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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 7 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Introdução 
 Para realizar o estudo das funções exponenciais, deve-se, em primeiro lugar, relembrar alguns conceitos da operação 
de potenciação, bem como a resolução de equações exponenciais. 
 
Potências com expoente natural 
 A potenciação equivale a uma multiplicação de fatores iguais: 
 
2 . 2 . 2 = 23 = 8 
 
 Note que 23 é uma expressão concisa do produto de 3 fatores iguais a 2. Ela representa uma potência na qual o 
número 2 é denominado base e 3, expoente. 
 De um modo geral, sendo a um número real e n um número natural, com n ≥ 2, define-se: 
 
an = a . a . a . . a
n fatores
  
 
 
 Pode-se perceber que as potências a1 e a0 não se encaixam na definição acima, pois não tem sentido falar em 
multiplicação com um só fator ou, ainda, com nenhum fator. 
 Então, por definição, “a1 = a” e “a0 = 1”. 
 
Potências com expoente inteiro 
 Se a é um número real não nulo (a ≠ 0) e n um número inteiro e positivo, define-se: a− n =
1
an
 
Exemplos 
6−1 =
1
61
=
1
6
; 1
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−3
=
1
1
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3 =
1
1
64
= 1.
64
1
= 64 ; 3( )−2 = 1
3( )2
=
1
3
 
 
Potências com expoente racional 
 Se a é um número real positivo e 
m
n
 um número racional, com n inteiro positivo, define-se: a
m
n = amn 
Exemplo 
8
2
3 = 823 = 643 = 4 
 
Potências com expoente real 
 O conceito de potência pode ser estendido para expoentes irracionais. Para calculá-las é melhor e mais rápido fazer-
se uso de calculadoras científicas. 
 Assim: 10 2 =101,414213562... = 25,95455350... 
 O que importa saber é que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos números reais. 
 
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 
 
 Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias: 
 1) am.an = am + n 2) am : an = am − n (com a ≠ 0) 3) am( )n = am . n 4) a . b( )n = an . bn 5) ab( )
n
= a
n
bn
 
(com b ≠ 0) 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 Chama-se equação exponencial a toda equação que contiver uma incógnita no expoente, tais como: 2x = 16; 
3 x+1 + 3 x – 2 = 9; 3 x – 1 = 27 e 10 . 22x – 5 . 22x – 1 = 0 
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 Para resolver uma equação exponencial, deve-se transformá-la de modo a obter potências de mesma base no 1º e no 
2º membros da equação. Para tal utilizam-se as definições e propriedades da potenciação. 
Além disso, utiliza-se o seguinte fato: se a > 0, a ≠ 1 e x é a incógnita, a solução da equação ax = ap é x = p. 
 
Exemplos 
 1) Resolva a equação 4x = 512 
 Solução: 
 Utilizando as propriedades das potências transforma-se o 1º e o 2º membros em potências de mesma base. 
 4x = (22)x = 22x e 512 = 29 ⇒ 4x = 512 ⇒ 22x = 29 ⇒ 2x = 9 ⇒ x = 9
2
⇒ S = 9
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
. 
 2) Determine o conjunto solução da equação 81x+2 = 1. 
 Solução: 
 Lembrando que qualquer número elevado a zero é igual a 1, pode-se escrever: 
 81x+2 = 810 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = – 2 ⇒ S = { – 2 } 
 
 3 ) Resolva a equação 4x – 5 . 2x + 4 = 0. 
 Solução: 
 (22)x – 5 . 2x + 4 = 0 ⇒ (2x)2 – 5 . 2x + 4 = 0. Fazendo uma mudança de variável: 2x = y ⇒ y2 – 5y + 4 = 0 ⇒ y1 = 4 e 
y2 = 1. 
 Voltando à igualdade 2x = y, da mudança de variável, vem: 
a) para y1 = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 2 
b) para y2 = 1 ⇒ 2x = 1 ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 0 
 Então: S = { 0 ; 2 }. 
 
