Simetria, Isometria, Grupos diedrais

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Simetria do Quadrado 
 
Simetrias de uma figura 
 A identificação de simetrias numa figura é da maior relevância na investigação das propriedades 
de e na resolução de problemas geométricos que lhe dizem respeito. 
Existem figuras que podem ser vistas como a união de uma figura com sua imagem pela 
reflexão na reta 𝐼 ⊆ 𝐹. Nesse caso, dizemos que a figura é uma figura simétrica (axialmente) 
em relação à reta . A transformação é chamada de simetria axial interna e a reta 𝐼 é chamada de eixo de 
simetria interna da figura. 
 O quadrado (losango e retângulo), quatro eixos de simetria: as retas suportes das diagonais e as 
medianas dos lados; 
 
 Figura 1 
 
Suponhamos que, relativamente a um ponto , duas figuras e estejam associadas pela 
simetria , isto é, .Nesse caso, dizemos que a figura é uma figura simétrica 
em relação ao ponto . A transformação é chamada de simetria central interna e o ponto é chamado 
de centro de simetria interna da figura. 
Fonte: http://www.sato.prof.ufu.br/Constr-ReguaCompasso/node9.html 
Um quadrado desenhado no plano possui 8 simetrias: 1 delas é a identidade, 3 são rotações 
horárias centradas em seu centro de Gravidade de ângulos 
𝜋
2
, 𝜋 𝑒 
3𝜋
2
 , 2 são reflexões através de suas 
mediatrizes e 2 são reflexões através de suas diagonais. 
Podemos utilizar números para marcar as figuras e assim relacionar os grupos de simetrias a grupos 
de permutações. Fazemos isso comumente associando números aos vértices de figuras, mas de uma 
maneira geral podemos também associar números a lados, diagonais, ou outros elementos das 
figuras. 
Na figura 2, estão listadas as 8 simetrias do quadrado, bem como as permutações correspondentes de seus 
vértices numerados. 
 
Figura 2 
Fonte: http://www.bienasbm.ufba.br/M37.pdf 
Conteúdos Extra: 
São materiais sobre Grupo de simetria: 
http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/alex_pol.pdf 
http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/mono01.pdf ( Página 4,5) 
 
Isometria 
DEFINIÇÃO 1: 
Sem muito rigor, as isometrias são transformações geométricas que preservam 
as distâncias entre pontos e as amplitudes de ângulos e, assim, transformam uma figura em outra 
“geometricamente igual”: cada segmento da figura transformada tem o mesmo tamanho do seu 
correspondente na figura original, podendo variar a direção ou o sentido, e cada ângulo 
transformado mantém a sua amplitude inicial. Portanto, uma isometria pode mudar somente a 
posição da figura na qual ela foi aplicada. 
DEFINIÇÃO 2: 
Uma aplicação f: X y entre espaços métricos diz-se uma isometria se Dy(f(x1), 
f(x2))=Dx(x1,x2) para x1,x2 e X. 
Chamamos isometrias às aplicações que transformam uma figura geométrica numa outra 
geometricamente igual à primeira, ou seja, é uma aplicação que conserva as distâncias entre os 
pontos e a amplitude dos ângulos. Uma isometria é uma transformação geométrica do plano que 
conserva os comprimentos dos segmentos de reta e as amplitudes dos ângulos. 
DEFINIÇÃO 3: 
Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, 
mantém as distâncias entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura transformada 
são geometricamente iguais aos da figura original, podendo variar a direção e o sentido. 
Os ângulos mantêm também a sua amplitude. 
DEFINIÇÃO 4: 
Isometria: do grego ισο + μέτρο (ισο = iso = igual; μέτρο = metria = medida) 
Uma isometria é uma transformação geométrica que preserva as distâncias entre pontos e 
consequentemente as amplitudes dos ângulos, transformando uma figura noutra figura congruente. 
 
Classificação e características: 
 Existe isometrias simples e isometrias compostas. 
 
SIMPLES: 
 Rotação: 
O movimento de rotação, é o movimento circular de um objeto ao redor de um centro 
ou ponto de rotação. 
Um objeto tridimensional exerce o movimento de rotação, sempre ao redor de 
uma linha imaginária, chamada eixo de rotação. Se esse eixo, está dentro do corpo e passa pelo 
seu centro de massa, se diz que o corpo está rotacionando sobre si mesmo, ou gira. 
Em uma rotação: 
 
o Qualquer segmento de reta é transformado em um segmento de reta com o 
mesmo comprimento (não necessariamente paralelo). 
o Qualquer ângulo é transformado em um ângulo congruente. 
Observação: 
Para se definir uma rotação é necessário fixar um ponto do plano, digamos OO e um ângulo 
segundo o qual será feita a rotação, digamos um ângulo de medida αα. Nesse caso, todos os 
pontos da figura inicial rodam em torno do ponto OO, segundo um ângulo de medida αα e um 
sentido. O sentido da rotação pode ser o mesmo dos ponteiros de um relógio (dito sentido 
negativo) ou contrário ao sentido dos ponteiros do relógio (dito sentido positivo). 
 
