Matemática Atuarial aula 02

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PONTO DOS CONCURSOS
MATEMÁTICA ATUARIAL 
DE PESSOAS 
 SUSEP 
Aula 2 
 
André Cunha 
22/02/2010 
 
Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de
ensino) e aborda os seguintes tópicos: Funções de Sobrevivência e Tábuas
de Mortalidade.
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Conteúdo
1. Introdução ...........................................................................3
2. A Função de Sobrevivência.....................................................3
2.1. Função Discreta de Probabilidade....................................4
2.2. Função Densidade de Probabilidade ................................4
2.3. Taxa Instantânea de Mortalidade (µx)..............................5
3. Tábuas de Mortalidade...........................................................7
3.1. Relações entre S(x), qx, lx e dx .......................................9
3.2. Outras funções de lx.................................................... 10
3.3. A função Lx ................................................................ 14
3.4. A função mx ............................................................... 16
3.5. A função Tx ................................................................ 17
3.6. A função ex ................................................................ 18
4. Idades Fracionadas ............................................................. 19
4.1. Hipótese de distribuição linear de lx+t ............................ 19
4.2. Hipótese de distribuição exponencial de lx+t ................... 20
5. Exercícios de Fixação........................................................... 23
6. GABARITO ......................................................................... 27
7. Resolução dos Exercícios de Fixação...................................... 28
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1. Introdução
Nesta aula e na seguinte entramos definitivamente no campo
atuarial. Os conceitos vistos aqui serão utilizados amplamente nas
aulas subsequentes. Trata-se, portanto, de instrumental para resolver
grande parte das questões que cairão na SUSEP.
Por esse caráter instrumental da matéria, não há muitas
questões de concursos disponíveis para essas 2 aulas. Entretanto,
vamos resolver todas as disponíveis e ainda ver vários exemplos.
O nível de dificuldade adotado nas Aulas está nitidamente
superior ao das questões passadas da SUSEP, devido a alguns
motivos:
a) O edital de 2010 apresentou muitas mudanças em relação ao
de 2006;
b) A ciência atuarial, por ser relativamente nova, está evoluindo;
c) A concorrência crescente nos concursos públicos pode levar a
ESAF a aumentar o nível da prova.
Apesar de o curso estar profundo e abrangente, tentamos fazê-
lo da forma mais simples possível, sem perder o rigor. Além do mais,
o propósito do curso é que ele seja autossuficiente, para o aluno não
perder tempo tentando filtrar conteúdos de livros.
Bons estudos!
2. A Função de Sobrevivência
Seja X uma variável aleatória que representa o tempo de vida de
um indivíduo recém nascido, ou seja, o tempo que levará até sua
morte. Pode ser também o tempo necessário para uma geladeira
nova pifar, para o seu time levar ou marcar o primeiro gol no
campeonato, etc.
Dizemos que S(x) = Pr(X > x) é a função de sobrevivência da
variável aleatória X, e representa a probabilidade de o indivíduo
sobreviver x anos a partir do momento atual.
A probabilidade de o indivíduo morrer dentro de x anos é dada
por F(x) = Pr(X ≤ x).
É claro que F(x) + S(x) = 1, para todo x.
Relações importantes:
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S(0) = 1 , ou F(0) = 0
0)(lim =
∞→
xS
x
, ou 1)(lim =
∞→
xF
x
Perceba que a função F(x), da forma como está definida acima,
é a função de distribuição da variável aleatória X.
Da mesma forma, repetindo, a função S(x), como está definida
acima, é a função de sobrevivência da variável aleatória X.
2.1. Função Discreta de Probabilidade
A função que atribui a cada valor de uma variável aleatória
discreta sua probabilidade é chamada de função discreta de
probabilidade ou, simplesmente, função de probabilidade.
(1) )(][ ii xfxXP == ,...2,1=i
Assim, para variáveis discretas, temos:
(2) ∑
≤
=≤=
xx
i
i
xfxXPxF )()()(
(3) ∑
>
=>=
xx
i
i
xfxXPxS )()()(
2.2. Função Densidade de Probabilidade
É a função de probabilidade para o caso contínuo.
Já vimos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou
função densidade de probabilidade (pdf)1 para uma variável
aleatória contínua X, se satisfaz duas condições:
1. f(x) ≥ 0 para todo x ∈ (-∞,∞);
2. a área definida por f(x) é igual a 1.
 
