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Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais MECAˆNICA - MAC010 - 01 Profa Miche`le Farage 14 de marc¸o de 2011 Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Programa I 1. Introduc¸a˜o: conceitos e definic¸o˜es ba´sicos da Mecaˆnica, sistemas de unidades, homogeneidade de unidades. I 2. Forc¸as e grandezas vetoriais: escalares e vetores, operac¸o˜es vetoriais, adic¸a˜o de forc¸as vetoriais, adic¸a˜o de sistemas de forc¸as coplanares, vetores cartesianos, adic¸a˜o e subtrac¸a˜o de vetores cartesianos, vetores posic¸a˜o, vetor forc¸a orientado ao longo de uma reta, produto escalar, I 3. Equil´ıbrio de um ponto material: condic¸a˜o de equil´ıbrio, diagrama de corpo livre, sistemas de forc¸as coplanares, sistema de forc¸as tridimensional; Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Programa I 4. Resultantes de sistemas de forc¸as : momento (formulac¸o˜es escalar e vetorial), princ´ıpios dos momentos, momento de uma forc¸a em relac¸a˜o a um eixo, momento de um bina´rio, sistemas equivalentes, resultantes de sistemas de forc¸as e momentos, reduc¸o˜es de sistemas de forc¸as e momentos, reduc¸a˜o de sistemas de cargas distribu´ıdas; I 5. Equil´ıbrio de um corpo r´ıgido : condic¸o˜es de equil´ıbrio, diagramas de corpo livre, equac¸o˜es de equil´ıbrio, equil´ıbrio em 3 dimenso˜es, restric¸o˜es para o corpo r´ıgido. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Programa I 6. Trelic¸as : trelic¸as planas, me´todo dos no´s, me´todo das sec¸o˜es, trelic¸as espaciais. I 7. Esforc¸os internos : definic¸a˜o de esforc¸os internos, esforc¸os cortante, normal, momento fletor e momento torsor, ca´lculo de esforc¸os internos em sec¸o˜es de barras. I 8. Centro de gravidade e centro´ide : centro de gravidade de um sistema de pontos materiais, centro de gravidade e centro´ide de um corpo, corpos compostos; I 9. Momentos de ine´rcia : definic¸a˜o de momento de ine´rcia de a´reas, raio de girac¸a˜o, ca´lculo por integrac¸a˜o, teorema dos eixos paralelos, momentos de ine´rcia de a´reas compostas, produto de ine´rcia, momentos de ine´rcia em relac¸a˜o a eixos inclinados, momentos principais de ine´rcia Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Bibliografia I Livro-texto: Esta´tica: mecaˆnica para engenharia, R. C. Hibbeler, Ed. Pearson, 10a edic¸a˜o. I Esta´tica, A. P. Boresi e R. . Schimidt, Ed. Thomson. I Mecaˆnica vetorial para engenheiros - esta´tica, F. Beer e E. R. Johnston, Ed. McGraw-Hill. I Esta´tica, J. L. Meriam e L. G. Kraige , Ed. LTC. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Avaliac¸o˜es As avaliac¸o˜es consistem em provas. Datas das provas: I Prova 01 − dia 14/04/2011 − ate´ o item 4 I Prova 02 − dia 24/05/2011 − ate´ o item 7 I Prova 03 − dia 30/06/2011 − ate´ o item 9 Nota final = me´dia das 3 notas. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Atendimento extra-classe I e-mail: michele.farage@ufjf.edu.br I sala: Departamento de Mecaˆnica Aplicada e Computacional (MAC), − Faculdade de Engenharia I Telefone: 2102-3470 I Hora´rios de atendimento: terc¸a e quinta-feira, de 14h00 a`s 16h00 I Local: MAC Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Definic¸a˜o de Mecaˆnica Mecaˆnica e´ o ramo das cieˆncias f´ısicas que trata do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos a` ac¸a˜o de forc¸as, sendo subdividida em: I Mecaˆnica dos corpos r´ıgidos; I Mecaˆnica dos corpos deforma´veis e I Mecaˆnica dos fluidos. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Definic¸a˜o de Mecaˆnica Mecaˆnica e´ o ramo das cieˆncias f´ısicas que trata do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos a` ac¸a˜o de forc¸as, sendo subdividida em: I Mecaˆnica dos corpos r´ıgidos → Esta´tica e Dinaˆmica I Mecaˆnica dos corpos deforma´veis e I Mecaˆnica dos fluidos. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Definic¸a˜o de Esta´tica A Esta´tica trata do equil´ıbrio dos corpos. Um corpo em equil´ıbrio encontra-se em repouso ou em movimento retil´ınio uniforme. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Definic¸a˜o de Esta´tica A Esta´tica trata do equil´ıbrio dos corpos. Um corpo em equil´ıbrio encontra-se em repouso ou em movimento retil´ınio uniforme. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Desenvolvimento histo´rico da Mecaˆnica O desenvolvimento dos princ´ıpios da Esta´tica comec¸ou ha´ milhares de anos. I Os primeiros registros relativos ao estudo da Esta´tica datam do se´culo IV a.C, sendo atribu´ıdos a Aristo´teles; I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princ´ıpio da Alavanca e estudos sobre polias, torc¸a˜o, entre outros; I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizar experimentos relacionados a` dinaˆmica (peˆndulos e objetos em queda livre); I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 Leis Fundamentais do Movimento e a Lei da Gravitac¸a˜o Universal. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Desenvolvimento histo´rico da Mecaˆnica O desenvolvimento dos princ´ıpios da Esta´tica comec¸ou ha´ milhares de anos. I Os primeiros registros relativos ao estudo da Esta´tica datam do se´culo IV a.C, sendo atribu´ıdos a Aristo´teles; I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princ´ıpio da Alavanca e estudos sobre polias, torc¸a˜o, entre outros; I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizar experimentos relacionados a` dinaˆmica (peˆndulos e objetos em queda livre); I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 Leis Fundamentais do Movimento e a Lei da Gravitac¸a˜o Universal. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Desenvolvimento histo´rico da Mecaˆnica O desenvolvimento dos princ´ıpios da Esta´tica comec¸ou ha´ milhares de anos. I Os primeiros registros relativos ao estudo da Esta´tica datam do se´culo IV a.C, sendo atribu´ıdos a Aristo´teles; I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princ´ıpio da Alavanca e estudos sobre polias, torc¸a˜o, entre outros; I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizar experimentos relacionados a` dinaˆmica (peˆndulos e objetos em queda livre); I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 Leis Fundamentais do Movimento e a Lei da Gravitac¸a˜o Universal. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Desenvolvimento histo´rico da Mecaˆnica O desenvolvimento dos princ´ıpios da Esta´tica comec¸ou ha´ milhares de anos. I Os primeiros registros relativos ao estudo da Esta´ticadatam do se´culo IV a.C, sendo atribu´ıdos a Aristo´teles; I Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princ´ıpio da Alavanca e estudos sobre polias, torc¸a˜o, entre outros; I Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizar experimentos relacionados a` dinaˆmica (peˆndulos e objetos em queda livre); I Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 Leis Fundamentais do Movimento e a Lei da Gravitac¸a˜o Universal. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais O que pode ocorrer se a Mecaˆnica na˜o for aplicada corretamente? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais O que pode ocorrer se a Mecaˆnica na˜o for aplicada corretamente? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais O que pode ocorrer se a Mecaˆnica na˜o for aplicada corretamente? Desmoronamento de ponte no Mississipi (2007): 9 mortos e mais de 30 feridos Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais O que pode ocorrer se a Mecaˆnica na˜o for aplicada corretamente? Desmoronamento de tu´nel em Sa˜o Paulo (2007): 7 mortos, 212 desabrigados Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais O que pode ocorrer se a Mecaˆnica na˜o for aplicada corretamente? Desmoronamento da cobertura da Igreja Renascer em Sa˜o Paulo (2009): 9 mortos e mais de 100 feridos Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais O que pode ocorrer se a Mecaˆnica na˜o for aplicada corretamente? Acidente ambiental Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Conceitos fundamentais I Grandezas ba´sicas I Idealizac¸o˜es I Leis de Newton Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Grandezas ba´sicas As quatro grandezas f´ısicas fundamentais sa˜o: I comprimento - descreve posic¸a˜o e dimenso˜es de um corpo no espac¸o; I massa - caracteriza um corpo e o compara com outro corpo; I tempo - sucessa˜o de eventos; I forc¸a - ac¸a˜o de um corpo sobre outro. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Idealizac¸o˜es Idealizac¸o˜es sa˜o formas simplificadas de representar fenoˆmenos e entes f´ısicos. Idealizac¸o˜es comumente empregadas na Mecaˆnica I part´ıcula ou ponto material; I corpo r´ıgido; I forc¸a concentrada. Exemplo: Para simular a trajeto´ria de uma bola de teˆnis, que simplificac¸o˜es podem ser adotadas sem preju´ızo da representac¸a˜o f´ısica? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Idealizac¸o˜es Idealizac¸o˜es sa˜o formas simplificadas de representar fenoˆmenos e entes f´ısicos. Idealizac¸o˜es comumente empregadas na Mecaˆnica I part´ıcula ou ponto material; I corpo r´ıgido; I forc¸a concentrada. Exemplo: Para simular a trajeto´ria de uma bola de teˆnis, que simplificac¸o˜es podem ser adotadas sem preju´ızo da representac¸a˜o f´ısica? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Idealizac¸o˜es Idealizac¸o˜es sa˜o formas simplificadas de representar fenoˆmenos e entes f´ısicos. Idealizac¸o˜es comumente empregadas na Mecaˆnica I part´ıcula ou ponto material; I corpo r´ıgido; I forc¸a concentrada. Exemplo: Para simular a trajeto´ria de uma bola de teˆnis, que simplificac¸o˜es podem ser adotadas sem preju´ızo da representac¸a˜o f´ısica? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Idealizac¸o˜es Idealizac¸o˜es sa˜o formas simplificadas de representar fenoˆmenos e entes f´ısicos. Exemplo: Como representar o processo de contaminac¸a˜o do solo provocada por um derramamento de o´leo? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Leis do Movimento de Newton Primeira Lei: Um ponto material inicialmente em repouso ou movendo-se em linha reta e velocidade constante permanece nesse estado desde que na˜o seja submetido a uma forc¸a. Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a ac¸a˜o de uma forc¸a F sofre uma acelerac¸a˜o a de mesma direc¸a˜o e sentido de F, que e´ descrita pela relac¸a˜o: F=ma Terceira Lei: A toda ac¸a˜o corresponde uma reac¸a˜o de mesma intensidade e direc¸a˜o e de sentido contra´rio. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Leis do Movimento de Newton Primeira Lei: Um ponto material inicialmente em repouso ou movendo-se em linha reta e velocidade constante permanece nesse estado desde que na˜o seja submetido a uma forc¸a. Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a ac¸a˜o de uma forc¸a F sofre uma acelerac¸a˜o a de mesma direc¸a˜o e sentido de F, que e´ descrita pela relac¸a˜o: F=ma Terceira Lei: A toda ac¸a˜o corresponde uma reac¸a˜o de mesma intensidade e direc¸a˜o e de sentido contra´rio. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Leis do Movimento de Newton Primeira Lei: Um ponto material inicialmente em repouso ou movendo-se em linha reta e velocidade constante permanece nesse estado desde que na˜o seja submetido a uma forc¸a. Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a ac¸a˜o de uma forc¸a F sofre uma acelerac¸a˜o a de mesma direc¸a˜o e sentido de F, que e´ descrita pela relac¸a˜o: F=ma Terceira Lei: A toda ac¸a˜o corresponde uma reac¸a˜o de mesma intensidade e direc¸a˜o e de sentido contra´rio. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Leis de Newton Lei da Gravitac¸a˜o: governa a atrac¸a˜o entre dois corpos de massa m1 e m2: F=G m1m2 r 2 Peso: forc¸a de atrac¸a˜o exercida pela Terra W=G mM r 2 W=mg Questa˜o: A acelerac¸a˜o da gravidade e´ um valor constante? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Leis de Newton Lei da Gravitac¸a˜o: governa a atrac¸a˜o entre dois corpos de massa m1 e m2: F=G m1m2 r 2 Peso: forc¸a de atrac¸a˜o exercida pela Terra W=G mM r 2 W=mg Questa˜o: A acelerac¸a˜o da gravidade e´ um valor constante? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Leis de Newton Lei da Gravitac¸a˜o: governa a atrac¸a˜o entre dois corpos de massa m1 e m2: F=G m1m2 r 2 Peso: forc¸a de atrac¸a˜o exercida pela Terra W=G mM r 2 W=mg Questa˜o: A acelerac¸a˜o da gravidade e´ um valor constante? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Unidades de Medida As grandezas ba´sicas da f´ısica sa˜o relacionadas pela Segunda Lei de Newton: F = ma Sistema Internacional de Unidades (SI): I comprimento -m I tempo - s → forc¸a - N = kg .m s2 I massa - kg Nos EUA, o sistema ingleˆs ainda e´ o mais empregado: I comprimento -pe´ → 1 pe´ =0,3048m I tempo - s I forc¸a - lb → 1 lb = 4,4482N I massa - slug → 1 slug = 14,5938kg Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Unidades de Medida As grandezas ba´sicas da f´ısica sa˜o relacionadas pela Segunda Lei de Newton: F = ma Sistema Internacional de Unidades (SI): I comprimento -m I tempo - s → forc¸a - N = kg .m s2 I massa - kg Nos EUA, o sistema ingleˆs ainda e´ o mais empregado: I comprimento -pe´ → 1 pe´ = 0,3048m I tempo - s I forc¸a - lb → 1 lb = 4,4482N I massa - slug → 1 slug = 14,5938kg Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Operac¸o˜es nume´ricas I Homogeneidade dimensional: As relac¸o˜es f´ısicas observadas na Natureza independem das unidades adotadas para representac¸a˜o das grandezas envolvidas. s = so + vot + at2 2 [L] = [L] + [LT−1][T ] + [LT−2][T 2] I Representac¸a˜o nume´rica: quantidade de algarismos significativos I Arredondamentos Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Operac¸o˜es nume´ricas I Homogeneidade dimensional: As relac¸o˜es f´ısicas observadas na Natureza independem das unidades adotadas para representac¸a˜o das grandezas envolvidas. s = so + vot + at2 2 [L] = [L] + [LT−1][T ] + [LT−2][T 2] I Representac¸a˜o nume´rica: quantidade de algarismos significativos I Arredondamentos Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Problemas 1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou a massa m de uma part´ıcula a sua velocidade v pela fo´rmula m = mo(1− v 2/c2)−1/2, onde c = 3.108m/s e´ a velocidade da luz e mo e´ a massa da part´ıcula em repouso. 1. Qual e´ a porcentagem de variac¸a˜o da massa de uma part´ıcula em relac¸a˜o a sua massa em repouso se a velocidade for: (i) 3.104m/s, (ii) 3.106m/s, (i) 3.107m/s? 2. O que voceˆ acha da validade de se usar a Mecaˆnica Newtoniana para corpos de dimenso˜es comuns que viajam a velocidades comuns? 3. O que a teoria de Einstein diria da massa de uma part´ıcula que pudesse viajar a` velocidade da luz? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Problemas 1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou a massa m de uma part´ıcula a sua velocidade v pela fo´rmula m = mo(1− v 2/c2)−1/2, onde c = 3.108m/s e´ a velocidade da luz e mo e´ a massa da part´ıcula em repouso. 1. Qual e´ a porcentagem de variac¸a˜o da massa de uma part´ıcula em relac¸a˜o a sua massa em repouso se a velocidade for: (i) 3.104m/s, (ii) 3.106m/s, (i) 3.107m/s? 2. O que voceˆ acha da validade de se usar a Mecaˆnica Newtoniana para corpos de dimenso˜es comuns que viajam a velocidades comuns? 