Sistema de Coordenadas Polares com exercios resolvidos calculo A

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Sistema de Coordenadas Polares
O sistema de coordenadas é muito útil no estudo das diversas curvas e alguns problemas relacionados a lugares geométricos.
No sistema de coordenadas polares, um ponto é localizado especificando-se sua posição em relação a uma reta fica e um ponto nessa reta, as coordenadas de P consistem em uma distância orientada e na medida de um ângulo em relação um ponto fixo e a um semi-eixo fixo.
O ponto P é determinado a partir do par ordenado (r , ), onde r é denominado raio vetor, e o ângulo vetorial de P.
r = distância entre P e a origem
 = medida em radianos, do ângulo orientado AÔP.
O ponto P é determinado também pelos diversos pares de coordenadas representadas por (r,+2k), onde K é um inteiro ou ainda P pode ser representado por (-r,+2k), sendo K qualquer inteiro ímpar.
Transformações de Coordenadas
Para certos casos é conveniente a transformação de coordenadas polares em coordenadas cartesianas e vice-versa. Para facilitar a comparação entre os dois sistemas, consideremos o ponto O(origem) coincidindo com a origem do sistema cartesiano e o eixo polar coincidindo com o eixo positivo das abscissas.
Para isso tomemos o ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r,), temos:
i)
Observamos que:
cos = e sen = 
ii)
 cos = = e sen = = 
Portanto,
 x = r cos
 y = r sen
Usando x = r cos e y = r sen , vem que:
x² = r²cos²
y² = r²sen²
x² + y² = r²
Portanto,
r = .
Podemos também transformar equações polares em cartesianas e vice-versa.
Gráficos com coordenadas polares
Como já foi dito, o uso de coordenadas polares simplifica em alguns casos a representação de equação de curvas.
O gráfico de F(r,) = 0 é formado por todos os pontos cuja as coordenadas polares satisfazem a equação.
A equação é apresentada da seguinte forma:
r = f ()
Para traçarmos o gráfico usaremos os seguintes procedimentos:
Calcular os pontos máximos e / ou mínimos;
Encontrar os valores de para os quais a curva passa pelo pólo;
Verificar a simetria:
- Se a equação não se altera ao substituirmos r por –r, ou seja, simetria em relação à origem.
- Se a equação não se altera ao substituirmos por –, ou seja, simetria em relação o eixo polar.
- Se a equação não se altera ao substituirmos por , ou seja, existe simetria em relação o eixo .
O uso de algumas relações trigonométricas será útil nesse procedimento:
- cos = cos(-), cos = - cos() e cos = cos()
- sen = - sen(), sen = sen() e sen = sen()
Equações de algumas curvas em coordenadas polares
- Equações de reta
Se uma reta passa pelo pólo, sua equação polar é da forma:
 = k
Onde k é uma constante, que representa o ângulo vetorial de qualquer ponto sobre a reta.
*Paralelos ao eixo polar:
r sen = a, a>0 r sen = a, a<0
Paralelos ao eixo 
 r cos = b, b<0 r cos = b, b>0
- Circunferências
i) r = c: circunferência com centro no pólo e raio |c|;
ii) r = a cos: circunferência com centro na reta = 0, passando pelo pólo e raio ;
iii) r = a sen: circunferência com centro na reta = , passando pelo pólo e raio .
-Limaçons
r = a + b sen ou r = a + b cos , n inteiro positivo, a0 e b0
Se |a|<|b| apresentam laço.
Se a = b recebem o nome de cardióide pelo formato de coração da curva.
 r = 1+2 sen r = -3-2.2 cos r = -2-2 sen
- Rosáceas
r = asen ou r = acos, n iteiro positivo, a0. Se n é par, o gráfico consiste de 2n laços. 
Se n é ímpar, o gráfico consiste de n laços. Observe que se n = 0 ou n = 1, 
obtém-se equações de circunferências ou o pólo (caso r = asen(nt)).
 r = 2sen(3t) r = 2sen(4t)
- Lemniscatas
r² = acos(2) ou r² = asen(2)
r² = -4cos r² = 4sen r² = 4cos r² = -4sen
- Espirais
i) r = a (espiral de Arquimedes);
ii) r = (espiral hiperbólica);
iii) r = , a>0 (espiral logarítmica)
iv) r = a (espiral parabólica)
Exemplos de construção de Gráficos 
Exemplo 1 : Esboce o gráfico de r = 1+6/ para 0.
Solução
A tabela seguinte mostra alguns valores escolhidos para entre 0 e e os valores de r correspondentes:
	
	0
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	r
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
Localizando os pontos polares (r,) mostrados na tabela e conectando-os por meio de uma curva contínua, obtém-se o gráfico desejado.
Exemplo 2 : Esboce o gráfico de r = 3+3 cos para 0.
	
	r
	0
	6
	
	
	
	3
	
	3
	
	
	
	- 
Área em coordenadas polares
Para deduzir a fórmula integral que nos permite calcular a área delimitada pela curva polar utiliza-se a conhecida expressão da área de um setor circular de raio r e ângulo-ao-centro , ou seja:
 Área do setor circular = 
Seja r = f() uma função contínua e não-negativa de , em que e 0<. Começamos por fazer uma partição regular de [] em n sub-intervalos todos iguais, de comprimento = . Em seguida, escolhemos um ponto qualquer , em que i = 1,...,n:
Notemos que quanto maior for n e menor for , mais as regiões obtidas com esta partição se assemelharão a setores circulares.
Portanto, se podemos afirmar que a área de cada uma dessas regiões é semelhante a área de um setor circular de raio f e ângulo-ao-centro , ou seja:
No limite, quando n e 0, esta soma de Riemann dá-nos o valor exato da área delimitada pela curva polar de equação r = f() no intervalo , valor esse que pode ser calculado por meio da seguinte integral:
Exemplo 3 : Ache a área da região limitada pelo gráfico de r = 3+2cos 
Solução
A curva do exemplo 3 é chamada limaçon é uma curva fechada traçada completamente quando percorre o intervalo [0,[ :
	
	0
	
	
	
	
	
	
	
	
	r
	5
	
	3
	
	1
	
	3
	
	5
Exercícios Propostos (Cálculo A – Seção 8.11)
Calcule a área limitada pela curva dada.
Solução
 
 
Solução
 
 
 
 
 
 
 
Solução
 
 
 
Solução
 
 
 
(r, � QUOTE � ���)
r
�
�
A
a
0
A
a
0
�
�
A
b
0
0
A
b
r = -2 sen� QUOTE � ���
r = 3 cos� QUOTE � ���
r = 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� PAGE \* MERGEFORMAT �20