1
 Utilizamos a sigla em inglês (Probability Density Function), por questões de etiqueta. 
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A condição 2 é dada pela integral
(4) ∫
∞
∞−
=1)( dxxf .
Assim, no caso contínuo temos.
(5) ∫
∞−
=
x
dfxF λλ)()( .
(6) ∫
∞
=
x
dfxS λλ)()( .
Como consequência direta de (5) e (6), a função densidade de
probabilidade f(x) pode ser expressa como a derivada da função de
Distribuição F(x) ou como o oposto da derivada da função de
sobrevivência S(x).
(7) )(
)(
)( ' xF
dx
xdF
xf ==
(8) )(
)(
)( ' xS
dx
xdS
xf −=−=
Repare que, de (8) e (9), concluímos facilmente que
)()( '' xSxF −= , como tinha de ser, pois 1)()( =+ xSxF .
2.3. Taxa instantânea de mortalidade (µx)
Já vimos o que significa a taxa instantânea de mortalidade na
Aula 0. Agora a estudaremos por um ângulo diferente.
A pdf da variável aleatória X é dada por f(x).
Agora vamos condicionar a pdf f(x) ao fato de a pessoa ter
sobrevivido à idade x. Para isso, basta dividir f(x) por S(x). Temos
então a pdf da variável aleatória X condicionada a essa sobrevivência.
Esta pdf condicionada é a própria taxa instantânea de mortalidade.
Temos então que:
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(9) 
)(
)(
xS
xf
x =µ
Usando a relação )(0 xSllx ⋅= , verifica-se facilmente que (9) é
equivalente à definição de xµ dada na aula 0. Além disso, xµ pode ser
reescrita de várias formas, mas basta decorar/entender/memorizar
uma delas.
)(ln
)(
)(
)(1
)(
)(1
)(
)(
)( ''
xS
dx
d
xS
xS
xF
xS
xF
xf
xS
xf
x −=
−
=
−
−
=
−
==µ
Exemplo 1: Uma distribuição de interesse é a exponencial. Sua pdf é
dada por xexf λλ −=)( , x > 0. Determinar F(x), S(x) e xµ .
Solução:
[ ] xxt
x
t
x
eedtedttfxF λλλλ −−− −=−=== ∫∫ 1)()( 0
00
xx eexFxS λλ −− =−−=−= )1(1)(1)(
Assim, de (9), λ
λ
µ λ
λ
===
−
−
x
x
x
e
e
xS
xf
)(
)(
E nos deparamos com um resultado interessante. Para a
distribuição exponencial, a taxa instantânea de mortalidade é
constante. Isso implica que essa distribuição não é recomendável
para seres humanos, somente no curto prazo. Mas a escolha de um
modelo é um problema de modelagem atuarial, que não cai na prova.
O modelo nos será dado sempre.
Agora entraremos em tábuas de mortalidade e funções
biométricas. Parte do conteúdo foi apresentado na Aula 0, e
reproduziremos abaixo, por conveniência.
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3. Tábuas de mortalidade
Tábuas de mortalidade (ou de sobrevivência ou biométricas) são
importantes instrumentos para se conhecer as taxas de mortalidade
de uma população. É a partir delas que calculamos as probabilidades
de nosso interesse.
Uma tábua de mortalidade pode ser construída a partir da
função de sobrevivência S(x).
x S(x)0 1,000
1 0,980
2 0,978
3 0,975
4 0,973
5 0,970
... ...
99 0,001
100 0,000
Tábua 1
Para a idade x = 0, S(x)=1, e para a idade de 100 anos S(x) =
0. Mesmo sabendo que a probabilidade de uma pessoa de 100 anos
sobreviver mais um ano não é nula, para alguma idade essa
probabilidade será tão baixa que podemos considerá-la como zero
para quaisquer efeitos práticos.
A primeira idade para a qual S(x) é nula é chamada de idade ω
(ômega). Costuma ser a última idade da tábua, mas não
necessariamente é. Na Tábua 1, ω = 100.
A apresentação da Tábua 1 não é muito usual. Veja a Tábua 2
abaixo.
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x qx lx dx x qx lx dx
0 0.00708 100000 708 50 0.00832 87623 729
1 0.00176 99292 175 51 0.00911 86894 792
2 0.00152 99117 151 52 0.00996 86102 858
3 0.00146 98967 144 53 0.01089 85245 928
4 0.00140 98822 138 54 0.01190 84317 1003
5 0.00135 98684 133 55 0.01300 83313 1083
6 0.00130 98551 128 56 0.01421 82230 1168
7 0.00126 98422 124 57 0.01554 81062 1260
8 0.00123 98298 121 58 0.01700 79802 1357
9 0.00121 98177 119 59 0.01859 78445 1458
10 0.00121 98059 119 60 0.02034 76987 1566
11 0.00123 97940 120 61 0.02224 75421 1677
12 0.00126 97820 123 62 0.02431 73744 1793
13 0.00132 97696 129 63 0.02657 71951 1912
14 0.00139 97567 136 64 0.02904 70039 2034
15 0.00146 97432 142 65 0.03175 68005 2159
16 0.00154 97289 150 66 0.03474 65846 2287
17 0.00162 97140 157 67 0.03804 63559 2418
18 0.00169 96982 164 68 0.04168 61141 2548
19 0.00174 96818 168 69 0.04561 58593 2672
20 0.00179 96650 173 70 0.04979 55920 2784
21 0.00183 96477 177 71 0.05415 53136 2877
22 0.00186 96300 179 72 0.05865 50259 2948
23 0.00189 96121 182 73 0.06326 47311 2993
24 0.00191 95940 183 74 0.06812 44318 3019
25 0.00193 95756 185 75 0.07337 41299 3030
26 0.00196 95572 187 76 0.07918 38269 3030
27 0.00199 95384 190 77 0.08570 35239 3020
28 0.00203 95194 193 78 0.09306 32219 2998
29 0.00208 95001 198 79 0.10119 29221 2957
30 0.00213 94804 202 80 0.10998 26264 2888
31 0.00219 94602 207 81 0.11935 23375 2790
32 0.00225 94394 212 82 0.12917 20585 2659
33 0.00232 94182 219 83 0.13938 17926 2499
34 0.00240 93964 226 84 0.15001 15428 2314
35 0.00251 93738 235 85 0.16114 13113 2113
36 0.00264 93503 247 86 0.17282 11000 1901
37 0.00280 93256 261 87 0.18513 9099 1685
38 0.00301 92995 280 88 0.19825 7415 1470
39 0.00325 92715 301 89 0.21246 5945 1263
40 0.00353 92414 326 90 0.22814 4682 1068
41 0.00384 92087 354 91 0.24577 3614 888
42 0.00417 91734 383 92 0.26593 2726 725
43 0.00453 91351 414 93 0.28930 2001 579
44 0.00492 90937 447 94 0.31666 1422 450
45 0.00535 90490 484 95 0.35124 972 341
46 0.00583 90006 525 96 0.40056 630 253
47 0.00636 89481 569 97 0.48842 378 185
48 0.00695 88912 618 98 0.66815 193 129
49 0.00760 88294 671 99 1.00000 64 64
50 0.00832 87623 729 100 1.00000 0 0
Tábua 2
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Essa é uma tábua bastante comum.
Elementos:
• x = idade;
• qx = probabilidade de um individuo de idade x morrer dentro de
um ano;
• lx = número de pessoas vivas com exatamente x anos;
• dx = número de pessoas que morrem entre as idades x e x + 1.
Exemplificando:
q60 = 0,02034 significa que uma pessoa com exatamente 60 anos
