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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 5 1ºSem/2013 Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo A DEPRECIAÇÃO LINEAR Devido ao desgaste e ao envelhecimento, os bens que constituem o ativo de uma empresa estão sujeitos a desvalorizações. A depreciação linear é o sistema de depreciação que é aceito pela Receita Federal, ou seja, aquele que o bem é depreciado em partes iguais durante a vida útil. Por exemplo, se uma máquina foi comprada por R$ 20.000,00 e após 5 anos foi vendida por R$ 8.000,00, esta, teve uma depreciação de R$ 12.000,00. Assim, depreciação é a diferença entre o preço de compra de um bem e seu valor de revenda (valor residual). Exemplo 1) Considere o exemplo citado acima e supondo linear essa depreciação, qual a função que relaciona o valor V da máquina em função de tempo x em anos? Solução: Uma vez que a depreciação é linear, o valor da máquina descreve uma função polinomial do 1º grau e pode-se representa-lo por V = ax + b. Pelo dados apresentados, monta-se a seguinte tabela sendo que x = 0 representa o momento em que a máquina foi comprada: x (tempo) V (valor em R$) 0 20000 5 8000 Note que, em 5 anos o valor da máquina diminuiu R$ 12000,00 e, portanto: a = ΔV Δx ⇒ a = − 12000 5 ⇒ a = − 2400 . Qual o significado desse coeficiente angular? Pode-se escrevê-lo como sendo: a = ΔV Δx = − 12000 5 = − 2400 1 Significa que, a cada ano que passa o valor da máquina diminui R$ 2400,00. Como V = ax + b ⇒ V = – 2400 x + b No momento em que foi comprada, ou seja para x = 0, o valor da máquina era R$ 20 000,00 e, portanto: 20000 = – 2400.0 + b ⇒ b = 20000. Assim, V = – 2400 x + 20000 Graficamente tem-se que, a partir do valor R$ 20000,00, a máquina foi sofrendo desvalorização de R$ 2400,00 por ano: Pergunta-se: após quantos anos o valor da máquina reduz-se à zero? Pela análise do gráfico se conclui que após 8 anos isso deverá ocorrer. Para ser mais exato, é possível determinar algebricamente o tempo exato, ou seja: Deve-se fazer V = 0: – 2400 x + 20000 = 0 ⇒ – 2400 x = – 20000 ⇒ x = 8,33 aproximadamente. Ou seja: 8 anos mais 0,33 de um ano = 8 anos e 1/3 de um ano = 8 anos e 4 meses. 2) Qual será a depreciação anual de um equipamento que foi adquirido por R$ 220.000,00, que terá uma vida útil de cinco anos e valor residual após cinco anos nulo? Suponha depreciação linear. Apresente o valor V do equipamento em função do número x de anos. Consideremos como V0 o valor inicial do equipamento. Tem-se, portanto, Vo = 220000. Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 5 1ºSem/2013 Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo Uma vez que esse equipamento terá vida útil de 5 anos, ao final desse período o valor do equipamento será V = 0, o que significa que seu valor diminuiu 220000. Assim, considerando a depreciação linear, V = ax + b, tem-se: a = ΔV Δx ⇒ a = − 22000 5 ⇒ a = − 44000 Qual o significado de a = – 44000? Esse coeficiente nos indica que, a cada ano, o equipamento deprecia R$ 44000,00. Pode-se representar, portanto, a depreciação em função do número de anos decorridos desde a aquisição por: D = 44000 . x Essa função é crescente, uma vez que com o decorrer dos anos, maior é a desvalorização ocorrida. Agora, vai-se representar graficamente a situação exposta. O valor do equipamento por V = – 44000 x + 220000, em que x representa o número de anos, que é uma função decrescente visto que quanto maior o tempo decorrido desde a aquisição, menor o valor do