 4) Resolver a equação 5x – 52 – x = 24. 
 Solução: 
 5x – 52 – x = 24 ⇒ 5x – 52 . 5 – x = 24 ⇒ 5x − 52 . 
1
5x
= 24 ⇒ 5x −
25
5x
= 24 . Fazendo uma mudança de variável: 5x = 
y, vem: 5y −
25
y
= 24⇒
y2 − 25 = 24y
y
⇒ y2 − 24y + 25 = 0 . Resolvendo a equação do 2º grau obtida, encontram-se as 
raízes y1 = 25 e y2 = – 1. 
 Voltando à igualdade 5x = y: 
a) para y1 = 25 ⇒ 5x = 25 ⇒ 5x = 52 ⇒ x = 2 
b) para y2 = –1 ⇒ 5x = –1 ⇒ esta equação não tem raiz no conjunto , pois 5x ≥ 0, para todo x real. 
 Portanto S = { 2 }. 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Uma função f ( x ):  →  , dada por f ( x ) = ax, com a > 0 e a ≠ 1, é chamada de função exponencial de base a. 
 A base deve ser maior que zero e diferente de um porque: 
 a) Se a < 0, então, f ( x ) = ax não estaria definida para todo x real. 
 Por exemplo, supondo-se que a = – 2 e x = 
1
2
, ter-se-ía: f 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − 2( )
1
2 ⇒ f 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − 2 , que não é um número real. 
 b) Se a = 1, então, f ( x ) = ax é uma função constante, pois f ( x ) = 1x ⇒ f ( x ) = 1, para todo x ∈ . 
 
Gráficos de uma função exponencial 
Tem-se que examinar duas situações possíveis: 
 1ª situação: 2ª situação: 
 a > 1 0 < a < 1 
 
 Por exemplo: gráfico da função f ( x ) = 2x: Por exemplo: gráfico da função f ( x ) = 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
 
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 Assim, de acordo com o que foi examinado nas duas situações e nos gráficos, pode-se afirmar que: 
 a) o domínio de uma função exponencial é D ( f ) = ; 
 b) o contradomínio de uma função exponencial é CD ( f ) = , e; 
 c) o conjunto imagem de uma função exponencial é Im ( f ) = *+ (conjunto dos números reais positivos). 
 
APLICAÇÕES DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Existem inúmeras situações do cotidiano que podem ser expressas por funções exponenciais, entre elas pode-se citar 
o juro do dinheiro acumulado, o crescimento e/ou o decrescimento de populações animais ou vegetais, etc. 
 Veja alguns exemplos: 
 
 1) Uma pessoa deposita R$ 500,00 em uma aplicação financeira e, mensalmente, são creditados juros de 1,1% sobre 
o saldo. Sabendo-se que a fórmula de cálculo do montante após x meses é dada por M ( x ) = 500 . (1 + 0,011)x, calcule o 
montante após um ano de aplicação, bem como o rendimento deste ano de aplicação, supondo que a pessoa não fez 
nenhuma retirada de dinheiro nesse período de tempo. 
 Solução: 
 a) cálculo do montante após um ano de aplicação: 
 M ( x ) = 500 . (1 + 0,011)x ⇒ M ( 12 ) = 500 . ( 1,011)12 ⇒ 500 . 1,140286196 ⇒ M ( 12 ) = 570,143098 ⇒ 
 M ( 12 ) = 570,14 (valor arredondado). 
 b) cálculo do rendimento: 
 Rendimento = M ( x ) – Capital aplicado ⇒ Rendimento = 570,14 – 500,00 ⇒ Rendimento = 70,14. 
 Resposta: A pessoa, após um ano de aplicação, terá a seu dispor a quantia de R$ 570,14 com um rendimento de 
R$ 70,14 no período da aplicação. 
 
 2) Uma cultura, inicialmente com 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Suponha que, por divisão celular, 
cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora. Nessas condições: 
a) qual a população dessa cultura após 5 horas do instante inicial? 
b) depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias? 
 Solução: 
 a) No instante inicial tem-se: 100 bactérias; 
 1 hora depois: 100 . 2 = 200 bactérias; 
 2 horas depois: (100 . 2) . 2 = 400 bactérias = 100 . 22 bactérias; 
 n horas depois: 100 . 2n bactérias 
 Logo, após 5 horas: 100 . 25 = 100 . 32 = 3.200 bactérias. 
 Resposta: Após 5 horas, a cultura contará com 3.200 bactérias. 
b) Chamando a população de bactérias de P, tem-se: P = 100 . 2n bactérias. Logo, para o número de 51.200 
bactérias: 
 P = 100 . 2n ⇒ 51200 = 100 . 2n ⇒ 2n = 512 ⇒ 2n = 29 ⇒ n = 9. 
 Resposta: Após 9 horas a cultura contará com 51.200 bactérias. 
 
