Matemática Atuarial aula 01

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PONTO DOS CONCURSOS 
MATEMÁTICA ATUARIAL 
DE PESSOAS 
 SUSEP 
Aula 1 
 
André Cunha
12/02/2010 
 
 
 
Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de 
ensino) e aborda os seguintes tópicos: Conceitos básicos de Probabilidade e 
Matemática Financeira. Noções de Cálculo Diferencial e Integral. 
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Caro concursando, 
Estamos começando um trabalho curto, porém bem intenso. O 
objetivo é estarmos muito bem preparados no dia 17 de abril para 
prestar a prova da SUSEP. O desafio é grande. Matemática Atuarial é 
uma matéria longe de ser elementar, pouco estudada (quase que na 
totalidade somente por quem é da área) e, como se não bastasse, 
houve mudanças significativas entre os editais de 2006 e 2010. 
Matemática Atuarial (Pessoas + Danos) responde neste 
concurso por 50% da prova específica, contra apenas 20% no 
certame de 2006. Entram tópicos novos, como Múltiplos Decrementos 
e Anuidades Contínuas, e deixam de constar outros, como Valores 
Garantidos. 
Essas mudanças no edital, acredito, refletem a constante 
evolução no processo de capacitação profissional no mundo como um 
todo, mais particularmente na Inglaterra e nos Estados Unidos, onde 
a Atuária é mais desenvolvida. O Brasil vem correndo mais devagar, 
mas vem. Desde 2005 o IBA (Instituto Brasileiro de Atuária) só aceita 
como membros bacharéis em Ciências Atuariais que são aprovados 
em seus exames de admissão. Por essas razões é extremamente 
desafiador escrever esse curso. 
Para você, concursando, sugiro que tente manter a cabeça fria, 
principalmente com o que vai cair na prova. Ir bem em concurso é ir 
melhor que os outros, e me parece que (quase) todos estão com o 
mesmo problema. Tenho recebido vários e-mails todos os dias de 
pessoas preocupadas com bibliografia. Eu tenho razoável experiência 
como professor, aluno auto-didata e atuário, e confesso que tive 
relativa dificuldade em montar uma bibliografia para o presente 
curso. 
Devido a todo esse ambiente de mudanças já descrito, apesar 
de ser necessário resolver muitas questões de concursos anteriores –
e vamos fazê-lo –, isso não será suficiente. Por isso o curso virá 
“quente”. Vou tentar expor a matéria da maneira mais simples 
possível, como foi dito na Aula 0, mas nunca abrindo mão do rigor 
matemático. 
Gosto muito de uma frase de Max Weber: “O homem não teria 
conseguido o possível se, repetidas vezes, não tivesse tentado o 
impossível”. 
Vamos tentar o impossível. Que todos os alunos do Ponto dos 
Concursos passem na SUSEP. 
 
 
 
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PLANO DE ENSINO 
 
O planejamento de um curso é um processo dinâmico, não 
estático, principalmente em se tratando de um curso novo. Foram 
feitas algumas alterações no plano de ensino. 
Aula Data Conteúdo 
0 31/01 INTRODUÇÃO. Introdução às Funções de Sobrevivência e 
Tábua de Mortalidade. Paralelo entre Matemática 
Financeira e Matemática Atuarial. Valor Presente Atuarial 
(VPA). 
1 12/02 CONCEITOS BÁSICOS. Conceitos básicos de 
Probabilidade e Matemática Financeira. Noções de Cálculo 
Diferencial e Integral. 
2-3 22/02 
e 
01/03 
FUNÇÕES DE SOBREVIVÊNCIA. Funções de 
Sobrevivência de uma vida. Tábua de Mortalidade. Tempo 
de vida futuro de um recém-nascido, tempo até a morte 
de uma pessoa de idade x, força de mortalidade, tábua de 
mortalidade, relação entre a tábua de mortalidade e 
função de sobrevivência, esperança de vida, leis de 
mortalidade, métodos para fracionar idades, tábuas 
selecionadas. Comutações. 
4 08/03 ANUIDADES. Anuidades discretas, contínuas e variáveis. 
5 15/03 SEGUROS DE VIDA. Seguros de vida pagos no fim do 
ano da morte, relação entre seguro de vida e anuidades 
pagas no momento da morte, seguros variáveis. 
6 22/03 PRÊMIOS. Cálculo de prêmio único, fracionado, puro e 
comercial. Planos pagáveis por sobrevivência, morte e 
invalidez. RESERVAS. Métodos prospectivo, retrospectivo 
e recorrência. 
7 29/03 MÚLTIPLAS VIDAS. Funções sobrevivência de múltiplas 
vidas – status da vida conjunta, status do último 
sobrevivente, funções de contingência e anuidades 
reversíveis. 
8 05/04 MÚLTIPLOS DECREMENTOS. Modelos de múltiplos 
decrementos e suas aplicações. Tábuas de múltiplos 
decrementos. 
9 09/04 REGIMES FINANCEIROS E RISCOS. Regimes 
financeiros: repartição simples, repartição de capitais de 
cobertura e capitalização. Risco de subscrição. Risco de 
longevidade. Risco da taxa de juros. Risco em garantias 
mínimas. 
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Conteúdo 
1.  Probabilidade ....................................................................................................... 7 
1.1.  Os Diferentes Tipos de Probabilidade .............................................. 7 
1.2.  Conjuntos e Eventos ............................................................................ 10 
1.3.  Definição Axiomática de Probabilidade ......................................... 10 
1.4.  Probabilidades Conjunta e Condicional ......................................... 10 
1.5.  Independência ........................................................................................ 12 
2.  Variáveis Aleatórias ......................................................................................... 13 
2.1.  Definição de Variável Aleatória ........................................................ 13 
2.2.  Função Discreta de Probabilidade ................................................... 14 
2.3.  Função de Distribuição de Probabilidade ..................................... 15 
2.4. Função de Sobrevivência ......................................................................... 15 
2.5.  Funções de Distribuição e de Densidade de Probabilidade 
para Variáveis Contínuas .................................................................................. 16 
2.6. Funções de Probabilidade Conjunta .................................................... 18 
2.6.1. Funções de Probabilidade Marginal .......................................................21 
2.6.2. Funções de Probabilidade Condicional .......................................................22 
2.6.3. Variáveis Aleatórias Independentes .......................................................23 
3.  Valores Esperados Envolvendo Uma Única Variável Aleatória ....... 24 
3.1.  Média .......................................................................................................... 24 
3.2.  Valor Esperado de Uma Função de Variável Aleatória ............ 25 
3.3.  Variância ................................................................................................... 26 
4. Matemática Financeira ......................................................... 27 
4.1. Taxa efetiva de juros ................................................... 27 
4.2. Função de acumulação ................................................. 28 
4.3. Taxa instantânea de juros ............................................. 28 
4.4. Valor Presente ............................................................ 30 
4.4.1. Valor Presente de uma série de pagamentos.................................................31 
4.5. Taxas nominais e taxas efetivas .................................... 32 
4.6. Anuidades ou Rendas ................................................... 33 
4.6.1. Renda imediata, postecipada e temporária....................................................34 
4.6.2. Renda imediata, antecipada e temporária......................................................35 
4.6.3. Renda diferidade m anos, postecipada e temporária....................................37 
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4.6.4. Renda diferida de m anos, antecipada e temporária......................................38 
4.6.5. Rendas vitalícias (Perpetuidades).................................................................39 
4.6.6. Rendas fracionadas........................................................................................40 
4.6.7. Rendas contínuas...........................................................................................42 
5. Noções de Derivada e Integral .............................................. 45 
5.1. Noções de Derivada ..................................................... 45 
5.2. Noções de Integral ....................................................... 46 
6. Exercícios de Fixação .......................................................... 49 
7. GABARITO ......................................................................... 55 
8. Resolução dos Exercícios de Fixação ...................................... 56 
 
 
 
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1. Probabilidade 
 
 
A probabilidade é a teoria matemática que permeia toda a 
Matemática Atuarial. 
Um fenômeno é aleatório quando o seu comportamento 
futuro não pode ser previsto com absoluta certeza. Por 
exemplo, as condições climáticas no dia da prova da SUSEP não 
podem ser previstas com 100% de acerto. Por outro lado, é possível 
que a previsão do tempo seja realizada em termos probabilísticos. Se 
você tiver a curiosidade de consultar o site da empresa Climatempo1, 
constatará que a previsão é dada em termos de “tendências” e que, 
inclusive, a seguinte observação é feita: “Esta tendência é resultado 
de modelos matemáticos e não tem interferência direta dos 
meteorologistas. Estes valores podem variar muito de um dia para o 
outro.”. Ou seja, a Climatempo está dizendo para os seus clientes, 
que são leigos em Meteorologia, que a previsão do tempo possui uma 
margem de erro e que isto se deve à utilização de modelos 
matemáticos probabilísticos de previsão. 
 
As variáveis demográficas são aleatórias por natureza. 
Não sabemos quais serão os seus valores futuros senão depois 
de observá-los. Para exemplificar, não sabemos quando vamos 
morrer (ainda bem!), ou qual a taxa de natalidade que terá o Brasil 
em 2010. 
 
Faremos uma breve revisão dos conceitos fundamentais da 
teoria da probabilidade nesta aula. 
 
1.1. Os Diferentes Tipos de Probabilidade 
 
A) Probabilidade como a razão entre o número de resultados 
favoráveis e o número total de resultados possíveis (teoria 
clássica) 
 
Nesta abordagem a probabilidade de um dado evento2 E é 
calculada a priori3 pela fórmula 
 
1 http://www.climatempo.com.br 
2 O conceito de evento será formalizado mais adiante nesta aula. 
3 Aqui, a priori significa aquilo que está relacionado com o raciocínio lógico a partir 
de proposições auto-evidentes ou o que é pressuposto por experiência. Neste 
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(1) 
N
NP E= 
 
em que P é a probabilidade de E, NE representa o número de 
ocorrências de E e N é o número de todos os resultados possíveis. 
Uma noção importante que está subentendida em (1) é que os 
resultados devem ser equiprováveis. 
 