equipamento. Observa-se a depreciação ocorrida na seguinte tabela: x (tempo) V (valor em R$) 0 220000 1 176000 2 132000 3 88000 4 44000 5 0 Então, o valor da máquina, em função do tempo, pode ser representado graficamente por: FUNÇÃO CONSUMO E FUNÇÃO POUPANÇA Para um fechamento ao estudo de funções polinomiais do 1º grau, tratar-se-á de mais duas funções: função Poupança e função Consumo. A proposta é, por meio de exemplos, apresentar-se os conceitos dessas funções lineares. Exemplos 1) Uma família tem um consumo autônomo de R$ 800,00 e uma propensão marginal a consumir igual a 0,8. Obtenha a função consumo e a função poupança. Solução: O consumo autônomo C0 representa um gasto fixo, existente mesmo que a renda disponível seja nula, uma vez que a propensão marginal a consumir na função consumo representa o coeficiente angular “m” dessa função temos: Logo: A função consumo: C = C0 + m . Y, C representa o consumo e Y a renda disponível e, para a situação descrita, C = 800 + 0,8 Y. A diferença entre a renda disponível e o consumo é chamada de função poupança e indicada por S. Desse modo: S = Y – C ⇒ S = Y – (800 + 0,8 Y) ⇒ S = Y – 800 – 0,8 Y ⇒ S = 0,2 Y – 800 que representa a função poupança para a situação descrita. Observa-se que as duas funções são crescentes, uma vez que para ambas o coeficiente angular é positivo. Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 5 1ºSem/2013 Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo Resposta: A função consumo procurada é C = 800 + 0,8 Y e a função poupança é S = 0,2 Y – 800. 2) Dada a função consumo de uma família C = 500 + 0,6 Y, pede-se determinar a função poupança e a renda mínima para que a poupança não seja negativa. Solução: A função será determinada por: S = Y – C ⇒ S = Y – (500 + 0,6 Y) ⇒ S = Y – 500 – 0,6 Y ⇒ S = 0,4 Y – 500 que representa a função poupança para a situação descrita. Para encontrar a renda mínima, faz-se: S ≥ 0 ⇒ 0,4 Y – 500 ≥ 0 ⇒ 0,4 Y ≥ 500 ⇒ Y ≥ 1250. Logo, a renda mínima da família de ser superior a R$ 1.250,00. Resposta: A função poupança procurada é S = 0,4 Y – 500 e a renda mínima da família para que a poupança não seja negativa é de R$ 1.250,00. FUNÇÃO COMPOSTA Há situações em que uma função é constituída a partir de outra ou de outras, o que se denomina composição de funções ou função composta. Definição A função definida por g ( f ( x )), é uma função composta que se representa por ( g o f )( x ), cujo domínio é o conjunto de todos os valores de x no domínio de f, de tal forma que f ( x ) pertence ao domínio de g. Exemplos 1) Seja, por exemplo, g ( x ) = x2 – 4 e f ( x ) = x + 1. Calcular g ( f ( x )) e f ( g ( x )). Solução: a) Para calcular g ( f ( x )), deve-se, na função g ( x ), substituir a variável independente x por ( x + 1). Obtém-se, então: ( g o f )( x ) = [ f ( x )]2 – 4 ⇒ ( g o f )( x ) = (x + 1)2 – 4 ⇒ ( g o f )( x ) = x2 + 2 . x + 1 – 4 ⇒ ( g o f )( x ) = x2 + 2 x – 3 b) Para calcular f ( g ( x )), deve-se, na função f ( x ), substituir a variável independente x por (x2 – 4), ou seja: ( f o g )( x ) = [ g ( x )] + 1 ⇒ ( f o g )( x ) = x2 – 4 + 1 ⇒ ( f o g )( x ) = x2 – 3 2) Seja a função e a função g ( x ) = ( x2 – 5 ). Determinar as funções compostas ( f o g )( x ) e ( g o f )( x ). Solução: a) Para determinar a composição de funções ( f o g ) ( x ) deve-se, na função f, substituir a variável independente x por ( x2 – 5 ). Obtém-se, então: ( f o g )( x ) = f ( g ( x )) = ⇒ ( f o g )( x ) = f ( g ( x )) = ⇒ ( f o g )( x ) = f ( g ( x )) = b) Para a determinação da