Observe que quanto maior o expoente da 
variável x, maior é a potência ax, ou seja, 
se a> 1, a função f ( x ) = ax é uma função 
crescente. 
Observe que quanto maior o expoente da 
variável x, menor é a potência ax, ou seja, 
se 0 < a < 1, a função f ( x ) = ax é uma 
função decrescente. 
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FUNÇÃO LOGARITMICA 
 
Introdução 
Antes de iniciar o estudo das funções logarítmicas propriamente dito, deve-se relembrar alguns conceitos que serão 
importantes. 
 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. 
 Para muitos números, isto pode ser feito com facilidade: 
 1 = 100 0,1 = 10 – 1 
 10 = 101 0,01 = 10 – 2 
 100 = 102 0,001 = 10 – 3 
 1000 = 103 0,0001 = 10 – 4 
 10000 = 104 0,00001 = 10 – 5 
 
 Entretanto, na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. 
 
 Nos séculos XVI e XVII, vários matemáticos desenvolveram estudos visando resolver essa questão. Assim, 
construíram tabelas relacionando números naturais e os expoentes de 10 correspondentes a cada um. 
 A esses expoentes deram o nome de logaritmos. 
 A palavra logaritmo vem do grego: logos (razão) + arithmos (número). 
 Assim: 
• o número 0,301, com aproximação para três algarismos após a vírgula, é chamado de logaritmo de 2 na 
base 10: log10 2 = 0,301... 
• o número 0,778, com aproximação para três algarismos após a vírgula, é chamado de logaritmo de 6 na 
base 10: log10 6 = 0,778... 
 
 Às tabelas construídas pelos matemáticos da antiguidade deram o nome de “tábuas de logaritmos decimais”. 
Entretanto, os logaritmos podem ser escritos em qualquer base positiva diferente de 1. 
 Observe: 
• log7 2 = 0,356 ⇒ 2 = 70,356. 
• log5 125 = 3 ⇒ 125 = 53. 
• log8 47 = 1,852 ⇒ 47 = 81,852. 
 
 Genericamente pode-se representar: 
loga b = x ⇔ b = ax 
 
Observações 
a) Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais ou de Briggs. 
b) Os logaritmos cuja base é o número “e” (número irracional que vale 2,71828... , chamado número de Euler 
em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler) são chamados de logaritmos neperianos, nome dado em 
homenagem a John Napier, e também são conhecidos como logaritmos naturais e tem grande aplicabilidade nos estudos de 
fenômenos da natureza. 
 A operação por intermédio da qual se calcula o valor de “x” na igualdade loga b = x é denominada de logaritmação. 
 
Condição de existência de um logaritmo 
 Para loga b = x existir, deve-se ter: 
• logaritmando positivo: b > 0; 
• base positiva e diferente de 0: a > 0 e a ≠ 0. 
 
Consequências da definição 
 
1) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero: loga 1 = 0; 
2) O logaritmo da própria base é igual a 1: loga a = 1; 
3) O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente: loga an = n, e; 
4) O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b: alogab = b . 
 
Propriedades dos logaritmos 
 O conceito de logaritmo apareceu como uma tentativa de simplificar o cálculo em uma época em que não existiam as 
calculadoras. Com os logaritmos as operações matemáticas são substituídas por outras mais simples: potenciações por 
multiplicações, multiplicações por adições, divisões por subtrações. 
 Essas transformações de operações mais complicadas em outras mais simples serão apresentadas na forma de 
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propriedades. 
 
1ª Propriedade – logaritmo de um produto 
 O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, tomados na mesma base: 
logb (a . c ) = logb a + logb c, com a > 0, c > 0 e 1 ≠ b > 0. 
 
2ª Propriedade – logaritmo de um quociente 
 O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo o dividendo menos o logaritmo do divisor, tomados na mesma base: 
log b
a
c
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= log ba − log bc , com a > 0, c > 0 e 1 ≠ b > 0. 
 
