UNIDADE I - Física I - Grandezas

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UNIDADE I 
 
GRANDEZAS FÍSICAS ESCALARES E VETORIAIS 
 
 A Física utiliza algumas grandezas básicas na formulação de suas leis 
que permitem a análise qualitativa e quantitativa dos fenômenos naturais que 
observamos ou de problemas tecnológicos relacionados a artefatos, máquinas, 
construções, etc, criadas pelo homem e presentes no nosso dia a dia na 
sociedade. 
 As grandezas físicas básicas podem ser divididas em duas classes, de 
acordo com a sua representação e as operações algébricas (soma, subtração, 
produto e divisão), utilizadas para resolver problemas quantitativos: 
a) As grandezas escalares são representadas apenas 
por números. Aplicam-se para elas as 4 operações 
algébricas para os números. 
b) As grandezas físicas vetoriais, representadas por 
setas (elementos geométricos), cujo comprimento (a 
magnitude) é representado por um número. Aplica-se 
para elas a geometria euclidiana, em particular a regra 
do paralelogramo. Para manipular algebricamente as 
grandezas vetoriais existem as operações algébricas 
de soma, subtração e os produtos escalar e vetorial. 
 
Nesta Unidade I, estudam-se as grandezas físicas escalares básicas: 
massa, comprimento, tempo e energia e as grandezas físicas vetoriais básicas: 
posição, velocidade, aceleração e força. 
 
GRANDEZAS ESCALARES 
 
A massa M 
 
 É, sem dúvida, uma das grandezas físicas básicas mais fundamentais 
para a descrição dos fenômenos naturais. O conceito de massa aparece na 
Física de duas formas aparentemente sem ligação: o de carga gravitacional, 
que gera o campo gravitacional e permite a um pedaço de matéria neutra 
exercer uma ação de atração sobre outro sem, aparentemente, tocá-lo; e o de 
resistência inercial, na 2ª Lei de Newton. 
 Do ponto de vista comercial, a grandeza massa é importante uma vez 
que caracteriza a quantidade de material vendido ou comprado. Então, um 
padrão para a massa se faz necessário. A massa de um corpo expressa em 
termos do padrão nos diz o número de vezes do padrão que ela tem, ou 
frações do mesmo. Existem vários padrões para a massa, mas o padrão 
kilograma (kg) é adotado no Brasil. Ele pertence ao Sistema Internacional de 
Unidades (SI). 
 A massa M, juntamente com o comprimento L e o tempo T, é 
considerada uma grandeza física fundamental no sentido de que as outras 
grandezas físicas são definidas em termos delas. A medida da massa, em 
unidades de kilogramas (kg), é aceita internacionalmente pela maioria dos 
países. 
 
Múltiplos de M: 
 
1x103 kg = 1 tonelada = 1 ton 
 
1x106 kg = 1 megakilograma = 1 Mkg 
 
1x109 kg = 1 gigakilograma – 1 Gkg 
 
1x1012 kg = 1 terakilograma = 1 Tkg 
 
Submúltiplos de M: 
 
1x10-3 kg = 1 grama = 1 g 
 
1x10-6 kg = 1 miligrama = 1 mg 
 
1x10-9 kg = 1 micrograma = 1 Mg 
 
1x10-12 kg = 1 nanograma = 1 ng 
 
1x10-15 kg = 1 picograma = 1 pg 
 
O comprimento L 
 
 A grandeza comprimento é fundamental para a Física por estar 
envolvida na definição de distância entre dois pontos do espaço, que são 
ocupados por corpos materiais de massa M, e na definição das dimensões dos 
corpos materiais naturais que nos cercam, ou aqueles que fabricamos. O 
conhecimento das dimensões dos corpos materiais também permite o cálculo 
das grandezas área A e volume V. 
 Sabe-se que a distância entre dois pontos no espaço depende da 
trajetória seguida por um corpo material de massa M ao sair do ponto P1 para o 
ponto P2, como mostrado na Fig. 1. 
 C1 = Trajetória 1 
 C2 = Trajetória 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 − Trajetórias distintas percorridas por um corpo 
material de massa M que parte do ponto P1 para o ponto 
P2. 
 
Entretanto, se os pontos P1 e P2 estão muito próximos, a distancia 
percorrida pelo corpo material de massa M entre P1 e P2 não dependerá da 
 
C2 
C1 
P2 
P1 
trajetória seguida, como se mostra na Fig. 2. Ela dependerá unicamente das 
propriedades do espaço. Então, a medida do comprimento da trajetória entre 
dois pontos muito próximos no espaço da vizinhança de um corpo material de 
referência nos informa a respeito das propriedades do espaço. A distância ∆S 
entre os dois pontos próximos no espaço define a chamada métrica ∆S do 
espaço. 
 
 
 
∆S2 = ∆S1 = ∆S 
 
∆S=Distância 
infinitesimal entre 
dois pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 − A métrica S∆ do espaço da vizinhança de um 
corpo material de referência. Os pontos P1 e P2 são 
ocupados por partículas materiais. 
 
 Calcula-se a métrica do espaço, a área ou o volume de um corpo 
material de massa M utilizando a geometria euclidiana. No primeiro caso o 
resultado terá dimensão de comprimento L. Para a área terá dimensão de L2 e 
para o volume terá dimensão de L3. 
 Nas compras de produtos feitas rotineiramente, paga-se muitas vezes 
pelo comprimento do produto que se está levando, como no caso dos tecidos, 
dos fios de eletricidade, etc.. Outras vezes pela área, como no caso de 
revestimentos para a construção civil, ou ainda por volume do produto como no 
caso dos líquidos em geral. Assim, é importante a definição de um padrão para 
o comprimento, que no sistema SI é o metro (m). Esse padrão é adotado no 
Brasil. O metro corresponde à distância percorrida pela luz no vácuo em um 
tempo T = 1/299.792.458 segundos. 
 
Múltiplos de L: 
 
1x101 m = 1 decametro = 1 dam 
 
1x102 m = 1 hectômetro = 1 hm 
 
1x103 m = 1 kilômetro = 1 km 
 
1x109 m = 1 gigametro = 1 Gm 
 
P1 
P2 
∆S2 
∆S1 
1x1012 m = 1 terametro = 1 Tm 
 
Submúltiplos de L: 
 
 
1x10-2 m = 1 centímetro = 1 cm 
 
1x10-3 m = 1 milímetro = 1 mm 
 
1x10-6 m = 1 micrometro = 1 µm 
 
1x10-9 m = 1 nanômetro = 1 nm 
 
1x10-10 m = 1 angstrom = 1 Å 
 
1x10-12 m = 1 picometro = 1 pm 
 
1x10-15 m = 1 femtometro = 1 fm 
 
 
O tempo T 
 
 O que é o tempo? Eis uma pergunta que deixa qualquer físico numa 
enrascada e a resposta virá sempre acompanhada da descrição de um método 
e de um mecanismo utilizados para a sua medição. Conceitualmente, o tempo 
está relacionado com a quantificação da espera para a ocorrência de eventos 
sucessivos. É assim quando vamos ao médico e esperamos para ser 
atendidos, na fila do banco, no trânsito quando partimos de um ponto e 
queremos chegar a outro, etc. Ou seja, a nossa percepção do tempo está 
intimamente relacionada aos processos dinâmicos que nos rodeiam. 
 Em particular, para a Mecânica, o tempo é uma grandeza fundamental, 
assim como a massa e o comprimento, devido ao seu papel na definição de 
várias grandezas importantes como a velocidade, a aceleração, a potência, etc. 
 O sistema SI estabelece um padrão para a quantificação do tempo que é 
o segundo (s), definido como o tempo 1s = 9.192.631.770.τ, onde τ é o 
período da freqüência da luz emitida numa certa transição dos átomos de césio 
133. 
 
Múltiplos de T: 
 
6x101 s = 1 minuto – 1 min 
 
3,6x103 s= 1 hora = 1 h 
 
8,64x104 s = 1 dia 
 
3,154x107 s = 1 ano 
 
 
Submúltiplos de T: 
 
