Matemática Atuarial aula 06

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PONTO DOS CONCURSOS 
MATEMÁTICA ATUARIAL 
DE PESSOAS 
 SUSEP 
Aula 6 
 
André Cunha 
23/03/2010 
 
 
 
Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de 
ensino) e aborda o seguinte tópico: Prêmios e Reservas. 
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Conteúdo 
1. Introdução .......................................................................... 3 
2. Prêmio único puro (PUP) ....................................................... 3 
3. Prêmio anual puro (PAP) ....................................................... 3 
3.1. Seguro de sobrevivência ............................................... 4 
3.2. Vida inteira, ou vitalício imediato ................................... 6 
3.3. Temporário imediato .................................................... 6 
3.4. Vitalício diferido .......................................................... 6 
4. Prêmios anuais para benefícios contínuos ................................ 7 
5. Prêmios contínuos ............................................................... 8 
6. Prêmios anuais pagáveis em mais de uma vez ao ano ............... 8 
7. Prêmios comerciais (PC) ....................................................... 9 
7.1. Prêmio único comercial.............. ................................... 9 
7.2. Prêmio anual comercial.............. ................................ 11 
8. Reservas .......................................................................... 13 
8.1. Método prospectivo .................................................... 13 
8.1.1. Seguro vida inteira .................................................... 14 
8.1.2. Temporário imediato .................................................. 15 
8.2. Método retrospectivo ................................................. 16 
8.2.1. Seguro vida inteira .................................................... 17 
8.3. Método de recorrência ................................................ 18 
9. Exercícios de Fixação ......................................................... 20 
10. GABARITO ........................................................................ 24 
11. Resolução dos Exercícios de Fixação ..................................... 25 
 
 
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1. Introdução 
 
Estamos na reta final, faltando menos de um mês para a prova. 
Hoje a Aula é sobre prêmios e reservas matemáticas (ou 
provisões). Cálculo de prêmios é um assunto que é cobrado com mais 
freqüência, mas podemos esperar uma questão sobre reservas na 
prova. 
Bons estudos! 
 
2. Prêmio único puro (PUP) 
 
É o VPA de um seguro ou anuidade. É pago de uma só tacada, e 
serve para cobrir o valor esperado dos benefícios pagos, e nós o 
estudamos exaustivamente nas Aulas 4 e 5. 
 
3. Prêmio anual puro (PAP) 
 
O prêmio anual puro (PAP, na nossa notação) também serve 
para cobrir o valor esperado dos benefícios pagos. A única diferença 
em relação ao PUP é que é pago em parcelas anuais. 
Para se calcular os valores dos prêmios anuais, deve-se atingir 
um equilíbrio entre as obrigações da seguradora (seguros e 
anuidades pagas) e do segurado (prêmios pagos), através da 
seguinte equação, em letras garrafais, fundamental para a prova. 
 
(1) VPA Prêmios = VPA Obrigações 
 
Mas o VPA das obrigações da seguradora já foi estudado nas 
Aulas anteriores. Ele é exatamente o PUP. Em outras palavras, é o Ax, 
ax, (IA)x os diferidos, temporários, etc. Podemos reescrever (1) como 
 
(2) VPA Prêmios = PUP 
 
O nosso objetivo então é calcular o valor de cada prêmio anual. 
Antes de começar é importante ressaltar que a ESAF não tem se 
preocupado com notações específicas para prêmios. Nas questões 
aparecem muito expressões como “P” ou “Px” para denotar o prêmio 
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anual, e nas vezes em que aparece a notação correta, seu 
conhecimento prévio não é cobrado. Por isso vamos dar a notação 
correta sim, mas já inclusa na equação de interesse. 
Outra consideração importante é que usaremos a letra m para 
designar um seguro ou anuidade temporária de m anos, como 
fizemos na aula 5 e ao contrário do que fizemos na Aula 4. 
 
3.1. Seguro de sobrevivência 
 
Este seguro paga uma u.m. a uma pessoa de idade x, caso ela 
sobreviva m anos. Seu PUP é dado por xm E ou mxA ˆ: . 1 
O lado direito da equação já está calculado. Para calcular o PAP, 
precisamos definir como esse prêmio será pago. 
Esse prêmio pode ser pago durante todo o período de m anos 
(enquanto a pessoa estiver viva) ou ser limitado a t anos (t < m), 
também condicionado à sobrevivência desta pessoa. 
Se este prêmio for pago no começo de cada ano, até o m-ésimo 
ano, teremos graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o VPA de uma u.m. paga no começo de cada ano durante m 
anos é dado por xm a&&/ , então o VPA de mxP ˆ: u.m. pagas no começo 
de cada ano durante m anos é dado por xmmx aP &&/ˆ: × . 
` 
 
 
 
 
 
1 Lembrando que o que está em cima do m é o número 1. 
Tempo 
xmmx
aP &&/ˆ: × 
0 1 
mx
P ˆ:
2 m ... 
... 
mx
P ˆ:mxP ˆ: mxP ˆ: 
m-1 
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Resumindo: 
 
VPA dos Prêmios = xmmx aP &&/ˆ: × 
VPA das Obrigações = mxA ˆ: 
Das equações de equilíbrio (1) ou (2), concluímos que 
mxxmmx
AaP ˆ:/ˆ: =× && , ou 
(3) 
xm
mx
mx a
A
P &&/
ˆ:
ˆ:
= 
A equação (3) mostra que o PAP é dado pelo PUP dividido por 
uma anuidade. Pelo raciocínio empregado na sua derivação, podemos 
concluir que isso sempre ocorrerá para prêmios anuais, e finalmente 
temos a equação (4): 
(4) anuidade
PUPPAP = 
 
A equação (4) vale para qualquer caso estudado. Pode se tratar 
de seguro ou anuidade (no numerador). No denominador será 
sempre uma anuidade. 
Por exemplo, o mesmo seguro de sobrevivência mxA ˆ: , se o 
pagamento de prêmios for limitado a t anos, t < n, o valor do PAP 
será de 
(5) 
xt
mx
mxt a
A
P &&/
ˆ:
ˆ:
= 
Compare as equações (3) e (5). Elas só diferem no 
denominador. Isso ocorre porque o prazo de pagamento entre elas 
diferiu. Seus numeradores ficaram iguais porque se tratam de um 
mesmo benefício. 
Nota: Por serem mais utilizados, quando se tratar de seguros, a 
menos que a questão estabeleça o contrário, vamos utilizar prêmios 
antecipados. Isso decorre do fato de ser bem estranho, na prática, 
uma parcela do prêmio ter de ser paga após a morte do segurado. 
 