Exemplos 
 1) Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477,calcule: 
 a) log 6 b) log 5 c) log 2,5 
 Solução: 
 a) log 6 = log (2 . 3) ⇒ log 6 = log 2 + log 3 ⇒ log 6 = 0,301 + 0,477 ⇒ log 6 = 0,778 
 b) log 5 = log 10
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ log 5 = log 10 – log 2 ⇒ log 5 = 1 – 0,301 ⇒ log 5 = 0,699 
 c) log 2,5 = log 25
10
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ log 2,5 = log 5
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ log 2,5 = log 5 – log 2 ⇒ log 2,5 = log 10
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 – log 2 ⇒ 
 log 2,5 = log 10 – log 2 – log 2 ⇒ log 2,5 = 1 – 0,301 – 0,301 ⇒ log 2,5 = 0,398 
 
EQUAÇÕES LOGARITMICAS 
 Observe as equações: log (x – 1) = 2; logx+1 (19 – x) = 2; 1− log2 x =
3
2
+ 4 . log2 x . Elas apresentam a incógnita 
envolvida com logaritmos e, por esse motivo, são chamadas de equações logarítmicas. Para a sua resolução são aplicadas, 
além da definição de logaritmo, a seguinte propriedade: 
 
loga b = loga c ⇔ b = c, com 1 ≠ a > 0, b > 0 e c > 0. 
 
Exemplos 
 1) Resolver a equação log2 x − 4( ) = 3 . 
 Solução: 
 Condição de existência: x – 4 > 0 ⇒ x > 4. 
 log2 (x – 4) = 3 ⇒ 23 = x – 4 ⇒ x – 4 = 8 ⇒ x = 8 + 4 ⇒ x = 12 
 Como o valor obtido satisfaz a condição de existência, vem: S = { 12 }. 
 
 2) Determine o conjunto solução da equação logx 3x
2 − x( ) = 2 . 
 Condições de existência: 3x2 – x > 0 ⇒ x . (3x – 1) > 0 ⇒ x > 0 e x > 1
3
 ⇒ x > 0 e x ≠ 1 
 Utilizando a definição: 
 logx (3x2 – x) = 2 ⇒ 3x2 – x = x2 ⇒ 2x2 – x = 0 ⇒ x . (2x – 1) = 0 ⇒ 
2x = 0⇒ x = 0
2x −1= 0⇒ x = 1
2
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
. 
 Como na condição de existência afirma que o valor da variável x deve ser maior que zero, esta solução não poderá 
ser aceita. O outro valor encontrado , x = 1
2
, satisfaz às condições de existência, portanto: S = 1
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
. 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 A função exponencial f :  →  definida por y = ax, com a > 0 e a ≠ 1, é bijetora. Então, pode-se determinar sua 
função inversa. 
 A função inversa de uma função exponencial é a função logarítmica. Observe: 
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f x( ) :→ 
x → f x( ) = ax
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 e 
f − 1 x( ) :+* → 
x → f − 1 x( ) = loga x
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 
 Como as gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, o gráfico da 
função logarítmica é simétrico ao gráfico da função exponencial. 
 Observação: 
a) Se a > 0, a função f ( x ) = loga x é crescente. 
b) Se 0 < x < 1, a função f ( x ) = loga x é decrescente. 
 
Gráficos de uma função logarítmica 
 Tem-se: 
 1ª situação: 2ª situação: 
 a > 1 0 < a < 1 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
Inúmeras são as aplicações de funções logarítmicas para resolver problemas do cotidiano. Vamos ver algumas 
dessas situações. 
 
1) O número de bactérias em uma cultura, depois de transcorrido um tempo “t”, é dado pela função matemática 
N = N0 . er . t, em que N0 é o número inicial de bactérias quando t = 0 e r é a taxa de crescimento d bactéria. Quanto tempo 
levará para que o número de bactérias dobre se a taxa de crescimento contínuo for de 5% ao minuto? Use ln 2 = 0,6931 
(logaritmo natural). 
Solução: 
N = N0 . er . t ⇒ 2 . N0 = N0 . e0,05 . t ⇒ 
2 . N0
N0
= e0,05 . t ⇒ 2 = e0,05 . t 
Aplicando a teoria de logaritmos e usando os logaritmos naturais, aqueles de base “e”, temos: 
ln 2 = ln e0,05 . t ⇒ ln 2 = 0,05 . t . ln e ⇒ 0,6931 = 0,05 . t . 1 ⇒ t = 0,6931
0,05
⇒ t = 13,862 minutos ⇒ t = 13 minutos e 52 
segundos. 
 