 
1x10-3 s = 1 milisegundo = 1 ms 
 
1x10-6 s = 1 microsegundo = 1 µs 
 
1x10-9 s = 1 nanosegundo = 1 ns 
 
1x10-12 s = 1 picosegundo = 1 ps 
 
1x10-15 s = 1 femtosegundo = 1 fs 
 
 
Energia e trabalho 
 
 Se você observar com atenção perceberá que todos nós, 
instintivamente, temos receio de objetos em movimento. O mesmo acontece 
com os animais. Atire uma pedra, ou um corpo material qualquer, em direção a 
um cachorro ou a um pássaro que eles, imediatamente, se afastarão da 
trajetória seguida pela pedra. A explicação para esse comportamento está na 
capacidade de provocar estragos que têm os corpos em movimento. Pode-se, 
então, associar alguma grandeza física a este poder transformador dos corpos 
em movimento? Mais ainda,será possível estabelecer uma expressão 
matemática de modo a quantificar essa grandeza física? A resposta a essas 
duas questões foi dada pela Mecânica, de onde emerge o conceito de energia 
cinética, e a expressão para quantificá-la. Isto é feito utilizando a 2ª Lei de 
Newton para estabelecer o chamado Teorema do Trabalho e Energia. 
 O Teorema do Trabalho e Energia nos diz como se pode calcular a 
energia cinética de um corpo material de massa M, em movimento com vetor 
velocidade vr . Pode-se, também, calcular as variações da energia cinética 
entre dois pontos do espaço, devidas às forças que agem sobre o corpo. 
Calculam-se as variações da energia cinética pelo trabalho que, 
matematicamente, é definido como a integral da força resultante ao longo da 
trajetória seguida pelo corpo, ao sair de um ponto P1 para um ponto P2 no 
espaço. Uma vez que as variações da energia cinética do corpo podem ser 
positivas ou negativas, o trabalho pode ser positivo (aumento da energia 
cinética entre os dois pontos) ou negativo (decréscimo de energia cinética entre 
os dois pontos). 
 Para muitas forças, especialmente as forças fundamentais da natureza, 
o trabalho negativo que exercem sobre um corpo pode, posteriormente, ser 
convertido em trabalho positivo, que resultará no aumento de sua energia 
cinética. Para esses tipos de forças, chamadas de conservativas, que, variam 
com a posição e cujo trabalho exercido sobre o corpo, quando ele sai de P1 e 
vai para P2, independe da trajetória, define-se o que se chama de energia 
potencial. Sua variação, quando um corpo sai de P1 e vai para P2, é definida 
como o negativo do trabalho exercido pela força. Assim, se o trabalho exercido 
pela força conservativa for negativo (perda de energia cinética) a variação de 
energia potencial será positiva (aumento de energia potencial). Para trabalho 
positivo (aumento de energia cinética) a variação da energia potencial será 
negativa (perda de energia potencial). Desta forma, pode-se encarar a energia 
potencial como um reservatório de energia cinética do corpo, devido à ação 
das forças conservativas. 
 A soma da energia cinética e da energia potencial de um corpo material 
constitui o que chamamos muitas vezes, por brevidade, de energia do corpo 
material. No sistema SI, o padrão de unidades adotado para a energia é o joule 
(J), que também define a unidade para a energia por unidade de tempo 
chamada de watt (1 W = 1 J/s). 
 Algumas vezes, para a indústria e o comércio, a energia e a potência 
são expressas em outras unidades, mais convenientes. Acontece o mesmo 
para alguns ramos de Física. Observe os exemplos abaixo. 
 
Exemplo 1. Venda de energia elétrica: kW. h 
 
1 kW . h = (1 x 103 J/s) . (3600 s) = 3,6 x 106 J 
 
Exemplo 2. Física atômica: elétron–volt ( eV) 
 
1 eV = 1,602 x 10 -19 J 
 
Exemplo 3. Máquinas térmicas: cal, Btu, hp . h (cavalo – vapor hora) 
 
1 cal = 4,186 J 
1 hp . h = 2,685 x 106 J 
1 Btu = 1,055 J 
 
Exemplo 4. Venda de alimentos: kcal 
 
1 kcal = 4,186 x 103 J 
 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
 
1. A massa de um pedaço de fio de 2 m de comprimento é de 4 mg. 
Supondo a massa distribuída uniformemente no fio, quanto de massa 
por unidade de comprimento possui o fio? 
 
Solução: 
 
M = 4 mg = 4 x 10 -3 g = (4 x 10 -3) (1 x 10 –3 kg) = 4 x 10 –6 kg 
L = 2 m 
 
Chamado de λ a massa por unidade de comprimento (densidade linear de 
massa) obtemos: 
 
 
 
 
 
 
2. A massa de um elétron é me = 9,11 x 10 -31 kg e a de um próton é mp = 
1,67 x 10 -27 kg. Qual é a razão entre a massa do próton e a do elétron? 
mkg
m
kg
L
M 66 102
2
104
−
−
×=
×
==λ
 
Solução: 
 
 
 
 
 
3. Saber a massa total de um corpo é uma informação importante. Outra 
informação, também muito importante, é saber como a massa está 
distribuída através do corpo. Mapeando a densidade de massa por área, 
σ, ou por volume, ρ, podemos conhecer como a massa está distribuída 
no corpo. Calcular σ quando M = 6 Kg está distribuída uniformemente 
através de: (a) Uma folha retangular de 20 cm x 40 cm. (b) Uma casca 
esférica de raio R = 10 cm. 
 
Solução: 
 
(a) Área da folha: A = a.b = (0,2 m) (0,4 m) = 0,08 m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Área da casca esférica: A = 4 π R2 = (4) (3,14) (0,1)2 
 A = 0,1256 m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. A densidade de massa do ferro é ρ = 7,8 x 103 kg / m3. Se desejo 
construir uma esfera de rolamento de massa 100 g, qual deve ser o seu 
raio? 
 
Solução: 
 
3
2
33
3
1039,2
187,4
1,0
187,4
3
4 RRR
M
R
M
V
M −×
=====
pi
ρ 
 
1840
1011,9
1069,1
31
27
=
×
×
=
−
−
kg
kg
m
m
e
p
2
2 /7508,0
6
mKg
m
Kg
ba
M
A
M
Área
Massa
==
⋅
===
σ
σ
2
2
2
/8,47
1256,0
6
4
mKg
m
Kg
R
M
A
M
==
==
σ
pi
σ
cmRR
R
452,11006,31039,2108,7 633
2
3
=→×=→
×
=× −
−
 
 
5. Além do sistema internacional SI, existe outro, utilizado pelos países de 
língua inglesa, chamado de sistema inglês de unidades. Uma unidade 
padrão de comprimento nesse sistema é o pé (1 pé = 30,48 cm = 0,3048 
m). (a) Obter as dimensões da grandeza velocidade (b) Escrever as 
unidades da velocidade no sistema SI e no sistema inglês de unidades. 
 
Solução: 
 
(a) Definição de velocidade: Define-se a velocidade média de um corpo 
material de massa M como a distância S percorrido pelo corpo material 
dividido pelo intervalo de tempo t∆ gasto para percorrer a distância S .: 
t
S
v = 
Dimensões de S – Comprimento L 
Dimensões de t – Tempo T 
1−
== LT
T
L
v 
 
(b) unidades do sistema SI: 
 
[ ] [ ][ ] sms
m
T
L /===ν 
 
 
 
 
 
Unidades no sistema Inglês: 
 
 
[ ] [ ][ ] spés
pé
T
L /===ν 
 
 
6. Na definição do padrão de tempo no sistema SI, a unidade de tempo 1 s 
é definida como 9.192.631.770 τ, onde τ é o período correspondente a 
uma transição entre dois níveis do estado fundamental do átomo de 
césio 133. Qual é a frequência da transição dos átomos de césio 133? 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
sf
fs
fs
/7706311929
177063119291
177063119291
⋅⋅⋅=






⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅= ττ
Unidade de freqüência no sistema SI: 1 hertz (Hz) 
 
 
 
 
 
 
7. Uma piscina de área retangular e lados 6 m x 3 m, tem uma 
profundidade uniforme de 1,4 m. Sabendo que a densidade da água é ρ 
= 1000 Kg / m3 a 20 oC, calcular: (a) A capacidade da piscina em m3. (b) 
A capacidade da piscina em litros. (c) A capacidade da piscina em copos 
de 250 ml. (d) A massa de água. 
 
Solução: 
 
(a) V = abc = (6 m) (3 m) (1,4 m) = 25,2 m3 
 
(b) 1 m3 = 1000 litros = 1000 l 
 
V = 25,2 m3 = (25,2) (1000 l) = 25.200 litros 
 
(c) 1 ml = 1 x 10-3 l 
 
Volume de 1 copo = 1 x 250 ml = (250) (1 x 10-3 l) = 0,25 l 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. A embalagem de certa marca de leite indica que uma porção de 200 ml 
do produto produz 70 kcal, o que corresponde a 3% de nossas 
necessidades diárias de energia. Calcular qual é a necessidade diária de 
energia de um ser humano. 
 
Solução: 
1 porção: E = 70 kcal = (70) (1 x 103 cal) = 7 x 104 cal 
U: energia total que necessitamos 
 
 
 
 
 
 
Energia em kW . h: 1 kW . h = 3,6 x 106 J 
 
 
 
GHzf
Hzf
770631192,9
7706311929
⋅⋅=
⋅⋅⋅=
( ) ( )( )
KgM
mmKgVM
V
Md
copos
copo
V
coposdenúmeroN
20025
2,25/1000
800100
25,0
20025
1
33
⋅=
==→=
⋅=
⋅
===
ρρ
l
l
( )
( )( )
( )( ) JJU
calcalU
kcalkcalEUUUdeE
66
63
10767,918,410333,2
10333,21012333
233370
3
100
3
100
100
3%3
×=×=
×=×====→
×
==
hkW
hkW
J
JU ⋅=
×
×
= 713,2
.
106,3
10787,9
6
6
• 
• • 
 
GRANDEZAS VETORIAIS 
 
 
Posição de um corpo 
 
 Utiliza-se uma seta orientada para fornecer a informação sobre a 
localização de qualquer corpo material de massa M no espaço da vizinhança 
de outro corpo material, o chamado corpo material de referência ou 
simplesmente de referencial. Desenha-se a seta a partir de um ponto qualquer 
sobre o corpo material de referência. Refere-se a esse ponto como origem do 
referencial. Partindo-se da origem, pode-se indicar a distância, a direção e o 
sentido da localização do corpo material de massa M. O comprimento da seta 
carrega a informação da distância da origem até o ponto de localização do 
corpo material de massa M. Vê-se, portanto, que a localização de pontos no 
espaço das vizinhanças do corpo material de referência requer a utilização de 
setas (elementos geométricos) para fornecer a direção e o sentido de 
localização do ponto e números para fornecer a distância, ou seja, requer o uso 
dos chamados vetores. 
 A localização do corpo material de massa M no espaço da vizinhança do 
corpo material de referência é fornecida de maneira diferente, dependendo da 
origem escolhida sobre o corpo material de referência. É o que se vê na figura 
abaixo, onde o vetor 
→
PO1 é diferente de 
→
PO2 em direção (os vetores estão ao 
longo de retas diferentes) e em módulos (comprimentos diferentes). 
 