Exemplo 1. Lance uma moeda não viciada (ou justa) duas vezes. Os 
resultados possíveis são cara-cara (CC), cara-coroa (CK), coroa-cara 
(KC) e coroa-coroa (KK). Qual é a probabilidade de se obter pelo 
menos uma coroa? 
 
Seja E o evento que denota a obtenção de pelo menos uma coroa; 
então E é o conjunto dos resultados 
 
KK}KC,{CK,E = . 
 
O número de elementos em E é 3. Como N = 4, temos que 
 
4
3
N
NEP E ==][ . ▪ 
 
A definição clássica de probabilidade possui alguns defeitos, 
como, por exemplo, a sua não capacidade de abordar situações em 
que os resultados são não equiprováveis. 
 
B) Probabilidade como freqüência relativa 
 
Considere n realizações de um experimento aleatório (vide 
definição mais adiante). Então, define-se a probabilidade de um dado 
evento E como 
 
 
contexto, a posteriori denotaria o que está relacionado com o raciocínio lógico a 
partir dos fatos que são observados. 
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(2) 
n
nEP En→∞= lim][ 
 
em que nE denota o número de ocorrências de E. Como na prática 
não podemos obter infinitas realizações, temos que (2) estima P[E] 
dado um valor finito de n. Observe que 1][0 ≤≤ EP , pois nnE ≤ . Um 
dos problemas desta abordagem é justamente o fato de nunca 
podermos realizar o experimento por um número infinito de vezes. 
Outra dificuldade é que assume-se que a razão nE/n possui um limite 
para n tendendo a infinito. 
 
Apesar dos problemas mencionados acima, a definição de 
probabilidade como freqüência relativa é essencial para a aplicação 
da teoria da probabilidade ao mundo real. 
 
C) Probabilidade baseada na teoria axiomática 
 
Esta é a abordagem moderna da probabilidade. Para 
desenvolvê-la, é preciso introduzir os conceitos de experimento 
aleatório, espaço amostral e evento. 
 
Um experimento aleatório é simplesmente um 
experimento em que os resultados são não determinísticos, 
isto é, probabilísticos. O espaço amostral é o conjunto de todos 
os possíveis resultados de um experimento aleatório. Um 
evento é um subconjunto do espaço amostral que satisfaz a 
certas restrições (não vem ao caso, neste curso, detalhar quais são 
estas restrições). De forma geral, quase todo subconjunto do espaço 
amostral é um evento4. 
 
O moderno tratamento axiomático da teoria da probabilidade é 
em grande parte devido à pesquisa do brilhante matemático russo 
Andrei N. Kolmogorov (1903-1987)5. 
 
 
4 Nem todo subconjunto do espaço amostral é um evento. Eventos são 
subconjuntos do espaço amostral que têm medidas de probabilidade 
consistentes com os axiomas da probabilidade do item 1.3. 
5 Apesar deste tipo de informação não ser importante para a prova, não nos custa 
nada conhecer um pouco da história da matemática e “pagar o tributo” a um dos 
maiores matemáticos de todos os tempos! 
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1.2. Conjuntos e Eventos 
 
Um conjunto é uma coleção de objetos abstratos ou 
concretos. Um exemplo de conjunto concreto é o conjunto de todos 
os residentes na cidade de São Paulo cuja altura exceda 1,60 m. O 
conjunto de todos os habitantes de São Paulo com altura entre 1,60m 
e 1,70m é um subconjunto do conjunto anterior. No estudo da 
probabilidade, nós estamos interessados no conjunto de todos os 
possíveis resultados de um experimento (espaço amostral) e nos 
subconjuntos daquele conjunto. É comum representar o espaço 
amostral de um experimento aleatório usando a letra grega Ω 
(ômega). Eventos são subconjuntos de Ω. O próprio conjunto Ω é 
um evento, o qual é denominado evento certo. 
 
1.3. Definição Axiomática de Probabilidade 
 
Seja um experimento aleatório com espaço amostral Ω. 
Considere um evento qualquer E. Define-se probabilidade como a 
função P[.] que atribui um número P[E] para o evento E do espaço 
amostral Ω denominado probabilidade de E tal que 
 
a) P[E] ≥ 0. 
b) P[Ω] = 1. 
c) P[E ∪ F] = P[E] + P[F] se E ∩ F = ∅. 
 
As expressões (a), (b) e (c)são os axiomas da probabilidade. 
 
1.4. Probabilidades Conjunta e Condicional 
 
Assuma que se queira realizar o seguinte experimento: estamos 
numa certa cidade do Brasil e desejamos coletar dados sobre o 
tempo local. Em particular estamos interessados em três eventos, os 
quais serão denominados A, B e C, onde 
 
A é o evento que representa uma temperatura igual ou maior a 
20º C em qualquer dia; 
 
B é o evento que denota um índice de precipitação maior ou 
igual a 10mm em qualquer dia; 
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C é o evento que representa a ocorrência simultânea de A e B, 
isto é, C = AB (ou C = A ∩ B); 
 
Como C é um evento, P[C] é uma probabilidade que satisfaz os 
axiomas. Mas P[C] = P[AB]; neste caso, diz-se que P[AB] é a 
probabilidade conjunta dos eventos A e B. 
 
Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório de 
interesse pode ser desmembrado em duas etapas. A informação do 
que ocorreu numa dada etapa pode influenciar as probabilidades de 
ocorrências das etapas seguintes. 
 
Nestes casos, diz-se que ganhamos informação e que podemos 
“recalcular” as probabilidades de interesse. Essas probabilidades 
“recalculadas” são conhecidas como probabilidades condicionais. 
A definição de probabilidade condicional será motivada pelo exemplo 
a seguir. 
 
Exemplo 2. Considere os eventos A, B e C definidos acima. Seja ni o 
número de dias em que o evento i ocorreu. Ao longo de 1000 dias (n 
= 100), foram feitas as seguintes observações: nA = 711, nB = 406, 
nAB = 200. Pela interpretação da probabilidade em termos da noção 
de freqüência relativa, podemos estimar que: 
 
P[A] ≈ nA/n = 711/1.000 = 0,711 
P[B] ≈ nB/n = 406/1.000 = 0,406 
P[AB] ≈ nAB/n = 200/1.000 = 0,200 
 
Agora considere a razão nAB/nA . Esta é a freqüência relativa de 
ocorrência do evento AB quando o evento A ocorre. Dito de outra 
forma, nAB/nA corresponde à fração do tempo em que o índice de 
precipitação é maior ou igual a 10mm naqueles dias em que a 
temperatura é igual ou maior a 20º C. Portanto, estamos lidando com 
a freqüência de um evento, dado que (ou condicionado ao fato 
de que) outro evento ocorreu. Note que 
 
][
][
/
/
AP
ABP
nn
nn
n
n
A
AB
A
AB ≈= 
 
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Este conceito empírico sugere que seja introduzido o conceito 
de uma medida de probabilidade condicional definida por 
 
(3) ,
][
][]/[
AP
ABPABP = 0][ >AP 
 
em que ]/[ ABP denota a probabilidade de que B ocorra dado 
que A ocorreu. 
 
Similarmente, 
 
(4) ,
][
][]/[
BP
ABPBAP = 0][ >BP 
 
1.5. Independência 
 
Os eventos A e B, pertencentes ao espaço amostral Ω, com 
P[A] > 0 e P[B] > 0, são independentes se e somente se 
 
(5) ][][][ BPAPABP = . Importante para a Prova! 
 
Como ][]/[][]/[][ BPBAPAPABPABP == , segue-se que 
 
(6) ][]/[ APBAP = 
 
(7) ][]/[ BPABP = 
 
são válidas quando A e B são eventos independentes. 
 
A definição de independência diz que, se A e B são 
independentes, então o resultado B não terá efeito sobre a 
probabilidade de A e vice-versa. 
 
 
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2. Variáveis Aleatórias 
 
2.1. Definição de Variável Aleatória 
 
Uma quantidade X, associada a cada possível resultado do 
espaço amostral, é denominada variável aleatória discreta se 
assume valores num conjunto contável ou enumerável6 (como o 
conjunto dos números inteiros Ζ ou o conjunto dos números naturais 
Ν), com certa probabilidade. Logo, uma variável aleatória é uma 
função, e não uma “variável” propriamente dita. São exemplos de 
variáveis aleatórias discretas: 
 
• Número de coroas obtido no lançamento de duas moedas; 
• Número de itens defeituosos em uma amostra retirada, 
aleatoriamente, de um lote; 
• Número de defeitos em um carro que sai de uma linha de 
produção. 
 
Considere o lançamento de duas moedas mencionado acima. O 
espaço amostral é 
 
Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}, 
 
e os valores que a variável aleatória X (número de coroas) pode 
assumir são 
 
X = {0, 1, 2}. 
 
Observe que o valor x = 0 está associado ao resultado (cara, cara), o 
valor x = 1 está associado aos resultados (cara, coroa) e (coroa, 
cara) e o valor x = 2 está associado ao resultado (coroa, coroa). 
 
Uma variável aleatória contínua é uma função que associa 
elementos do espaço amostral ao conjunto dos números reais 
(conjunto não enumerável). Exemplos de variáveis aleatórias 
contínuas: 
 
6 Um conjunto é enumerável quando é possível estabelecer uma correspondência 
do tipo “um para um” (biunívoca) com o conjunto dos números naturais. Isto 
quer dizer que é possível contar um conjunto enumerável. 
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• Tempo de resposta de um sistema computacional; 
• Volume de água perdido por dia, num sistema de 
abastecimento; 
• Resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste 
padrão. 
 
2.2. Função Discreta de Probabilidade 
 
A função que atribui a cada valor de uma variável aleatória 
discreta sua probabilidade é chamada de função discreta de 
probabilidade ou, simplesmente, função de probabilidade 
 
(8) )(][ ii xfxXP == ,...2,1=i 
 
Uma função de probabilidade satisfaz 0 ≤ f(xi) ≤ 1 e ∑i f(xi) = 1. 
As variáveis aleatórias discretas são completamente 
caracterizadas pela sua função de probabilidade. 
 
