 < x < 13} ; A ∩ B = {x ∈ | - 5 ≤ x ≤ 10}; A – B = {x ∈ | - 3 < x < - 5 } e B – A = {x ∈ | 10 < 
x < 13 } 
 
4) Dados os intervalos A = [2, + ∞ [ e B = ] - ∞, 5[ , determine: 
 a. A ∪ B. 
 b. A ∩ B. 
 c. A – B. 
 d. B – A. 
 Resp.: .: A ∪ B =  ; A ∩ B = {x ∈ | 2 ≤ x < 5}; A – B = {x ∈ | x > 5 } e B – A = {x ∈ | x < 2 } 
 
5) Considerando A = [ -1, + ∞ [ e B = ]0, 7[, obtenha: 
a. A ∪ B. 
 b. A ∩ B. 
 c. A – B. 
 Resp.: A ∪ B = {x ∈ | x > – 1} ; A ∩ B = {x ∈ | 0 < x < 7} e A – B = {x ∈ | – 1 < x ≤ 0 e x ≥7 }. 
 
6) Se A = {x ∈ | 0 < x < 2} e B = { x ∈ | -3 ≤ x ≤ 1}, então o conjunto (A ∪ B) – (A ∩ B), é: 
a. ( ) [-3, 0] ∪ ]1, 2[ 
b. ( ) [-3, 0[ ∪ [1, 2[ 
c. ( ) [ - ∞, -3] ∪ ]2, + ∞ [ 
d. ( ) ]0, 1] 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
e. ( ) [-3, 2[ 
Resp.: Alternativa “a”. 
 
7) Sejam os conjuntos A = {x ∈ | 1 ≤ x < 5} e B = { x ∈ | 2 ≤ x ≤ 6}. Assinale a alternativa correta: 
a. ( ) A ∩ B = {2, 3, 4} 
b. ( ) A ∩ B = {x ∈ | 2 ≤ x ≤ 5} 
c. ( ) A ∩ B = {x ∈ | 2 < x < 5} 
d. ( ) A ∩ B = {x ∈ | 2 < x ≤ 5} 
e. ( ) A ∩ B = {x ∈ | 2 ≤ x < 5} 
Resp.: Alternativa “e”. 
 
8) Sejam os conjuntos A = ] - ∞, 1], B = ]0, 2] e C = [-1, 1]. O intervalo C ∪ (A ∩ B) é: 
a. ( ) ]-1, 1] 
b. ( ) [-1, 1] 
 c. ( ) [0, 1] 
d. ( ) ]0, 1] 
e. ( ) ] - ∞, -1] 
Resp.: Alternativa “b”. 
 
9) Sejam os conjuntos A = { x ∈ | 0 ≤ x ≤ 3}, B = { x ∈ | x ≤ 3} e C = {x ∈ | -2 ≤ x ≤ 3}. O conjunto (B – A) ∩ C é: 
a. ( ) ∅ 
b. ( ) {x ∈ | x < 0} 
c. ( ) {x ∈ | x > -2} 
d. ( ) {x ∈ | -2 ≤ x < 0} 
e. ( ) {x ∈ | -2 < x < 3} 
Resp.; Alternativa “d”. 
 
10) Considere os conjuntos A = {x ∈ | -1 ≤ x < 6}, B = { x ∈ | -4 < x ≤ 2} e C = {x ∈ | - 2 < x < 4}. Determine: 
a) (B ∪ C) – A 
b) C – (A ∩ B) 
Resp.: (B ∪ C) – A = { x ∈ | – 4 < x < – 1} e C – (A ∩ B) = { x ∈ | – 2 < x < – 1 e 2 < x < 4}	
  
