provas calculo 2

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1a Questão (Ref.: 201407476877) Pontos: 1,0 / 1,0 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 k 
 j 
 i - j + k 
 j + k 
 j - k 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407476901) Pontos: 1,0 / 1,0 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 2t j 
 - 3t2 i + 2t j 
 3t2 i + 2t j 
 t2 i + 2 j 
 0 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407354670) Pontos: 1,0 / 1,0 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
12 
 
- 11 
 11 
 
5 
 
-12 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407353508) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 (sent)i + t³j 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
(cost)i + 3tj 
 
-(sent)i -3tj 
 
(cost)i - 3tj 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407354091) Pontos: 1,0 / 1,0 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(a) 
 
(e) 
 
(b) 
 
(d) 
 (c) 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407355698) Pontos: 1,0 / 1,0 
Sendo f(x,y,z)=e
xyz 
encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada variável no 
pontoP(1,0,1). 
 
 
 
0 
 1 
 
3e 
 
e 
 
2e 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201407345784) Pontos: 1,0 / 1,0 
Determine a equação do plano tangente à esfera x²+y²+z²=50 no ponto P(3,4,5). 
 
 6x+8y-5z=0 
 3x+4y -5z=0 
 6x+8y+10z=100 
 
 3x+4y+5z=0 
 3x-4y+5z=18 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201407345702) Pontos: 1,0 / 1,0 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 z=-8x+12y -14 
 z=-8x+10y-10 
 z=-8x+12y-18 
 z=8x-12y+18 
 z=8x - 10y -30 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201407356030) Pontos: 1,0 / 1,0 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
 
 w2 
 cos2(wt) 
 -wsen(wt) 
 0 
 w2sen(wt)cos(wt) 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201407359920) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 
 
 cos t 
 
sen t 
 
ln t + sen t 
 
tg t 
 
ln t 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201407359894) Pontos: 0,0 / 1,0 
Encontre um vetor tangente unitário da curva r(t) = (6 sen 2t) i + (6 cos 2t) j + 5t k para t 
pertencente ao intervalo [0,Π] 
 
 
Resposta: 
 
 
Gabarito: 
v(t) = dr/dt = (12 cos 2t)i + (-12 sen 2t)j + 5k 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407365570) Pontos: 0,0 / 1,0 
Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo 
cilindro parabólico z = 4 - y2 
 
 
Resposta: 
 
 
Gabarito: 
V=∫02∫03(4-y2)dxdy=∫02[4x-y2x]|0
3 dy 
V=∫02(12-3y2)dy = 16 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407353508) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
-(sent)i -3tj 
 
(cost)i - 3tj 
 
(cost)i + 3tj 
 (sent)i + t³j 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407365566) Pontos: 0,0 / 1,0 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 2cos(x - 3y) 
 
2sen(x - 3y) 
 2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407359931) Pontos: 0,0 / 1,0 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 (-sen t)i + (cos t)j + k 
 (-sen t)i + (cos t)j 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407555471) Pontos: 1,0 / 1,0 
Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e]. 
 
 845/2 
 
455/4 
 
845/3 
 
455/2 
 
455/3 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201407361628) Pontos: 1,0 / 1,0 
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny . 
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
 
 -1 
 0 
 -2 
 1 
 2 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201407555597) Pontos: 1,0 / 1,0 
Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função F(x,y,z) 
 
 ( 3* x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) / (2 * y^(1/2) * z ) ) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
( x^(2) * y^(1/2) ) / (2 * z) (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / (2 * z^(2)) (k) 
 
( x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 * z ) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 *z) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201407360017) Pontos: 1,0 / 1,0 
Resolva a integral ∫02ln3∫y2ln3ex2dxdy invertendo a ordem de integração 
 
 
e 
 
2 
 
e+2 
 2 
 
3 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201407356872) Pontos: 0,0 / 1,0 
Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo domínio de uma 
função f(x,y,z) no espaço, os valores de f ao longo da curva são dados pela 
função composta f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em 
relação ao comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a integral de 
linha de f(x,y,z) ao longo da curva. 
Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt onde ds=|v(t)|dt 
Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada 
por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 
 
 
 
233 
 1 
 423 
 
2 
 
324