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3.2. Vida inteira, ou vitalício imediato 
 
O PUP é dado por xA . 
Se este seguro for pago (financiado) através de prestações 
mensais, no começo de cada ano, há dois casos possíveis. 
• Prêmios também vitalícios 
(6) 
x
x
x a
AP &&= 
• Prêmios limitados a t anos 
(7) 
xt
x
xt a
AP &&/
= 
 
3.3. Temporário imediato 
 
O PUP é dado por xm A/ . 
Se este seguro for pago (financiado) através de prestações 
mensais, no começo de cada ano, há dois casos possíveis. 
• Prêmios limitados a m anos 
(8) 
xm
xm
mx a
AP &&/
/
:ˆ = 
• Prêmios limitados a t anos 
(9) 
xt
xm
mxt a
AP &&/
/
:ˆ = 
 
3.4. Vitalício diferido 
 
O PUP é dado por xn A/ . 
Para um seguro diferido normalmente os prêmios são pagos 
durante o período de diferimento de n anos. Assim, o PAP a pagar 
será de 
(10) 
xn
xn
xn a
AAP &&/
/
/ )( = 
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Se os prêmios forem pagos vitaliciamente, teremos 
(11) ,)(
/
/
x
xn
xn a
AAP &&= 
e se forem até o ano t, 
(12) 
xt
xn
xn a
AAP &&/
/
/ )( = 
Consideramos o número de exemplos adequado para a 
compreensão da matéria. Não muda nunca. É sempre dividir o PUP 
pela anuidade correspondente ao prêmio que pagamos. 
Exemplificando, o PAP pago por até t anos, t ≤ n para financiar 
uma anuidade do tipo mxn aI :/ )( && será de 
xt
mxn
mxn a
aI
aIP &&
&&
&&
/
:/
:/
)(
))(( = 
 A fórmula acima não foi numerada propositalmente, porque não 
é para decorar. Tampouco é para decorar as anteriores. O importante 
é entender o raciocínio comum por trás das equações (1), (2) e (4). 
 
4. Prêmios anuais para benefícios contínuos2 
 
Aqui ainda se trata de prêmios pagos uma vez ao ano. As rendas 
ou seguros é que são pagos de forma contínua. 
Como os prêmios são pagos no início de cada ano, os 
denominadores das expressões para cada PAP serão: 
• xa&& se os prêmios forem vitalícios 
• xt a&&/ se os prêmios forem pagos até a data t 
Dessa forma, para uma anuidade contínua, diferida de n anos e 
temporária de m anos, o PAP pago durante o período de diferimento 
é dado por 
xn
xmn
xmn a
aaP &&/
/
/ )( = . 
 
 
 
2 Entende-se por benefícios contínuos anuidades contínuas ou seguros pagos no momento da morte. 
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5. Prêmios contínuos 
 
No item 4, os benefícios eram contínuos. Agora veremos como 
derivar expressões que envolvem o pagamento contínuo de prêmios. 
Os benefícios podem ser contínuos ou não. 
O raciocínio permanece o mesmo. 
Como os prêmios são pagos continuamente, os denominadores 
das expressões para cada prêmio serão: 
• xa se os prêmios forem vitalícios 
• xt a/ se os prêmios forem pagos até a data t 
 
Assim, para um seguro pago no momento da morte, imediato e 
vitalício, o prêmio pago continuamente, limitado a 5 anos, será 
.)(
5/ x
x
x a
AAP = 
O prêmio é pago continuamente, de forma que por ano se paga 
.
5/ x
x
a
A
 
Repare na barra em cima do P na expressão acima, que 
caracteriza os prêmios pagos de forma contínua. 
 
6. Prêmios anuais pagáveis em mais de uma vez ao 
ano 
 
Em muitos casos os prêmios são pagos em intervalos inferiores 
a um ano, sendo muito comum o pagamento mensal. 
Primeiro, vamos nos lembrar das rendas, que estudamos na 
Aula 5, que consistem de pagamentos de 1 u.m. ao ano, divididos em 
k vezes de 1/k. A notação genérica deste tipo de renda é 
)(ka&& . 
Agora copiamos a equação (4) desta aula. anuidade
PUPPAP = . 
Com o mesmo raciocínio usado até aqui, podemos reescrever (4) 
da seguinte forma: 
(13) )(
)(
k
k
a
PUPPAP &&= 
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Importante: )(kPAP é um prêmio anual, pago k vezes ao ano. 
Para calcular a parcela paga em cada período k, temos de dividir esse 
prêmio por k. Assim, paga-se k parcelas de k
PAP k )(
 por ano. 
O restante do procedimento para se chegar aos prêmios para 
cada caso específico é idêntico ao estudado até aqui. 
Por exemplo, para um seguro vitalício, diferido de n anos, cujos 
prêmios são pagos no início de cada período, durante no máximo t 
anos, o )(kPAP é dado por 
(14) )(
/
/
/
)( )( k
xt
xn
xn
k
a
AAP &&= 
Repare a semelhança entre (12) e (14). Na prática, basta 
acrescentar o “expoente” (k) à anuidade no denominador. 
A ESAF adora pagamentos mensais. Neste caso, k = 12. 
Veremos nos exercícios de fixação como a ESAF cobra. 
 
7. Prêmios comerciais (PC) 
 
Nesta Aula, até agora, e nas Aulas 5 e 6, só vimos prêmios 
puros, ou seja, sem os gastos que a seguradora tem (custos fixos + 
variáveis + custo por apólice), nem seus lucros. 
Mas os custos e lucros, também chamados de carregamentos, 
claramente compõem o custo do seguro (ou da renda), caso contrário 
seguros não seriam vendidos. 
O prêmio único, quando somado aos carregamentos, é chamado 
de prêmio comercial (PC), e é o valor efetivamente pago pelo 
segurado à seguradora. 
 