 
11) Dados os conjuntos A = { 1 , 3 , 4 }, B = { – 3 , 2 } e C = { – 1 , 0 , 2 }, determinar os elementos dos seguintes 
produtos cartesianos: 
a) A X B. Resp.: A X B = { (1 , – 3) ; (1 , 2) ; (3 , – 3) ; (3 , 2) ; (4 , – 3) ; (4 , 2) } 
c) B X A. Resp.: B X A = { (– 3 , 1) ; (– 3 , 3) ; (– 3 , 4) ; (2 , 1) ; (2, 3) ; (2 , 4) } 
c) A X C. Resp.: A X C = { (1 , – 1) ; (1 , 0) ; (1 , 2) ; (3 , – 1) ; (3 , 0) ; (3 , 2) ; (4 , – 1) ; (4 , 0) ; (4 , 2) } 
d) C X A. Resp.: C X A = { (– 1 , 1) ; (– 1 , 3) ; (– 1 , 4); (0 , 1) ; (0 , 3) ; (0 , 4) ; (2 , 1) ; (2 , 3) ; (2 , 4) } 
e) B2. Resp.: B2 = { (– 3 , – 3) ; (– 3 , 2); (2 , – 3) ; (2 , 2) } 
f) C2. Resp.: C2 = { (– 1 , – 1) ; (– 1 , 0); ; (– 1 , 2); (0 , – 1) ; (0 , 0) ; (0 , 2) ; (2 , – 1) ; (2 , 0) ; (2 , 2) } 
12) Dados os conjuntos A = { 1 , 2 , 3 , 4 } e B = { b ∈  | 1 ≤ b ≤ 4 }, determine: 
a) A X B. Resp.: A X B = {(1, 1), (1 , 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2 , 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3 , 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), 
(4 , 2), (4, 3), (4, 4)} 
b) B X A. Resp.: B X A = {(1, 1), (1 , 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2 , 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3 , 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), 
(4 , 2), (4, 3), (4,4)} 
c) (A X B ) ∪ (B X A). Resp.: (A X B ) ∪ (B X A) = {(1, 1), (1 , 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2 , 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), 
(3 , 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4 , 2), (4, 3), (4, 4)} 
13) Dados os conjuntos A = { x ∈  | 1 ≤ x ≤ 3 } e B = { x ∈  | –1 ≤ x ≤ 1 }, determine o produto cartesiano B X A. 
 Resp.: B X A = {(– 1 , 1), (– 1 , 2), (– 1 , 3), (0 , 1), (0 , 2), (0 , 3), (1 , 1), (1 , 2), (1 , 3)} 
14) Dados A = { x ∈  / x ≤ 10 } e B = { ( x , y ) ∈ A2 | x + 2y = 10} , escreva os pares ordenados da relação B. 
Resp.: São os pares ordenados: (0, 5), pois 0 + 2 . 5 = 10 e ∈ A2; (2 , 4), pois 2 + 2 . 4 = 10 e ∈ A2; (4, 3), pois 4 + 2 . 
3 = 10 e ∈ A2; (6 , 2), pois 6 + 2 . 2 = 10 e ∈ A2; (8, 1), pois 8 + 2 . 1 = 10 e ∈ A2 e (10, 0), pois 10 + 2 . 0 = 10 e ∈ A2. 
15) Dados os conjuntos A = { – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 } e B = { – 3 , – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }, determine quais são os pares 
ordenados das relações: 
a) A = { ( x , y ) ∈A X B | x + y = 2 }. Resp.: (– 2, 4) 
b) B = { ( x , y ) ∈A X B | x | = | y | }. Resp.: (2, 2); (1, 1) e (0, 0) 
c) C = { ( x , y ) ∈A X B | x2 = y }. Resp.: (– 2, 2); (– 1, 1); (0, 0); (1, 1) e (2 , 4) 
d) D = { ( x , y ) ∈A X B | x + y > 2}. Resp.: (– 1, 4); (0, 3); (0, 4); (1, 2); (1 , 3), (1, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2 , 4) 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 2 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
e) E = { ( x , y ) ∈A X B | (x – y)2 = 1 }. Resp.: (– 1, – 3); (– 2, – 1); (– 1, – 2); (– 1, 0); (0, – 1); (0, 1); (1, 0); (1, 2); 
(2 , 1), (2, 3) 
16) Dado o conjunto A = { a ∈ | – 7 ≤ a ≤ 7 }, determine os elementos da relação binária definida por W = { ( x , y ) ∈ 
A2 | x2 + y2 = 25 }. Resp.: (– 5, 0); (– 4, – 3); (– 3, – 4); (0, – 5); (0, 5); (3, 4); (4, – 3); (5, 0)} 
 17) Sejam dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = { x ∈ Z | – 3 ≤ x < 7 }. Verifique se a relação dada pela lei de 
formação f ( x ) = 2 x – 3 representa ou não uma função. Em caso positivo, qual é o conjunto imagem da função? Resp.: 
Representa uma função. Im = {– 3 , – 1 , 1 , 3 , 5 } 
18) Observe o diagrama dado abaixo. 
 
 Com base nesse diagrama, responda: 
a) Qual é a variável dependente? Resp.: b 
b) Qual é a variável independente? Resp.: a 
c) Qual é o domínio da função? Resp.: D = {– 3 , – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2} 
d) Qual é o contradomínio da função? Resp.: CD = {– 6 , – 5 , – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} 
e) Qual é o conjunto imagem da função? Resp.: CD = {– 5 , – 2 , 1 , 4 , 7 , 10} 
 19) Seja f uma função definida em  – conjunto dos números reais – de tal modo que f ( x – 3 ) = 2 x. Nestas 
condições determinar f ( x + 3). Resp.: f ( x + 3) = 2x + 12 
20) Determinar a lei de formação que fornece o volume de uma caixa em relação à variável x, sabendo-se que as 
dimensões da caixa são: 
altura = 2 . x ; comprimento = 4 . x – 1 e largura = 10 . x – 3. 
Estabeleça, também, o domínio desta função. 
Resp.: V = 80x3 – 44x2 + 6x. D ( V ) = {x ∈ | x > 0}