função composta ( g o f ) ( x ) deve-se, na função g, substituir a variável independente x por . Assim, tem-se: ( g o f )( x ) = g ( f ( x )) = ⇒ ( g o f )( x ) = g ( f ( x )) = 5x + 3 – 5 ⇒ ( g o f )( x ) = g ( f ( x )) = 5x – 2 f x( ) = 5x +3 5 x2 − 5( ) + 3 5x2 − 25 + 3 5x2 − 22 5x + 3 5x + 3 ( )2 − 5 Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 51ºSem/2013 Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo Observação Nota-se que os resultados obtidos dos dois tipos de composição de funções, ( f o g )( x ) e ( g o f )( x ), são diferentes. FUNÇÕES INVERSAS Para determinar se uma função f possui função inversa, representada por f - 1, é preciso, em primeiro lugar, verificar se ela é uma função bijetora. Somente é possível determinar a função inversa de uma função f se esta for uma função bijetora. Assim, vai-se fazer uma explicação com a utilização da representação por diagramas de Venn. Exemplo Dados os conjuntos A = {– 2 , – 1, 0 ,1 , 2} e B = {– 5 , – 3, – 1 , 1 , 3} e a função f : A → B definida pela lei de formação y = 2x – 1 e y = f ( x ). O diagrama de Venn representativo dessa função é: Percebe-se, então, que f = {(– 2, – 5); (– 1, – 3); (0, – 1); (1, 1); (2, 3)} Verifica-se, também, que esta função é bijetora, pois cada elemento do domínio está associado a um único elemento de contradomínio, e vice-versa. No caso de funções bijetoras, sempre ocorre que o contradomínio da função coincide com o conjunto Imagem. Por ser uma função bijetora, a função f admite função inversa. A função inversa da função f será f – 1 : B → A, definida pela lei de formação em que y ∈B e f – 1 ( y ) = x. O diagrama de Venn representativo desta nova situação é: Então f – 1 = {(– 5, –2); (– 3, – 1) ; (– 1, 0); (1, 1) ; (3, 2)}. Conclui-se, então ,que: o conjunto Domínio de f é igual ao conjunto Imagem de f-1 e vice-versa. Determinação da função inversa de uma função dada Caso a função dada, y = f ( x ), seja uma função bijetora e, portanto, invertível, para encontrarmos a sua função inversa é preciso seguir alguns passos. A sequência de passos que devemos fazer é: • “trocamos” a variável “x” por “y” na lei de formação que define a função f ( x ); • em seguida, “isolamos” a variável “y”, e; • obtemos a lei que define a função inversa. Exemplos 1) Obter a lei de formação da função inversa da função f ( x ) = x + 2. x = y +1 2 Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 5 1ºSem/2013 Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo Solução: f ( x ) = x + 2 → copia-se a função f ( x ). y = x + 2 → troca-se f ( x ) por y. x = y + 2 → troca-se x por y e y por x. y = x – 2 → isola-se y, obtendo a lei de formação da função inversa. f – 1( x ) = x – 2 2) Determinar a função inversa da função g ( x ) = , cujo domínio é D = IR – . Solução: g ( x ) = → copia-se a função g ( x ). y = → troca-se g ( x ) por y. → troca-se x por y e y por x x . (2y – 3) = y + 5 → isola-se y, para obter a lei de formação da função inversa. 2xy – 3x = y + 5 2xy – y = 3x + 5 y . (2x – 1) = 3x + 5 g – 1( x ) = EXERCÍCIOS 1) O valor de um equipamento hoje é R$ 2.000,00 e daqui a 9 anos será de R$ 200,00. Admitindo depreciação linear: a) qual o valor do equipamento daqui a 3 anos? Resp.: R$ 1.400,00. b) qual o total de sua depreciação daqui a 3 anos? Resp.: R$ 600,00. c) daqui a quanto tempo o valor da máquina será nulo? Resp.: 10 anos. 2) Daqui a 2 anos o valor de um computador será de R$ 5.000,00 e daqui a 4 anos será de R$ 4.000,00. Admitindo-se depreciação linear: a) qual o valor do computador hoje? Resp.: R$ 6.000,00. b) qual o valor do computador daqui a 5 anos? Resp.: R$ 3.500,00. 