7.1. Prêmio único comercial (PUC) 
 
O prêmio único comercial é a soma do prêmio único puro com os 
carregamentos. 
 
(15) tosCarregamenPUPPUC += 
Os carregamentos podem ser de duas formas: um valor dado 
em u.m. (vamos chamar de valor fixo) ou um percentual do prêmio 
comercial. 
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Sejam VF o valor fixo e α o percentual do prêmio comercial. 
Assim, 
 
PUCVFPUPtosCarregamenPUPPUC ⋅++=+= α 
Donde 
 
(16) α−
+=
1
VFPUPPUC 
 
Exemplo 1: (Analista – IRB – 2006 – ESAF) 
Um seguro contra morte, imediato e vitalício, tem o prêmio puro e 
único de R$ 12.000,00, para uma pessoa de idade “x”. Sabendo que 
incidirão os carregamentos de R$ 1.000,00 como despesa única de 
cadastramento por segurado, 20% de comissão de corretagem e 30% 
de despesa administrativa, ambas sobre o prêmio comercial 
correspondente, pode-se afirmar que: 
A) O prêmio comercial anual será de R$ 26.000,00, para o benefício 
de R$ 1.000.000,00. 
B) O prêmio comercial único será de R$ 26.000,00, para o benefício 
de R$ 1.000.000,00. 
C) O prêmio comercial anual será de R$ 26.000,00. 
D) O prêmio comercial único será de R$ 26.000,00. 
E) O prêmio comercial anual será de R$ 6.000,00, para o benefício de 
R$ 100.000,00. 
 
Resolução 
 
Do enunciado temos: 
PUP = 12.000 
VF = 1.000, pois foi dado em u.m. 
5,0%50%30%20 ou=+=α 
Usando (16), 000.265,01
000.1000.12
1
=−
+=−
+= α
VFPUPPUC 
 
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Nota: Como não sabemos nada sobre a taxa de juros ou sobre a 
tábua de mortalidade utilizada, nada podemos afirmar sobre o prêmio 
comercial anual, o que eliminaria as opções A, C, e E. A opção B 
também é absurda, pois o benefício de um milhão só pode ter sido 
tirado da cartola de um mágico mal sucedido. 
 
Gabarito: D 
 
 
7.2. Prêmio anual comercial (PAC) 
 
Assim como estudamos para prêmios únicos, o prêmio anual 
comercial também é composto pela soma do prêmio anual puro com 
os carregamentos. 
 
(17) tosCarregamenPAPPAC += 
 
A ESAF tem cobrado com freqüência o cálculo dos 
carregamentos anuais. 
Algumas despesas em que a seguradora incorre são imediatas, 
mas ela prefere cobrar junto com os prêmios, de forma que estes 
fiquem nivelados (constantes). Veremos como ela deve proceder. 
Usando a notação adotada pela ESAF em suas provas, seja βu 
(CA também é usado) o custo de angariação desembolsado pela 
seguradora na data da contratação. 
Se os prêmios forem pagos em até t anos, para dividir esse 
custo βu em t parcelas anuais iguais, basta dividi-lo por uma 
anuidade temporária de t anos, ou seja, xt a&&/ ou xt a/ , conforme os 
prêmios sejam pagos no começo ou no final de cada ano. 
Dessa forma temos o carregamento anual dado por 
(18) .
// xt
u
xt
u
a
ou
a
ββ
&& 
Repare que o raciocínio empregado em (18) foi idêntico ao 
utilizado para o cálculo de qualquer PAP. 
Caso os prêmios sejam pagos k vezes ao ano, no início ou no 
final de cada período, o fracionamento do carregamento é dado por 
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(19) ⋅)(
/
)(
/
k
xt
u
k
xt
u
a
ou
a
ββ
&& 
Não confundir (19) com o pagamento periódico. A expressão 
)(
/
k
xt
u
a&&
β
 é o que se paga por ano, em k pagamentos de .
1
)(
/
k
xt
u
ak&&
β⋅ 
 
Exemplo 2: (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) 
Tomando por base uma pessoa de 25 anos para um Seguro de 
Sobrevivência, que terá um custo de angariação representado por βu, 
desembolsado na data da contratação. Sendo os prêmios pagos no 
início de cada mês, de forma imediata e dentro dos próximos 3 (três) 
anos, o fracionamento deste carregamento será expresso por: 
A) xn
x
u
x E
a
a ⋅×12)12(3/
)12(
&&
&& β
 
B) 
12)12(3/
)12(
3/
×x
u
x
a
a
&&
β
 
C) )12(
3/ x
u
a&&
β
 
D) xn
nx
u
E
a )12(3/ +&&
β
 
E) 
12)12(3/ ×x
u
a
β
 
 
Resolução 
 
 A primeira consideração a ser feita é que a idade da pessoa em 
questão não faz diferença para nós, pois as opções consideram uma 
pessoa de idade x. 
 Do enunciado, k = 12, pois se trata de prêmios mensais. 
 Como os prêmios são pagos de forma antecipada, imediata e 
durante 3 anos, a anuidade em questão é )12(3/ xa&& , e o fracionamento 
do custo de angariação é dado por )12(
3/ x
u
a&&
β
. 
 
GABARITO: C 
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8. Reservas 
 
Reserva, ou provisão, é o quanto a seguradora tem de separar 
para pagar seus compromissos futuros. 
Considere, por exemplo, o seguro de vida inteira. Vimos que o 
prêmio anual nivelado que o financia é dado por 
x
x
x a
AP &&= . 
Entretanto, o prêmio nivelado não é a única forma de financiá-
lo. Poderíamos financiar esse seguro repactuando anualmente os 
prêmios. Assim, a cada ano o segurado pagaria um prêmio 
compatível com o risco incorrido pela seguradora, e não seria 
necessária a constituição de reservas. 
Com o prêmio nivelado, a seguradora recebe um prêmio maior 
mais cedo, mas tem de constituir reservas3, pois esse mesmo prêmio 
é insuficiente para cobrir seu risco nas idades mais avançadas. 
Há dois métodos para se calcular reservas. O prospectivo e o 
retrospectivo. 
 