 
 
 
 Figura 3 − Diferentes origens 
sobre o corpo material de 
referência fornecem diferentes 
vetores posição para a localização 
do corpo material no ponto P do 
espaço. 
 
 
 
Em notação vetorial, os vetores 
→
PO1 e 
→
PO2 são representados pelo 
módulo (comprimento), multiplicados por um vetor de módulo unitário na 
direção dos vetores: 
 
→
PO1 = O1P 1aˆ ; 
→
PO2 = O2P 2aˆ . 
 
A soma de vetores (ou a subtração) é definida por uma construção 
geométrica, a regra do paralelogramo, que é mostrada abaixo. Na Fig. 4 vê-se 
01 
ri
02 
P 
01P 
0102 
O2 • • 
• 
• • 
• 
como se pode obter o vetor 
→
PO1 em termos do vetor 
→
PO2 e do vetor 
→
21OO , que 
fornece a localização da origem 2O
r
 a partir de 1O
r
. 
 
 
→
PO1 = 
→
21OO + 
→
PO2 
→
PO2 = 
→
PO1 – 
→
21OO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 − Construção geométrica para somar vetores. 
 
 Observe também na Fig. 4 que o vetor 
→
PO2 é a diferença entre os 
vetores 
→
PO1 e 
→
21OO . Por outro lado, podemos imaginar 
→
PO2 como a soma 
entre 
→
PO1 e o negativo de 
→
21OO . Assim, geometricamente, o vetor - 
→
21OO é 
representado como mostrado na Fig. 5, de onde concluímos que multiplicar um 
vetor por (-1) inverte apenas o seu sentido. 
 
 
 
 
 
→
PO 2 
 
 
 
 - 
→
21OO 
Figura 5 − Construção geométrica para subtrair 
vetores. 
 Existe uma forma conveniente de representar, analiticamente, um vetor 
em termos de projeções (componentes). Isto se faz ao longo de retas 
perpendiculares entre si, nos chamados sistemas de coordenadas. As 
componentes de um vetor, para um dado sistema de coordenadas, são obtidas 
utilizando a geometria, e são representações particulares dos vetores. O 
sistema de coordenadas cartesianas é definido por três eixos x, y e z, 
perpendiculares entre si, cuja origem é um ponto escolhido sobre o corpo 
material de referência, como se mostra na Fig. 6. 
 
 
 
 
02P 
02
0 
01 
 
O1 
r 
r 
θ 
θ • 
x 
y 
y 
x 
• 
P 
P 
z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 − Eixos cartesianos x, y e z com origem sobre 
um ponto do corpo material de referência. 
 
 Vê-se na Fig. 6 que dois dos eixos cartesianos podem ser escolhidos 
livremente, mas o terceiro é obtido pela regra do parafuso. Assim, o eixo para a 
direita pode ser x como em (a) ou y como em (c). 
 Suponha um vetor rr no plano. Nesse caso, não é necessário o eixo dos 
z para indicar profundidade ou altura e pode-se escolher as direções x e y de 
diversas maneiras, de modo que as componentes de rr irão refletir a particular 
escolha dos eixos. Veja a Fig. 7 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = r cosθ 
y = r senθ 
r = distância até o ponto P 
 
 
 
Figura 7 − Diferentes eixos cartesianos para representar 
um vetor no espaço da vizinhança de um corpo material 
de referência. 
 
 Em geral, a notação em termos de componentes é feita expressando a 
soma vetorial das componentes nas direções x, y e z. Definindo-se os vetores 
unitários ( )0,0,1ˆ =i para a direção x, ( )0,1,0ˆ =j para a direção y e ( )1,0,0ˆ =k 
para direção z , pode-se representar qualquer vetor analiticamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
x 
(c) (a) 
y z 
x 
x 
z 
y 
(b) 
y 
k 
 
x i 
x = r cosθ 
y = r senθ 
j 
 
 
z
 
y
 
 
Figura 8 − Mostra-se na figura os vetores unitários nas 
direções perpendiculares dos eixos cartesianos. A 
representação analítica de vetores faz uso desses vetores 
unitários. 
 
 Na notação vetorial, o vetor posição rr do ponto P da Fig 7 é escrito 
como segue abaixo: 
jyixr ˆˆ +=r . 
 Utilizando o teorema de Pitágoras para a construção geométrica da Fig. 
7, deduz-se a distância d origem até o ponto P. Em termos das componentes, 
escreve-se a distância r como: 
r = (x2 + y2)1/2. 
 Vê-se, portanto, que qualquer ponto no espaço da vizinhança de um 
corpo material de referência pode ser expresso em componentes de 
coordenadas cartesianas fornecendo as distâncias x, y e z ao longo dos eixos 
perpendiculares (x, y, z). Em notação vetorial escreve-se qualquer vetor 
posição rr como segue abaixo. 
 
 
 
 P 
 
 r 
y 
 x 
 z 
 
x 
 
Figura 9 − Vetor posição de um ponto no espaço da 
vizinhança de um corpo material de referência. O corpo 
material de referência não é mostrado na figura por 
simplicidade. 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade e aceleração de um corpo 
 
 
 A velocidade de um corpo é uma grandeza física que informa sobre a 
mudança de direção e sentido no deslocamento do corpo e a que taxa temporal 
(m/s) ocorre a variação de posição, ou seja, é um vetor que chamaremos de 
vetor velocidade vr . Geometricamente, o vetor velocidade é definido de acordo 
com a Fig. 10, quando os pontos P1 e P2 estão muito próximos. 
 
r = (x2+y2+z2) 1/2 
• 
• 
y 
z 
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 − Representação geométrica para obtenção do 
vetor velocidade vr de um corpo material de massa M 
quando ele se desloca do ponto P1 para o ponto P2 no 
espaço da vizinhança de um corpo material de referência. 
 
 De acordo com os eixos indicados na Fig. 10, podes escrever o vetor 
diferença rr∆ , em notação vetorial, como segue abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pode-se obter o vetor velocidade vr supondo que a mudança de posição 
do corpo material de massa M, do ponto P1 para o ponto P2, ocorreu em um 
tempo ∆t. A razão entre rr∆ e t∆ fornece o vetor velocidade como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 As velocidades vx, vy e vz são as componentes do vetor velocidade v
r
 ao 
longo dos eixos x, y e z.Elas informam as taxas temporais das variações de 
posições nas direções x, y e z. Por exemplo, pode-se saber, conhecendo vx, vy 
e vz, em qual das direções o corpo material de massa M se deslocou mais 
rapidamente. 
 Muitas vezes, o corpo ao se deslocar do ponto P2 para um outro ponto 
P3, o faz de maneira mais rápida ou mais lenta, em comparação com o 
deslocamento de P1 para P2, ou mesmo muda de direção ao fazê-lo. Então, é 
importante definirmos uma grandeza física que nos informe a esse respeito. 
Esta grandeza é chamada de vetor aceleração ar . Veja na Fig. 11 como pode-
se obter geometricamente o vetor aceleração. 
 
 
P1 
P2 
kzjyixr
kzjyixr
ˆˆˆ
ˆˆˆ
1111
2222
++=
++=
r
r
kzjyixr
kzzjyyixxrrr
ˆˆˆ
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 12121212
∆+∆+∆=∆
−+−+−=−=∆
r
rrr
2
1
222 )(:
ˆˆˆ
ˆˆˆ
zy
zy
vvvvvdemódulo
kvjvivv
k
t
zj
t
yi
t
x
t
r
v
++=
++=
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
=
×
×
r
r
r
r
 
 
y 
z 
x 
 
P3 
P1 
P2 
 
y 
z 
x 
P1 P3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 − Pode-se obter por geometria a aceleração ar 
de um corpo material de massa M. Faz-se isto medindo 
os vetores velocidades 1v
r
 e 2v
r
 associados com as 
variações de posições de três pontos no espaço da 
vizinhança do corpo material de referência (não mostrado 
na figura). Vê-se isto em (a) e (b). 
 