3) Daqui a 3 anos, a depreciação total de um automóvel será R$ 5.000,00, e seu valor daqui a 5 anos será de R$ 10.000,00. Qual seu valor hoje? Resp.: 18.333,33. 4) Um equipamento de informática é comprado por R$ 10.000,00 e após 6 anos seu valor estimado é de R$ 2.000,00. Admitindo-se a depreciação linear: a) qual a equação do valor daqui a “x” anos? Resp.: V = 10000 − 4000x 3 b) qual a depreciação total daqui a 4 anos? Resp.: R$ 5.333,33. c) depois de quantos anos o valor do equipamento será nulo? Resp.: 7,5 anos. 5) Uma família tem um consumo autônomo de R$ 8.000,00 e uma propensão marginal a consumir igual a 0,8. Obtenha: a) a função consumo. Resp.: C = 800 + 0,8y b) a função poupança. Resp.: S = – 800 + 0,2y 6) Dada a função consumo de uma família C = 500 + 0,6y. Determine: a) a função poupança. Resp.: S = 0,4y – 500 b) a renda mínima para que a poupança seja não negativa. Resp.: R$ 1.250,00. 7) Dada a função poupança de uma família S = 1 – 800 + 0,35y, pede-se determinar: a) a função consumo. Resp.: C = 800 + 0,65y. b) a renda que induz a um consumo de R$ 1.450,00. Resp.: R$ 1.000,00. 8) Suponha que tudo o que é produzido em uma vila seja consumido nela mesma. Não há gastos com investimentos (visando aumento futuro da capacidade produtiva), nem governo. A função consumo anual é dada por C = 100 + 0,8y. Determine a renda de equilíbrio, aquela para a qual o que é produzido é consumido? Resp.: R$ 500,00. 9) Com relação ao exercício anterior, suponha que os habitantes da vila decidam investir R$ 50,00 por ano, visando, com esses gastos, um aumento da capacidade produtiva. Qual será a renda anual de equilíbrio, aquela para a qual o que é produzido é gasto com consumo mais investimentos? Resp.: R$ 750,00. 10) Ainda com relação ao exercício nº 8, qual será o valor do investimento anual – IA – necessário para que, no equilíbrio, a renda seja igual à renda de pleno emprego, suposta igual a R$ 800,00? (Observação: Renda de pleno emprego é aquela em que são utilizados totalmente os recursos produtivos). Resp.: IA = R$ 60,00. x + 5 2x - 3 3 2 { } x + 5 2x - 3 x + 5 2x - 3 x = y + 5 2y - 3 y = 3x + 5 2x - 1 3x + 5 2x - 1 Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 5 1ºSem/2013 Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 11) Em uma economia fechada e sem nenhum tipo de governo, suponha que a função de consumo do país seja C = 40 + 0,75y e a renda de pleno emprego seja igual a R$ 500,00. Qual o nível de investimento – I – necessário para que a economia esteja em equilíbrio a pleno emprego? Resp.: I = 85,00. 12) Em um país, quando a renda é R$ 6.000,00, o consumo é de R$ 5.600,00 e, quando a renda é de R$ 7.000,00, o consumo é de R$ 6.200,00. Obtenha a função consumo e a função poupança, admitindo-as de 1º grau. Resp.: C = 0,6y + 2000 e S = 0,4y – 2000. 13) Dadas as funções f ( x ) = x2 + 4x – 5; g ( x ) = 2x + 1 e h ( x ) = 3x, determine: a) f ( g ( h ( x ))). Resp.: f ( g ( h ( x ))) = 36 x 2 + 36x b) g ( f ( h ( x ))). Resp.: g ( f ( h ( x ))) = 18 x 2 +24 x – 9 c) h ( f ( g ( x ))). Resp.: h ( f ( g ( x ))) = 12 x 2 + 36x 15) Dadas as funções f ( x ) = 2 x 2 – 6 e g ( x ) = 4 x – 3, determine as funções compostas f ( g ( x )) e g ( f ( x )). Resp.: f ( g ( x )) = 32 x 2 – 48 x + 12 e g ( f ( x )) = 8 x 2 – 27. 16) Sendo f ( x ) = 5 x – 1 e g ( x ) = 2 x, determine o valor de f ( g ( – 2 )) e g ( f ( 0 )). Resp.: f ( g ( – 2 )) = – 21 e g ( f ( 0 )) = – 2. 