tem 2,034% de probabilidade de morrer antes de completar 61 anos.
Repare que qx é crescente sempre, exceto para valores baixos
de x, devido à mortalidade infantil.
l10 quer dizer que das 100.000 pessoas inicialmente vivas, apenas
98.059 atingem 10 anos.
l0 representa o número de pessoas inicialmente no grupo, no caso
100.000. Esse número inicial, puramente arbitrário, é chamado raiz
(radix) da tábua de mortalidade.
d0 = l0 – l1 = 708, é o número de pessoas mortas antes de
completarem um ano.
3.1. Relações entre S(x), qx , lx e dx
(10) 1+−= xxx lld
(11) 
x
xx
x
x
x
l
ll
l
d
q 1+
−
==
(12) )(0 xSllx ⋅=
As interpretações das fórmulas (10), (11) e (12) são bem
tranquilas. Como exemplo, (12) nos diz que o número de pessoas
que atingem a idade x é o número inicial de pessoas (raiz)
multiplicado pela probabilidade de uma pessoa atingir a idade x.
Apesar de simples, peço muita atenção nas interpretações das
equações acima. Vamos ver toneladas delas daqui para frente (bem
mais sofisticadas), e se nos acostumarmos a interpretá-las, nosso
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trabalho de memorização, aplicação das mesmas e compreensão da
matéria será muito facilitado!
3.2. Outras funções de lx
As funções de lx são vitais para a compreensão da matemática
atuarial. Vamos usá-las em todas as aulas até o final.
Nós já vimos duas delas, dx e qx. Vamos às outras.
px = probabilidade de um indivíduo de idade x atingir a idade x + 1
(13) 
x
x
x
l
l
p 1+=
A equação (13) afirma que probabilidade de um indivíduo de
idade x viver pelo menos mais um ano é igual ao quociente entre os
que atingiram a idade x + 1 e os que atingiram a idade x. Note que,
ao fim de um ano, a pessoa ou morre ou sobrevive. Por isso,
(14) 1=+ xx qp
ndx = número de pessoas que morrem entre as idades x e x + n.
(15) nxxxn lld +−= `
A interpretação de (15) deixamos para o aluno.
nqx = probabilidade de um individuo de idade x morrer em até n
anos.
(16) 
x
nxx
x
xn
xn
l
ll
l
d
q +
−
==
De acordo com a equação (16), a probabilidade de um indivíduo
de idade x morrer nos próximos n anos é igual à razão entre o
número pessoas que atingiram a idade x e morreram dentro dos n
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anos seguintes e o número de pessoas que atingiram a idade x.
Repare que qx é caso particular de nqx para x = 1: nqx = qx
npx = probabilidade de um indivíduo de idade x atingir a idade x + n
(17) 
x
nx
xn
l
l
p +=
A equação (17) e sua interpretação são análogas às vistas na
equação (13). A probabilidade de um indivíduo de idade x atingir a
idade x + n é igual ao quociente entre os que atingiram a idade x + n
e os que atingiram a idade x. Note novamente que, ao fim do
período, a pessoa ou morre ou sobrevive. Logo
(18) 1=+ xnxn qp
As equações (15), (16) e (17) são importantíssimas para a
prova, mas não se preocupe em decorar agora (em entender sim!),
nós vamos utilizá-las muitas vezes ainda no decorrer do curso. As
equações (10), (11) e (13) são casos particulares das equações (15),
(16) e (17), respectivamente, para n = 1. As equações (14) e (18)
são consequência direta da regra da probabilidade de eventos
complementares. Essa análise é importante para que você não se
preocupe em decorar tudo, pois isso é impossível. Mas ao entender a
matéria, muitas fórmulas você não precisará decorar.
Para finalizar a parte de funções básicas de lx, vamos calcular a
probabilidade de uma pessoa de idade x morrer entre as idades x+n
e x+n+m. Em outras palavras, essa pessoa sobreviverá n anos, para
depois morrer nos m anos seguintes.
Notação: xmn q/
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Graficamente:
O que é essencial para a prova é saber a notação, xmn q/ , e o
que ela significa. Sua fórmula pode ser decorada ou deduzida na
hora. Há várias maneiras de deduzí-la.
1º modo:
Queremos calcular a probabilidade de uma pessoa de x anos
sobreviver n anos e morrer nos m anos seguintes.
Dos lx vivos, haverá lx+n sobreviventes após n anos e lx+n+m
sobreviventes após n+m anos. Dessa forma, o número de mortos
entre as idades x+n e x+n+m será de lx+n - lx+n+m.
Como xmn q/ pode ser expressa pela divisão do número de
mortos no intervalo em questão pelo número de pessoas que
atingiram a idade x, temos finalmente que
(19) 
x
mnxnx
xmn
l
ll
q +++
−
=/
2º modo:As condições exigem que:
• uma pessoa de x anos sobreviva n anos – probabilidade
xn p
e
Tempox x+n x+n+m
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• essa pessoa com x+n anos morra nos m anos seguintes –
probabilidade nxm q +
Multiplicando as duas probabilidades, temos
x
mnxnx
nx
mnxnx
x
nx
nxmxnxmn
l
ll
l
ll
l
l
qpq +++
+
++++
+
−
=
−
⋅=×=/
3º modo: Desenvolva xnxmnxmn qqq −= +/ e você chegará ao
mesmo resultado. Por quê?
Exemplo 2: Usando os dados da Tábua 2, calcule
a) p35
b) 7d40
c) 20p50
d) a probabilidade de uma pessoa de 50 anos morrer entre as
idade de 70 e 75
Solução
a) Podemos utilizar (13) ou (14):
De (14), 99749,000251,0111 35353535 =−=−=⇒=+ qpqp
b) Usando (15): 293389481924144740407 =−=−= lld
c) De (17), 6382,0
87623
55920
50
70
5020 ===
l
l
p
d) Na Aula 0 essa questão foi resolvida sem fórmula. Podemos
resolver usando (19), sabendo que x = 50, n = 20 e m = 5.
1669,0
87623
4129955920
50
520502050
505/20 =
−
=
−
= +++
l
ll
q
Com isso concluímos as funções biométricas mais úteis para o
cálculo de seguros e anuidades que veremos mais adiante no curso.
Entretanto, há ainda algumas outras funções oriundas das tábuas de
mortalidade que tem aparecido em algumas questões anteriores de
concurso. É o que vamos estudar agora.
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3.3. A função Lx
Recordando: lx é o número de pessoas vivas com exatamente x
anos. As pessoas vão morrendo ao longo do ano até que, após um
ano, temos lx+1 pessoas com exatamente x+1 anos.
Mas as mortes não ocorrem todas no primeiro ou no último dia