Observação 
 13,862 minutos = 13 minutos + 0,862 do minuto = 13 minutos + 0,862 . 60 segundos= 13 minutos + 51,72 segundos = 
13 minutos e 52 segundos, aproximadamente). 
 
2) Sabendo que uma substância radioativa se desintegra segundo a função matemática Q = Q0 . e– r . t, onde Q é a 
massa da substância, r é a taxa de desintegração e t é o tempo, em anos, determine em quantos anos 500 g. de uma 
substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirá a 100 g.? Use ln 0,2 = – 1,6094. 
Solução: 
Se a > 1, a função logarítmica 
f ( x ) = é uma função 
crescente. 	
  
Se 0 < a < 1, a função logarítmica 
 f ( x ) = é uma função 
decrescente. 
 
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Q = Q0 . e– r . t ⇒ 100 = 500 . e– r . t ⇒ 
100
500
= e− 0,03 . t ⇒ 0,2 = e− 0,03 . t 
Aplicando a teoria de logaritmos e usando os logaritmos naturais, aqueles de base “e”, temos: 
ln 0,2 = ln e– r . t ⇒ ln 0,2 = – 0,03 . t . ln e ⇒ – 1,6904 = – 0,03 . t . 1 ⇒ t = t = − 1,6094
− 0,03
 ⇒ t = 53,64793040... anos ⇒ 
t = 53 anos e 8 meses. 
 
Observação 
53,64793040 anos = 53 anos + 0,64793040 do anos = 53 anos + 0,64793040 . 12 meses = 53 anos + 7,7751648 
meses = 53 anos e 8 meses, aproximadamente. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Resolva as equações exponenciais dadas a seguir: 
a) 2x = 64. g) . 
b) 9x = 243. h) . 
c) 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
= 32 − 1 . i) . 
d) 1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4x
= 0,25 . j) 5
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2x
= 27
125
. 
e) . k) 5x – 52 - x = 24. 
f) 23x + 1 = 4x – 2. l) 32x – 28 . 3x + 27 = 0. 
 
2) Uma fórmula matemática para calcular a área aproximada, em metros quadrados, da superfície corporal de uma 
pessoa é dada por S p( ) = 11100 . p
2
3 , onde “p” representa a massa da pessoa em quilogramas. Considere uma criança com 8 
kg de massa. Determine: 
a) a área da superfície corporal dessa criança. 
b) a massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar. 
 
3) Uma pessoa deposita R$ 500,00 em uma aplicação financeira e, mensalmente, são creditados juros de 2% sobre o 
saldo. Sabendo-se que a fórmula do montante (capital + juros), após “x” meses, é dada por M ( x ) = 500 . (1,02)x, determine: 
a) o montante que essa pessoa terá após um ano, se não efetuar retirada nenhuma nesse período de tempo. 
b) o rendimento obtido nesse ano de aplicação. 
 
 4) Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros compostos durante um ano e meio à taxa de 2% ao mês. Determine 
o montante que será recebido pelo aplicador? 
 
5) Qual o capital que, aplicado a juros compostos, durante um ano, à taxa de 7% ao trimestre, produz um montante de 
R$ 5.000,00? 
 
 6) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 1,9% ao mês para que duplique? 
 
 7) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 300% ao ano. Um outro capital, de R$ 2.000,00 
é aplicado também a juros compostos , à taxa de 100% ao ano. Daqui a quantos anos a diferença entre os montantes será 
igual a R$ 3.000,00. Use uma calculadora científica para realizar os cálculos. 
 
 8) Quanto devo aplicar hoje a juros compostos e à taxa de 2% ao mês para pagar um compromisso financeiro de R$ 
6.000,00 que vencerá daqui a seis meses? 
 
 9) A que taxa devo aplicar R$ 1.000,00 em um fundo que rende juros compostos para poder sacar R$ 100,00 daqui a 
um mês e R$ 1.100,00 daqui da dois meses, esgotando todo o saldo da aplicação? 
 
 10) A que taxa devo aplicar R$ 1.000,00 em um fundo que rende juros compostos, para poder sacar R$ 400,00 daqui 
a um mês e R$ 734,40 daqui a dois meses, esgotando todo o saldo da aplicação? 
 
3x = 3
4x = 323
3x = 181
101 − 4x = 0,001
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11) Uma cultura, inicialmente com 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Suponha que, por divisão celular, 
cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora. Assim, determine: 
a) a expressão matemática que exprime essa situação. 
b) a população de bactérias após 3 horas na cultura?. 
c) após quantas horas a população de bactérias será de 51.200 bactérias? 
 