 Translação: 
A translação é o movimento que um objeto realiza de um ponto a outro. É o 
deslocamento paralelo, em linha reta na mesma direção e no mesmo sentido, de um objeto 
ou figura, em função de um vetor percorrendo a mesma distância. 
Uma translação é uma isometria que desloca a figura original segundo uma direção, um 
sentido e um comprimento (vetor). As translações conservam a direção e o comprimento de 
segmentos de reta, e as amplitudes dos ângulos. 
Na simetria de translação, a figura "desliza" sobre uma reta, mantendo-se inalterada. Podemos 
citar como exemplo de translação, elevadores, escadas rolantes e até mesmo escorregadores. 
Em todas as translações se observa que um mesmo elemento se desloca numa determinada 
direção e sempre paralelo a si próprio, isto é, sem nunca rodar. Num friso há um motivo que se 
repete periodicamente, numa determinada direção e sempre paralelo a si mesmo. 
Em uma translação: 
o Qualquer segmento de reta é transformado em um segmento de reta paralelo e 
com o mesmo comprimento. 
o Qualquer ângulo é transformado em um ângulo congruente (de mesma medida). 
o Todos os pontos da figura inicial e os seus respectivos transformados definem a 
mesma direção, o mesmo sentido e estão à mesma distância. 
 
 Reflexão: 
Reflexão é uma transformação geométrica do ponto, da reta, do plano ou do e--spaço que 
"espelha" todos os pontos em relação, respectivamente, a um ponto (dito centro de reflexão), 
uma reta (dita eixo de reflexão ou eixo de simetria) ou um plano (chamado plano de reflexão ou 
de simetria), transformando o ponto, a reta ou o plano num outro, que lhe é simétrico em relação 
ao eixo dado. 
Uma reflexão do plano euclidiano é uma simetria ortogonal em relação a uma reta (reta 
vetorial, quando se tratar de um plano vetorial euclidiano). Portanto, uma reflexão constitui 
uma simetria axial. 
Em geral, dentro de um espaço euclidiano qualquer, uma reflexão é uma simetria ortogonal 
em relação a um hiperplano, isto é, a um subespaço de codimensão 1. Em dimensão 3, trata-se 
portanto de uma simetria ortogonal em relação a um plano. 
As reflexões, como todas as simetrias, são transformações involutivas. 
O termo se remete originalmente aos espelhos, que refletem uma imagem. A figura imagem e 
a figura original são isométricas. 
PS. Em matemática, uma involução é uma função que é inversa de si própria, isto é, se f(f(x))=x, 
para todo o x no domínio de f. 
 
Em uma reflexão: 
 
o Qualquer segmento de reta é transformado em um segmento de reta com o mesmo 
comprimento (não necessariamente paralelo). 
o Qualquer ângulo é transformado em um ângulo congruente. 
Observação: 
Para se fazer uma reflexão, precisamos de uma reta, digamos rr. Nesse caso, a reflexão em 
torno de rr deixa invariantes os pontos de rr (transforma pontos de rr neles próprios) e cada 
ponto PP que não pertencea rr é transformado em um ponto P′P′ tal que rr é a mediatriz do 
segmento PP′PP′ (a distância de PP a rr é igual à distância de P′P′ a rr e o segmento de reta 
determinado por PP e P′P′ é perpendicular à reta rr). 
 
ISOMETRIA COMPOSTA: 
Isometrias compostas são composições de várias isometrias. 
Um exemplo de isometria composta é a reflexão deslizante. Uma isometria deslizante é 
composta por uma reflexão e uma translação paralela ao eixo de reflexão. 
OBS: 
n 
n 
Como as isometrias são transformações que não distorcem as formas e mantêm os 
tamanhos das figuras, cada isometria é uma transformação geométrica que permite movimentar 
uma figura sem que suas propriedades métricas sejam alteradas. Portanto, tem sentido 
procurarmos figuras cujas imagens produzidas por isometrias coincidam com as respectivas 
figuras originais. Essas figuras têm um nome especial na matemática, vocês as conhecem? 
Novamente, sem muito rigor, dizemos que uma figura é simétrica (ou tem simetria) quando 
for possível encontrar uma isometria (diferente da identidade) que transforme essa figura nela 
própria. Nesse caso, a isometria que deixa uma figura F invariante é dita uma simetria da figura F. 
Assim uma figura pode ter simetria de translação, simetria de reflexão, simetria de 
rotação ou simetria de reflexão deslizante ou nenhuma simetria. 
Vale observar que, embora rigorosamente falando simetria seja uma propriedade de algumas 
figuras, é comum que, de maneira informal, duas figuras sejam consideradas simétricas quando 
uma pode ser obtida a partir da outra por meio de isometrias. 
 