do ano. Ao contrário, são distribuídas ao longo do ano.
Exemplificando, reveja a Tábua 1. l65 é igual a 68.005 pessoas
vivas com exatamente 65 anos. Destas, l66, ou 65.846 atingem 66
anos, pois morreram d65 = 2.159 pessoas ao longo do ano.
Qual seria então o valor médio de lx durante o ano? Para
responder rapidamente, diria que é um valor entre lx e lx+1. No caso
acima, o valor médio pode variar de 68.005 (se todos morreram com
65 anos mais um infinitésimo) a 65.846 (se todos morreram com 66
anos menos um infinitésimo). Agora vamos à definição.
Define-se Lx como o valor médio de lx no intervalo (x, x +1).
É intuitivo que, caso as mortes sejam uniformemente
distribuídas ao longo do ano, Lx é a média aritmética de lx e lx+1.
Dessa forma chegamos à equação (20).
(20) 
2
1++= xxx
ll
L
Para a prova cremos ser suficiente saber (20). Assim, não
se preocupe caso tenha alguma dificuldade em entender o que vamos
expor abaixo.
A definição de Lx como valor médio de lx ao longo da idade x
pode ser representada pela equação (21).
(21) dtltlL txtxxx +++ ⋅⋅+= ∫ µ
1
0
1
A lógica por trás de (21) é que o valor médio de lx é igual à
soma de duas parcelas:
• lx+1 pessoas sobreviventes;
• a soma do tempo vivido no ano de morte pelas pessoas
que morreram durante o ano, representado pela integral.
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Vimos na Aula 0 que para t suficientemente pequeno, a razão
t
qxt se aproxima de xµ , e essa afirmação é expressa pela fórmula
x
xt
t t
q
µ=
→0
lim
A probabilidade de um indivíduo de x anos morrer após t anos e
antes de t + ∆t anos é dada por txtxt qp +∆⋅ .
Esta probabilidade é igual a t
t
qp txtxt ∆⋅
∆
⋅ +∆ . (a)
Se fizermos ∆t tender a zero, temos:
tx
txt
t t
q
+
+∆
→∆
=
∆
µ
0
lim , (b)
e delta t pode ser escrito na forma do operador infinitesimal dt.
Assim, de (a) e (b), a probabilidade de um indivíduo de x anos
morrer após t anos e antes de t + dt anos é dada por
dtp txxt +⋅µ (c)
Como dt é um infinitésimo, dtp txxt +⋅µ é a probabilidade de um
indivíduo de x anos morrer exatamente após t anos, ou seja,
exatamente na idade x+t.
O número de pessoas NP que morreram no instante x + t é
igual à probabilidade de um indivíduo de x anos morrer exatamente
após t anos (dada por (c)), multiplicada pelo número de indivíduos
com x anos, xl .
NP = dtlldtp txtxxtxxt +++ ⋅=⋅⋅ µµ (d)
Mas cada pessoa que morreu exatamente na idade x + t,
0 < t ≤ 1, viveu t anos no ano de morte.
Multiplicando o resultado em (d) por t, temos o tempo vivido
por todas essas pessoas no ano da morte, dtlt txtx ++ ⋅⋅ µ . Somando
(Integrando) todos os instantes t no intervalo de 0 a 1, chegamos à
2ª parcela de (21).
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Graficamente, temos:
dtl txtx ⋅⋅ ++ µ
Partindo de (21), prova-se, integrando por partes, que:
(22) ∫ ⋅= +
1
0
dtlL txx
Nota importante: Alguns autores definem Lx como o número de
pessoas vivas na metade da idade x. Esta definição é incompatível
com a dada nesta Aula 2, a menos que as mortes sejam
uniformemente distribuídas.
Lembrando mais uma vez do princípio básico: não discuta com a
banca. Se cair uma questão afirmando que Lx é o número de pessoas
vivas na metade da idade x, e não tiver nenhuma outra opção
plausível, pode marcar essa que é ponto garantido.
3.4. A função mx
A função mx, ou taxa central de mortalidade, é definida como o
quociente entre o número de mortos entre as idades x e x +1 e o
valor médio de lx nesse intervalo. Ou seja,
(23) 
x
x
x
L
d
m =
A diferença de mx para qx está apenas nos denominadores, Lx e
lx, respectivamente.
Há várias fórmulas para mx, mas todas são manipulações
algébricas simples de (23) que julgamos não ser necessário
memorizá-las, e todas usam a hipótese de uniformidade da
distribuição das mortes entre as idades x e x + 1.
A título de exemplo,
Tempox x+t x+1
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x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
q
q
p
q
ll
d
ll
d
L
d
m
−
=
+
=
+
=
+
==
++ 2
2
1
22
2
11
Na penúltima passagem dividimos numerador e denominador
por lx.
3.5. A função Tx
Essa função, chamada de quantidade de existência, é definida
como a soma dos anos a serem vividos por todas as pessoas de um
grupo de idade x até a morte de todos.
Algebricamente,
∑
−
=
+−++ =++++=
x
t
txxxxx LLLLLLT
ω
ωω
0
121 ...
Lembre que ω é a primeira idade para a qual a função de
sobrevivência S(x) é nula.
Usando a hipótese de uniformidade da distribuição das mortes
entre as idades x e x + 1, temos
⇒
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= +−+++++
22
...
222
1132211 ωωωω llllllllllT xxxxxxx
2
..
2
1
121
+
−++ ++++++=⇒
ω
ωω
l
llll
l
T xx
x
x
Como 01 =+ωl , temos que
(24) ∑
−
=
+−++ +=+++++=
x
t
tx
x
xx
x
x l
l
llll
l
T
ω
ωω
1
121
2
..
2
Novamente, no que se refere a esse item, não acreditamos que
possa cair nada mais complicado que a equação (24).
Ainda assim, é válido verificar o caso contínuo.
Dissemos, no estudo de Lx, que dtlt txtx ++ ⋅⋅∫ µ
1
0
era a soma do
tempo vivido no ano de morte pelas pessoas que morreram no
intervalo (x, x + t].
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Assim, como Tx é definida como a soma dos anos vividos por
todas as pessoas de um grupo de idade x até a morte de todos, o
intervalo passa a ser (x, ∞], e temos que
(25) dtltT txtxx ++
∞
⋅⋅= ∫ µ
0
A interpretação de (25) é absolutamente a mesma feita no
estudo de Lx.
De (25), prova-se, integrando por partes, que:
(26) ∫
∞
+ ⋅=
0
dtlT txx
3.6. A função
0
xe
A função
0
xe , chamada de esperança completa de vida, ou ainda
vida média completa, representa a expectativa média de vida
restante de umapessoa de idade x.
Como Tx é a soma dos anos a serem vividos por todas as
pessoas de um grupo de idade x,
0
xe é dada por:
(27) 
x
x
x
l
T
e =
0
Desenvolvendo (27) a partir de (24), encontramos outra forma
de expressar
0
xe .
2
(28) ∑
∑
∑
−
=
−
=
+−
=
+ +=+=