3. O que a teoria de Einstein diria da massa de uma part´ıcula que pudesse viajar a` velocidade da luz? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Problemas 1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou a massa m de uma part´ıcula a sua velocidade v pela fo´rmula m = mo(1− v 2/c2)−1/2, onde c = 3.108m/s e´ a velocidade da luz e mo e´ a massa da part´ıcula em repouso. 1. Qual e´ a porcentagem de variac¸a˜o da massa de uma part´ıcula em relac¸a˜o a sua massa em repouso se a velocidade for: (i) 3.104m/s, (ii) 3.106m/s, (i) 3.107m/s? 2. O que voceˆ acha da validade de se usar a Mecaˆnica Newtoniana para corpos de dimenso˜es comuns que viajam a velocidades comuns? 3. O que a teoria de Einstein diria da massa de uma part´ıcula que pudesse viajar a` velocidade da luz? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Problemas 2. Em um experimento para determinar a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula, um estudante registra as componentes (x , y , z) da forc¸a F que atua sobre a part´ıcula e as componentes (x , y , z) da acelerac¸a˜o a. As medidas sa˜o: (8, 10, 30) para F (em N) e (2, 5, 3, 125, 10) para a (em m/s2). a) Qual e´ a sua opinia˜o sobre a qualidade destes dados? Justificar a resposta. b) O estudante verificou que o aceleroˆmetro e´ preciso e que a componente z da forc¸a F esta´ correta. Quais sa˜o os valores corretos das demais componentes de F? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Problemas 2. Em um experimento para determinar a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula, um estudante registra as componentes (x , y , z) da forc¸a F que atua sobre a part´ıcula e as componentes (x , y , z) da acelerac¸a˜o a. As medidas sa˜o: (8, 10, 30) para F (em N) e (2, 5, 3, 125, 10) para a (em m/s2). a) Qual e´ a sua opinia˜o sobre a qualidade destes dados? Justificar a resposta. b) O estudante verificou que o aceleroˆmetro e´ preciso e que a componente z da forc¸a F esta´ correta. Quais sa˜o os valores corretos das demais componentes de F? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Problemas 3. Uma viga engastada de comprimento L e´ submetida a uma forc¸a F na sua extremidade livre. A deflexa˜o d do eixo da viga a uma distaˆncia x da extremidade livre e´ dada por: d = F 6EI (2L3 − 3L2x + x3) Quais sa˜o as dimenso˜es do produto EI se esta equac¸a˜o for dimensionalmente homogeˆnea? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Como sa˜o representadas as grandezas f´ısicas? Na Mecaˆnica, as grandezas f´ısicas sa˜o representadas como: ESCALARES VETORES I Escalar: possui magnitude: massa, volume, comprimento. . . I Regra da adic¸a˜o: aritme´tica simples I Vetor: possui intensidade, direc¸a˜o e sentido: forc¸a, momento, posic¸a˜o I Regra da adic¸a˜o: lei do paralelogramo. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Como sa˜o representadas as grandezas f´ısicas? Na Mecaˆnica, as grandezas f´ısicas sa˜o representadas como: ESCALARES VETORES I Escalar: possui magnitude: massa, volume, comprimento. . . I Regra da adic¸a˜o: aritme´tica simples I Vetor: possui intensidade, direc¸a˜o e sentido: forc¸a, momento, posic¸a˜o I Regra da adic¸a˜o: lei do paralelogramo. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Aplicac¸a˜o pra´tica da soma de vetores Ca´lculo da forc¸a resultante no apoio onde concorrem 4 cabos: Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Representac¸a˜o gra´fica de vetores Graficamente, um vetor e´ representado por uma flecha: I a intensidade e´ o comprimento da flecha; I a direc¸a˜o e´ definida pelo aˆngulo entre o eixo de refereˆncia e a reta de ac¸a˜o da flecha; I o sentido e´ representado pela ponta da flecha. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Operac¸o˜es vetoriais Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o de um Vetor por um Escalar O produto de um vetor A por um escalar a e´ um vetor de intensidade |aA|. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Adic¸a˜o vetorialA adic¸a˜o de dois vetores A e B e´ feita usando-se a Lei do Paralelogramo ou a Construc¸a˜o do Triaˆngulo. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Adic¸a˜o vetorial A adic¸a˜o de dois vetores A e B e´ feita usando-se a Lei do Paralelogramo ou a Construc¸a˜o do Triaˆngulo. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Operac¸o˜es vetoriais QUESTO˜ES I Como se faz a subtrac¸a˜o vetorial? I Como se obte´m as componentes de um vetor em duas direc¸o˜es determinadas? I Graficamente, como se faz a soma de mais de dois vetores concorrentes? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Operac¸o˜es vetoriais QUESTO˜ES I Como se faz a subtrac¸a˜o vetorial? I Como se obte´m as componentes de um vetor em duas direc¸o˜es determinadas? I Graficamente, como se faz a soma de mais de dois vetores concorrentes? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Operac¸o˜es vetoriais QUESTO˜ES I Como se faz a subtrac¸a˜o vetorial? I Como se obte´m as componentes de um vetor em duas direc¸o˜es determinadas? I Graficamente, como se faz a soma de mais de dois vetores concorrentes? Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Notac¸a˜o vetorial cartesiana A decomposic¸a˜o de vetores equivale ao inverso da lei do paralelogramo: i e j sa˜o os vetores unita´rios nas direc¸o˜es x e y. F=Fx i+Fy j Dado um vetor F, pode-se calcular as suas componentes em quaisquer direc¸o˜es x e y. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Adic¸a˜o de va´rios vetores 1. Decomposic¸a˜o de cada vetor nas direc¸o˜es x e y 2. Soma de todas as componentes em cada direc¸a˜o; 3. Ca´lculo da magnitude e da direc¸a˜o do vetor resultante. F= ∑ Fx+ ∑ Fy Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Adic¸a˜o de va´rios vetores 1. Decomposic¸a˜o de cada vetor nas direc¸o˜es x e y 2. Soma de todas as componentes em cada direc¸a˜o; 3. Ca´lculo da magnitude e da direc¸a˜o do vetor resultante. F= ∑ Fx+ ∑ Fy Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Adic¸a˜o de va´rios vetores 1. Decomposic¸a˜o de cada vetor nas direc¸o˜es x e y 2. Soma de todas as componentes em cada direc¸a˜o; 3. Ca´lculo da magnitude e da direc¸a˜o do vetor resultante. F= ∑ Fx+ ∑ Fy Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Exerc´ıcios 1. Calcular a magnitude e a direc¸a˜o da forc¸a resultante no apoio abaixo. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Exerc´ıcio 1 Etapas da resoluc¸a˜o: 1. Decompor as 3 forc¸as nas direc¸o˜es x e y; 2. Somar as componentes em cada direc¸a˜o; 3. Calcular a magnitude e a direc¸a˜o da resultante. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Exerc´ıcio 1 Etapas da resoluc¸a˜o: 1. Decompor as 3 forc¸as nas direc¸o˜es x e y; 2. Somar as componentes em cada direc¸a˜o; 3. Calcular a magnitude e a direc¸a˜o da resultante. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Exerc´ıcio 1 Etapas da resoluc¸a˜o: 1. Decompor as 3 forc¸as nas direc¸o˜es x e y; 2. Somar as componentes em cada direc¸a˜o; 3. Calcular a magnitude e a direc¸a˜o da resultante. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Exerc´ıcio 2 2. Calcular a intensidade e a direc¸a˜o da forc¸a resultante no apoio abaixo. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princ´ıpios Gerais Forc¸as, vetores e operac¸o˜es vetoriais Exerc´ıcio 3 3. Determinar a magnitude da forc¸a F=F1+F2 sendo: F1={10i+20j}N e F2={20i+20j}N. Profa Miche`le Farage: MECAˆNICA - MAC010 - 01 Programa Princípios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais
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