8.1. Método prospectivo 
 
Nós somos agora uma seguradora e temos uma vida segurada t 
anos após a aceitação do risco. 
Nossa obrigação é o pagamento de benefícios ao segurado, e 
essa obrigação pode ser expressa pelo VPA dos benefícios a serem 
pagos a ele (futuros), VPABF. A obrigação do segurado é pagar os 
prêmios restantes, e essa obrigação por sua vez pode ser expressa 
pelo VPA desses prêmios a serem pagos por ele (também no futuro), 
VPAPF. 
Os benefícios a serem pagos são financiados por duas fontes: os 
prêmios restantes e as reservas no momento t, tV. Dessa forma, 
VVPAVPA tPFBF += . Isolando tV temos 
(20) ,PFBFt VPAVPAV −= 
a equação básica do método prospectivo. 
O método é dito prospectivo porque seu cálculo é baseado em 
compromissos futuros tanto do segurado quanto da seguradora. 
Para todos os seguros e anuidades vistos (e os não vistos 
também) pode-se calcular a reserva no instante t. Não podemos ver 
todos os casos. Veremos os mais comuns e prováveis de serem 
 
3 Ou esperar pela ajuda do governo americano! 
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cobrados. Ainda assim, usando (20) podemos calcular as reservas de 
todos os casos possíveis. 
 
8.1.1. Seguro vida inteira 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No instante t, se o segurado já morreu, 0=xtV , pois o seguro já 
foi pago. Toda a análise daqui em diante pressupõe a sobrevivência 
do indivíduo à idade x + t. 
 
• Cálculo do BFVPA 
No instante t, a seguradora tem de pagar uma u.m. enquanto a 
pessoa estiver viva. Assim, .txBF AVPA += 
 
• Cálculo do PFVPA 
No instante t, a seguradora tem a receber P u.m. enquanto a 
pessoa estiver viva. Assim, .txPF aPVPA +⋅= && 
 
Assim, txtxPFBFt aPAVPAVPAV ++ ⋅−=−= && ou 
 
(21) txtxt aPAV ++ ⋅−= && 
Onde P é dado por (6) 
x
x
x a
AP &&= 
 
Tempo 
0 t+1 ... 
... 
P 
... 
 t 
xtV 
P 
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8.1.2. Temporário imediato 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que este seguro paga uma u.m. a uma pessoa de 
idade x no final do ano de sua morte, caso ela ocorra em até m anos. 
Se t ≥ m, 0:ˆ =mxtV , pois não há mais obrigações da seguradora 
para com o segurado. 
Para t < m temos: 
 
• Cálculo do BFVPA 
No instante t, a seguradora já pagou t das m parcelas, faltando 
m – t parcelas a pagar para uma pessoa de idade x + t. Assim, 
._____1
: tmtx
BF AVPA −+
= 4 
 
• Cálculo do PFVPA 
No instante t, a seguradora tem a receber P u.m. durante m – t 
anos. Assim, ._____1
: tmtx
PF aPVPA −+
⋅= && 
 
Assim, _____1_____11
:::
.
tmtxtmtx
PFBF
mx
t aPAVPAVPAV −+−+
⋅−=−= && ou 
 
(22) _____1_____11
:::
.
tmtxtmtxmx
t aPAV −+−+
⋅−= && 
 
4 Neste exato momento eu descobri como colocar o número 1 no lugar correto. 
Tempo 
0 t+1 
P 
 
m-1 m... 
... 
P 
... 
 t 
mxtV :ˆ 
P 
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Onde P é dado por (8) 
xm
xm
mx a
AP &&/
/
:
1 = 
 
8.2. Método retrospectivo 
 
Vimos que o método prospectivo determina que a reserva 
matemática, em qualquer instante t, representa o valor atual das 
obrigações futuras do segurador menos o valor atual das obrigações 
futuras do segurado. 
Poderíamos ter raciocinado de maneira diferente, olhando para o 
passado. 
Os prêmios já pagos pelo segurado têm de suprir duas 
demandas: 
• O custo da cobertura para o período que passou, ou seja, no 
intervalo (0,t). 
• As reservas para a cobertura no futuro. 
Dessa forma, o VPA dos prêmios pagos, PPVPA , tem de ser igual 
à soma do custo da cobertura recebida (podemos chamar de 
benefícios passados, pois houve a cobertura), BPVPA , com as 
reservas. Tudo no momento t. 
Assim, VVPAVPA tBPPP += . Isolando tV temos 
(23) ,BPPPt VPAVPAV −= 
a equação básica do método retrospectivo. 
 
Como os métodos prospectivo e retrospectivo servem para 
calcular a mesma reserva matemática, comparando (20) e (23) 
temos: 
BPPPPFBFt VPAVPAVPAVPAV −=−= , ou ainda 
 
(24) PFPPBPBF VPAVPAVPAVPA +=+ 
 
A equação (24) nos diz que o valor presente das obrigações da 
seguradora, a qualquer tempo, é igual ao valor presente das 
obrigações do segurado. 
 Vamos ilustrar o método retrospectivo com o seguro de vida 
inteira. 
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8.2.1. Seguro vida inteira 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Cálculo do PPVPA 
No instante t, o segurado já pagou t parcelas antecipadas de 
valor P. O VPA na data 0 (idade x) é dado por __
:tx
aP &&⋅ (ou xt aP &&/⋅ ). 
Mas queremos o VPA na data t. Se para levar um fluxo da data t 
para a data 0 multiplicamos por xt E , para fazer o caminho inverso 
dividimos por xt E . Dessa forma, 
xttx
PP E
aPVPA 1__
:
⋅⋅= && 
• Cálculo do BPVPA 
No instante t, o segurado já obteve cobertura de uma u.m. por t 
anos. O VPA na data 0 (idade x) é dado por __1
: tx
A , e na data t, 
xttx
BP E
AVPA 1__1
:
⋅= 
 
Assim, ,BPPPt VPAVPAV −= ou 
 
(25) 
xttxxttx
t E
A
E
aPV 11 __1__
::
⋅−⋅⋅= && 
Tempo 
xtV 
0 1 
P 
 
2 t ... 
... 
P 
 
P P 
t-1 
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Onde P é dado por (6) 
x
x
x a
AP &&= 
 
8.3. Método de recorrência 
 
O método de recorrência é mais um método pararelacionar 
valores de reservas em anos consecutivos que para cálculo das 
mesmas. Não há muito o que inventar aqui. Vamos ver duas fórmulas 
para seguros de vida. Pode ser que caia? Pode. Provável? Não. 
Compensa estudar? Sim, mas pouco. 
 