Exemplo 3. Considere o lançamento de um dado não viciado. A 
probabilidade de se obter um resultado de 1 a 6 é igual a 1/6. O 
espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A Fig. 1 ilustra a função de 
probabilidade f(xi) =1/6, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, da variável aleatória X. 
 
 
 
 
x1 2 3 4 5 60 7
f(x)
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
 
 
 
 
Figura 1: função de probabilidade. 
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2.3. Função de Distribuição de Probabilidade 
 
A função de distribuição ou função acumulada de 
probabilidade de uma variável aleatória discreta X é definida pela 
expressão 
 
(9) ][)( xXPxF ≤= . 
 
A Fig. 2 mostra a função de distribuição F(x) da variável 
aleatória do exemplo 3. 
 
 
1 2 3 4 5 6 x
1/6
1/3
1/2
2/3
5/6
1
F(x)
 
 
 
 
 
2.4. Função de Sobrevivência 
 
A função de sobrevivência de uma variável aleatória discreta 
X é definida pela expressão 
Figura 2: função de distribuição de probabilidade. 
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(10) ][)( xXPxS >= . 
 
É claro que F(x) + S(x) = 1, para todo x. 
 
 
2.5. Funções de Distribuição, de Densidade de Probabilidade 
e de Sobrevivência para Variáveis Contínuas 
 
Diz-se que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou 
função densidade de probabilidade para uma variável aleatória 
contínua X, se satisfaz duas condições: 
 
1. f(x) > 0 para todo x ∈ (-∞,∞); 
2. a área definida por f(x) é igual a 1. 
 
A condição 2 é dada pela integral 
 
(11) ∫∞
∞−
=1)( dxxf . 
 
Para calcular probabilidades, temos que, para a ≤ b 
 
(12) ∫=≤≤ b
a
dxxfbXaP )(][ . 
 
Observe que a probabilidade de ocorrência de um dado valor 
isolado “k” é sempre nula, ou seja, P[x = k] = 0. 
 
As funções de distribuição e de sobrevivência de uma 
variável aleatória contínua X também são definidas pela expressão 
(9) e (10), que podem serpostas nas formas 
 
(13) ∫
∞−
=
x
dfxF λλ)()( . 
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(14) ∫∞=
x
dfxS λλ)()( . 
De (11), (13) e (14), mais uma vez temos a relação 
F(x) + S(x) = 1 
 
 
 
As Figuras 3 e 4 ilustram as funções densidade de probabilidade 
e de distribuição de uma variável aleatória Normal (vide definição no 
item 4.1). 
 
 
 
 
 
Figura 3: função densidade de probabilidade Normal. 
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2.6. Funções de Probabilidade Conjunta 
 
É possível definir mais de uma variável aleatória num mesmo 
espaço de probabilidade7. Por exemplo, considere o lançamento 
simultâneo de duas moedas não viciadas. Aqui a ordem do resultado 
 
7 Um espaço amostral Ω e uma medida de probabilidade P formam um espaço de 
probabilidade Ψ. Na verdade, esta definição é incompleta; não obstante, está 
coerente com os conceitos ensinados nesta aula. Para maiores detalhes sobre as 
sutilezas da teoria de probabilidade, recomendamos que você consulte (não 
agora que você está na reta final para a SUSEP, mas somente depois de passar!) 
“An Introduction to Probability Theory and Its Applications” de William Feller. 
Esse livro é considerado uma das “bíblias” da teoria de probabilidade. 
Figura 4: função de distribuição Normal. 
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não é importante de modo que os resultados elementares do 
experimento aleatório são CC=1ζ (cara-cara), CK=2ζ (cara-coroa) e 
KK=3ζ (coroa-coroa). Logo, o espaço amostral é Ω = {CC, CK, KK}. 
Agora vamos definir as variáveis aleatórias: 0)(1 =ςX se pelo menos 
uma das moedas der cara (C) ( 1)(1 =ςX para os demais casos) e 
1)(2 −=ςX se der uma cara e uma coroa (CK) ( 1)(2 +=ςX para os 
demais casos). Então P[X1=0] = ¾ (porque P[CC] = ¼ e P[CK]= ½), 
P[X1=1] = ¼, P[X2=-1] = ½ e P[X2=+1] = ½. Além disso, note que a 
probabilidade do evento conjunto P[X1=0, X2=+1] = P[CC] = ¼. 
 
O evento conjunto {X ≤ x, Y ≤ y} = {X ≤ x} ∩ {Y ≤ y} consiste 
em todos os resultados Ω∈ς tais que xX ≤)(ς e yY ≤)(ς (veja a Fig. 
5). 
 
 
 
(x, y)
x´
y´
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: a região hachurada representa o evento 
conjunto. 
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A função de distribuição conjunta de X e Y é definida como 
 
(15) ],[),( yYxXPyxFXY ≤≤= . 
 
Se ),( yxFXY for contínua e diferenciável (logo X e Y só podem 
ser variáveis aleatórias contínuas!), a função densidade de 
probabilidade conjunta de X e Y pode ser a partir da expressão 
 
(16) )],([),(
2
yxF
yx
yxf XYXY ∂∂
∂= . 
 
A Fig. 6 mostra a função densidade de probabilidade conjunta 
Normal. O volume total sob a superfície da Fig. 6 é igual a um, 
haja vista que 
 
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
= 1),( dxdyyxf XY (evento certo). 
 
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A probabilidade do evento {X ≤ x, Y ≤ y} é dada por 
 
(17) ∫ ∫
∞− ∞−
=
x
XY
y
XY fddyxF ),(),( ηεηε . 
 
Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas. Então a função 
discreta de probabilidade conjunta é definida por 
 
(18) ],[),( kikiXY yYxXPyxf === . 
 
2.6.1. Funções de Probabilidade Marginal 
 
Dada uma função densidade de probabilidade conjunta, pode-se 
obter a função densidade de probabilidade de cada uma das variáveis 
aleatórias individuais. 
 
Figura 6: gráfico da densidade conjunta Normal. 
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Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com densidade 
conjunta fXY(x,y). Então fX(x) e fY(y) são denominadas densidades 
marginais de X e Y, respectivamente, se são obtidas de fXY(x,y) por 
meio das expressões 
 
(19) ∫∞
∞−
= dyyxfxf XYX ),()( 
(20) ∫∞
∞−
= dxyxfyf XYY ),()( 
 
Note que as funções de densidade de probabilidade marginal 
fX(x) e fY(y) correspondem às funções de densidade de probabilidade 
individuais de X e Y, respectivamente. 
 
Podemos obter resultados similares para variáveis aleatórias 
discretas. Dada a função discreta de probabilidade conjunta fXY(xi,yk), 
as funções discretas de probabilidade marginal são dadas por 
 
(21) ∑=
k
kiXYiX yxfxf ),()( 
(22) ∑=
i
kiXYkY yxfyf ),()( 
 
2.6.2. Funções de Probabilidade Condicional 
 
Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas com função de 
probabilidade conjunta fXY(xi,yk). Então as funções discretas de 
probabilidade condicional P[X=xi/Y=yk] = fX/Y(xi/yk) e P[Y=yk/ X=xi] = 
fY/X(yk/xi) são definidas como 
 
(23) 
)(
),()/(/
kY
kiXY
kiYX yf
yxfyxf = , 0)( ≠kY yf 
 
(24) 
)(
),()/(/
iX
kiXY
ikXY xf
yxfxyf = , 0)( ≠iX xf 
 
De (21) e (22) resulta que 
 
(25) )()/()()/(),( // iXikXYkYkiYXkiXY xfxyfyfyxfyxf == 
 
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Podemos definir as densidades condicionais associadas a 
duas variáveis aleatórias contínuas X e Y (com densidade 
conjunta fXY(x,y) e densidades marginais fX(x) e fY(y)) de forma 
análoga8. A densidade condicional de Y dado o resultado X = x é 
definida por 
 
(26) 
)(
),()/(/ xf
yxfxyf
X
XY
XY = , 0)( ≠xfX 
 
e a densidade condicional de X dado o resultado Y = y como 
 
(27) 
)(
),()/(/ yf
yxfyxf
Y
XY
YX = , 0)( ≠yfY . 
 
2.6.3. Variáveis Aleatórias Independentes 
 
Quando X e Y são variáveis aleatórias independentes a 
função de probabilidade conjunta é igual ao produto das 
funções marginais de probabilidade, ou seja 
 
(28) )()(),( yfxfyxf YXXY = . 
 
Podemos generalizar a fórmula (26). Sejam X1, X2, ..., Xn 
variáveis aleatórias independentes com função de probabilidade 
conjunta f(x1, x2, ..., xn) e funções marginais de probabilidade f(x1), 
f(x2), ..., f(xn). Então é válida a expressão 
 
(29) )()...()(),...,,( 2121 nn xfxfxfxxxf = . 
 
Se X e Y são independentes, então a densidade condicional de 
X, dado que Y = y é, 
 
(30) )(
)(
)()(
)(
),()/(/ xfyf
yfxf
yf
yxfyxf X
Y
YX
Y
XY
YX === . 
 
8 Apesar de termos afirmado que é possível obter as densidades condicionais (24) e 
(25) “de forma análoga” ao caso anterior (que envolvia variáveis aleatórias 
discretas), observe que (24) e (25) são obtidas a partir da definição de 
probabilidade condicional. 
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e a densidade condicional de Y, dado que X = x é, 
 
(31) )(
)(
)()(
)(
),()/(/ yfxf
yfxf
xf
yxfxyf Y
X
YX
X
XY
XY === . 
 
3. Valores Esperados Envolvendo Uma Única 
Variável Aleatória 
 
Já dissemos que uma variável aleatória é completamente 
caracterizada (ou especificada) pela sua função de 
probabilidade. Isto quer dizer que temos toda a informação acerca 
de X quando sabemos quem é fX(x) (isto é, quando conhecemos a 
fórmula de fX(x)). Na prática, é bastante comum não conhecermos 
fX(x). Neste caso, como faríamos para caracterizar X? 
 