12) Uma substância se decompõe aproximadamente segundo a lei matemática Q ( t ) = k . 2– 0,5 . t, onde “k” 
representa uma constante; “t” indica o tempo, em minutos e Q ( t ) indica a quantidade de substância, em gramas, no instante t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Uma bola cai de uma altura de 30 metros e salta, cada vez que toca o chão, dois terços da altura da qual caiu. 
Seja h ( n ) a altura da bola no salto de número “n”. Determine: 
a) a função matemática que exprime essa situação. 
b) a altura que a bola atinge no salto nº 6. 
 
14) A velocidade média de digitação N, expressa em palavras por minuto, após “t” semanas de aulas é modelada pela 
função matemática N t( ) = 95
1+ 8,5 . e − 0,12 . t
. Determine a velocidade média de digitação para um aluno que esteja na: 
a) 5ª semana de aula. 
b) 10ª semana de aula. 
c) 30ª semana.de aula. 
Observação: use e = 2,7182 e forneça a resposta com aproximação para dois dígitos após a vírgula. 
 
15) O crescimento da população da Terra é um problema de grande importância, que preocupa governantes de todo o 
mundo. Esse crescimento é calculado com a ajuda da função exponencial P x( ) = B
1+ A . e− k . t
, com A, B e k constantes 
positivas que dependem de uma situação concreta e P ( x ) dado em milhões de pessoas. Por exemplo, em 1960, A = 11, 
B = 36000 e k = 0,021. Calcule a população mundial do ano 2000 tendo em consideração a situação no ano de 1960. 
16) Para calcular o rendimento V ( x ) de uma floresta pode-se utilizar a função exponencial V x( ) = 6,7.e
−48,1
t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ em 
que V ( x ) fornece o valor, em metros cúbicos de madeira por hectare, em função da idade da floresta “t”. Com base nesses 
dados, determine a quantidade de metros cúbicos de madeira que pode ser extraída de uma floresta com 50 anos. 
 
 17) Uma cidade tem hoje 20.000 habitantes e esse número cresce a uma taxa de 3% ao ano. Determine: 
 a) o número de habitantes daqui a 10 anos. 
b) se daqui a 10 anos o número de habitantes fosse igual a 30.000 habitantes, qual seria a taxa de 
crescimento? 
 
18) O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7.000 e cresce a uma taxa de 3% ao ano. Determine: 
 a) o número de habitantes daqui a 8 anos. 
 b) o número de habitantes daqui a 30 anos. 
 
 19) O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 8.000 e cresce exponencialmente a uma taxa k ao ano. Se 
daqui a 20 anos o número de habitantes for igual a 16.000, qual o valor da taxa de crescimento, em porcentagem? 
 
 20) A que taxa anual deve crescer exponencialmente um população para que dobre em 25 anos? 
 
 21) O PIB – Produto Interno Bruto – de um país este ano é de 600 bilhões de unidades monetárias, e cresce 
exponencialmente a uma taxa de 5% ao ano. Qual será o PIB desse país daqui a 5 anos? 
 
 22) Uma empresa expande suas vendas a uma taxa de 20% ao ano. Se este ano ela vendeu 1.000 unidades de um 
Considerando-se os dados desse processo de decomposição mostrados no 
gráfico ao lado, determine os valores de “k” e de “a”. 
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produto, quantas venderá daqui a 5 anos? 
 
 23) Um imóvel vale hoje R$ 150.000,00 e a cada ano sofre uma desvalorização de 3%. Determine o valor do imóvel 
daqui a 10 anos. 
 
 24) Um automóvel novo vale R$ 20.000,00. Sabendo-se que sofre uma desvalorização de 15% ao ano, determineo 
seu valor daqui a 5 anos. 
 25) Um equipamento sofre depreciação exponencial de tal forma que seu valor daqui a “t” anos será V = 6561 . 1
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
t
, 
valor este dado em reais. De posse desses dados, determine: 
 a) qual o valor do equipamento hoje? 
 b) qual o valor do equipamento daqui a 3 anos? 
 c) qual será a depreciação total, em reais, até esta data? 
 