17) Dadas as funções f ( x ) = x – 3 e g ( x ) = x2 – 5x + 6, calcule quanto deve valer a variável x para que se tenha g ( f ( x )) = 42. Resp.: x = – 1 ou x = 12. 18) Dada a função f ( x ) = x2 + 1 e g ( x ) = 3x – 4, determine f ( g ( 3)) + g ( f ( 5 )). Resp.: 19) Sendo f ( x ) = 3x – 2 e g ( x ) = –2x + k, encontrar k, tal que f ( g ( x )) = g ( f ( x )). Resp.: k = 3. 20) Para cada valor real de x, sejam f ( x ) = x2 e g ( x ) = f ( f ( x)). Calcule o valor de f g 3( )( ) g 3( ) . Resp.: 81. 21) Dadas as funções reais f ( x ) = 2x – 6 e g ( x ) = ax + b. Se f ( g ( x )) = 12x + 8, determine o valor de a + b. Resp. a + b = 13 22) Seja f uma função polinomial do 1º grau, decrescente, tal que f ( 3 ) = 2 e f ( f ( 1 )) = 1. Determine a abscissa do ponto onde o gráfico da função f corta oeixo x. Resp.: x = 5. 23) O quadro dado abaixo fornece uma tabela para conversão de tamanho de chapéus masculinos para três países: Inglaterra 6 1 2 65 8 6 3 4 67 8 7 7 1 8 7 1 4 73 8 França 53 54 55 56 57 58 59 60 Estados Unidos 6 5 8 6 3 4 67 8 7 7 1 8 7 1 4 73 8 7 1 2 A função g ( x ) = 8x + 1 converte os tamanhos ingleses para os franceses e a função f ( x ) = x 8 converte os tamanhos franceses para os americanos. Com base no exposto, determine a função que determina a função h ( x ) que faz a conversão dos tamanhos de chapéus ingleses para os americanos. Resp.: h ( x ) = x + 1 8 . 24) Sabendo-se que f ( g ( x )) = 3x – 7 e f ( x ) = x 3 – 2, determine a função g ( x ). Resp.: g ( x ) = 9x – 15. 25) Sejam f ( x ) = x2 + 1 e g ( x ) = x – 1 duas funções reais. Determine (g f ) ( y – 1) . Resp.: (g f ) ( y – 1) = y2 – 2y + 1 26) Sejam as funções reais f x( ) = x2 − x − 2 e g x( ) = 1− 2x . a) Obtenha as funções f g( ) x( ) e g f( ) x( ) ; Resp.: f g( ) x( ) = 4x2 − 2x − 2 e g f( ) x( ) = − 2x2 + 2x + 5 b) Calcule f g( ) − 2( ) + g f( ) − 2( ) . Resp.: 11. c) Determine os valores do domínio da função f g( ) x( ) que produzem imagem negativa. Resp.: x = 2 ou x = 3 2 . 27) Sejam as funções reais f x( ) = 2 e g x( ) = 3x −1 . Obtenha as leis de formação de f g( ) x( ) e g f( ) x( ) . Resp.: f g( ) x( ) = 2 e g f( ) x( ) = 5 . 28) Nas funções reais f x( ) = x2 + 2 e g x( ) = x − 3 , obtenha as leis de formação que definem: a) f g( ) x( ) b) g f( ) x( ) c) f f( ) x( ) d) gg( ) x( ) Resp.: a) f g( ) x( ) = x2 − 6x +11 b) g f( ) x( ) = x 2 −1 c) f f( ) x( ) = x4 + 4x2 + 6 d) gg( ) x( ) = x − 6 Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 5 1ºSem/2013 Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 29) Dadas as funções reais definidas por f x( ) = 3x + 2 e g x( ) = 2x + a , determine o valor de a de modo que se tenha f g( ) x( ) = g f( ) x( ) . Resp.: a = 1. 30) Sejam as funções f x( ) = x −1 e g x( ) = 2x2 − 5x + 3 . Determine os domínios das funções f g( ) x( ) e g f( ) x( ) . Resp.: D f g( ) x( )⎡⎣ ⎤⎦ = x ∈ | x ≤ 1 2 ou x ≥ 2 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ e D g f( ) x( )⎡⎣ ⎤⎦ = x ∈ | x ≥1{ } . 31) Sejam as funções reais f x( ) = 2x +1 e g x( ) = x2 −1 e h x( ) = 3x + 2 . Obtenha a lei que define hg( ) f( ) x( ) . Resp.: hg( ) f( ) x( ) = 12x2 +12x + 2 . 32) Dadas as funções f x( ) = 2x +m e g x( ) = ax + 2 , qual é a relação que a e m devem satisfazer para que se tenha f g( ) x( ) = g f( ) x( ) ? Resp.: a = m + 2m . 33) Se f x( ) = 11− x , determine f f f( )( ) x( ) . Resp.: f f f( )( ) x( ) = x . 34) Sejam as funções f x( ) = 2x + 7 e f g( ) x( ) = x2 − 2x + 3 . Determine a lei de formação da função g x( ) . Resp.: g x( ) = x 2 2 − x − 2 . 