Derivação da 1ª fórmula: 
 
Seja um seguro de vida que paga uma u.m. no final de cada 
ano, podendo ser vitalício ou temporário. 
Em um determinado instante t, t inteiro, temos a reserva Vt . 
Esta reserva não inclui o prêmio pago no instante t. Se somarmos 
esse prêmio P à reserva, teremos PVt + no instante t. Esse dinheiro 
pode ser usado para 2 coisas: 
Uso Valor em t +1 VPA em t 
1 – Pagar benefício 1 txtx qvqv ++ ⋅=⋅⋅1 
2 – Formar reserva em 
t +1 
Vt 1+ txt pvV ++ ⋅⋅1 
 
Dessa forma, temos que: 
 
(26) VpvqvPV ttxtxt 1+++ ⋅⋅+⋅=+ 
De (26), prova-se facilmente (27), 
 
(27) ( )( ) ( )VqiPVV ttxtt 11 11 +++ −−++= 
 
que tem uma interpretação interessante: a reserva no ano seguinte, 
caso não houvesse risco de morte do segurado, seria a reserva do 
ano anterior somada ao prêmio anual, capitalizada à taxa anual i. 
Como existe a possibilidade de a pessoa morrer, devemos tirar a 
perda que a seguradora terá neste caso, dada pela diferença entre o 
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benefício e a reserva em t + 1 ( )Vt 11 +− , multiplicada pela 
probabilidade de isso acontecer, txq + . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. Exercícios de Fixação 
 
1. (Analista Técnico – SUSEP – 2001 – ESAF) 
Segundo o Método Prospectivo, a reserva matemática representa na 
data do cálculo: 
A) O valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o 
valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). 
B) O valor atual dos compromissos passados do segurador menos o 
valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). 
C) O valor atual dos compromissos passados do segurador menos o 
valor atual dos compromissos passados do(s) segurado(s). 
D) O valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o 
valor atual dos compromissos passados do(s) segurado(s). 
E) O valor atual dos sinistros a liquidar. 
 
2. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) 
A formulação do Px a ser pago em parcelas anuais no final de cada 
ano, e durante o período de diferimento – até o penúltimo ano 
inclusive, para o benefício a ser recebido de uma única vez, caso a 
pessoa atinja a idade “x+n”, é igual a: 
A) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n] / [(Nx+1 + Nx+n) / Dx ]} x Q 
B) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n] / [(Nx+1 - Nx+n) / Dx ]} x Q 
C) {[(lx+n / lx) x (1+i)n-1] / [(Nx+1 - Nx+n+1) / Dx ]} x Q 
D) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n+1] / [(lx - lx+n-1) / Dx ]} x Q 
E) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n+1] / [(lx+n+1 - lx-1) / Dx ]} x Q 
 
3. (Analista Técnico – SUSEP – 2001 – ESAF) 
Sendo C um carregamento mensal e temporário, a ocorrer no início 
de cada mês, durante os 5 primeiros anos, e considerando que os 
prêmios serão pagos no final de cada trimestre, de forma imediata e 
dentro dos próximos 15 anos, o seu fracionamento será expresso, 
segundo a formulação de Woolhouse, por: 
A) xnnxx EaCa ]4/[]12[
)4(
15/
)12(
5/ ×× +&&&& 
B) ]4/[]12[ )4(15/
)12(
5/ ×× xx aCa && 
C) ]4/[]12[ )4(15/
)12(
5/ ×× xx aCa 
D) xnnxx EaCa ]4/[]12[
)4(
15/
)12(
5/ ×× + 
E) ]4/[]12[ )4(15/
)12(
5/ ×× xx aCa&& 
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4. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) 
Um determinado Plano terá um custo de angariação, CA, 
desembolsado na data da contratação. Os prêmios serão pagos no 
final de cada mês, de forma imediata e dentro dos próximos 5 anos. 
Assim, segundo a formulação de Woolhouse, o seu fracionamento 
será expresso por: 
A) xnnxx EaCAa ]12/[]12[
)12(
5/
)12(
5/ ×× +&&&& 
B) ]12/[][ )12(5/
)12(
5/ ×× xx aCAa && 
C) )12(5// xaCA 
D) xnnxx EaCAa ]/[]12[
)12(
5/
)12(
5/ +× 
E) ]12/[ )12(5/ ×xaCA && 
 
5. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) 
Segundo o Método Retrospectivo, a reserva matemática representa, 
na data do cálculo, o valor atual 
A) dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos 
compromissos futuros do(s) segurado(s). 
B) dos compromissos passados do segurado menos o valor atual dos 
compromissos passados do segurador. 
C) dos compromissos passados do segurador menos o valor atual dos 
compromissos futuros do(s) segurado(s). 
D) dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos 
compromissos passados do(s) segurado(s). 
E) da reserva de sinistros a liquidar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) 
Usando uma tábua de comutação com funções elaboradas de forma 
subanual – mensal, a formulação do )12(xP , cujo fracionamento será no 
início de cada mês e durante o período de cobertura - n, para o 
benefício a ser recebido pelos beneficiários de uma única vez, caso a 
pessoa (segurado) não atinja a idade “x+n”, é igual a: 
A) Q
DNN
DMM
xnxx
xxnx ⋅−
−
+
+
/)(
/)(
)12()12( 
B) Q
DNN
DMM
xnxx
xxnx ⋅−
−
+
+
/)(
/)(
)12()12(
)12()12(
 