 Em notação vetorial, as componentes das velocidades são vx, vy e vz, de 
maneira que as componentes de ar são obtidas das taxas de variação das 
componentes de vr : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo de ar : a = (ax2 + ay2 + az2) 1/2 
 
 As velocidades e acelerações obtidas acima são conhecidas como 
velocidades e acelerações médias, no intervalo de tempo ∆t. Se os pontos P1, 
P2 e P3 estão suficientemente próximos, e o intervalo de tempo ∆t é pequeno, 
pode-se obter as velocidades e acelerações instantâneas. 
 Matematicamente, vr e ar instantâneos são dados pelas derivadas 
abaixo: 
 
 
 
 
 
b) a) 
v
r∆
k
dt
dvj
dt
dv
i
dt
dv
dt
vd
a
k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rd
v
zyx ˆˆˆ
ˆˆˆ
++==
++==
r
r
r
r
t
v
a
t
v
a
t
v
a
kajaiaa
k
t
vj
t
v
i
t
v
t
v
a
kvvjvvivvv
kvjvivv
kvjvivv
z
z
y
y
x
x
zyx
zyx
zzyyxx
zyx
zyx
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
++=
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
=
−+−+−=∆
++=
++=
;;
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
ˆˆˆ
ˆˆˆ
121212
1111
2222
r
r
r
r
r
r
2r
r∆1
r
r∆
V
o 
 
OS REFERENCIAIS 
 
É conveniente introduzir agora o conceito de sistema de referência, ou 
simplesmente, referencial. Um referencial é constituído de um ponto (ou 
conjunto de pontos) sobre o corpo material de referência1 , escolhido(s) por um 
observador, que de posse de um relógio e de um sistema apropriado de 
coordenadas, faz as suas observações sobre a dinâmica de um corpo material 
de massa M, a partir do referencial. Os sistemas de referências associados a 
diferentes corpos materiais de referências, como, por exemplo, a Terra e um 
carro em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, terão os seus eixos 
de coordenadas relacionadas quando se observa um fenômeno físico a partir 
deles. A Fig. 12 mostra dois referenciais em movimento relativo, com 
velocidade constante. Neste caso são chamados de referenciais inerciais. Os 
referenciais inerciais são importantes para a Mecânica porque as Leis de 
Newton são absolutas nesses referenciais, ou seja, têm a mesma forma para 
os diferentes observadores. 
 y y’ 
 
 
 
 
 R x R’ 
x’ 
 0 0’ 
 
 
 z z’ 
 
 
Figura 12 − O referencial R do observador O está sobre 
um corpo material de referência de massa M1 em repouso 
relativo ao referencial R’ do observador O’ que está sobre 
um corpo material de referência de massa M2 que tem 
movimento relativo com velocidade constante V. 
OS DIFERENTES TIPOS DE FORÇAS 
 
 Para a maioria dos problemas abordados em disciplinas sobre 
Mecânica, algumas forças estão sempre presentes. A força gravitacional é uma 
delas. Essa força é uma das forças fundamentais da natureza. Outras como as 
forças de cordas, as forças de contato, as forças de referenciais, as forças 
elásticas e as forças de arraste, estão presentes em algumas situações, em 
outras não. Saber as forças que estão atuando sobre um corpo material de 
massa M ou um sistema de corpos materiais é o passo inicial para resolver um 
problema mecânico, utilizando as leis de Newton. Uma vez identificadas quais 
são as forças que atuam sobre o corpo material de massa M, pode-se proceder 
 
1
 A Terra é o corpo material de referência que é sempre utilizado no estudo da dinâmica de outros corpos 
materiais de massa M. 
R=Relógio do observador 
0 
R=Relógio do observador 
0´ 
M
à soma das mesmas para encontrar a força resultante RF
r
 que aparece na 2a a 
Lei de Newton. 
 Para a sua representação matemática, as forças, assim como a 
velocidade e a aceleração, necessita-se de setas para direciona-las (elementos 
geométricos) e de números para o módulo ou intensidade. São, portanto, 
vetores e para somar forças utiliza-se a geometria euclidiana, por meio da 
regra do paralelogramo, ou um sistema de coordenadas, o sistema de 
coordenadas cartesianas, por exemplo, para descrever cada vetor força em 
termos de suas componentes e através da soma das componentes obter a 
força resultante. 
 Por exemplo, observe a Fig. 13 onde se tem as forças 1F
r
 
e 2F
r
 atuando 
sobre um corpo material de massa M. 
 2F
r
 RF
r
 
 
 
 
 M 1F
r
 
 
Figura 13 − O método geométrico é utilizado para 
encontrar a força resultante RF
r
 sobre o corpo material de 
massa M. 
 
 
 
 
A força resultante sobre o corpo material de massa M, na Fig. 13, é 
encontrada pela regra do paralelogramo. Entretanto, quando se tem corpos 
materiais que estão sob a ação de muitas forças, encontrar a força resultante 
RF
r
 pelo método do paralelogramo é muito complicado e a representação das 
forças em notação vetorial, em termos de componentes, facilita os cálculos. 
Observe que para calcular as componentes das forças deve-se definir o 
sistema de coordenadas para o qual calcularemos estas componentes. Veja a 
Fig. 14 abaixo. 
 
 
a) 2F
r
 
 
 
 
 
 
 1F
r
 
 
 
 
 
 
xF2
yF2
x
y
y
yF2
1Fx
F2
θ
θ
sen
cos
22
22
FF
FF
Y
x
=
=
x
 
 
b) 
 
 
 θ 
 
 1F
r
 
 
 
Figura 14 − Cálculo da força resultante RF
r
 utilizando a 
soma de componentes ao longo dos eixos cartesianos 
perpendiculares. No caso mostrado na figura tomou-se o 
próprio corpo material de massa M como o corpo material 
de referência. O sistema de eixos cartesianos tem a 
origem em um ponto sobre o corpo material de massa M. 
 
 
Uma vez definido o sistema de coordenadas, como em (b), pode-se 
encontrar o ângulo θ que a direção da força 2F
r
 faz com o eixodos x e calcular 
as componentes. Então, pode-se escrever o vetor 2F
r
 em notação vetorial. É 
importante estar atento para o sentido da componente sobre o eixo coordenado 
no momento de escrever a força em notação vetorial. Se a componente aponta 
no sentido positivo do eixo, será positiva. Caso contrário, multiplica-se a 
componente por –1. Observe na Fig. 15 uma situação semelhante àquela da 
Fig. 14, mas com a força 2F
r
 em outra direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 − Forças atuando sobre o corpo material de 
massa M com uma delas, a força 2F
r
, em outra direção. 
 
 
Observação importante: 
 
As unidades de força no sistema SI são dadas em newtons (N). 
2F
r
( ) jFiFFF
jFiFF
jiFF
yxR
yx
rrr
rrr
rrr
221
222
11 0
++=
+=
+=F2x=F2 cosθ 
F2y=F2 senθ 
( ) jFiFFF
jFiFF
jiFF
yxR
yx
221
222
11 0
+−=
+−=
+=
θ 
r
2M
1M
2
21
2112
r
MMGFF ==
 
 
Força da gravitação 
 
 A Lei da Gravitação Universal, deduzida por Isaac Newton, estabelece 
que a força GF
r
 de atração entre dois corpos materiais de dimensões muito 
pequenas (massas puntiformes) que têm massas M1 e M2, tem a direção ao 
longo da reta que une as duas massas puntiformes e cuja intensidade (módulo) 
é dada por 2 21
r
MGMFG = , onde G é uma constante universal que tem valor G = 
6,67 x 10-11 N . M2 / Kg2, medida pela primeira vez por Cavendish. A Fig. 16 
mostra a direção e o sentido da força de gravitação entre as duas massas 
puntiformes M1 e M2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 − Dois corpos materiais de dimensões muito 
pequenas que têm massas M1 e M2 se atraem 
mutuamente com a força GF
r
. Mostra-se na Fig. 16 a 
direção, o sentido e a intensidade dessa força. 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar a força da gravitação entre a Terra e um corpo material 
de massa M, que está numa altura h acima da superfície da Terra, pode-se 
supor que a Terra é uma massa puntiforme de valor TM . Considerando-se a 
Terra como sendo uma esfera perfeita, pode-se utilizar a Lei de Gauss para 
provar a afirmação anterior. Portanto, para efeito de cálculo, considera-se a 
distancia hRr T += entre a terra e o corpo material de massa M. Mostra-se 
essa situação na Fig. 17. 
 
 
 
21 F 
12 F 
M h
Terra
da
Superfície
TM
TR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 − A força da gravitação entre a Terra e um 
corpo material de massa M que está a uma altura h acima 
da superfície da Terra pode ser encontrada considerando 
a massa da Terra concentrada no seu centro geométrico. 
 
 Pode-se obter a força da gravitação entre a Terra e o corpo material de 
massa M como segue: 
 
( )22 hR
MMG
r
MMGF
T
TT
G
+
== ; 
22
1 





+






=
T
T
T
G
R
h
M
R
GM
F . 
 
Considere as situações físicas abordadas neste curso, para as quais h < 
< RT. Uma vez que RT = 6370 km e tomando-se, por exemplo, h = 9 km , a 
altura aproximada do Monte Everest, calcula-se para a razão h/RT o valor 
0,0014, que é pequeno frente ao valor 1 no denominador da expressão 
anterior. Portanto, para alturas não muito grandes, pode-se escrever a força da 
gravitação entre a Terra e um corpo material de massa M de uma forma 
simplificada, o chamado de peso do corpo material de massa M: 
 
 
 
 
 
 
 A grandeza gr , cujo módulo é dado na expressão acima e cuja direção é 
a mesma da força gravitacional sobre uma massa puntiforme de teste M, é 
conhecida como campo gravitacional da Terra. A grandeza física campo é 
necessária para descrever como é possível a massa M1 exercer uma força de 
atração sobre a massa M2 . Se não existir um campo gravitacional criado no 
espaço da sua vizinhança, como poderia M1 atuar sobre M2? É por meio do 
campo gravitacional que M1 atrai M2. Assim, em geral, o campo gravitacional da 
Terra, considerando a Terra como uma esfera perfeita com distribuição de 
massa uniforme, é dado por: 
.
;.
2
T
T
G
R
GM
gg
gMMgFP
≅=
===
r
rrrr
2 
 
 
 
 
 
 Na maioria das vezes a grandeza campo gravitacional gr será chamada 
de aceleração da gravidade, em virtude da aplicação da 2ª Lei de Newton no 
estudo do movimento dos corpos materiais em queda livre próximos da 
superfície da Terra. Utiliza-se para calcular a força peso de todos os corpos 
materiais próximos da superfície da Terra o campo gravitacional gr uniforme, 
perpendicular à superfície da Terra, no sentido de cima para baixo, cujo módulo 
constante é dado por: 
 
 
g = 9,81 m/s2. 
 