O fato é que normalmente temos acesso a diversas 
observações de uma variável aleatória e podemos nos aproveitar 
deste fato para tentar obter uma descrição, ainda que parcial, da 
mesma. Uma maneira alternativa de caracterizar uma variável 
aleatória envolveria a obtenção de estimativas de alguns de seus 
momentos ou “médias” estatísticas. Na prática, os momentosmais importantes são a média (momento de 1ª ordem) e a 
variância (momento de 2ª ordem). A média é uma medida de 
posição de fX(x) (veremos o que isso quer dizer logo seguir), ao 
passo que a variância é uma medida de dispersão (ou do grau 
de variabilidade) de fX(x). A Estatística também define momentos 
de ordem mais alta como a assimetria (3ª ordem) e a curtose (4ª 
ordem), mas eles não serão vistos neste curso porque não são 
relevantes para a prova. 
 
Vejamos a seguir os conceitos de média e variância. 
 
3.1. Média 
 
A média (também conhecida como valor esperado ou 
esperança) é uma medida de posição de uma função de 
probabilidade, servindo para localizar a função sobre o eixo de 
variação da variável em questão. Em particular, a média 
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caracteriza o centro de uma função de probabilidade9. A média 
é uma característica numérica de uma função de probabilidade. 
 
Se X for uma variável aleatória discreta que pode tomar os 
valores x1, x2, ..., xn com probabilidades f(x1), f(x2), ..., f(xn), então a 
média de X é definida por 
 
(32) ∑
=
=+++=
n
i
iinn xfxxfxxfxxfxXE
1
2211 )()(...)()(][ . 
em que E denota o operador esperança matemática. 
 
Se a variável aleatória discreta X puder tomar um número 
infinito de valores, então (30) pode ser generalizada na forma 
 
(33) ∑=++++=
i
iinn xfxxfxxfxxfxXE )(...)(...)()(][ 2211 . 
 
O valor esperado de uma variável aleatória contínua X com 
densidade de probabilidade fX(x) é dada pela integral 
 
(34) ∫∞∞−= dxxxfXE )(][ . 
 
3.2. Valor Esperado de Uma Função de Variável Aleatória 
 
Seja X uma variável aleatória discreta com função de 
probabilidade fX(xi) e g(X) uma função de X. Então o valor esperado 
de g(X) é 
 
(35) ∑=
i
iXi xfxgXgE )()()]([ . 
 
 
9 A mediana e a moda também são medidas de posição. A mediana também 
procura caracterizar o centro de uma função de probabilidade, só que usando um 
critério diferente. A mediana é calculada com base na ordem dos valores de uma 
variável aleatória. A moda (ou modas) corresponde ao valor (ou valores) de 
máxima probabilidade. 
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Caso X seja uma variável aleatória contínua com densidade de 
probabilidade fX(x), o valor esperado de g(X) é dado por 
 
(36) ∫∞
∞−
= dxxfxgXgE X )()()]([ . 
 
Se )()()( 21 XgXgXg += , em que g1(X) e g2(X) também são 
funções de X, então vale 
 
(37) )]([)]([)]([ 21 XgEXgEXgE += . 
 
Relacionamos abaixo algumas propriedades importantes da 
esperança matemática E(.). Sejam “a” e “c” valores constantes e X 
uma variável aleatória (tanto faz se contínua ou discreta), então 
valem: 
 
1. ccE =][ ; 
2. ][][ XcEcXE = ; 
3. ][][ XcEacXaE +=+ . 
 
Note-se que também é usual denotar a média de X usando o 
símbolo X ou a letra grega μ. 
 
3.3. Variância 
 
Sejam X uma variável aleatória (discreta ou contínua) e 
2][)( XXXg −= uma função de X. Define-se a variância de X 
(denotada por var(X) ou σ2) como o valor esperado E[g(X)] dado por 
 
(38) 222222 ][][]2[][)]([)var( XXEXXXXEXXEXgEσX X −=+−=−===
 
Sejam “a” e “c” constantes e Z = a + cX. Não é difícil 
demonstrar que vale a propriedade 
 
(39) )var()var( 2 XccXa =+ . 
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A raiz quadrada da variância é chamada de desvio-padrão 
ou erro-padrão, sendo denotada pelo símbolo σ. 
 
4. Matemática Financeira 
 
Juros simples não têm nenhuma aplicação relevante para a 
matemática atuarial.10 Desta forma, tudo o que se falar daqui para 
frente envolverá apenas capitalização composta ou contínua. 
Aqui cabe um parêntesis: Não tem caído questões envolvendo 
cálculo diferencial e integral nas provas da SUSEP. Só que desta vez 
a ESAF pede no edital anuidades contínuas. Este tópico só pode ser 
tratado através de derivadas e integrais. Por isso veremos 
matemática financeira também sob essa perspectiva. 
a) Se você já estudou cálculo alguma vez na sua vida, não deve 
ter problemas nesta parte, e pule o item 5 desta aula. 
b) Se você nunca estudou, vou tentar passar os bizús11 para a 
prova. Não acredito que a ESAF pegue pesado em cálculo, até por ser 
a primeira vez que essa matéria consta do edital. Isso será feito no 
item 5. Recomendo sua leitura antes do item 4. 
c) Se você nunca estudou, uma outra opção é pular essa parte. 
Cálculo se dá em 4 semestres, 6 horas por semana em um curso de 
engenharia ou matemática de alto nível. Não dá para aprender em 2 
meses. Além disso, não acredito que caia mais de uma questão 
envolvendo cálculo. Isso implica que umas nove questões não 
envolverão. Por último, todos temos deficiências. Um dos 
componentes da fórmula do sucesso12 é saber reconhecê-las, e focar 
nos nossos pontos fortes. 
 
4.1. Taxa efetiva de juros 
 
Dito isso, vamos definir taxa efetiva de juros i, como o montante 
que uma unidade monetária (u.m.) irá render durante um período. 
Assim, se temos 1 real no começo do período, no fim dele 
teremos 1 + i. 
 
 
10 Na minha opinião, a melhor aplicação de juros simples é para resolver problemas de juros simples em 
provas! 
11 Carioquês ou Militarês para “dicas”. 
12 Desculpe se pareceu brega, mas para mim é verdade. 
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4.2. Função de acumulação 
 
Definimos a função de acumulação a(t) como a que representa o 
valor acumulado de uma u.m. no tempo t. 
 
Propriedades de a(t): 
1. a(0) = 1 
2. t2 > t1 ⇒ a(t2) > a(t1) 
3. a(1) - a(0) = i ⇒ a(1) = 1 + i 
4. a(β +δ) = a(β).a(δ) 
A propriedade 1 vem direto da definição de a(t). A propriedade 2 
diz que a taxa de juros é sempre positiva. Apesar de 
matematicamente podermos ter i negativo, é bem razoável supô-lo 
positivo para todas as situações que veremos daqui em diante. A 
propriedade 3 vem direto da propriedade 1. E da definição de taxa 
efetiva de juros. A propriedade 4 afirma que os juros que rendem 1 
u.m. durante um determinado período são iguais aos juros 
proporcionados por essa mesma u.m. durante uma parte deste 
período mais os juros obtidos reinvestindo-se o capital resultante 
durante o resto do período. 
 
Função de acumulação para t períodos, t inteiro, i constante. 
(40) ∑ ∏
= =
+====
t
k
t
k
tt iaaata
1 1
)1()1()1()1()( 13 
Função de acumulação para t períodos, t inteiro, taxa efetiva de 
juros de ik, constante durante o período k. 
(41) ∏
=
+=
t
k
kita
1
)1()( 
Note que (40) é um caso particular de (41) para i = ik. 
 
4.3. Taxa instantânea de juros – capitalização contínua 
 
A taxa de capitalização contínua δt (lê-se delta t) é definida por: 
(42) 
dt
tda
tat
)(
)(
1 ⋅=δ 
 
13 A fórmula (40) vale mesmo para t não inteiro. 
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dt
tda )(
 é a variação da função acumulação com o tempo. Mede o 
quanto de juros foi agregado durante um intervalo de tempo 
infinitesimal dt. Dividimos o resultado pelo valor no início do período, 
a(t), e temos a taxa instantânea de juros, exatamente como fazemos 
no caso discreto. 
Dessa forma, δt representa e taxa de juros exatamente no 
instante t. 
Outra forma de apresentar a taxa instantânea de juros é14 
(43) 
dt
tad
t
))(ln(=δ 
Onde )(log)ln( xx e= denota o logaritmo neperiano de um número 
positivo x, ou logaritmo de x na base e ≈ 2,71828.Partindo de (43) chega-se à função de acumulação para o caso 
contínuo: 
(44) 
∫=
t
rdreta 0)(
δ
 
Quando a taxa instantânea de juros for constante, δt = δ, 
temos: 
 
(45) 
teta δ=)( 
Repare que as equações (40) e (45) referem-se à função de 
acumulação para taxas de juros constantes. Assim, temos 
obrigatoriamente 
δδδ eieiei tttt =+⇒=+⇒=+ 1)()1()1( 
E finalmente temos as relações entre a taxa instantânea de juros 
δ e a taxa de juros i: 
(46) )1ln( i+=δ ou 
(47) 1−= δei 
 
Exemplo 4: Determine a taxa de juros composta equivalente à 
taxa instantânea de juros δ = 2%. 
 
Solução: 
 
Como δ é constante usamos (47): 
 
14 Compare as equações (42) e (43) com as (12) e (13) da Aula 0. 
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%02,20202,011 02,0 ==−=−= eei δ 
 
Exemplo 5: Seja δt =0,02t, para 0 ≤ t ≤ 2. Determine a função de 
acumulação a(t). 
 
Solução: 
 
Como a taxa instantânea é variável, temos de usar (44): 
∫=∫=
2
00
02,0
)(
rdrdr
eeta
t
rδ
 
Mas [ ] 04,0001,0201,001,002,0 2220220 =×−×==∫ rdrr 
Assim, 
04,002,0
2
0)( eeta
rdr =∫= 
 
4.4. Valor Presente 
 
O valor presente (ou atual) de uma u.m. em t é o inverso da 
função de acumulação a(t). 
 