 26) Daqui a “t” anos o valor de uma máquina, em milhares de reais, será dado pela função matemática V = 50 . 0,8t. 
Determine o valor da máquina hoje? 
 
 27) Uma máquina vale hoje R$ 200.000,00 e esse valor decresce exponencialmente a uma taxa k % ao ano. Se daqui 
a 4 anos seu valor for de R$ 180.000,00, qual será a taxa de decrescimento? 
 
 28) Uma máquina vale atualmente R$ 4.000,00 e seu valor decresce exponencialmente com o tempo. Sabendo-se 
que daqui a dois anos seu valor será igual a R$ 3.000,00, determine a função de desvalorização que representa essa situação. 
 
 29) Resolva as equações logarítmicas dadas a seguir: 
a) log2 (x – 4) = 3. g) (log3 x)2 – log3 x – 6 = 0. 
b) log5 x = 2. h) log3
x + 3
x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1 . 
c) logx 243 = 5 . i) log1
3
x −1( ) = − 2 . 
d) logx 
1
9
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 2 . j) log5 (1 – 4x) = 2. 
e) logx (3x2 – x) = 2. k) log3 x
2 −1( ) = 1 . 
 f) logx 4 − 3x( ) = 2 . l) log x−2( ) 2x
2 −11x +16( ) = 2 . 
30) As substâncias radioativas emitem partículas e, com o passar do tempo, sua massa vai diminuindo. O iodo 125, 
variedade radioativa do iodo com aplicações medicinais, tem meia-vida de 60 dias, ou seja, perde metade de sua massa a 
cada 60 dias). Responda: 
a) quantos gramas de iodo 125 irão restar a partir de uma amostra de 10 g., após 60 dias? 
b) quantos gramas de iodo 125 irão restar a partir de uma amostra de 10 g., após 120 dias? 
c) quantos gramas de iodo 125 irão restar a partir de uma amostra de 10 g., após 6 meses? 
d) daqui a quanto tempo essa amostra terá apenas 0,04 grama? 
 
31) Uma cidade tem 10.000 habitantes. Sua população apresenta, em média, 5% de crescimento ao ano. Após 
quantos anos essa cidade terá 100.000 habitantes? Use log 1,05 = 0,02119. 
 
32) Uma das situações em que se faz utilização de funções logarítmicas é a medição de sismos – terremotos. Em 
1935, para comparar os tamanhos relativos dos sismos, Charles F. Richter formulou uma escala de magnitude baseada na 
amplitude dos registros das estações sismográficas. Magnitude e energia liberada pelo sismo podem ser relacionadas pela 
função descrita por Richter que é MS = log (A . f) + 3,3, onde MS representa a magnitude do terremoto na escala Richter, A é a 
amplitude do movimento da onda registrada no sismógrafo e f é a frequência da onda em hertz. A margem de erro na medição 
de um terremoto é de 0,3 pontos, para mais ou para menos. Com base nesses dados, determine a magnitude de um terremoto 
que apresentou amplitude de 1.000 micrometros no sismógrafo e frequência de 0,1 Hz. 
 
33) A expressão M = C . (1 + i)n permite calcular o montante M, resultante da aplicação do capital C a juros 
compostos, à taxa anual “i”, ao completar um período de “n” anos. Nessas condições, se o capital de R$ 8.000,00 for aplicado 
a juros compostos e a taxa anual de 12%, após quanto tempo da aplicação serão obtidos juros no valor de R$ 7.000,00? 
 
34) O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7.000 e cresce à taxa de 3% ao ano. Daqui a quanto tempo 
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a população dessa cidade dobrará? Use uma calculadora científica para realizar os cálculos. 
 
35) O PIB – Produto Interno Bruto – de um país cresce a uma taxa de 5% ao ano. Daqui a quanto tempo , em anos, o 
PIB desse país triplicará? Use uma calculadora científica para realizar os cálculos. 
 
 36) Um imóvel vale hoje R$ 150.000,00 e a cada ano, sofre uma desvalorização de 3%. Determine o tempo que será 
necessário para o valor do imóvel se reduzir à metade? Use uma calculadora científica para realizar os cálculos. 
 
 37) Estudos demográficos realizados em uma certa localidade, estimaram que sua população daqui a “t” anos será 
dada por P ( t ) = 40 . 1,05 t milhares de habitantes. Daqui a quanto tempo a população dobrará? Use uma calculadora 
científica para realizar os cálculos. 
 