 
Forças transmitidas por cordas 
 
 Imagine que você é um caçador e resolve capturar um búfalo. Existem 
duas maneiras de você fazer isso. A primeira é tentar imobilizar o animal com 
suas próprias mãos. Você deve reconhecer que esse é um modo perigoso, já 
que o animal irá reagir e poderá feri-lo. Uma segunda maneira, é utilizar cordas 
para prender o animal. É o que fazem os vaqueiros na sua lida diária com os 
bois. Nossos ancestrais descobriram que poderiam transferir o ponto de 
aplicação de forças utilizando cordas e que, em muitas situações, isso era 
extremamente vantajoso. 
 Se as cordas são inextensíveis e de massa desprezível (cordas ideais), 
pode-se mostrar, utilizando as leis de Newton, que a força aplicada F
r
 em uma 
das ponta da corda é igual à força T
r
 que a outra ponta aplica sobre um corpo 
material de massa M. Veja na Fig. 18 abaixo como isso é possível. 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
F
r
GM
rg GT == 2)(
M 
 
 = Força aplicada 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 − Mostra-se na figura a força T
r
 aplicada ao 
corpo material de massa M pela corda e a força de reação 
'T
r
 aplicada sobre a corda pelo corpo material de massa 
M. Pode-se ver que sobre a corda atuam duas forças: F
r
 
e 'T
r
. 
 
 Em (a) aparece a força Fr aplicada na ponta da corda e em (b) mostra-
se a força T
r
 que a corda exerce sobre o corpo de massa M. A força 'T
r
 é a 
força que o corpo material de massa M exerce sobre a corda. A força resultante 
sobre a corda é dada pela soma abaixo: 
'TFFR
rrr
−= 
 Se a massa da corda é desprezível (M = 0), utiliza-se a 2ª Lei de Newton 
para mostrar que 0' =− TF
rr
, ou seja, 'TF rr = . Finalmente, de acordo com a 3ª 
Lei de Newton, FTT
rrr
==
'
. Se a massa da corda não for desprezível, 
0' >− TF
rr
 e a força T
r
 é menor que a força aplicada F
r
. Se a corda apresentar 
elasticidade, ou seja, não for inextensível, o que na prática ocorre em maior ou 
menor grau, deve-se considerar a força elástica da corda Fig. 18. 
 
Forças de contato 
 
 Quando dois corpos sólidos interagem por contato, sobre as suas 
superfícies sólidas aparecem duas forças: uma, perpendicular ao plano de 
contato (ou à reta tangente ao ponto de contato), que é chamada de força 
normal N
r
. Ela existe devido à ação de um corpo sobre o outro. A outra, 
tangencial ao plano de contato (ou paralela à reta tangente, no ponto de 
contato), depende do movimento relativo das superfícies e sua existência está 
relacionada com as rugosidades presentes nas superfícies em contato. É a 
chamada força de atrito aF
r
. 
Observe essas duas forças na Fig. 20, quando os 
corpos materiais de massas M1 e M2 estão em contato e existe tendência de 
movimento relativo entre ambos. 
 
 
 
 
 
 aF
r
 
 
 
 
 
M1 
M2a) 
M 
y 
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figuras 20 − Mostram-se as forças devido ao contato 
sólido/sólido quando: (a) o corpo material de massa M1 
tende a se deslocar para a direita na figura. A força de 
atrito sobre M1 é aF
r
 e força de atrito sobre M2 é 'aF
r
. (b) As 
mesmas forças são mostradas quando o corpo material 
de massa M1 tende a se deslocar para a esquerda na 
figura. 
Na ausência de rugosidades nas superfícies de contato, só existem as 
forças N
r
 e 'N
r
 que aparecem na Fig. 20. Se existe a rugosidade, e será 
considerado que ela não é provocada pelas forças N
r
 e 'N
r
, a força 
aF
r
 sobre 
M1 para as situações (a) e (b) (e, conseqüentemente, 'aF sobre M2) depende da 
velocidade relativa das superfícies de contato entre os corpos materiais de 
massas M1 e M2. Se as superfícies estão em repouso, mas sobre o corpo 
material de massa M1 atua uma força externa eF
r
 para a direita, então a força 
aF
r
 tem o sentido indicado em (a), ou seja, oposta à tendência do corpo de 
massa M1 de se deslocar para a direita, como seria se não houvesse atrito. Se 
eF
r
 é aplicada para a esquerda sobre o corpo de massa M1, então a força aF
r
 
tem o sentido indicado em (b), oposto à tendência do corpo de massa M1 de se 
deslocar para a esquerda, como seria se não houvesse atrito. Para essas 
situações, a força de atrito é conhecida como força de atrito estático. 
 Pode-se determinar o módulo da força de atrito estático por um 
experimento simples. Aplique uma força externa eF
r
 ao corpo material de 
massa M1, como mostrado na Fig. 21. 
 
 N
r
 
 
 
 
 
'
aF
r
 
 
 
Figura 21 − Uma força externa eF
r
 é aplicada ao corpo 
material de massa M1. Mede-se a intensidade eF da força 
aplicada quando é iminente o deslocamento do corpo 
material de massa M1. 
 
 
 
M2 
M1 
b) 
 Se o corpo de massa M1 permanecer em repouso, então ae FF
rr
= . 
Variando-se a intensidade eF anota-se os valores aF até ser iminente o 
deslocamento do corpo material de massa M1. Anota-se também o valor da 
força normal N
r
. Repetindo-se o procedimento para vários valores de N
r
 pode-
se obter o gráfico mostrado na Fig. 22. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 22 − Relação entre a força de atrito aF
r
 e a força eF
r
 
aplicada ao corpo material de massa M1. 
 
 Na Fig. 22, N1, N2 e N3, são os pontos para os diferentes valores de N
r
, 
quando a força aplicada 
 eF
r
 
é de tal magnitude que o corpo de massa M1 está 
na iminência de se deslocar. Fazendo-se um gráfico dos módulos de 
aF
r
 em 
função dos módulos de N
r
, quando o corpo de massa M1 está na iminência de 
se deslocar, o gráfico obtido deverá ser uma reta, cuja inclinação depende das 
rugosidades das superfícies em contato. A inclinação deste gráfico é o 
chamado coeficiente de atrito estático, µe , e seu valor está na faixa 0 < µe < 1. 
Mostra-se na Fig. 23 o gráfico desse procedimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23 − O gráfico de máxaF x N é linear sendo a sua 
inclinação o coeficiente de atrito estático entre as 
superfícies dos corpos materiais de massas M1 e M2. 
 
 Se o módulo da força aplicada 
eF
r
 excede o valor de Fa max. = µe N, então 
o corpo material de massa M1 se deslocará sobre o corpo de massa M2 e a 
x 
x 
x N1 
N2 
N3 
Fe (N) 
Fa (N) 
N(N) 
 
 
Famáx = µeN 
 eµ
força de atrito tem um súbito decréscimo. Os experimentos mostram que a 
força de atrito cinético entre as superfícies em movimento relativo tem módulo 
Fc = µc N, onde µc é chamado de coeficiente cinético de atrito, sendo seu valor 
menor que o coeficiente estático de atrito: µc < µe. 
 
 
Forças de referenciais 
 
 Na secção a respeito de velocidade e aceleração mencionou-se que 
referenciais inerciais são referenciais sobre corpos materiais de referência que 
possuem movimento relativo, com velocidade V
r
constante. Como será visto na 
Unidade II sobre as leis de Newton, os referenciais inerciais são importantes 
uma vez que essas leis da Mecânica, na forma enunciada, somente são 
absolutas para os ditos referenciais. 
 Suponha o observador O, de posse de um relógio R, que elege como 
origem de um sistema de eixos cartesianos um ponto sobre o corpo material de 
referência M1 para as suas observações dos fenômenos mecânicos. Os seus 
eixos perpendiculares são as direções x, y e z. Um outro observador, O’, de 
posse de um relógio R’, elege como origem do seu sistema de eixos 
cartesianos um ponto sobre um corpo material de referência M2 para fazer as 
suas observações dos fenômenos mecânicos. O corpo material de referência 
M2 se desloca com velocidade v
r
 constante, estando os eixos perpendiculares 
x’, y’ e z’ do observador O’ paralelos aos eixos x, y e z do observador O. A 
velocidade do corpo material de referência M2 é iVv ˆ=
r
, ou seja, existe 
movimento relativo entre os dois observadores apenas para o eixo x. Deduz-se, 
então, que as relações entre as coordenadas de um ponto P1 do espaço da 
vizinhança dos dois corpos materiais de referência M1 e M2 para os 
observadores O e O’ são as mostradas na Fig. 24. 
 
 
 
 
 
 
 
 
x’ = x – V.t 
y’ = y 
z’ = z 
t’ = t 
 
Figura 24 − Relações entre as coordenadas de dois 
observadores O e O’ que estão sobre dois corpos 
materiais de referência M1 e M2. 
 
 As relações entre as coordenadas na Fig. 24, conhecidas como 
transformações de Galileu, considera que os relógios R e R’ marcam o mesmo 
tempo, ou seja, a grandeza tempo é uma grandeza absoluta e o movimento 
relativo não interfere na sua medida. A teoria da relatividade restrita de Einstein 
mostra que nem sempre isso é verdadeiro. 
Z Z' 
R X 
Vt 
x 
Y Y' 
x P1 
R’ 
x’ 
X’ 
 Agora, se um corpo material de massa M localizado em P1 se desloca 
para um ponto P2, ele o faz de acordo com o observador O com um vetor 
velocidade ur e de acordo com O’ com um vetor velocidade 'ur . Pode-se 
encontrar como se relacionam os vetores velocidades ur e 'ur , utilizando-se as 
relações entre as coordenadas mostradas na Fig. 24. Derivando-se as ditas 
relações, pode-se obter: 
 
 
ux
'
 = ux – V ; uy’ = uy ; uz’ = uz. 
 