 
 
 
 
Repare a importância da função de acumulação para se trazer a 
valor presente qualquer montante no futuro. 
 O valor presente (VP) de M, t períodos à frente, no regime de 
juros compostos a taxa i a.p. (ao período), é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
1 
Tempo 
)(
1
ta
 0 t 
Tempo 
VP 
0 t 
M 
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(48) ti
M
ta
MVP
)1()( +== 
Por definição, 
)1(
1
i
v += . Isso facilita muito nossa notação, posto 
que a equação (48) se reduz a tMvVP = . 
 
O valor presente (VP) de M, t períodos à frente, no regime de 
capitalização contínua com taxa de capitalização contínua δt é dado 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
(49) 
∫=∫==
− t r
t
r
dr
dr
Me
e
M
ta
MVP 0
0
)(
δ
δ 
 
4.4.1. Valor Presente de uma série de pagamentos 
 
Sejam dados n pagamentos M1, M2, ... , Mn, nos tempos t1, t2, 
... , tn. O VP desta série de pagamentos, no regime de capitalização 
composta, é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
(50) jn
t
n
j
j
t
n
tt vMvMvMvMVP ∑
=
=+++=
1
21 ...21 
Tempo 
VP 
0 t 
M 
Tempo 
VP 
0 t1 
M2 
t2 tn ... 
... 
Mn M1 
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4.5. Taxas nominais e taxas efetivas 
 
Até agora estudamos somente taxas de juros efetivas, isto é, o 
efetivo custo do dinheiro. 
Mas quando alguém vai ao banco pedir um financiamento e é 
informado que os juros nominais cobrados serão de 12% ao ano 
com capitalização mensal (12% a.a.c.c.m), será que essa pessoa 
pagará efetivamente 12% ao ano? 
A resposta é não. Vejamos o motivo. 
A população em geral é leiga em matemática (e em muitas 
outras coisas). Para o leigo, 12% a.a. equivale a 1% a.m. (ao mês). 
O seu limite de cálculo é esse. E é assim que são feitas muitas 
transações. Desta forma, 12% a.a.c.c.m significa pagar 12%/12 = 
1% ao mês. 
Mas quem paga 1% ao mês paga efetivamente quanto ao ano? 
Sendo i a taxa anual efetiva, para cada unidade monetária que 
ele devia no ínicio do ano, ele deverá, ao final de um ano, 1 + i. 
Mas ele está pagando 1% a.m. Portanto, para cada unidade 
monetária que ele devia no ínicio do ano, ele deverá, ao final de um 
ano, (1 + 0,01)12. 
Como os dois capitais no fim do ano têm de ser iguais, temos: 
12)01,01(1 +=+ i , de onde i = 0,1268 
Conclusão: 12 % a.a.c.c.m equivalem a 12,68% de taxa efetiva. 
Para generalizar o resultado obtido usamos exatamente o 
mesmo raciocínio acima. 
Sendo: 
i(m) = taxa nominal pagável m vezes por período 
i = taxa efetiva do período 
m = número de divisões do período 
 
Temos então 
(51) 
mm
m
ii ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=+
)(
11 ou 
(52) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+= 1)1(
1
)( mm imi 
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Nota 1: Não é necessário memorizar (52), pois é apenas 
manipulação algébrica de (51). 
Nota 2: Não é nem necessário memorizar (51), tendo entendido 
como chegamos na fórmula. 
Nota 3: A taxa efetiva de juros é sempre maior ou igual à taxa 
nominal. As taxas só serão iguais quando forem iguais a zero. )(mii ≥ . 
Nota 4: Não confundir taxa efetiva ou taxa nominal com taxa 
real r. A taxa real é a taxa efetiva descontada a inflação, ou seja, 
θ+
+=+
1
11 ir , onde θ é a taxa de inflação do período. Até segunda 
ordem, não vamos usar taxas reais neste curso. 
Nota 5: Prova-se que δ=∞→ )(lim mm i , a taxa instantânea de juros. 
Exemplo 6: Determine a taxa efetiva anual equivalente a uma 
taxa de 20% a.a.c.c.t (20% ao ano com capitalização trimestral). 
 
Solução 
 
Como são 4 trimestres ao ano, temos: 
m=4 
i(m) = 0,2 
De (51), 2155,1
4
2,011
4
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+ i 
Assim, a taxa efetiva anual é de 21,55%. 
 
4.6. Anuidades ou Rendas 
 
Peço a vocês agora especial atenção neste tópico, devido à sua 
importância. Apesar de ainda não pertencer ao escopo da Matemática 
Atuarial, visto que as rendas são certas e portanto independem de 
um elemento de risco,15 todo o raciocínio deste item é análogo 
ao que veremos na Aula sobre anuidades sob a ótica atuarial, 
inclusive do ponto de vista notacional. 
Rendas são pagamentos periódicos, normalmente anuais, 
podendo ser de mesmo montante ou não, efetuados durante 
determinado tempo ou infinitamente, começando imediatamente ou 
 
15 O valor presente das rendas depende do risco de taxa de juros. O que não sofre risco é o pagamento a 
ser feito. Os antigos detentores de títulos da Enron não concordam com essa afirmação. 
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diferidos por alguns anos, e são pagos ou no início ou no fim de cada 
ano. 
Daqui em diante, até o final do curso, quando não for 
falado nada, as rendas são formadas por pagamentos 
constantes e o regime adotado é o de capitalização composta 
à taxa de juros i. 
 
Toda renda discreta segue o esquema gráfico abaixo (repetido 
por conveniência). 
 
 
 
 
 
 
 
(50) jn
t
n
j
j
t
n
tt vMvMvMvMVP ∑
=
=+++=
1
21 ...21 
 
4.6.1. Renda imediata, postecipada e temporária 
 
 
Esta renda segue o seguinte esquema gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do 
primeiro ano (imediata), no final de cada ano (postecipada), durante 
n anos (temporária). 
Notação: 
Valor presente (t = 0): na 
Tempo 
VP 
0 1 
1 
 
2 n ... 
... 
1 
 
1 
Tempo 
VP 
0 t1 
M2 
t2 tn ... 
... 
Mn M1 
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Valor acumulado (t = n): ns 
 
(53) i
vvvva
n
n
n
−=+++= 1...2 
(54) i
iiiis
n
nn
n
1)1(1)1(...)1()1( 21 −+=+++++++= −− 
Para a obtenção de (53) foram usados: 
• O VP de uma soma de fluxos é a soma dos VP`s dos 
fluxos 
• A fórmula da Soma de termos em Progressão Geométrica: ( )
1
11
−
−=
q
qaSoma
n
, onde a1 é o primeiro termo da série e q a 
razão entre qualquer termo e seu antecessor. 
Repare que 
n
nn ias )1( += . Isso não é coincidência. Pode ser 
provado facilmentemultiplicando (53) por ni)1( + . Melhor que provar 
é visualizar. na e ns são valores da mesma anuidade. A única 
diferença são as datas às quais ambos se referem, 0 e n, 
respectivamente. Qualquer fluxo em t = 0 pode ser levado para t = n 
multiplicando-se por ni)1( + . Logo, podemos ver direto que 
(55) 
n
nn ias )1( += 
 
4.6.2. Renda imediata, antecipada e temporária 
 
Esta renda segue o seguinte esquema gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
Tempo 
VP 
0 1 
1 
 
2 n ... 
... 
1 
 
1 1 
n-1 
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Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do primeiro 
ano (imediata), no começo de cada ano (antecipada), durante n anos 
(temporária). 
 
Notação: 
Valor presente (t = 0): na&& 
Valor acumulado (t = n): ns&& 
 
(56) d
v
v
vvvva
nn
n
n
−=−
−=++++= − 1
1
1...1 12&& 
(57) d
iiiis
n
nn
n
1)1()1(...)1()1( 1 −+=++++++= −&& 
Mais uma vez, e pelos mesmos motivos, 
 
(58) 
n
nn ias )1( += &&&& 16 
 
Aqui cabe outro parêntesis. Nas equações (56) e (57) apareceu 
pela primeira vez a taxa de desconto d. 
A taxa de juros i é a razão entre os juros pagos e o valor inicial 
(Vi). 
A taxa de desconto d é a razão entre os juros pagos e o valor 
final (Vf). 
Exemplificando, seja um investimento de 100 reais que 
acumula no final do período 110 reais. 
A taxa de juros i é dada por %10100
10 ==
iV
Juros
 
A taxa de desconto d é dada por %09,9110
10 ==
fV
Juros
 
 
16 Deste ponto até o final da aula, nem sempre apresentaremos o valor acumulado, por dois motivos: cai 
muito menos e, se cair, basta levar o VP ao VF, como fizemos em (55) e (58). 
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Relações entre d, i e v. 
 
i
id
V
V
V
Juros
V
Jurosd
i
f
i
f +
=⇒==
1 
1
11
1 =+⇒+++=+ dvi
i
i
dv 
 
Isto posto, voltemos às anuidades. 
 