C) Q
DNN
DMM
xnxx
xnxx ⋅−
−
+
+
)12()12()12(
)12()12()12(
/)(
/)(
 
D) Q
DNN
DMM
xnxx
xnxx ⋅−
−
+
+
)12()12()12( /)(
/)(
 
E) Q
NN
MM
nxx
nxx ⋅−
−
+
+
)12()12( 
 
7. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) 
Utilizando o método prospectivo, a reserva matemática de um seguro 
contra morte imediato e vitalício para a pessoa de idade x, com 
prêmio parcelado de forma mensal, antecipada, imediata e vitalícia, 
após t anos de vigência, pode ser indicado por: 
A) ⋅×−= + )12(/)12( xtxtxxt aPAV && 
B) ⋅×−= ++ )12(/)12( xttxtxxt aPAV && 
C) ⋅×−= +++ )12()12( txtxtxxt aPAV && 
D) ⋅×−= ++ )12()12( txxtxxt aPAV && 
E) ⋅×−= )12()12( xxxxt aPAV && 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) 
Assinale a opção correta. 
O prêmio puro periódico de um seguro de Sobrevivência Capital (ou 
também denominado Dotal Puro) é de R$ 1.000,00. A seguradora 
trabalha com uma DA – Despesa Administrativa de 18% e MLE – 
Margem de Lucro Esperada de 12%, ambas sobre o prêmio 
comercial. Para conceder uma comissão de corretagem de 20%, qual 
deve ser o prêmio comercial correspondente? 
A) R$ 1.200,00. 
B) R$ 1.300,00. 
C) R$ 1.500,00. 
D) R$ 1.600,00. 
E) R$ 2.000,00. 
 
9. (Analista – IRB – 2006 – ESAF) 
Segundo o método retrospectivo, a formulação em funções de 
comutação para determinação da tVx de um seguro OV – Ordinário de 
Vida é dado por 
A) tVx = [(Mx+t / Dx+t ) – (Mx / Nx * Nx+t / Dx+t)] * Q 
B) tVx ={[Mx / Nx * (Nx – Nx+t) / Dx]– [(Mx-Mx+t)/Dx ]} / (Dx+t /Dx) *Q 
C) tVx = [(Mx+n / Dx ) – (Mx / Nx * Nx+t / Dx+t)] * Q 
D) tVx = (Mx+t / Nx+t) * Q 
E) tVx = (Mx+t / Dx+t ) * Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. GABARITO 
 
1 – A 
2 – B 
3 – E 
4 – C 
5 – B 
6 – E 
7 – D 
8 – E 
9 – B 
 
 
 
 
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11. Resolução dos Exercícios de Fixação 
 
 
1. (Analista Técnico – SUSEP – 2001 – ESAF) 
Segundo o Método Prospectivo, a reserva matemática representana 
data do cálculo: 
A) O valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o 
valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). 
B) O valor atual dos compromissos passados do segurador menos o 
valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). 
C) O valor atual dos compromissos passados do segurador menos o 
valor atual dos compromissos passados do(s) segurado(s). 
D) O valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o 
valor atual dos compromissos passados do(s) segurado(s). 
E) O valor atual dos sinistros a liquidar. 
 
Resolução 
 
 De (20), ,PFBFt VPAVPAV −= ou seja, a reserva matemática, 
pelo método prospectivo, é a diferença entre o VPA dos benefícios 
futuros (compromissos futuros do segurador) e o VPA dos prêmios 
futuros (compromissos futuros do segurado). 
 
GABARITO: A 
 
2. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) 
A formulação do Px a ser pago em parcelas anuais no final de cada 
ano, e durante o período de diferimento – até o penúltimo ano 
inclusive, para o benefício a ser recebido de uma única vez, caso a 
pessoa atinja a idade “x+n”, é igual a: 
A) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n] / [(Nx+1 + Nx+n) / Dx ]} x Q 
B) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n] / [(Nx+1 - Nx+n) / Dx ]} x Q 
C) {[(lx+n / lx) x (1+i)n-1] / [(Nx+1 - Nx+n+1) / Dx ]} x Q 
D) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n+1] / [(lx - lx+n-1) / Dx ]} x Q 
E) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n+1] / [(lx+n+1 - lx-1) / Dx ]} x Q 
 
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Resolução 
 
 A questão pede o PAP. 
 Sempre, em toda questão envolvendo prêmios anuais, vale a 
relação (4), anuidade
PUPPAP = 
Mas o PUP = xn E , pois se trata de um seguro de sobrevivência 
que paga uma u.m.5 a uma pessoa de idade x, caso ela sobreviva n 
anos. 
Assim, 
x
nxn
xn
n
xn l
lipvEPUP +− ⋅+=== )1( (a) 
A anuidade no denominador é uma imediata, postecipada e 
temporária de (n–1) anos, pois os prêmios são pagos até o penúltimo 
ano, cujo VPA é dado por xn a1/ − 
Vimos na Aula 5 que uma renda imediata, postecipada e 
temporária de m anos é dada por 
x
mxx
xm D
NNa 11/ +++
−= . 
Logo, 
x
nxx
x
nxx
xn D
NN
D
NNa +++−++−
−=−= 11111/ (b) 
Substituindo (a) e (b) em (4), 
 
x
nxx
n
x
nx
D
NN
i
l
l
anuidade
PUPPAP
++
−+
−
+⋅
==
1
)1(
 
Que é a expressão do premio anual puro para o valor segurado 
de 1 u.m. Para o valor segurado de Q u.m., a opção correta é a B. 
 