Portanto o observador O’ no corpo material de referência da massa M2 
irá medir a componente da velocidade para o corpo material de massa M na 
direção x’, ux’, que é a diferença entre a componente ux da velocidade medida 
por O no corpo material de referência de massa M1 e a velocidade relativa V 
entre os corpos materiais de referência. Como não existe movimento relativo 
para as outras direções, como mostrado na Fig. 24, os observadores O e O’ 
medem as mesmas velocidades para as componentes nas direções y e z. Esse 
resultado mostra que a velocidade de um corpo de massa M é uma grandeza 
relativa, ou seja, depende do movimento relativo do observador. 
 Para se obter as acelerações ar e 'ar , se elas existirem, para o corpo 
material de massa M quando ele passa do ponto P2 para um ponto qualquer P3, 
deriva-se em relação ao tempo as relações anteriores para as componentes 
dos vetores velocidades ur e 'ur . Fazendo-se isso, pode-se obter as 
componentes dos vetores ar e 'ar : 
 
ax
’
 = ax 
ay
’
 = ay 
az
’
 = az 
 
 Vê-se, portanto, dos resultados acima, que o vetor aceleração ar não é 
uma grandeza relativa, uma vez que os observadores O e O’ sobre os corpos 
materiais dereferência de massas M1 e M2, em movimento relativo, medirão a 
mesma aceleração para o corpo material de massa M. 
A aceleração ar de um corpo é uma grandeza absoluta apenas para 
observadores em referenciais inerciais. Se o observador O’ estiver sobre um 
corpo material de referência que está se deslocando em movimento acelerado 
na direção x, com aceleração constante, então as relações entre as 
coordenadas de O e O’ são dadas por: 
 
x’ = x – (½)at2 
y’ = y 
z’ = z 
t’ = t. 
A quantidade s = (1/2)at2, é a distância percorrida por O’, supondo que o 
corpo material de referência de massa M2 estava inicialmente nas 
proximidades do corpo material de referência de massa M1 de modo que o 
ponto sobre M2 , que foi tomado como origem do sistema de eixos (x’, y’, z’), 
está paralelo ao ponto sobre M1 tomado como origem por O e que M2 
principiasse seu movimento a partir do repouso. Derivando-se essas 
expressões pode-se obter as relações entre as velocidades medidas por O e 
O’. Uma segunda derivação fornece as relações entre as acelerações medidas 
pelos dois observadores: 
 
ax
’
 = ax – a 
ay
’
 = ay 
az
’
 = az. 
 
Então, se o corpo material de referência de massa M2 do observador O’ 
estiver acelerando na direção x, com módulo a, o observador O' medirá uma 
aceleração diferente para o deslocamento do corpo material de massa M, uma 
vez que a aceleração ax’, a componente da aceleração medida por ele na 
direção para a qual existe o movimento relativo entre os observadores, é 
diferente da aceleração ax. 
 Como veremos na Unidade II sobre leis de Newton, o fato de o 
observador O’ no corpo material de massa M2 acelerado não medir a mesma 
aceleração, para o corpo material de massa M, do observador O no corpo 
material de massa M1, em repouso, tem duas conseqüências práticas. A 
primeira delas é mostrar que as leis de Newton, como são enunciadas, só são 
absolutas, ou seja, têm a mesma forma para diferentes observadores em 
diferentes corpos materiais de referência, se estão em corpos materiais de 
referência que posam ser considerados como referenciais inerciais. A segunda 
é mostrar como se fazem as correções. Para se corrigir a 2a lei de Newton, por 
exemplo, o observador O’, além das forças que atuam sobre o corpo material 
de massa M no ponto P1 na Fig. 24, teria de acrescentar uma força rF
r
 atuando 
sobre o corpo material de massa M. Essa força tem direção que é a mesma do 
movimento do corpo material de massa M2, porém o sentido da força é oposto 
ao sentido do movimento do corpo material de referência de massa M2, e o 
módulo é dado por 2MaFr = , onde M é a massa do corpo material e 2a é a 
aceleração do corpo material de referencia de massa M2, ou seja, do 
observador O’. 
 A força 
rF
r
 é chamada de força de referencial, ou fictícia. Entretanto, 
apesar do nome, ela é muito real quando você, por exemplo, brinca em um 
parque de diversão, ou quando o automóvel em que você viaja acelera ou 
desacelera bruscamente. 
 
Forças elásticas 
 
Suponha que se aplique uma força F
r
 a um corpo material de massa M. 
A força aplicada pode resultar numa variação dos vetores rr e vr do corpo 
material de massa M. Se essas grandezas não variarem com a aplicação de F
r
, existem outras grandezas físicas que podem variar sob a aplicação de F
r
? A 
resposta é: depende. Se você imaginar o corpo material de massa M como 
uma partícula material, ou seja, um corpo material de dimensões desprezíveis 
comparadas às do corpo material de referência, resta a você explicar o porquê 
de não haver mudanças em rr e vr . Ao aplicar o conceito de partícula material a 
um corpo, estamos descartando efeitos importantes como a rotação e/ou a 
deformação do corpo material de massa M, devido a aplicação de F
r
. Se esses 
efeitos são verificados, então o estudo da dinâmica do corpo de massa M é um 
pouco mais complexo. 
Se o corpo material de massa M não girar, mas a deformação do corpo 
tiver de ser considerada, então se deve encarar o fenômeno da elasticidade 
dos corpos sólidos. A deformação é uma mudança nas dimensões do corpo 
material provocadas por forças externas aplicadas a ele. Todos os corpos 
materiais sólidos são, em maior ou menor grau, deformáveis sob a ação de 
forças externas. A grandeza da deformação de um sólido depende da 
intensidade das forças elétricas de coesão entre seus átomos ou moléculas. A 
ligação metálica,por exemplo, é uma ligação forte eletricamente e os metais, 
como o aço e o cobre, por exemplo, são pouco deformáveis. Por outro lado, a 
borracha comum, que tem ligações moleculares fracas, é muito deformável. 
Quando se deforma um corpo por tração (ou compressão), a curva 
obtida em um gráfico da força de tração (ou compressão) em função da 
deformação apresenta uma região linear inicial, na qual a deformação x é 
proporcional à força de deformação, seguida de uma região não-linear onde a 
proporcionalidade não é mais verificada e constituem a chamada região 
elástica. Se a força aplicada continuar aumentando, ocorre a ruptura do 
material. A curva obtida para o ensaio típico de um material sob tração é 
mostrada na Fig. 25 para FT versus x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
 
FT1 = Força no limite da proporcionalidade 
FT2 = Força no limite do regime elástico 
 
Figura 25 − Em um ensaio sobre a elasticidade de um 
corpo material de massa M, a deformação da dimensão x 
do corpo material é linear com a força aplicada até o valor 
de força FT1. Quando se aplicam forças ao corpo material 
que são maiores que o valor FT1, verifica-se uma região 
não linear até o valor de força FT2. 
 
 
No regime elástico, dentro da região linear inicial, forças restauradoras 
devolvem o corpo às suas dimensões normais quando a força de tração (ou 
)(NFT
1TF
2TF
compressão) é retirada. Neste caso, a força elástica para a direção x é dada 
por: 
 
 
Fe = - Kx 
 
 
onde K é a chamada constante elástica. O sinal negativo indica que a força 
elástica Fe tem sentido oposto ao do aumento (x > 0) ou decréscimo (x < 0) das 
dimensões do corpo na direção x. 
Um dispositivo muito usado quando se deseja aplicar a um corpo 
material de massa M uma força elástica é a mola. É também muito útil para 
modelar a elasticidade dos materiais, a oscilação dos átomos em torno de suas 
posições de equilíbrio nos materiais sólidos, devido à agitação térmica, os 
campos elétricos e magnéticos, etc. Uma mola ideal possui massa desprezível 
e constante elástica K. Quando um corpo de massa M é ligado a ela, uma força 
Fe = - Kx é exercida por ela sobre o corpo. Mostra-se essa situação na Fig. 26 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = deformação da mola 
 
 
Figura 26 − Um corpo material de massa M quando ligado 
a uma mola de constante elástica K fica sob a ação de 
uma força elástica Fe = - Kx. 
 
