Material de apoio - Representação numérica e Erros

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Cálculo numérico
ST462 B / ST468 B
 
Cálculo numérico é uma abordagem 
matemática utilizada para resolver problemas 
multidisciplinares do mundo real.
Problema 
real
Levantamento 
dos dados
Construção do 
modelo 
matemático
Escolha do 
método numérico 
adequado
Implementação 
computacional 
do método
Análise dos 
resultados 
obtidos
Se necessário: 
Reformular o modelo 
matemático ou escolher 
outro mais apropriado
 
Erros
 
Problema:
Efetuar os somatórios seguintes em uma calculadora e em um computador:
Resultados obtidos:
I) Para xi = 0,5 calculadora: S = 15000
 computador: S = 15000
II) Para xi = 0,11 calculadora: S = 3300
 computador: S = 3299,99691
Como justificar a diferença entre os resultados para xi = 0,11 ?
∑
=
==
=
30000
1
11,05,0 para e para 
i
iii xxxS
 
Erros de cálculo
 Os erros de cálculo dependem da 
representação dos números na máquina 
utilizada.
 A representação de um número dependem:
 da base escolhida ou disponível;
 do número máximo de dígitos usados em 
sua representação.
 
Base numérica
 Base decimal é a mais utilizada atualmente
 Um computador opera na base 2:
Dados de Saída: 
Base decimal
Dados de Saída: 
Base decimal
Dados de Entrada: 
 Base decimal
Dados de Entrada: 
 Base decimal
Conversão 
para binário
Conversão 
para binário
ProcessamentoProcessamento
Conversão 
para decimal
Conversão 
para decimal
 
Um número inteiro é representado pelos coeficientes de sua 
expansão binária, formalmente:
Conversão de números inteiros
.1ou 0 são ,..., e 1 onde,
22...22
01
0
0
1
1
1
1
aaa
aaaaN
nn
n
n
n
n
−
−
−
=
++++=
 
Dado a representação deste número na base 
10, denotada por b0, é obtida pelo algoritmo:
Conversão de números inteiros
20121 )...( aaaaaN nn −=
100
211
122
11
2
2
2
2
bab
bab
bab
bab
ab
nnn
nnn
nn
⋅+=
⋅+=
⋅+=
⋅+=
=
−−−
−−

2311212
115212
52212
2202
1
)10111(
100
211
322
433
44
2
=×+=⋅+=
=×+=⋅+=
=×+=⋅+=
=+=⋅+=
==
bab
bab
bab
bab
ab
Exemplo 
 
Exemplos:
Binário Decimal 
Decimal Binário: Método da divisão repetida.
347(10) = 101011011(2)
Conversão de números inteiros
)10()2(
)2(
0123
)2(
121100
00481100
202021211100
=
+++=
×+×+×+×=
 
Um número real x é composto por uma parte inteira xi e por uma parte 
fracionária xf. Formalmente:
x = xi+ xf
A parte fracionária pode ser escrita como uma soma de frações binárias:
xf = (b12-1 + b22-2 = b32-3 + ... )
Dessa forma o numero real é representado juntando sua parte inteira e 
fracionária:
x = (anan-1...,b1b2...).
Conversão de números fracionários
 
Exemplos:
Binário Decimal 
Decimal Binário
xi xf
Conversão de números fracionários
5,2
5,02121
22021
5,21,10
1
01
)10()2(
=+=
==×⇒
=×+×⇒
==
−
fi
f
i
xxx
x
x
x
15,02
5,025,02
=×
=×
01,1011=
+=
x
xxx fi
 
Aritmética de ponto flutuante
 Aritmética de ponto flutuante é usada nos cálculos 
científicos em computadores.
 A representação em ponto flutuante de x, na base β, é 
definida por
 onde a mantissa (.d1d2...dn) é a representação fracioária com n 
dígitos da base β, com e o expoente e é um número 
inteiro, -M < e < M para algum M > 0.
e
ndddxfl β×±= )...(,)( 21
0≠d
 
Aritmética de ponto flutuante
 Precisão simples 32 bits:
1 bit reservado para o sinal do número (0-1 positivo ou negativo);
 8 bits reservados para o expoente da base, que é um número inteiro;
 23 bits reservados para a mantissa
 Precisão dupla 64 bits
1 bit reservado para o sinal do número (0-1 positivo ou negativo);
 11 bits reservados para o expoente da base, que é um número inteiro;
 52 bits reservados para a mantissa
 
Aritmética de ponto flutuante
Exemplo:
Dar a representação dos números abaixo (x) num sistema de 
aritmética de ponto flutuante de três dígitos para β=10, m = 
-4 e M=4.
x Representação obtida 
por arredondamento
Representação obtida 
por truncamento
1.25 0.125 * 10 0.125 * 10
10.053 0.101 * 102 0.100 * 102
-238.15 -0.238 * 103 -0.238 * 103
2.71828... 0.272 * 10 0.271 * 10
0.000007 (expoente menor que –4) (expoente menor que –4)
718235.82 (expoente menor que 4) (expoente menor que 4)
 
Erros absolutos e erros reais
 Erro absoluto é a diferença entre o valor exato de 
um número x e de seu valor aproximado :
 Dependendo da ordem de grandeza dos números o erro absoluto 
não é suficiente para descrever a precisão de um cálculo.
 Erro relativo é a divisão do erro absoluto pelo valor 
aproximado:
xxEAx −=
x
x
xx
x
EAER xx
−
==
 
 Se um dado número x não tem representação finita na base 
numérica deste sistema, ou se o comprimento de palavra na 
máquina não comporta x, uma aproximação será obtida por:
 Truncamento são aqueles associados ao truncamento de processo infinito. Por 
definição, caso um processo infinito não possa ser completado, ele deve ser 
truncado após certo número finito de operações, ou seja, ignora os digitos 
restantes a partir de um determinado ponto.
 Arredondamento é a soma das incertezas associadas à representação do 
sistema de numeração da máquina. O processo soma 1 ao dígito anterior caso 
seja maior ou igual a 5 ou mantém o valor caso seja menor que 5 para depois 
ignorar os demais dígitos.
Erros de truncamento e 
arredondamento
 
 Ruggiero, M.A.G.; Lopes, V.L.R. Cálculo Numérico – 
Aspectos teóricos e computacionais. São Paulo: MCGraw-
Hill, 1998.
 Cunha, M.C.C. Métodos numéricos. 2ª Edição. Campinas – 
SP: Editora da Unicamp, 2003.
Referências bibliográficas
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