GABARITO: B 
 
 
 
 
5 O problema não informou o valor segurado, por isso o fixamos em 1 u.m. 
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3. (Analista Técnico – SUSEP – 2001 – ESAF) 
Sendo C um carregamento mensal e temporário, a ocorrer no início 
de cada mês, durante os 5 primeiros anos, e considerando que os 
prêmios serão pagos no final de cada trimestre, de forma imediata e 
dentro dos próximos 15 anos, o seu fracionamento será expresso, 
segundo a formulação de Woolhouse, por: 
A) xnnxx EaCa ]4/[]12[
)4(
15/
)12(
5/ ×× +&&&& 
B) ]4/[]12[ )4(15/
)12(
5/ ×× xx aCa && 
C) ]4/[]12[ )4(15/
)12(
5/ ×× xx aCa 
D) xnnxx EaCa ]4/[]12[
)4(
15/
)12(
5/ ×× + 
E) ]4/[]12[ )4(15/
)12(
5/ ×× xx aCa&& 
 
Resolução 
 
 Para começar, primeiro temos de entender o problema. Há um 
custo mensal C, pagos durante os 5 primeiros anos, que temos de 
alocar aos prêmios trimestrais pagos durante 15 anos. 
Alocar um valor único nós já fizemos. Vimos no subitem 7.2 que 
o custo de angariação, que é desembolsado de uma só vez e dado 
por uβ , pode ser distribuído de forma nivelada nos prêmios de acordo 
com (19) .)(
/
k
xt
u
a
β
 
No caso em questão, trata-se de um carregamento mensal. 
Para usar (19), então, temos de saber o custo único, no momento 0, 
equivalente ao custo C mensal. Esse custo único, que em (19) será o 
uβ , equivale ao VPA dos custos mensais. Como os carregamentos 
são mensais, antecipados e temporários de 5 anos, temos que 
Cax
u 12)12(5/ ⋅= &&β (a) 
 Multiplicamos por 12C acima porque são pagos 12C 
anualmente. 
 Para calcular o denominador de (19), temos que os prêmios são 
pagos postecipadamente, trimestralmente (k = 4), e imediatamente 
por 15 anos. 
 Logo, o denominador de (19) é dado por .)4(15/ xa (b) 
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 Assim, substituindo (a) e (b) em (19), o fracionamento dos 
carregamentos é expresso por )4(
15/
)12(
5/ 12
x
x
a
Ca ⋅&&
. 
 Este resultado representa o valor do carregamento anual, 
distribuído trimestralmente, o que resulta em um carregamento 
trimestral de 4
12
)4(
15/
)12(
5/
⋅
⋅
x
x
a
Ca&&
. 
 Pelas opções, a ESAF considerou carregamentos trimestrais, ao 
contrário do Exemplo 2 desta aula, cuja resposta foi anualizada. 
 Na prova, tendo as duas respostas, eu colocaria a opção 
anualizada, por ser mais freqüente na ESAF. 
 Não tendo as duas respostas, o melhor a se fazer é se guiar 
pelos termos dos VPA das anuidades. Em quase todos os casos (neste 
inclusive) é suficiente. 
 
GABARITO: E 
 
4. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) 
Um determinado Plano terá um custo de angariação, CA, 
desembolsado na data da contratação. Os prêmios serão pagos no 
final de cada mês, de forma imediata e dentro dos próximos 5 anos. 
Assim, segundo a formulação de Woolhouse, o seu fracionamento 
será expresso por: 
A) xnnxx EaCAa ]12/[]12[
)12(
5/
)12(
5/ ×× +&&&& 
B) ]12/[][ )12(5/
)12(
5/ ×× xx aCAa && 
C) )12(5// xaCA 
D) xnnxx EaCAa ]/[]12[
)12(
5/
)12(
5/ +× 
E) ]12/[ )12(5/ ×xaCA && 
 
Resolução 
 
 Mais uma de fracionamento, nos mesmos moldes da anterior. 
Dessa vez o custo de angariação foi chamado de CA. A fórmula (19) 
fica então )(
/
k
xt a
CA
. Como t = 5 e k = 12, temos )12(
5/ xa
CA
. 
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Repare que agora a ESAF voltou a considerar o carregamento 
anualizado. 
 
GABARITO: C 
 
5. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) 
Segundo o Método Retrospectivo, a reserva matemática representa, 
na data do cálculo, o valor atual 
A) dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos 
compromissos futuros do(s) segurado(s). 
B) dos compromissos passados do segurado menos o valor atual dos 
compromissos passados do segurador. 
C) dos compromissos passados do segurador menos o valor atual dos 
compromissos futuros do(s) segurado(s). 
D) dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos 
compromissos passados do(s) segurado(s). 
E) da reserva de sinistros a liquidar. 
 
Resolução 
 
 1º Modo: 
 
 A questão trata de método retrospectivo. A única opção que 
fala somente de compromissos passados, tanto do segurado quanto 
da seguradora é a opção B. Sem pensar muito. 
 
 2º Modo: 
 
 Da equação básica do método retrospectivo, ,BPPPt VPAVPAV −= 
temos que a reserva matemática, pelo método retrospectivo, é a 
diferença entre o VPA dos prêmios pagos (compromissos passados do 
segurado) e o VPA do custo da cobertura (compromissos passados do 
segurador). 
 
GABARITO: B 
 
 
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6. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) 
Usando uma tábua de comutação com funções elaboradas de forma 
subanual – mensal, a formulação do )12(xP , cujo fracionamento será no 
início de cada mês e durante o período de cobertura - n, para o 
benefício a ser recebido pelos beneficiáriosde uma única vez, caso a 
pessoa (segurado) não atinja a idade “x+n”, é igual a: 
A) Q
DNN
DMM
xnxx
xxnx ⋅−
−
+
+
/)(
/)(
)12()12( 
B) Q
DNN
DMM
xnxx
xxnx ⋅−
−
+
+
/)(
/)(
)12()12(
)12()12(
 