Forças de arraste 
 
Na maioria dos problemas abordados neste curso, considera-se que o 
corpo material de massa M que se desloca sobre a Terra, ou nas proximidades 
dela, não sofre a ação da atmosfera da terra, ou seja, que a massa de gás (ar), 
através da qual ele se desloca, não exerce uma força sobre ele. Isso é 
verdadeiro apenas para velocidades muito baixas dos corpos materiais de 
massa M. Como se sabe, de nossa experiência cotidiana, o ar exerce uma 
força significativa sobre nós quando corremos, sobre nossos carros ou mesmo 
quando estamos parados e a velocidade do vento é alta. Qualquer fluido, como 
por exemplo o ar (gases) ou a água (líquido), exerce uma força sobre os corpos 
M 
Fe = -Kx 
x
 
K 
imersos nele quando a velocidade relativa entre o fluido e o corpo é diferente 
de zero. Esta força é a chamada força de arraste. 
A força de arraste sobre um corpomaterial de massa M, que se desloca 
no ar com vetor velocidade vr , que tem módulo v em relação à Terra, é 
proporcional à velocidade do corpo em velocidades baixas e aumenta quando a 
velocidade do corpo aumenta. Escreve-se a expressão para o módulo da força 
de arraste como: 
 
Far = - bvn 
 
 
O expoente n é igual a 1 para velocidades baixas e para velocidades 
altas n = 2. A constante b, que aparece na expressão acima, é determinada no 
estudo de dinâmica dos fluidos. Pode-se verificar que b depende não somente 
da geometria do corpo material, mas inclusive das propriedades do próprio 
fluido. O sinal negativo na expressão acima indica o sentido da força de 
arraste, que é oposto ao do vetor velocidade vr do corpo material de massa M. 
A importância da força de arraste sobre a performance na dinâmica de 
nossos carros, aviões, navios, foguetes, etc. deu origem a duas áreas 
importantes dentro da dinâmica dos fluidos: a aerodinâmica e a hidrodinâmica. 
Existem muitas situações nas quais a aplicação de uma força de arraste a um 
corpo material de massa M em movimento, feita de maneira controlada, é 
importante. Para tais situações, inventou-se um dispositivo chamado de 
amortecedor, que exerce uma força Far = - bv sobre o corpo material de massa 
M ao qual ele está ligado. O amortecedor é mostrado na Fig. 27. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27 − O dispositivo conhecido como amortecedor 
aplica uma força de arraste ao corpo material de massa M 
ao qual ele está ligado que é proporcional à velocidade do 
corpo material. 
 
 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
 
1. Um corpo material de massa M está, inicialmente, num ponto do espaço 
da vizinhança de um corpo material de referência cujas coordenadas 
M 
v 
bvFar −=
Amortecedor 
 
são P1 = (2,2,1). O corpo material é, então, transferido para um outro 
ponto P2 = (- 1,2,2). Se a transferência for feita em linha reta, encontre 
distância percorrida pelo corpo material de massa M. 
 
Solução: 
 
As coordenadas de um vetor são suas componentes ao longo dos eixos 
coordenados, neste caso, cartesianos. Assim, pode-se escrever: 
 
kjir ˆˆ2ˆ21 ++=
r
m; 
kjir ˆ2ˆ2ˆ12 ++−=
r
m. 
 O vetor diferença é dado por: 12 rrR
rrr
−= . 
 ( ) ( )kjikjiR ˆ2ˆ2ˆ1ˆˆ2ˆ2 ++−−++=r ; 
 
kiR ˆ1ˆ3 −=
r
. 
 
 Uma vez que o corpo material de massa M se deslocou em linha reta, a 
distância percorrida por ele é o módulo de R
r
: 
 
( ) 16,31013 22 ==−+== RR r
 m. 
 
2. Pode-se especificar, como já foi visto anteriormente, o vetor posição de 
qualquer corpo material de massa M no espaço da vizinhança de um 
corpo material de referência utilizando-se um sistema de eixos 
cartesianos. Faz-se isso por meio de suas componentes (projeções) ao 
longo dos eixos coordenados. No sistema de coordenadas cartesianas, 
com origem em um ponto sobre o corpo material de referência, os eixos 
são chamados de x, y e z. Achar a distância, em linha reta, entre dois 
pontos quaisquer do espaço da vizinhança do corpo material de 
referência. A Terra é freqüentemente escolhida como corpo material de 
referência 
 
Solução: 
 
 Considerando-se que os pontos ocupados pelo corpo material de massa 
M são dados por P1 = (x1,y1,z1) e P2 = (x2,y2,z2), pode-se escrever para os 
vetores posição 1r
r
 e 2r
r
 as seguintes expressões: 
 
kzjyixr ˆˆˆ 1111 ++=
r ; 
 
kzjyixr ˆˆˆ 2222 ++=
r
. 
 
O vetor diferença é dado por: 12 rrR
rrr
−= . 
 
( ) ( )kzjyixkzjyixR ˆˆˆˆˆˆ 111222 ++−++=r . 
 
 A distância, quando o corpo material de massa M se desloca em linha 
reta, é o módulo de R
r
: 
 
( ) ( ) ( )212212212 zzyyxxRR −+−+−== r . 
 
3. Se um corpo material de massa M se desloca ao longo de uma única 
reta, não há mudança de direção (reta) no seu deslocamento e pode-se 
escolher um dos eixos coordenados coincidir com a direção do 
deslocamento. Obter as equações horárias ( )trr , ( )tvr para um corpo 
material de massa M em queda livre perpendicular à superfície da Terra. 
 
Solução: 
 
Tomando-se a Terra como corpo material de referência, pode-se 
localizar a origem de um sistema de eixos cartesianos em qualquer ponto 
de sua superfície. Se o eixo y é escolhido de modo a ser a direção 
perpendicular à superfície da Terra , sentido positivo para cima, pode-se 
escrever para ( )trr , o vetor posição do corpo material de massa M, ( )tvr , o 
seu vetor velocidade, e ar , o seu vetor aceleração, as seguintes expressões: 
 
jyr ˆ=r ; 
jvv ˆ−=r ; 
jga ˆ−=r . 
Uma vez que a aceleração é constante, escreve-se os vetores rr e vr em 
função de ar . Por definição, o vetor aceleração ar é a derivada temporal do 
vetor velocidade vr . Portanto, integrando-se ar pode-se obter a equação 
horária do vetor velocidade do corpo material de massa M em queda livre: 
 
vddta
dt
vd
a
rr
r
r
=→= ; 
∫∫∫∫ −=−==
tttv
v
dtjgdtjgdtavd
o 000
rrrr ; 
( ) jgtvtvjgtvv oo ˆˆ −=→−=− rrrr . 
 Como o corpo está caindo, jvv oo ˆ−=
r
, que substituída na expressão 
anterior fornece a equação horária do corpo material de massa M em queda 
livre: 
( ) ( ) jgtvtv o ˆ+−= rr . 
Módulo de ( )tvr : ( ) gtvtv o += . 
 
Com procedimento semelhante, pode-se integrar ( )tvr para obter ( )trr : 
 
 rddtv
dt
rd
v
rr
r
r
=→= ; 
 ( ) ∫∫∫∫ =+−→=
r
r
t
o
r
r
t
oo
rddtjgtvrddtv rrrr
00
; 
( ) jtgtvrtrjtgtvrr oooo ˆ)2(ˆ)2(
22
+−=→+−=−
rrrr
. 
 O deslocamento em queda livre do corpo material de massa M ocorre 
apenas na direção y. Nesse caso, escreve-se para a posição inicial do 
corpo material: jyr oo ˆ=
r
. Substituindo-se or
r
 na equação horária deduzida 
acima, pode-se obter a equação horária para o deslocamento em queda 
livre do corpo material de massa M: 
 
( ) jgttvjytr oo ˆ2ˆ
2






+−=
r ; 
 
( ) jgttvytr oo ˆ2
2






+−=
r
. 
 
4. Um corpo material de massa M é atirado para cima, na direção vertical, 
com velocidade inicial de 2 m/s a partir da superfície da Terra. (a) Qual é 
a altura máxima que ele atinge quando fica momentaneamente em 
repouso? (b) Se o mesmo corpo material for solto, a partir do repouso, 
de uma altura de 1m acima da superfície da Terra, quanto tempo ele 
gasta para atingir o solo? 
 
Solução: 
 
(a) yo = 0; jjvv oo ˆ2ˆ ==r m/s; g = 9,81 m/s2. 
 
( ) ( ) jttjgttvyjtyr oo ˆ905,42ˆ2ˆ 2
2
−=





−+==
r
. 
 
 
 Na altura máxima, 0=v . Portanto, pode-se escrever: 
 
 
( ) st
sm
sm
t
g
v
tjgtv oo 204,0/81,9
/2
ˆ0 2 =→=→=→−= ; 
 
( ) ( ) 204,0204,0905,4204,02 2 =−=y m. 
 
(b) y
 
= 0 ; yo = 1m ; vo = 0 ; g = 9,81 m/s2 
 
)
2
(
2tgvyy oo +−= 
2905,410 t−= 
st 45,0= 
 
5. Uma criança sentada no banco traseiro de um carro que se desloca a 80 
km/h, arremessa uma pequena bola pela janela, na direção 
perpendicular à direção do deslocamento do carro, com velocidade de 2 
km/h, em relação à Terra. Qual o vetor velocidade vr da bola em relação 
à Terra, logo após ter sido arremessada pela criança? Observe que a 
bola é o corpo material de massa M, a Terra é corpo material de 
referência de massa M1 e o carro é o corpo material de referência de 
massa M2. 
 
Solução: 
 
 O carro é o corpo material de referência de massa M2 que se desloca 
com velocidade V em relação ao corpo material de referência de massa M1, a 
Terra. Transformando-se as velocidades de km/h para m/s pode-se escrever: 
 
Vcarro = (80/3,6) m/s = 22,22 m/s; 
uarremesso = (2/3,6) m/s = 0,556 m/s. 
 
 Tomando-se um ponto sobre a superfície da Terra como origem dos 
eixos coordenados x, y e z e considerando o eixo x paralelo à superfícieda 
Terra coincidindo com o deslocamento do carro e o eixo y também paralelo à 
superfície da Terra, mas na direção perpendicular ao deslocamento do carro, 
escreve-se para as componentes da velocidade da bola atirada pela criança: 
 
vx = 22,22 m/s. 
vy = 0,556 m/s. 
 
Vetor velocidade da bola: 
 
jiv rrr 556,022,22 += m/s 
 
Módulo de vr : ( ) ( ) 23,22556,022,22 22 =+== vv r m/s 
 
 A informação sobre a direção de propagação inicial da bola, segundo um 
observador na Terra, pode ser obtida de vr por meio do ângulo θ entre vy e vx: 
 
tg θ = vy/vx = 0,556/22,22 = 0,025 
 
θ = 1,43o. 
 