+⋅==
x
t
xt
x
x
t
txx
t
tx
x
xx
x
x p
l
l
l
l
ll
T
e
ω
ω
ω
1
1
1
0
2
1
2
1
2
1
E de (26), podemos facilmente concluir que
(29) ∫
∞
⋅=
0
0
dtpe xtx
 
2
 Mais uma vez admitindo a hipótese de uniformidade da distribuição das mortes entre duas idades 
consecutivas. 
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4. Idades fracionadas
As Tábuas de mortalidade apresentam valores de lx somente
para idades inteiras. Às vezes precisamos calcular as funções de lx
também para idades entre números inteiros, como por exemplo l67,34.
Para isso, precisamos de uma hipótese para a distribuição das
mortes (ou equivalentemente de lx+t) entre duas idades inteiras
consecutivas.
Nesta seção vamos estudar as hipóteses de distribuição Linear e
Exponencial.
4.1. Hipótese de distribuição linear de lx+t
Também conhecido como método de interpolação linear.
Sob essa hipótese, lx+t = lx - t dx.
Vamos calcular agora as funções de lx.
• Cálculo de tpx
Dividindo ambos os membros da equação lx+t = lx - t dx por lx,
temos:
,1
x
x
x
tx
l
d
t
l
l
⋅−=+ e então
(30) xxt qtp ⋅−=1
Assim, colocamos tpx em função de qx, que pode ser tirado direto
de qualquer tábua de mortalidade.
• Cálculo de tqx
Como 1=+ xtxt qp , segue que
(31) xxt qtq ⋅=
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• Cálculo de µx+t
Vimos na aula zero que
dt
dl
l
tx
tx
tx
+
+
+ ⋅−=
1
µ .
Como lx+t = lx - t dx , x
tx d
dt
dl
−=+ , que acarreta
xx
x
tx
xtx
tx
tx
dtl
d
l
d
dt
dl
l ⋅−
==⋅−=
+
+
+
+
1
µ
Dividindo ambos os membros da equação acima por xl , temos
(32) 
x
x
tx
qt
q
⋅−
=+
1
µ
• Cálculo de tpx µx+t
De (30) e (32), é imediato que
(33) xtxxt qp =+µ
O resultado de (33) confirma a hipótese de distribuição uniforme
das mortes no intervalo (x, x+1). Repare que, dentro deste intervalo,
a probabilidade de morrer exatamente no instante x + t ( txxt p +µ ) é
constante, pois independe de t.
4.2. Hipótese de distribuição exponencial de lx+t
Também conhecido como método de Constant Force.
Sob essa hipótese,
t
x
x
xtx
l
l
ll 