C) Q
DNN
DMM
xnxx
xnxx ⋅−
−
+
+
)12()12()12(
)12()12()12(
/)(
/)(
 
D) Q
DNN
DMM
xnxx
xnxx ⋅−
−
+
+
)12()12()12( /)(
/)(
 
E) Q
NN
MM
nxx
nxx ⋅−
−
+
+
)12()12( 
 
Resolução 
 
Lamentável essa questão da ESAF. Não bastasse insistir no uso 
maciço de comutações, assunto completamente em desuso na 
moderna matemática atuarial, ainda vai a fundo pedindo comutações 
fracionadas. 
Mas como lamentar não adianta, vamos resolver. 
Trata-se de um seguro imediato, temporário de n anos, pagável 
no final do ano da morte (se o problema não fala quando será pago, 
assumimos ser no final do ano). Seu VPA é xn A/ . 
Como o prêmio é pago mensalmente, de forma antecipada e 
em até n anos, a anuidade no denominador é 
)12(
/ xn a&& . Logo, o )12(xP é 
dado por 
)12(
/
/)12(
xn
xn
x a
AP &&= (a) 
Mas a resposta está dada em comutações. 
x
nxx
xn D
MMA +−=/ (b) 
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Vimos na Aula 5 que uma renda unitária, vitalícia, antecipada e 
imediata, pagável k vezes no ano tem seu VPA igual a 
∑∞
=
⋅=
0
)( 1
t
x
k
t
k
t
k
x pvk
a&& . 
Desenvolvendo, 
∑∑∑∑ ∞
=
+∞
=
+∞
=
++∞
=
⋅=⋅=⋅⋅=⋅=
0000
)( 1111
t
k
tx
xt x
k
tx
t x
k
tx
x
k
tx
t
x
k
t
k
t
k
x k
D
DD
D
kl
l
v
v
k
pv
k
a&& 
 
 Definia-se, muito tempo atrás, ∑∞
=
+=
0
)(
t
k
tx
k
x k
D
N . 
 E finalmente 
x
k
xk
x D
Na
)(
)( =&& (c) 
 Partindo de (c), prova-se facilmente que 
x
k
nx
k
xk
xn D
NNa
)()(
)(
/
+−=&& . 
 Substituindo-se (b) e (c) em (a), fazendo k = 12: 
 
,)12()12()12()12()12(
/
/)12(
nxx
nxx
x
nxx
x
nxx
xn
xn
x NN
MM
D
NN
D
MM
a
AP
+
+
+
+
−
−=−
−
== && 
que é a expressão do premio anual puro para o valor segurado de 1 
u.m., pagável mensalmente. Para o valor segurado de Q u.m., a 
opção correta é a E. 
 
GABARITO: E 
 
 
 
 
 
 
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7. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) 
Utilizando o método prospectivo, a reserva matemática de um seguro 
contra morte imediato e vitalício para a pessoa de idade x, com 
prêmio parcelado de forma mensal, antecipada, imediata e vitalícia, 
após t anos de vigência, pode ser indicado por: 
A) ⋅×−= + )12(/)12( xtxtxxt aPAV && 
B) ⋅×−= ++ )12(/)12( xttxtxxt aPAV && 
C) ⋅×−= +++ )12()12( txtxtxxt aPAV && 
D) ⋅×−= ++ )12()12( txxtxxt aPAV && 
E) ⋅×−= )12()12( xxxxt aPAV && 
 
Resolução 
 
 Vamos copiar aqui a equação (21), txxtxt aPAV ++ ⋅−= && . 
 A única diferença dela para a equação )12()12( txxtxxt aPAV ++ ×−= && é o 
símbolo (12) indicando parcelamento mensal dos prêmios. Isto ocorre 
porque o txBF AVPA += permanece o mesmo, pois é a mesma 
cobertura, e só os pagamentos de prêmios que passaram a ser 
fracionados. 
 
GABARITO: D 
 
8. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) 
Assinale a opção correta. 
O prêmio puro periódico de um seguro de Sobrevivência Capital (ou 
também denominado Dotal Puro) é de R$ 1.000,00. A seguradora 
trabalha com uma DA – Despesa Administrativa de 18% e MLE – 
Margem de Lucro Esperada de 12%, ambas sobre o prêmio 
comercial. Para conceder uma comissão de corretagem de 20%, qual 
deve ser o prêmio comercial correspondente? 
A) R$ 1.200,00. 
B) R$ 1.300,00. 
C) R$ 1.500,00. 
D) R$ 1.600,00. 
E) R$ 2.000,00. 
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Resolução 
 
As equações (15) e (16) também valem para prêmios 
periódicos, pois o raciocínio é absolutamente análogo. 
Logo, α−
+=
1
VFPPPPPC 
Onde PPC é o prêmio periódico comercial e PPP seu análogo 
puro. VF = 0, e %50%20%12%18 =++=α , pois a corretagem, 
se nada for falado, é um percentual do prêmio comercial. 
Assim, 000.25,01
0000.1 =−
+=PPC 
 
Gabarito: E 
 
9. (Analista – IRB – 2006 – ESAF) 
Segundo o método retrospectivo, a formulação em funções de 
comutação para determinação da tVx de um seguro OV – Ordinário de 
Vida é dado por 
A) tVx = [(Mx+t / Dx+t ) – (Mx / Nx * Nx+t / Dx+t)] * Q 
B) tVx ={[Mx / Nx * (Nx – Nx+t) / Dx]– [(Mx-Mx+t)/Dx ]} / (Dx+t /Dx) *Q 
C) tVx = [(Mx+n / Dx ) – (Mx / Nx * Nx+t / Dx+t)] * Q 
D) tVx = (Mx+t / Nx+t) * Q 
E) tVx = (Mx+t / Dx+t ) * Q 
 
Resolução 
 
O seguro OV é o que chamamos de vida inteira. A reserva pelo 
método retrospectivo é dada por (25). 
xttxtx
x
xttxxttx
xt E
AaP
E
A
E
aPV 111 __1____1__
::::
⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−⋅=⋅−⋅⋅= &&&& 
Em termos de comutações: 
x
x
x
x
x
x
x
x
x N
M
D
N
D
M
a
AP === && 
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x
txx
xt
tx D
NNaa +−== &&&& /
:
__ 
x
txx
xt
tx D
MMAA +−== /
:
__1 
x
tx
xt D
DE += 
Substituindo tudo, temos: 
 
x
tx
x
txx
x
txx
x
x
xt
txtx
x
t
D
D
D
MM
D
NN
N
M
E
AaP
V
+
++ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−⋅
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−⋅
=
__1__
::
&&
 
 O valor da reserva acima foi calculado para uma u.m. Para Q 
u.m., a opção correta é a B. 
 
Gabarito: B