 Assim, a reta de propagação inicial da bola, segundo um observador na 
Terra, faz um ângulo de 1,43o com o eixo dos x (direção de deslocamento do 
carro). 
 
6. Dois carros trafegam em sentidos opostos por uma estrada, sendo VA = 
110 km/h a velocidade do carro A indicada no painel de mesmo. A 
velocidade indicada no painel é a velocidade do carro em relação à 
superfície da Terra, o corpo material de referência privilegiado . A 
velocidade do carro B indicada no seu painel é VB = 90 km/h. 
Determinar a velocidade do carro B segundo o motorista do carro A. 
 
Solução: 
 
Corpo material de referência de massa M1 em repouso: toma-se a superfície da 
Terra. O observador sobre a superfície da Terra escolhe um ponto para a 
origem dos eixos coordenados x, y e z. Esse observador mede as velocidades 
ux. 
 
Corpo material de referência de massa M2 em movimento relativo com 
velocidade VA: toma-se um ponto do carro A. O observador no carro escolhe 
um ponto do mesmo (no painel do carro, por exemplo) para a origem dos eixos 
coordenados x’, y’ e z’. 
 
Corpo material de referência de massa M3 em movimento relativo com 
velocidade VB: toma-se um ponto do carro B. O observador no carro escolhe 
um ponto do mesmo (no painel do carro, por exemplo) para a origem dos eixos 
coordenados x’’, y’’ e z’’. 
 
 Esse problema aborda a relatividade da velocidade de um corpo 
material, ou seja, a dependência grandeza velocidade vr com a escolha do 
sistema de referência. O observador em movimento relativo deve usar as 
equações das transformações de velocidades para obter as velocidades de 
outros corpos que observa a partir do seu referencial em movimento. 
 O observador no carro A está em movimento em relação à superfície da 
Terra. Para determinar a velocidade do carro B, o corpo material de massa M, 
ele deve lançar mão das velocidades indicadas no painel calibradas pela 
fábrica. Chamando de x a direção de propagação dos carros, pode-se 
escrever: 
 ( ) ( ) AxBxB Vuu −=' . 
 ( )
xBu
'
 = velocidade do carro B medida pelo observador no referencial que se 
movimenta com velocidade VA (observador no carro A). ( )
xBu = velocidade do carro B medida pelo referencial em repouso (cujo 
módulo é indicado no painel do carro B). 
 
 Se o observador na superfície da Terra tomar o eixo x positivo no 
sentido do deslocamento do carro A, a velocidade do carro A é positiva e a 
velocidade do carro B é negativa: 
 
( )
xBu = - 90 km/h (velocidade do carro B em relação à superfície da Terra) 
 
AV = 110 km/h (velocidade do carro A em relação à superfície da Terra) 
 ( ) hkmhkmu
xB /110/90
'
−−= ; 
( ) hkmu
xB /200
'
−= . 
 
 Portanto, para o motorista no carro A, a velocidade do carro B é de 200 
km/h, se aproximando dele. Ou seja, o carro B irá chegar no carro A muito 
rápido. Essa é a razão para você tomar muito cuidado com ultrapassagens em 
estradas de mão-dupla. 
 
7. As forças iF ˆ101 =
r
 N, jF ˆ52 = N e iF ˆ33 −=
r
 N, são aplicadas a um corpo 
material de massa M = 10 kg. Achar a força resultante sobre o corpo 
material. 
 
Solução: 
 
jiF ˆ0ˆ101 +=
r
N; 
 
jiF ˆ5ˆ02 +=
r
 N; 
 
jiF ˆ0ˆ33 +−=
r
 N; 
 
( ) ( ) jiFR ˆ050ˆ3010 +++−+=r N; 
 
jiFR ˆ5ˆ7 +=
r
 N. 
 
Módulo da força resultante: ( ) ( ) 6,857 22 =+== RR FF r N. 
 
Direção que RF
r
 faz com o eixo dos x: 
 
 
o
Rx
Ry
F
F
tg 5,35
7
5
=→== θθ . 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
1. A intensidade média da radiação solar sobre a superfície da Terra é I = 
1000 W/m2. Para efeito de cálculo, a potência solar sobre a Terra pode 
ser encontrada supondo a Terra como um disco de raio RT = 6370 km 
(6,37x106 m), voltado para o Sol. Achar: 
 
(a) A área do disco terrestre. 
(b) Calcular a potência solar sobre a Terra. 
(c) Se a potência irradiada por cada ser humano é de 113 W, 
quantos seres humanos poderiam habitar a Terra, supondo que 
apenas 1 parte em 50.000 da potência do Sol está disponível nos 
alimentos vegetais e animais que consumimos? 
 
Resposta: (a) S = 1,287x1014 m2 ; (b) P = 1,287x1017 W; (c) N = 22,78x109 ≅ 
23 bilhões de pessoas. 
 
2. Uma caixa de água, cilíndrica, cujo raio da base é R = 0,5 m, tem 
capacidade para 1000 l de água. Qual a sua altura? 
 
Dado: ρágua = 1000 kg/m3 
 
Resposta: h = 1,27 m. 
 
3. Um balão se desloca do norte para o sul (direção inicial) com velocidade 
de 50 km/h, em relação à superfície da Terra, quando de repente é 
empurrado por uma rajada de vento, de leste para o oeste, de 30 km/h, 
em relação à Terra.(a) Qual o módulo da nova velocidade do balão? (b) 
Qual a nova direção de deslocamento do balão? 
 
Resposta: (a) 58,3 m/s; (b) Aproximadamente 31o, a partir da direção original 
de deslocamento. 
 
4. A força da gravitação da Terra sobre objetos materiais nas vizinhanças 
de sua superfície, também chamada de peso, varia com a altura h a 
partir da superfície da Terra. Se essa força for definida por P = Mg(h), 
onde M é a massa do corpo material que está nas vizinhanças da 
superfície da Terra e 2
1
)(






+
=
T
o
R
h
ghg é o campo gravitacional da Terra, 
ou aceleração da gravidade, encontre g(20 km) supondo go = 9,81 m/s2. 
 
Dado: RT = 6370 km. 
 
Resposta: g(20 km) = 9,748 m/s2. 
 
5. Suponha que uma pessoa de 70 kg está dentro de um carro que se 
desloca a 100 km/h. O carro pára bruscamente num tempo de 0,5s. 
Calcular: 
 
(a) A desaceleração média do carro. 
(b) O módulo, a direção e o sentido da força de referencial
rF
r
 sobre 
a pessoa que está dentro do carro. 
 
Dados: As forças de referenciais 
rF
r
 surgem quando o observador sobre o 
corpo material de referência acelerado estuda a dinâmica de um corpo material 
de massa M no espaço da vizinhança do corpo material de referência ou sobre 
ele próprio. No presente problema, o carro que desacelera é o corpo material 
de referência. O corpo material de massa M é o próprio observador dentro do 
carro. 
Módulo da força rF : aMF .= . A aceleração a é a aceleração do corpo material 
de referência. 
Direção e sentido: A direção de rF é a mesma da aceleração do corpo material 
de referência. Entretanto, o sentido é oposto. 
 
Resposta: (a) a = 55,5 m/s2; (b) FR = 3888,9 N. 
 
6. O coeficiente de atrito entre os pés de uma mesa de 40 kg e um piso de 
granito é µe = 0,3. Se o coeficiente cinético de atrito for µc = 0,25, achar: 
 
(a) A mínima força horizontal que se deve aplicar para por a mesa 
em movimento. 
(b) A força horizontal aplicada para deslocar a mesa com velocidade 
constante. 
 
Resposta: (a) Fe = 117,72 N; (b) Fapl = 98,1 N. 
 
7. Um bloco de madeira, de superfície lisa, está apoiado sobre a superfície 
horizontal de uma bancada com acabamento em fórmica. O bloco tem 
massa de 1 kg e está ligado a um dinamômetro por meio do qual ele 
pode ser arrastado. Um estudante puxa o dinamômetro e quando ele 
indica 4 N o bloco está na eminência de se deslocar. Qual o coeficiente 
estático de atrito entre as superfícies? 
 
Resposta: µe = 0,4. 
 
8. A força de atrito estática depende da força normal N, devido ao contatoentre as superfícies dos corpos materiais sólidos. Quando um corpo 
material de massa M se encontra sobre uma rampa (plano inclinado), a 
força normal é dada por N = M.g.cosθ, onde θ é o ângulo de inclinação 
da rampa. A componente da força peso paralelo à rampa é dado por Px 
= M.g.senθ e tende a fazer o corpo escorregar rampa abaixo. Se para M 
= 50 g e θ = 30o o corpo está prestes a se deslocar, qual o coeficiente de 
atrito estático entre as superfícies do corpo e da rampa? 
 
Resposta: µe = 0,58. 
 
9. Uma mola de constante elástica K suporta, na posição vertical, um corpo 
de 4 kg. A deformação da mola, sob carregamento, é de 0,5 cm. Qual o 
valor da constante elástica da mola? 
 
Resposta: K = 78,5 N/m. 
 
10. A velocidade terminal, vt, de um corpo em queda livre é definida como a 
velocidade constante de queda que o corpo atinge, quando se desloca 
através de um fluído e a força de arraste se iguala à força peso. Uma 
esfera de 10g, em queda livre no ar, atinge velocidade terminal de 20 
m/s. Qual o valor de b, a constante de arraste? 
 
Resposta: b = 4,9x10-3 N.s/m.