35) Sejam as funções reais g x( ) = 2x − 3 e f g( ) x( ) = 2x2 − 4x +1. Determine a lei de formação da função f x( ) . Resp.: f x( ) = x 2 + 2x −1 2 . 36) Sendo f x( ) = 2x +10 e g x( ) = x 2 −100 , determine o valor de “x” para que a igualdade g f( ) x( ) = 0 seja verdadeira. Resp.: x = 0 ou x = 10. 37) Dadas f x( ) = 2x +1 e f g x( )( ) = 2x + 9 , calcule g x( ) . Resp.: g x( ) = x + 4 38) Sejam f : → e g : → definidas por f x( ) = x2 − 2x − 3 e g x( ) = 4x +m . Sabendo que f g −1( )( ) = 12 , calcule o valor de “m”. Resp.: m = 1 ou m = 9. 39) Dadas as funções f x( ) = x2 − 5x + 6 e g x( ) = x + 4 , pede-se: a) o valor de “x”, de modo que f g x( )( ) = 0 . b) o valor de “x”, para que f 2( ) + g x( ) = g f 4( )( ) . Resp.: a) x = – 2 ou x = – 1 e b) x = 2. 40) Sendo f x( ) = x2 + 2x e g x( ) = 1− 3x , determine f g x( )( ) − g f x( )( ).Resp.: 12x2 – 6x + 2. 41) Determine a função inversa das seguintes funções de em . a) f ( x ) = x – 6. Resp.: f −1 x( ) = x + 6 b) f ( x ) = 1 – 2x. Resp.: f −1 x( ) = 1− x2 c) f ( x ) = 3x + 4. Resp.: f −1 x( ) = x − 43 d) f ( x ) = 3x. Resp.: f −1 x( ) = x3 42) Determine as inversas de cada uma das funções a seguir, apresentando domínio e imagem: a) y = x. Resp.: y −1= x ; D = e Im = b) y = 2x + 4. Resp.: y −1= x − 4 2 ; D = e Im = c) y = − 2x + 6 5 . Resp.: y −1= 5x − 6 − 2 ; D = e Im = d) y = x + 3 2 . Resp.: y −1= 2x − 3 ; D = e Im = Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 5 1ºSem/2013 Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo e) y = 2x +1 x −1 . Resp.: y −1= x +1 x − 2 ; D = y ∈ y ≠ 1{ } e Im = x ∈ x ≠ 2{ } f) y = x − 2 3x + 6 . Resp.: y −1= 6x + 2 1− 3x ; D = y ∈ y ≠ − 2{ } e Im = x ∈ x ≠ 13 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ g) y = 1 x . Resp.: y −1= 1 x ; D = e Im = x ∈ x ≠ 0{ } h) y = 1 x + 2 . Resp.: y −1= 1− 2x x ; D = y ∈ x ≠ − 2{ } e Im = x ∈ x ≠ 0{ } i) y = x3 −1 . Resp.: y −1= x − 2 3 ; D = e Im = j) y = x − 2 3 . Resp.: y −1= x3 + 2 ; D = e Im = 43) Determine a função inversa da função bijetora dada por f ( x ) = x x − 2 , bem como seu domínio e imagem. Resp.: f −1 x( ) = 2xx −1 D = y ∈ y ≠ 2{ } Im = x ∈ x ≠1{ } ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 44) Seja a função y = f(x) = 3x – 4 definida de IR em IR, determine: a) f −1 x( ) . Resp.: f −1 x( ) = x + 43 b) f −1 2( ) . Resp.: f −1 2( ) = 2 45) Sendo f : → dada por f x( ) = 3 + 15 x , calcule f −1 0( ) . Resp.: f −1 0( ) = – 15. 46) A função f é definida por y = f x( ) = 5x + 23x −1 , determine o domínio e a imagem para existir f −1 x( ) . Resp.: Df = x ∈ x ≠ 1 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ Imf = y ∈ y ≠ 5 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 47) A função f é definida por y = f x( ) = 2x + 34x − 5 , determine o domínio e a imagem para existir f −1 x( ) . Resp.: Df = x ∈ x ≠ 5 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ Imf = y ∈ y ≠ 1 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 48) Seja a função f : – { – 2 } → – { 4 }, definida por f x( ) = 4x − 3x + 2 . Qual o valor do domínio da função f com imagem igual a 5? Resp.: x = 17 7 . 49) Considere a função f ( x ) = 2x2 + 1, para x ≥ 0. Se a função g ( x ) for a função inversa da função f ( x ), então, determine o valor de g ( f ( 6 )) + f ( g ( 6 )). Resp.: g ( f ( 6 )) + f ( g ( 6 )) = 12 50) Sendo as funções f : → | f ( x – 5) = 3x – 8 e g : → | g ( x ) = 2x + 1, determine o valor de f ( 2 ) – g – 1 ( 7 ). Resp.: 10.
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