⋅= ++
1 .
Vamos calcular agora as funções de lx.
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• Cálculo de tpx
Como xxx pll ⋅=+1 , temos que txx
t
x
xx
xtx pl
l
pl
ll )(=




 ⋅
⋅=+ ,
e então, dividindo os extremos da equação acima por lx,
(34) 
t
xxt pp )(=
• Cálculo de tqx
Como 1=+ xtxt qp , segue que
(35) 
t
x
t
xxt qpq )1(1)(1 −−=−=
• Cálculo de µx+t
Outra forma de expressar µx+t é
dt
pd
p
xt
xt
tx ⋅−=+
1
µ . Por que?
Como
t
xxt pp )(= , x
t
x
xt pp
dt
pd
ln)( ⋅= , que acarreta
(36) xx
t
x
xt
tx ppp
p
lnln)(
1
−=⋅⋅−=+µ
Este resultado revela que a taxa instantânea de mortalidade
com lx na forma exponencial é constante no intervalo (x, x +1). Daí o
motivo de o método também ser chamado de Constant Force.
Costuma-se chamar neste caso tx+µ simplesmente de µ .
• Cálculo de tpx µx+t
De (36), xtx pln−==+ µµ
µ−= epx
tt
x ep
µ−=)(
Assim,
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(37) ttxtxxt epp
µµµµ −+ ⋅=⋅= )(
Compare o resultado de (37) com a pdf do Exemplo 1 desta
Aula. Não é coincidência serem iguais.
Resumo dos métodos
Função Linear Exponencial
txl + xx dtl ⋅−
t
x
x
x
l
l
l 





⋅ +1
xt p xqt ⋅−1
tt
x ep
µ−=)(
xt q xqt ⋅
tt
x eq
µ−−=−− 1)1(1
tx+µ
x
x
qt
q
⋅−1 x
pln−=µ
txxt p +µ xq
te µµ −⋅
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5. Exercícios de Fixação
1. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2008) (Analista
Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF)
No cálculo da probabilidade de uma pessoa de idade x falecer após
“n” anos e dentro dos “m” anos seguintes, representada por n/mQx, o
término do período carencial se dá na idade de:
A) x+n
B) x+m
C) n
D) m
E) x
2. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Considere a
seguinte função de sobrevivência segundo a hipótese de Makeham:
xcx
x gskl ⋅⋅=
A expressão de cálculo da probabilidade de uma pessoa de idade “x”
sobreviver a idade “x+1” é dada por:
c - x
A) s � g
c
x
(c + 1)
B) s � g
c
x
C) s � g
c
x
(c - 1)
D) s � g
c
x - 1
E) s � g
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3. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2006)
A função de sobrevivência de uma dada população é dada pela
seguinte expressão:





 −=
105
1
x
sx
Nesse caso, a força de mortalidade, µx, para x = 50, é igual a:
A) -0,524
B) -0,018
C) 0
D) 0,018
E) 0,524
4. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2008)
São relações corretas existentes nas Tábuas de Mortalidade:
A) ,11 =+
x
x
l
l
,11 +− −= xxx lld
1−
=
x
x
x
l
d
q
B)
x
x
x
l
l
p 1+= ,11 =++
x
x
x
x
l
d
l
l
,1+−= xxx lld
C) ,21 =++
x
x
x
x
l
d
l
l
,
1
2
−
+ =
x
x
x
l
d
q ,12 ++ += xxx lld
D) ,
3
2
2
+
+
+ =
x
x
x
l
d
q 2
1
11
+
+
++ =
+
−+
x
xx
xxx d
ll
lll
E) 231 ++− +== xxxx qldl
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5. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2009)
A variável aleatória “tempo de vida futuro de um recém nascido” (X)
segue uma distribuição uniforme entre 0 e 100. A força de
mortalidade na idade x é igual a:
A)
100
x
;
B)
x−100
1
;
C)
100
100 x−
;
D)
100
1
−x
;
E)
100
100−x
.
6. (AFC – CGU – 2008)
O instrumento que mede a mortalidade ou a sobrevivência de uma
determinada população é denominado:
A) Tábua de Comutação.
B) Tabela de juros compostos.
C) Tabela de juros simples.
D) Tábua de Mortalidade.
E) Tábua de Salvação da população ativa.
7. (AFC – CGU – 2008)
Segundo as funções biométricas, a probabilidade de uma pessoa de
20 anos falecer nesta idade é dada pela equação:
A) 2020120 dll −=+
B)
20
12020
20
l
ll
q +
−
=
C)
20
20120
20
l
ll
q
−
= +
D)
20
20
20
l
d
p =
E) 12020 =+ qp
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8. (AFC – CGU – 2008)
Assinale a opção correta.
Segundo as funções biométricas, a formulação da probabilidade de
uma pessoa de 50 anos falecer até os 60 anos é dada por:
A) 605010 1 qp −=
B)
50
6050
5010/
l
ll
Q
−
=
C)
60
5060
5010
l
ll
p
−
=
D)
60
5060
5010/
l
ll
Q
−
=
E) 60105010 1 qp −=
9. (AFC – CGU – 2008)
Assinale a opção correta.
A esperança completa de vida de uma pessoa ao nascer é igual a:
A) um (1,0)
B) Zero (0,0)
C) 0,5 (meio)
D)
0
1
0
5,0
l
l
w
j
j∑
=
+
+
E)
0
1
0
l
l
w
j
j∑
=
+
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6. GABARITO
1 – A
2 – D
3– D
4 – B
5 – B
6 – D
7 – B
8 – B
9 – D
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7. Resolução dos Exercícios de Fixação
1. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2008) (Analista
Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF)
No cálculo da probabilidade de uma pessoa de idade x falecer após
“n” anos e dentro dos “m” anos seguintes, representada por n/mQx, o
término do período carencial se dá na idade de:
A) x+n
B) x+m
C) n
D) m
E) x
Resolução
Essa questão consta da Aula 0, e repetimos aqui para mostrar
um ponto: a proximidade das questões propostas pelo IBA das provas
da ESAF. Por esse motivo, as Aulas serão recheadas de questões do
IBA (assim como da SUSEP, claro). No caso presente, provavelmente
a questão foi copiada pelo IBA da prova da SUSEP – 2002, pois são
iguais até nas opções. Outra hipótese é as duas bancas procurarem
questões nas mesmas fontes.
Se o IBA copiou a ESAF, por quê não podemos copiar a nós
mesmos e repetir a resolução da Aula 0? É o que vamos fazer agora.
Vamos ver quando estudarmos seguro de vida que alguns
apresentam um período de carência, dentro do qual, se ocorrer a
morte do segurado, seus beneficiários nada receberão. Assim, os
beneficiários de uma pessoa de idade x só receberão o benefício se
ela morrer após n anos, ou seja, após atingir a idade x + n.
Gabarito: A
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2. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Considere a
seguinte função de sobrevivência segundo a hipótese de Makeham:
xcx
x gskl ⋅⋅=
A expressão de cálculo da probabilidade de uma pessoa de idade “x”
sobreviver a idade “x+1” é dada por:
c - x
A) s � g
c
x
(c + 1)
B) s � g
c
x
C) s � g
c
x
(c - 1)
D) s � g
c
x - 1
E) s � g
Resolução
Sempre que resolvermos um exercício vamos focar no que
realmente interessa. Se a distribuição de lx segue a hipótese de
Makeham, Gompertz, Weibull, Tião Macalé ou qualquer outro, não faz
a menor diferença, pois é dada.
A probabilidade de uma pessoa de idade “x” sobreviver à idade
“x+1” é igual ao quociente entre os que atingiram a idade x + 1 e os
que atingiram a idade x, e é dada por (13).
Temos então que
)1(1
1
1
1
1
−−−+
+
+ ⋅=⋅=
⋅⋅
⋅⋅
==
+
+
ccccxx
cx
cx
x
x
x
xxx
x
x
gsgs
gsk
gsk
l
l
p
Gabarito: D
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3. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2006)
A função de sobrevivência de uma dada população é dada pela
seguinte expressão:





 −=
105
1
x
sx
Nesse caso, a força de mortalidade, µx, para x = 50, é igual a:
A) -0,524
B) -0,018
C) 0
D) 0,018
E) 0,524
Resolução
Aqui o IBA fez uma tradução literal do inglês Force of Mortality,
para o que chamamos até aqui de taxa instantânea de mortalidade.
Para começar, a taxa instantânea de mortalidade nunca
será negativa. Isso já elimina as opções A) e B).
Podemos usar (9) ou qualquer variação dela vista nessa aula.
Vamos usar
)(
)('
xS
xS
x
−
=µ .





 −=
105
1
x
sx
105
1' −=xs
Assim,
105
1
)105/1(
)(
)('
xxS
xS
x
−
−−
=
−
=µ
Multiplicando numerador e denominador por 105, temos que
x
x −
=
105
1
µ
Como é pedido o 50µ , 018,0
55
1
50105
1
50 ==−
=µ
Gabarito: D
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4. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2008)
São relações corretas existentes nas Tábuas de Mortalidade:
A) ,11 =+
x
x
l
l
,11 +− −= xxx lld
1−
=
x
x
x
l
d
q
B)
x
x
x
l
l
p 1+= ,11 =++
x
x
x
x
l
d
l
l
,1+−= xxx lld
C) ,21 =++
x
x
x
x
l
d
l
l
,
1
2
−
+ =
x
x
x
l
d
q ,12 ++ += xxx lld
D) ,
3
2
2
+
+
+ =
x
x
x
l
d
q 2
1
11
+
+
++ =
+
−+
x
xx
xxx d
ll
lll
E) 231 ++− +== xxxx qldl
Resolução
Esse é o tipo de questão que requer a análise de todas as
opções. Sugiro sempre passar o olho rápido em cada uma delas, para
eliminarmos as mais absurdas em segundos.
ITEM A) De cara, a primeira relação é absurda, pois 11 =+
x
x
l
l
é a
fórmula da imortalidade. ITEM A errado.
ITEM B)
x
x
x
l
l
p 1+= é a equação (13);
11 =++
x
x
x
x
l
d
l
l
é apenas (14) 1=+ xx qp desenvolvida
,1+−= xxx lld é a equação (10)
ITEM B correto.
ITEM C) Logo na primeira, 21 =++
x
x
x
x
l
d
l
l
, percebemos que está errada,
da análise do item B. ITEM C errado.
ITEM D) De (11),
x
x
x
l
d
q = , o que implica
2
2
2
+
+
+ =
x
x
x
l
d
q , logo
3
2
2
+
+
+ ≠
x
x
x
l
d
q
ITEM D errado.
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ITEM E) 231 ++− +== xxxx qldl A primeira parte da equação afirma que o
número de pessoas vivas com uma certa idade é igual ao número de
mortos entre 4 e 5 anos depois. Sem comentários.
ITEM E errado.
Gabarito: B
5. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2009)
A variável aleatória “tempo de vida futuro de um recém nascido” (X)
segue uma distribuição uniforme entre 0 e 100. A força de
mortalidade na idade x é igual a:
A)
100
x
;
B)
x−100
1
;
C)
100
100 x−
;
D)
100
1
−x
;
E)
100
100−x
.
Resolução
Uma variável que segue uma distribuição uniforme no intervalo
[a,b) tem a seguinte pdf:




 <≤
−=
contráriocaso
bxa
abxf
,0
,
1
)(
No caso em questão, o intervalo é [0,100), e sua pdf é dada
por:




 <≤
=
contráriocaso
x
xf
,0
1000,
100
1
)(
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Vamos repetir: a taxa instantânea de mortalidade nunca
será negativa. Isso elimina as opções D) e E).
Desta vez, vamos usar a fórmula (9)
)(
)(
xS
xf
x =µ
De (6),
100
100
100100
1
)()(
100100
xt
dtdttfxS
xxx
−
=


=== ∫∫
∞
.
Logo,
xxxS
xf
x −
=
−
==
100
1
100
100
100
1
)(
)(
µ 3
Gabarito: B
6. (AFC – CGU – 2008 – ESAF)
O instrumento que mede a mortalidade ou a sobrevivência de uma
determinada população é denominado:
A) Tábua de Comutação.
B) Tabela de juros compostos.
C) Tabela de juros simples.
D) Tábua de Mortalidade.
E) Tábua de Salvação da população ativa.
Resolução
Vimos exaustivamente nessa Aula que a função de
sobrevivência e todas as funções de lx advém de tábuas de
mortalidade. As opções B), C) e E) são absurdas. E veremos na aula
seguinte que tábua de comutação não mede mortalidade, é apenas
uma forma abreviada de apresentar grandezas de nosso interesse.
Gabarito: D
 
3
 Poderíamos também ter eliminado A) e C), pois a reposta deve satisfazer +∞=
−→
x
x
µ
100
lim . 
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7. (AFC – CGU – 2008 – ESAF)
Segundo as funções biométricas, a probabilidade de uma pessoa de
20 anos falecer nesta idade é dada pela equação:
A) 2020120 dll −=+
B)
20
12020
20
l
ll
q +
−
=
C)
20
20120
20
l
ll
q
−
= +
D)
20
20
20
l
d
p =
E) 12020 =+ qp
Resolução
Para se obter a probabilidade requerida, basta aplicar
diretamente (11), para x = 20.
20
12020
20
20
20
l
ll
l
d
q +
−
==
Gabarito: B
8. (AFC – CGU – 2008 – ESAF)
Assinale a opção correta.
Segundo as funções biométricas, a formulação da probabilidade de
uma pessoade 50 anos falecer até os 60 anos é dada por:
A) 605010 1 qp −=
B)
50
6050
5010/
l
ll
Q
−
=
C)
60
5060
5010
l
ll
p
−
=
D)
60
5060
5010/
l
ll
Q
−
=
E) 60105010 1 qp −=
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Resolução
Mais uma questão de aplicação direta de fórmula, desta vez
(16). Repare na notação diferente da nossa utilizada para a
probabilidade de uma pessoa de idade x morrer nos próximos n anos.
Usamos xn q , enquanto a questão usou xn Q/ e também poderia
ser utilizado xn q/ .
50
6050
50
5010
5010/
l
ll
l
d
Q
−
==
Gabarito: B
9. (AFC – CGU – 2008 – ESAF)
Assinale a opção correta.
A esperança completa de vida de uma pessoa ao nascer é igual a:
A) um (1,0)
B) Zero (0,0)
C) 0,5 (meio)
D)
0
1
0
5,0
l
l
w
j
j∑
=
+
+
E)
0
1
0
l
l
w
j
j∑
=
+
Resolução
É bom estar sempre atento para eliminar alternativas absurdas.
Mas desta vez não é necessário, pois as 3 primeiras são
absolutamente ridículas. Ficamos entre a D) e a E).
O enunciado pede a esperança completa de vida de uma pessoa
ao nascer, isto é,
0
xe , para x = 0, ou
0
0e .
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Usando (28):
x
x
t
tx
x
l
l
e
∑
−
=
+
+=
ω
1
0
2
1
0
1
0
0 5,0
l
l
e t
t∑
=+=
ω
Nota: Existe outra função ( xe ), chamada de esperança
abreviada de vida, ou vida média abreviada, e difere em 0,5 a menor
de
0
xe .
Assim,
x
x
t
tx
x
l
l
e
∑
−
=
+
=
ω
1
ou ainda 5,0
0
−= xx ee .
Gabarito: D