4.6.3. Renda diferida de m anos, postecipada e temporária 
 
Esta renda segue o seguinte esquema gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do 
m-ésimo ano (diferida), no final de cada ano (postecipada), durante n 
anos (temporária). 
Notação: 
Valor presente (t = 0): nm a/ 
Podemos calcular essas rendas diretamente, como fizemos em 
(53) e (54), sem maiores dificuldades. Mas preferimos calcular de 
outra forma, pois o raciocínio que usaremos é o mesmo que vamos 
precisar para resolver as questões de concurso. 
Primeiro passo: Calcular o valor dessa renda no instante m 
( mVP ): 
Esse valor nada mais é que o valor presente de uma renda 
imediata, postecipada e temporária, ou seja, na . 
Tempo 
0VP 
0 m+1 
1 
 
m+2 m+n ... 
... 
1 
 
1 
... 
 m 
mVP 
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Segundo passo: Calcular o valor dessa renda no instante 0. Em 
outras palavras, trazer essa renda do instante t = m para o instante 
t = 0. 
Para isso, basta multiplicar mVP por v
m. Desta forma, 
(59) i
vv
i
vvava
nmmn
m
n
m
nm
+−=−⋅== 1/ 
Outra forma de calcular nm a/ é 
(60) mnmnm aaa −= +/ 17 
A equação (60) decorre do fato de que uma renda diferida de m 
anos, temporária por n anos, pode ser interpretada como uma renda 
imediata durante m + n anos, subtraindo-se uma renda imediata de 
m anos. 
Desenvolvendo (60), temos que: 
i
vv
i
v
i
va
nmmmnm
nm
++ −=−−−= 11/ 
 
4.6.4. Renda diferida de m anos, antecipada e temporária 
 
Esta renda segue o seguinte esquema gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do 
m-ésimo ano (diferida), no começo de cada ano (antecipada), 
durante n anos (temporária). 
Notação: 
 
17 Faltou a cantoneira no termo am+n, por limitações do editor de texto utilizado. 
Tempo 
0VP 
0 m+1 
1 
 
m+n-1 m+n ... 
... 
1 
... 
 m 
mVP 
1 
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Valor presente (t = 0): nm a&&/ 
Primeira forma de calcular nm a&&/ . 
Primeiro passo: Calcular o valor dessa renda no instante m 
( mVP ): 
Esse valor nada mais é que o valor presente de uma renda 
imediata, antecipada e temporária, ou seja, na&& . 
Segundo passo: Calcular o valor dessa renda no instante 0. Em 
outras palavras, trazer essa renda do instante t = m para o instante 
t = 0. 
Para isso, basta multiplicar mVP por v
m. Desta forma, 
(61) d
vv
d
vvava
nmmn
m
n
m
nm
+−=−⋅== 1/ &&&& 
Outra forma de calcular nm a/ é 
(62) mnmnm aaa &&&&&& −= +/ 
A interpretação de (62) é análoga à de (60). O 
desenvolvimento deixamos para o aluno. 
 
4.6.5. Rendas vitalícias (Perpetuidades) 
 
Rendas vitalícias, anuidades vitalícias, ou ainda perpetuidades, 
consistem de pagamentos de 1 u.m. feitos eternamente. Pode 
parecer elucubração matemática, mas não é. Em 2009, o Banco do 
Brasil precificou uma captação de bônus perpétuos no valor de US$ 
1,5 bilhão!18 
As perpetuidades podem ser imediatas ou diferidas, antecipadas 
ou postecipadas, mas obviamente nunca temporárias. Temos então 
quatro casos possíveis para as perpetuidades: 
 
 
 
 
 
18 Fonte: www.bb.com.br 
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• imediata postecipada: ∞a 
• imediata antecipada: ∞a&& 
• diferida de m anos postecipada: ∞am / 
• diferida de m anos antecipada: ∞am &&/ 
 Para calculá-las, ou você utiliza o mesmo raciocínio empregado 
para o cálculo das anuidades temporárias, ou percebe que as 
perpetuidades são apenas um caso limite das anuidades temporárias, 
quando o número de anos n tende ao infinito. Optamos pela segundo 
método. Temos então, dado que 0lim =∞→
n
n
v : 
 
(63) ii
vaa
n
nnn
11limlim =−== →∞→∞∞ 
(64) dd
vaa
n
nnn
11limlim =−== ∞→∞→∞ &&&& 
(65) i
v
i
vvaa
mnmm
nnmnm
=−==
+
→∞→∞∞ limlim // 
(66) d
v
d
vvaa
mnmm
nnmnm
=−==
+
→∞→∞∞ limlim // &&&& 
 
4.6.6. Rendas fracionadas 
 
Não pretendemos neste resumo de matemática financeira 
esgotar o assunto. Mas vamos introduzir aqui o conceito de rendas 
fracionadas, e quando estudarmos o assunto em matemática atuarial 
nos aprofundaremos. 
As anuidades fracionadas podem ser imediatas ou diferidas, 
antecipadas ou postecipadas, temporárias ou perpétuas. Vamos 
apresentar agora apenas renda fracionada imediata, postecipada e 
temporária. As derivações dos outros 7 casos são análogas às que 
fizemos nos subitens 4.6.1 a 4.6.5. 
 
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Esta renda segue o seguinte esquema gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. ao ano, divididos 
em m vezes de 1/m, pagos imediatamente, no final de cada 
subperíodo, durante n anos. 
Notação: 
Valor presente (t = 0): 
)(m
na 
Valor acumulado (t = n): 
)(m
ns 
Temos então 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++++= − nmnmmmmn vvvvvma
1321
)( ...1
 
O termo entre parêntesis é uma P.G. de nm termos cujos 
primeiro termo e razão são iguais a mv
1
. Assim, 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
=
m
nm
m
nm
m
m
m
n
v
v
m
v
v
v
m
va 1
1
1
11
)(
1
1
1
1
 
Multiplicando denominador e numerador da equação acima por 
mi
1
)1( + , e usando a relação 1)1(
11
=+ mm iv e a equação (52) temos: 
 
Tempo 
VP 
0 1/m 
1/m 
 
2/m n
m
nm = ... 
... 
1/m 
 
1/m 
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(67) 
)(1
)( 1
1)1(
1
m
n
m
n
m
n i
v
im
va −=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
−=
 
e como 
nmm ias
nn
)1()()( += , segue que 
(68) )()(
)( 1)1()1(1 m
n
n
m
n
m
i
ii
i
vs
n
−+=+⋅−= 
Repare na semelhança das fórmulas (67) e (68) com as fórmulas 
(53) e (54), respectivamente. Elas diferem apenas pelo denominador, 
)(mi no caso fracionário e i no caso não fracionário. 
Como )(mii ≥ , nmn aa ≥)( e nmn ss ≥)( 
Em outras palavras, o VP da anuidade fracionada postecipada é 
maior que o VP da paga somente uma vez no período. Este é um 
resultado esperado, pois os pagamentos foram antecipados. 
 
4.6.7. Rendas contínuas 
 
Estudamos o pagamento de uma renda sendo feito em m vezes 
durante o ano. Agora imagine a frequência m se tornando cada vez 
maior, indefinidamente, e o intervalo de tempo 1/m cada vez menor, 
indefinidamente. Teremos assim o que chamamos de renda contínua. 
Repare que nesse caso não faz sentido se falar em renda 
antecipada ou postecipada, mas continua a fazer sentido renda 
diferida ou imediata, e renda temporária ou vitalícia. 
Como fizemos com rendas fracionadas, vamos estudar apenas 
um caso. Os outros 3 casos são análogos. 
Anuidade contínua, imediata e vitalícia 
Notação: 
Valor presente (t = 0): na 
Valor futuro (t = n): ns 
Do exposto temos que: 
(69) ,
11limlim )(
)(
δ
n
m
n
m
m
nmn
v
i
vaa −=−== ∞→∞→ 
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Onde usamos o fato de δ=∞→ )(lim mm i , a taxa instantânea de juros. 
A única diferença da equação (69) para (53) e (56) é que no 
denominador aparece a taxa instantânea de juros δ , no lugar de i e 
d, respectivamente. 
Outra forma de provar a equação (69) é calcular a integral 
,
lnln
0
00 v
vv
v
vdtva
nntn
t
n
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∫ 
Como ,)1ln()1ln(ln 1 δ−=+−=+= − iiv 
Segue que ,
11
δδ
nn
n
vva −=−
−= 
Para o cálculo do ns , adivinhem: 
δ
1)1()1( −+=+=
n
n
nn
iias 
 
Exemplo 7: Um felizardo foi contemplado por uma promoção de 
sua operadora de cartão de crédito que lhe dará R$ 5.000,00 por 
mês, durante 10 anos, sempre no final de cada mês. Sabendo que a 
taxa de juros de mercado é de 1% a.m., determine quanto que a 
operadora teria de separar hoje, para honrar esse compromisso. O 
primeiro pagamento é dentro de um mês. 
 
Solução: 
 
Trata-se de uma renda imediata, postecipada e temporária. 
Temos o esquema abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Tempo 
VP 
0 1 
5.000 
 
2 120 ... 
... 
5.000 
 
5.000 
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 A operadora terá de separar o VP desta renda. Usando (53), 
 
70052,695000
01,0
01,115000150005000
120
120 ⋅=−⋅=−==
−
i
vaVP
n
 
Assim, VP = R$348.502,60. 
 
Exemplo 8: Uma empresa planeja emitir bônus perpétuos 
remunerando o seu detentor à taxa de 10% a.a. Supondo que cada 
bônus tenha cupons anuais de R$ 500,00, o primeiro sendo pago no 
dia da emissão, determine o quanto a empresa vai conseguir captar 
se emitir 100.000 bônus. 
 
Solução: 
 
Esta renda segue o seguinte esquema gráfico (por bônus): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta é uma perpetuidade imediata antecipada. Para um bônus, 
usando (64), temos: 
 
d
aVP 1500500 ⋅=⋅= ∞&& 
Mas 11
1
1,01
1,0
1
=+=+= i
id 
Assim, 550011500
1500 =⋅=⋅=
d
VP 
Tempo 
VP 
0 1 
500 
 
2 ... 
... 
500 500 
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Como a empresa planeja emitir 100.000 bônus, ela deve captar 
100.000 x 5.500 = R$ 550.000.000 
 
 
5. Noções de Derivada e Integral 
 
 
O melhor nome para esse item seria “Remendão de Cálculo”, 
mas ficaria muito feio no índice. 
Procuramos ser rigorosos ao tratar da Teoria das Probabilidades 
e de Matemática Financeira. 
Para o cálculo integral, não temos a menor pretensão de sermos 
rigorosos. Tratar com rigor essa matéria, mesmo em um resumo, não 
tomaria menos de 100 páginas de material, algo de que não 
dispomos e nem precisamos. 
Este item se destina aos que nunca viram cálculo integral antes, 
e seu objetivo é ajudar no cálculo de algumas integrais básicas, caso 
caiam na prova da SUSEP. É mais um guia de como calcular algumas 
derivadas e integrais. 
Agora, e somente agora, o objetivo não é aprender, é decorar. 
Quem quiser aprender, deve fazê-lo após o concurso, pois mesmo 
que não estudasse mais nada além de cálculo até a prova da SUSEP, 
ainda assim o tempo seria insuficiente para sua devida compreensão. 
Aos demais já iniciados em cálculo, sugiro ir diretamente aos 
exercícios. 
 