 38) A curva de aprendizagem é um gráfico de uma função frequentemente utilizada para relacionar a eficiência de 
trabalho de uma pessoa em função de sua experiência. A expressão matemática dessa função é f ( t ) = A – B . e – k . t , em que 
“t” representa o tempo e f ( t ) a eficiência. Suponha, agora, que após “t” meses de experiência, um operário consiga montar “p” 
peças por hora. Suponha, ainda, que a curva de aprendizagem para essa função seja dada por p = 40 – 20 . e – 0,4 . t . Assim, 
determine: 
 a) quantas peças o funcionário montava por hora quando não tinha experiência? 
 b) quantas peças o funcionário montará por hora após 2 meses e meio de experiência? 
 c) quantas peças, no máximo, o funcionário conseguirá montar por hora? 
 
 39) Um digitador, após “t” dias de experiência, consegue digitar “p” palavras por minuto. Suponha que a função da 
curva da aprendizagem dessa situação seja dada por p = 60 – 55 . e – 0,1 . t , determine: 
 a) quantas palavras ele digitava por minuto quando não tinha experiência? 
 b) quantas palavras digitará por minuto após 20 dias de experiência? 
 c) quantas palavras conseguirá digitar por minuto, no máximo? 
 
 40) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu 
principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei p = 1000 . (0,9)x, onde “p” representa o número de 
unidades produzidas. Determine após quanto tempo a produção atingiu o número de 810 unidades, considerando esse período 
recessivo. 
 
RESPOSTAS 
 1) a) S = { 6 } b) S = 5
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 c) Resp.: S = { 5 } d) S = 1
4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 e) S = { 1 } f) S = {– 5} 
 g) S = 1
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 h) S = 5
6
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 i) S = {– 4} j) S = − 3
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 k) S = { 2 } l) S = { 0, 3}. 
2) a) 0,44 m2 b) 22,4 kg 3) a) R$ 634,12 b) R$ 34,12 4) R$ 14.282,46 5) R$ 3.814,48 
 
 6) 36 meses e 24 dias, aproximadamente 7) 1,6 anos ou 1 ano e 7 meses e 6 dias 
 
 8) R$ 5.327,83 9) 10% ao mês 10) 8% ao mês 
 
11) a) P ( x ) = 100 . 2x. b) P ( 3 ) = 800 bactérias. c) Após 9 horas 12) Resp.: k = 2048 e a = 4 
 
13) a) h ( n ) = 30 . 2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n
 b) h ( n ) = 2,63 m 
14) a) N ( t ) = 17,25 palavras p/min b) N ( t ) = 26,68 palavras p/min c) N ( t ) = 77,09 palavras p/min 
 
15) P ( x ) = 6.300 milhões de pessoas 16) Pode ser extraído 2,56 metros cúbicos por hectare dessa floresta 
 
 17) a) 26.878 habitantes. b) 4,14% aproximadamente 18) a) 8.867 habitantes. b) 16.990 habitantes 
 
 19) 3,53% 20) 2,81% a.a 21) 765,77 bilhões de unidades monetárias 22) 2.488,32 unidades 
 
 23) R$ 110.613,62 24) R$ 8.874,11 25) a) R$ 6.561,00. b) R$ 243,00. c) R$ 6.318,00 
 
 26) R$ 50.000,00 27) k = – 2,60% 28) V = 4000 . 0,866t 
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Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 
 29) a) S = { 12 } b) S = { 25 } c) S = { 3 } d) S = 1
3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 e) S = 1
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 f) S = { – 4 } g)1
9
 , 27
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 
 h) S = { 3 } i) S = { 10 } j) S = {– 6 } k) S = { – 2 ; 2 } l) S = { 4 } 
 
30) a) 5 gramas b) 2,5 gramas c) 1,25 gramas d) 478 dias 31) Aproximadamente 47,2 anos 
 
32) A magnitude, sem contar a margem de erro, foi de 5,3 33) Após 5 anos, 6 meses e 18 dias 
 
34) 23 anos e 6 meses, aproximadamente 35) 22 anos e 6 meses, aproximadamente 
 
 36) 22 anos e oito meses, aproximadamente 37) 15 anos. 38) a) 20 peças b) 32,6 peças c) 40 peças 
 
 39) a) 5 palavras b) 52,3 palavras c) 60 palavras 40) t = 2 anos