Extra: 
http://www3.pucrs.br/pucrs/files/uni/poa/fau/pdf/transf_geom.pdf 
https://pt.slideshare.net/7f14_15/isometrias-9c2ba 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isometria_(axonometria) 
http://maisnatural.weebly.com/uploads/5/6/0/2/5602101/isometrias.pdf 
https://sigarra.up.pt/flup/pt/pub_geral.show_file?pi_gdoc_id=58554 (Capitulo 3) 
 
Grupos Diedrais 
 
Em matemática e, em especial, na teoria dos grupos, um grupo diedral é o grupo de simetrias de 
um polígono regular de 𝑛 lados qualquer, que se representa quer por 𝐷𝑛 , quer por 𝐷2𝑛. Sua 
apresentação é dada por𝐷𝑛 = 〈𝑥, 𝑦: 𝑥
𝑛 = 1, 𝑦2 = 1, (𝑥𝑦)2 = 1〉 e 𝐷∞ = 〈𝑥, 𝑦: 𝑦
2 = 1, (𝑥𝑦)2 = 1〉 . 
 
 
Para n > 2, o conjunto das simetrias de um pol´ıgono regular de n lados ´e um grupo para 
a composic¸a˜o de simetrias. Este tipo de grupo chama-se grupo diedral de ordem n e denota- 
se por Dn. Ele e´ constitu´ıdo por n rotac¸o˜es de 2kπ em torno do centro do pol´ıgono, para 
k = 0, 1, 2, · · · n − 1, num dos sentidos (por exemplo, no sentido directo), e por n reflexo˜es em 
torno dos eixos de simetria do pol´ıgono. Denotando por r a rotac¸a˜o de 2π , o conjunto das 
rotac¸o˜es e´ 
 
e, r, r2, · · · , rn−1. 
Se s e´ a reflexa˜o en torno de um eixo de simetria, enta˜o todas as outras reflexo˜es sa˜o da forma 
ris para i = 1, · · · , n − 1. Portanto, temos que 
Dn = {e, r, r2, · · · , rn−1, s, rs, r2s, · · · , rn−1s}, 
sendo rn = e e s2 = e. Ale´m disso, verifica-se que sr = rn−1s ou seja sr = r−1s, visto que 
rn−1 = r−1. Todos os outros produtos podem ser calculados a partir destas igualdades. Por 
exemplo, 
sr2 = srr = r−1sr = r−2s = rn−2s 
 
. 
Para n=3 temos o grupo 
D3 = {e, r, r
2, s, rs, r2s} 
das simetrias do triaˆngulo equila´tero. 
 
Da mesma forma, D4 = {e, r, r2, r3, s, rs, r2s, r3s} e´ o grupo de simetrias do quadrado, 
D5 = {e, r, r2, r3, r4, s, rs, r2s, r3s, r4s} e´ o grupo de simetrias do penta´gono regular, e assim 
sucessivamente. 
Cada elemento do grupo Dn tem a forma rk ou rks, onde 0 ≤ k ≤ n − 1, sendo 
rarb = rk e ra(rbs) = rks, com k = a +n b 
(ras)rb = rls e (ras)(rbs) = rl, coml = a +n (n − b). 
Diz-se que o conjunto {r, s} gera o grupo Dn, num sentido ´obvio que tornaremos preciso 
mais adiante. 
 
A ordem de um grupo finito tt e´ o nu´mero de elementos do conjunto subjacente que se denota 
por |tt|. Um grupo com um nu´mero infinito de elementos diz-se que tem ordem infinita. 
Para um elemento x de um grupo tt, se xn = e para algum n natural diz-se que x tem 
ordem finita e o menor inteiro positivo que satisfaz essa igualdade chama-se a ordem de x. Caso 
contra´rio diz-se que x tem ordem infinita. 
O u´nico elemento de um grupo que tem ordem um e´ o elemento neutro. No grupo Z ele e´ o 
u´nico elemento de ordem finita. 
Todos os elementos de grupos finitos teˆm ordem finita. 
No grupo infinito C − {0}, existem elementos de ordem finita tais como i e −i (que teˆm 
ordem quatro) e elementos de ordem infinita como 1 + i e muitos outros.
Exemplo: 
Para n = 4, temos o grupo D4, que consiste das 8 simetrias do quadrado: 4 rotações no 
sentido anti-horário de 0,
𝜋
2
, 𝜋 𝑒 
3𝜋
2
 radianos em torno do centro, denotadas por 𝑟0, 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, 
respectivamente, e 4 reflexões sobre seus eixos de simetria (linhas tracejadas), 2 que 
correspondem as retas que bissectam perpendicularmente dois lados opostos e 2 que 
interceptam vértices opostos, denotadas por s, t, u, v. 
 
 
 
Extra: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Grupo_diedral 
http://www.dm.ufscar.br/dm/index.php/component/attachments/download/2268 (Capitulo 
4) 
http://www.professores.uff.br/marco/algebraII-2014/grupos-mod1.pdf 
http://bit.profmat-
sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/501/2011_00396_ELISABETE_SANTANA_DE_
AVILA_E_SILVA.pdf?sequence=1 ( Capitulo 3)