5.1. Noções de Derivada 
 
Para o que pode cair na prova, toda função é derivável. Isto é, 
toda função f(x) tem uma derivada chamada f`(x).19 A tabela 
abaixo lista as principais funções e suas respectivas derivadas,sendo 
a uma constante qualquer, e g e h funções de x. 
 
 
 
 
 
 
19 Isto não é verdade. Há funções não deriváveis em alguns pontos. Há até funções não deriváveis em 
nenhum ponto. 
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f(x) f`(x) 
a 0 
x 1 
ax 1−aax 
)ln(x 1/x 
xe xe 
xa )ln(aa x 
ga ⋅ 'ga ⋅ 
hg + '' hg + 
 
 
5.2. Noções de Integral 
 
Integral é o inverso da derivada. Sendo mais preciso, se 
queremos calcular a integral de f(x), queremos calcular uma função 
F(x) tal que F’(x) = f(x). 
Por exemplo, se f(x) = 2x, 2)( xxF = , pois a derivada de 2x é 
xx 22 12 =− . 
Como a derivada de uma constante é zero, qualquer função do 
tipo ,)( 2 cxxF += c constante, é uma integral de f(x). 
Notação: ∫= dxxfxF )()( 
 Assim, como fizemos para as derivadas, resumimos as 
principais integrais na tabela abaixo. 
 
 
f(x) F(x) 
0 c 
1 x + c 
ax 
1
1
+
+
a
xa
 + c 
1/x )ln(x + c 
xe xe + c 
xa 
)ln(a
a x
 + c 
ga ⋅ Ga ⋅ 
hg + HG + 
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Na tabela acima, novamente a é uma constante qualquer, g e h 
são funções de x. G e H são as integrais de g e h, respectivamente. 
Exemplos: 
a) cxdxxdxxfxFxxf +===⇒= ∫∫ 6)()()(
6
55 
b) cxdxdxxFxf +===⇒= ∫∫ 4144)(4)( 
c) ⇒++==⇒++= ∫∫ dxxxdxxfxFxxxf )103()()(103)( 22 
cxxxdxxdxdxxxf ++⋅+=++=⇒ ∫ ∫∫ 10233103)(
23
2 
A integral que vimos acima é a chamada integral indefinida. 
Sempre haverá a constante na soma. 
O que pode cair na prova são as integrais definidas. São 
praticamente iguais às definidas, mas com uma diferença. 
Vamos estabelecer a integral definida de f(x), variando no 
intervalo de a até b, como segue: 
 
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫ 
Assim, são os seguintes passos que temos de tomar para 
calcular uma integral. 
1º passo: Calcular a integral indefinida F(x) 
2º passo: Calcular F(b) e F(a) 
3º passo: Calcular F(b) - F(a) 
 
É simples assim. Não tem segredo. Mas não vou lhe enganar. 
Com isso, você, que não pulou essa parte, não vai ter aprendido nada 
de cálculo. Mas vai responder às questões que envolvem integrais. É 
só isso que importa. 
 
Exemplos: 
d)Calcule ∫ ++
6
0
2 )103( dxxx . 
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1º passo: Vimos, no exemplo c), que a integral indefinida da 
função )103( 2 ++ xx é cxxxxF ++⋅+= 10
2
3
3
)(
23
 
 
2º passo: 
cccF +=+++=+⋅+⋅+= 186605472610
2
63
3
6)6(
23
 
cF =)0( 
 
3º passo: 
Portanto, 186186)0()6()103(
6
0
2 =−+=−=++∫ ccFFdxxx 
Repare que a constante c foi anulada durante o processo. Como 
isso sempre ocorrerá na integral definida, na prática não vamos mais 
escrever a constante no cálculo da integral. 
 
e) Calcule ∫
10
0
dtvt 
Para a integral, v é constante (só não é constante o que 
depender da variável de integração, que neste caso é t) 
 
Da tabela, a integral de tv é 
v
vt
ln
. Teremos então 
δ
1010
1
1001010
0
10
0
1
)1ln(
1
)1ln(
1
lnln
v
i
v
i
v
v
vv
v
vdtv
t
t −=+−
−=+
−=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= −∫ 
 
Só para concluir. Cálculo é muito mais que isso. Mas dificilmente 
numa prova da ESAF cairá algo mais sofisticado. Mesmo assim, se 
cair, uma questão somente não é capaz de lhe tirar do páreo. 
 
 
 
 
 
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6. Exercícios de Fixação 
 
 
O enunciado abaixo refere-se às questões de números 1 a 4. 
 
Após vários anos de magistério no ensino superior, um professor de 
Estatística constatou que, em sua aula na graduação, a função de 
probabilidade de X, variável aleatória que representa o número de 
alunos ausentes às sextas-feiras, é a seguinte 
 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 
f(x) 0,010 0,020 0,310 0,320 0,240 0,080 0,019 0,001 
 
1. Então a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 
alunos estarão ausentes é 
 
(A) 0,63 
(B) 0,13 
(C) 0,87 
(D) 0,56 
(E) 1 
 
2. O valor esperado da variável aleatória X é 
 
(A) 3,08 
(B) 3,26 
(C) 2,12 
(D) 0,32 
(E) 0,96 
 
 
 
 
 
 
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3. O valor esperado de Y = 5X + 4 é 
 
(A) 4 
(B) 3,1 
(C) 15,4 
(D) 19,4 
(E) 81 
 
4. A variância de X é 
 
(A) 9,49 
(B) 1,22 
(C) 10,71 
(D) 19,4 
(E) 81 
 
O enunciado a seguir refere-se às questões de números 5 e 6. 
 
Seja X uma variável aleatória com densidade de probabilidade 
xxf X 22)( −= para 10 ≤≤ x e 0)( =xf X para os demais valores. 
 
5. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é 
 
(A) 0 
(B) 0,75 
(C) 0,25 
(D) 0,5 
(E) 1 
 
 
 
 
 
 
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6. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é 
 
(A) 0 
(B) 0,75 
(C) 0,25 
(D) 0,5 
(E) 1 
 
 
 
O enunciado a seguir refere-se às questões de números 7 a 10 
 
Um total de 15.064.859 alunos estão matriculados no ensino 
superior, divididos entre cursos com duração de 4 anos, de 2 anos e 
de menos de 2 anos. A matrícula, separada por sexo, é mostrada na 
tabela a seguir. 
 
 4 anos 2 anos Menos de 2 anos 
Homens 4.076.416 2.437.905 172.874 
Mulheres 4.755.790 3.310.086 311.788 
Fonte: Digest of Educational Statistics 1997, Tabela 170. 
 
Nessa população, as probabilidades aproximadas de matrícula em um 
dos tipos de instituição de ensino superior, por sexo, são 
 
 4 anos 2 anos Menos de 2 anos 
Homens 0,27 0,16 0,01 
Mulheres 0,32 0,22 0,02 
 
Considere o experimento de extrair aleatoriamente um estudante 
matriculado de sua população. Defina a variável aleatória X = 0, se 
um homem é selecionado, e X = 1, se uma mulher é selecionada. 
Defina a variável aleatória Y = 1, se o estudante escolhido é de um 
curso de 4 anos, Y = 2, se o estudante escolhido é de um curso de 2 
anos e Y = 3, se é de um curso de menos de 2 anos. 
 
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7. Qual é a probabilidade do estudante escolhido aleatoriamente ser 
homem (X = 0)? 
 
(A) 0,44 
(B) 0,56 
(C) 0,59 
(D) 0,38 
(E) 0,03 
 
 
8. Qual é a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente, 
ser de um curso de 2 anos (Y = 2)? 
 
(A) 0,44 
(B) 0,56 
(C) 0,59 
(D) 0,38 
(E) 0,03 
 
9. Assinale a alternativa com a função discreta de probabilidade 
marginal )(xf . 
 
(A) ⎩⎨
⎧
=
==
1,1
0,0
)(
x
x
xf 
(B) ⎩⎨
⎧
=
==
1,44,0
0,56,0
)(
x
x
xf 
(C) ⎩⎨
⎧
=
==
1,56,0
0,44,0
)(
x
x
xf 
(D) ⎩⎨
⎧
=
==
1,38,0
0,59,0
)(
x
x
xf 
(E) ⎩⎨
⎧
=
==
1,59,0
0,38,0
)(
x
x
xf 
 
 
 
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10. A função de probabilidade condicional para Y, dado que X =1 é 
 
(A) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
==
3,02,0
2,40,0
1,57,0
)1/(/
y
y
y
xyf XY 
(B) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
==
3,48,0
2,29,0
1,02,0
)1/(/
y
y
y
xyf XY 
(C) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
==
3,02,0
2,29,0
1,48,0
)1/(/
y
y
y
xyf XY 
(D) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
==
3,57,0
2,40,0
1,04,0
)1/(/
y
y
y
xyf XY 
(E) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
==
3,04,0
2,40,0
1,57,0
)1/(/
y
y
y
xyf XY 
 
11. Determine o valor presente de uma anuidade que paga R$20 de 
forma contínua, durante 6 anos e meio. A taxa de juros composta é 
de 10% a.a. 
 
12. (AFC – STN 2008 – ESAF) Em uma loja de departamentos está 
sendo oferecida a seguinte promoção: “nas compras acima de 
R$ 5.000,00, o valor é parcelado em 5 parcelas mensais, iguais e 
sucessivas, sendo a primeira em 90 dias”. Com base nessa condição 
e sabendo que a taxa aplicada ao mercado é de 2,5% a. m., podemos 
afirmar financeiramente que: 
A) as compras com valores de até R$ 5.000,00, quando parceladas, 
compensam financeiramente as compras de valores superiores a este 
valor, indicadas pela “promoção”. 
B) a loja deve fazer mais vezes esta promoção, especialmente em 
épocas festivas tipo Natal, pois trará um maior volume de vendas e 
de ganho nas operações. 
C) 10% é um desconto possível para o pagamento a vista. 
D) o valor a vista não pode ter desconto, pois não propicia o retorno 
dos clientes, implicando em prejuízos à operação. 
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E) a loja deve evitar fazer esta promoção, pois, por ter custo 
financeiro, descapitaliza a empresa, visto que reduz financeiramente 
seu capital de giro. 
 
13. Uma perpetuidade antecipada e imediata tem, a uma taxa de 
juros de 5%, valor presente de R$ 210. Qual o valor de cada 
pagamento? 
 
14. Considere uma anuidade que paga 1 real no fim do primeiro 
período, 2 reais no fim do segundo, e assim por diante, até o fim do 
sexto período, quando paga 6 reais. Determine uma expressão para o 
valor presente desta renda.
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6. GABARITO 
1 – C 
2 – A 
3 – D 
4 – B 
5 – E 
6 – C 
7 – A 
8 – D 
9 – C 
10 - E 
11 - R$ 96,90 
12 – C 
13 - R$ 10 
14 - 
i
va 66 6−&&
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7. Resolução dos Exercícios de Fixação 
 
O enunciado abaixo refere-se às questões de números 1 a 4. 
 
Após vários anos de magistério no ensino superior, um professor de 
Estatística constatou que, em sua aula na graduação, a função de 
probabilidade de X, variável aleatória que representa o número de 
alunos ausentes às sextas-feiras,é a seguinte 
 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 
f(x) 0,010 0,020 0,310 0,320 0,240 0,080 0,019 0,001 
 
1. Então a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 
alunos estarão ausentes é 
 
(A) 0,63 
(B) 0,13 
(C) 0,87 
(D) 0,56 
(E) 1 
 
Resolução 
 
A probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 estarão 
ausentes é dada por 
 
87,0240,0320,0310,0)(
4
2
=++=∑
=x
xf 
 
GABARITO: C 
 
 
 
 
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2. O valor esperado da variável aleatória X é 
 
(A) 3,08 
(B) 3,26 
(C) 2,12 
(D) 0,32 
(E) 0,96 
 
Resolução 
 
∑
=
=
7
0
)(][
x
xxfXE 
 
Logo, E[X] 
 
08,3081,3001,07019,0608,0524,0432,0331,0202,0101,00 ≈=×+×+×+×+×+×+×+×=
 
GABARITO: A 
 
3. O valor esperado de Y = 5X + 4 é 
 
(A) 4 
(B) 3,1 
(C) 15,4 
(D) 19,4 
(E) 81 
 
Resolução 
 
4,19405,194405,154081,354][5]45[][ ≈=+=+×=+=+= XEXEYE . 
 
GABARITO: D 
 
 
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4. A variância de X é 
 
(A) 9,49 
(B) 1,22 
(C) 10,71 
(D) 20,305 
(E) 85,525 
 
Resolução 
 
2
7
0
222 )(][)var( XxfxXXEX
x
∑
=
−=−= . 
+×+×+×+×+×+×=∑
=
08,0524,0432,0331,0202,0101,00)( 222222
7
0
2
x
xfx 
713,10001,07019,06 22 =×+×+ 
 
Então, 
 
22,1493,9713,10081,3713,10][)var( 222 =−=−=−= XXEX . 
 
GABARITO: B 
 
O enunciado a seguir refere-se às questões de números 5 e 6. 
 
Seja X uma variável aleatória com densidade de probabilidade 
xxfX 22)( −= para 10 ≤≤ x e 0)( =xf X para os demais valores. 
 
5. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é 
 
(A) 0 
(B) 0,75 
(C) 0,25 
(D) 0,5 
(E) 1 
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Resolução 
 
O gráfico da função densidade de probabilidade xxfX 22)( −= está 
representado abaixo. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é, 
por definição, igual à área sob f(x), a qual é unitária, pois representa 
a probabilidade do evento certo. Conferindo: 
 
1
2
21
2
]0[ =×=×=> alturabaseXP . 
 
 
x10
2
f(x)
1
0,5
 
 
GABARITO: E 
 
6. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é 
 
(A) 0 
(B) 0,75 
(C) 0,25 
(D) 0,5 
(E) 1 
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Resolução 
 
A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é igual à área sob f(x) 
no intervalo 15,0 ≤< x . Ou seja 
 
25,0
2
15,0]5,0[ =×=>XP . 
 
GABARITO: C 
 
O enunciado a seguir refere-se às questões de números 7 a 
10. 
 
Um total de 15.064.859 alunos estão matriculados no ensino 
superior, divididos entre cursos com duração de 4 anos, de 2 anos e 
de menos de 2 anos. A matrícula, separada por sexo, é mostrada na 
tabela a seguir. 
 
 4 anos 2 anos Menos de 2 anos 
Homens 4.076.416 2.437.905 172.874 
Mulheres 4.755.790 3.310.086 311.788 
Fonte: Digest of Educational Statistics 1997, Tabela 170. 
 
Nessa população, as probabilidades aproximadas de matrícula em um 
dos tipos de instituição de ensino superior, por sexo, são 
 
 4 anos 2 anos Menos de 2 anos 
Homens 0,27 0,16 0,01 
Mulheres 0,32 0,22 0,02 
 
Considere o experimento de extrair aleatoriamente um estudante 
matriculado de sua população. Defina a variável aleatória X = 0, se 
um homem é selecionado, e X = 1, se uma mulher é selecionada. 
Defina a variável aleatória Y = 1, se o estudante escolhido é de um 
curso de 4 anos, Y = 2, se o estudante escolhido é de um curso de 2 
anos e Y = 3, se é de um curso de menos de 2 anos. 
 
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7. Qual é a probabilidade do estudante escolhido aleatoriamente ser 
homem (X = 0)? 
 
(A) 0,44 
(B) 0,56 
(C) 0,59 
(D) 0,38 
(E) 0,03 
 
Resolução 
 
Seja ),( kiXY yxf , 2,1=i e 3,2,1=k , a função discreta de 
probabilidade conjunta da população de homens e mulheres da 
questão. Sendo assim, temos as seguintes probabilidades 
conjuntas: 
 
27,0)1,0( === yxf XY (i=1, k=1), 16,0)2,0( === yxf XY (i=1, k=2), 
01,0)3,0( === yxf XY (i=1, k=3), 32,0)1,1( === yxf XY (i=2, k=1), 
22,0)2,1( === yxf XY (i=2, k=2) e 02,0)3,1( === yxf XY (i=2, k=3). 
 
Note que ∑∑
= =
=+++++=
2
1
3
1
102,022,032,001,016,027,0),(
i k
kiXY yxf 
(probabilidade do evento certo). 
 
O enunciado determina que a probabilidade ]0[ =XP seja calculada. 
Observe que )0(]0[ === xfXP X , isto é, a probabilidade de o estudante 
escolhido aleatoriamente ser homem é igual à probabilidade 
marginal )(xfX no ponto x =0. Vimos que ∑=
k
kiXYiX yxfxf ),()( . Logo, 
)]3,0()2,0()1,0()0(]0[ ==+==+====== yxfyxfyxfxfXP XYXYXYX 
44,001,016,027,0]0[ =++==XP 
 
GABARITO: A 
 
 
 
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8. Qual é a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente, 
ser de um curso de 2 anos (Y = 2)? 
 
(A) 0,44 
(B) 0,56 
(C) 0,59 
(D) 0,38 
(E) 0,03 
 
Resolução 
 
Seja ∑=
i
kiXYY yxfyg ),()( a função de probabilidade marginal de Y. 
 
)2(]2[ === ygYP Y 
)2,1()2,0()2( ==+==== yxfyxfyg XYXYY 
38,022,016,0]2,1[]2,0[]2[ =+===+==== YXPYXPYP . 
 
GABARITO: D 
 
9. Assinale a alternativa com a função discreta de probabilidade 
marginal )(xf . 
 
(A) ⎩⎨
⎧
=
==
1,1
0,0
)(
x
x
xf 
(B) ⎩⎨
⎧
=
==
1,44,0
0,56,0
)(
x
x
xf 
(C) ⎩⎨
⎧
=
==
1,56,0
0,44,0
)(
x
x
xf 
(D) ⎩⎨
⎧
=
==
1,38,0
0,59,0
)(
x
x
xf 
(E) ⎩⎨
⎧
=
==
1,59,0
0,38,0
)(
x
x
xf 
 
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Resolução 
 
Sabemos que ∑=
k
kiXYiX yxfxf ),()( . Portanto, 
 
44,0)3,0()2,0()1,0()0( ===+==+==== yxfyxfyxfxf XYXYXYX (calculado 
na questão 7). 
 
===+==+==== )3,1()2,1()1,1()1( yxfyxfyxfxf XYXYXYX 
56,002,022,032,0 =++= . 
 
Assim a função de probabilidade marginal ( )f x é dada por 
⎩⎨
⎧
=
==
1,56,0
0,44,0
)(
x
x
xf 
 
GABARITO: C 
 
10. A função de probabilidade condicional para Y, dado que X =1 é 
 
(A) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
==
3,02,0
2,40,0
1,57,0
)1/(/
y
y
y
xyf XY 
(B) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
==
3,48,0
2,29,0
1,02,0
)1/(/
y
y
y
xyf XY 
(C) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
==
3,02,0
2,29,0
1,48,0
)1/(/
y
y
y
xyf XY 
(D) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
==
3,57,0
2,40,0
1,04,0
)1/(/
y
y
y
xyf XY 
(E) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
==
3,04,0
2,40,0
1,57,0
)1/(/
y
y
y
xyf XY 
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Resolução 
 
Pela definição de probabilidade condicional temos que 
 
57,0
664.377.8
790.755.4)1/1(/ ≈=== xyf XY 
40,0
664.377.8
086.310.3)1/2(/ ≈=== xyf XY 
04,0
664.377.8
788.311)1/3(/ ≈=== xyf XY 
 
Observe que 
 
1)1/3()1/2()1/1( /// ≈==+==+== xyfxyfxyf XYXYXY (evento certo) 
 
Assim a função de probabilidade marginal )1/(/ =xyf XY é dada por 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
==
3,037,0
2,395,0
1,568,0
)1/(/
y
y
y
xyf XY e 0)1/(/ ==xyf XY p/ os demais valores de y. 
 
Também podemos resolver a questão usando a fórmula 
 
)1(
),()1/(/ === xf
yxfxyf XYXY . 
 
Assim sendo, 
 
57,0
56,0
32,0
)1(
)1,1()1/1(/ ≈==
=====
xf
yxfxyf XYXY 
40,0
56,0
22,0
)1(