CAPÍTULO 03 - ENERGIA ELÉTRICA E MAGNÉTICA

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DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA 
 
 
1
CAPÍTULO 03 – ENERGIA ELÉTRICA E ENERGIA 
MAGNÉTICA 
 
 
3.1 – A Lei de Conservação da Energia 
 
 Pode-se dizer que a grandeza física energia está relacionada ao 
poder de transformação do mundo físico pelos corpos materiais em 
movimento. Deduz-se na Mecânica a expressão que permite quantificar esse 
poder transformador dos corpos materiais em movimento. Faz-se isso 
utilizando a 2a lei de Newton e a definição do trabalho	�� da força resultante 
���· O teorema do trabalho-energia estabelece que a integral da força 
resultante
 
��� ao longo da trajetória do corpo material de massa M que parte 
do ponto inicial Pi e se desloca até o ponto final Pf, no espaço da vizinhança 
do corpo material de referência, fornece a variação da energia cinética KE∆ 
do corpo material de massa M devido à ação das forças iF
→
 que atuam sobre 
ele: 
 
KR EW ∆= ; 
∫∫ ==
→→ f
i
R
C
RR drFrdFW θcos. ; 
22
2
1
2
1
ifK MvMvE −=∆ ; 
22
2
1
2
1
. if
C
R MvMvrdF −=∫
→→
. 
 
 Pelo teorema do trabalho-energia pode-se calcular KE∆ do corpo 
material de massa M medindo-se a sua quantidade de massa M e as 
velocidades �� no ponto inicial e fv
 
no ponto final. Outro procedimento 
 
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2
consiste em calcular o trabalho �� de RF
→
 na trajetória seguida pelo corpo 
material entre Pi e Pf. A força resultante RF
→
 é a soma das forças que atuam 
sobre o corpo material de massa M devido à interação dele com os outros 
corpos materiais localizados no espaço da vizinhança do corpo material de 
referência: 
 
∑
=
→→→→→
=+++=
N
i
iNR FFFFF
1
21 ....... . 
 
 As forças de interação iF
→
 são classificadas em dois tipos: as forças 
conservativas e as forças não-conservativas. Quando a força de interação é 
conservativa tem-se 0=∆ kE para uma trajetória fechada, ou seja, quando o 
ponto final da trajetória é o mesmo ponto inicial: Pi = Pf. Pode-se, então, 
utilizar a definição do trabalho da força iF
→
 sobre o corpo material de massa 
M para classificá-la como conservativa ou não-conservativa: 
 
∫ ⇒=
→→
C
i rdF 0. a força iF
→
 é conservativa; 
∫ ⇒≠
→→
C
i rdF 0. a força iF
→
 é não conservativa. 
 A conseqüência imediata da classificação das forças em forças 
conservativas e não conservativas, utilizando as expressões acima para o 
trabalho na trajetória fechada, é a independência do cálculo do trabalho �� 
com a trajetória para as forças conservativas. Ou seja, o trabalho da força 
conservativa 
→
F atuando sobre o corpo material de massa M é o mesmo 
qualquer que seja a trajetória entre os pontos Pi e Pf. Em geral, as forças 
conservativas ou são forças constantes ou forças que dependem apenas da 
 
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3
posição ( ( )rFF ii →→ = ). Nesse caso, define-se a variação da energia potencial 
associada à força conservativa
 
iF
→
 como segue abaixo: 
 
ii WU −=∆ ; 
00 <∆⇒> ii UW ; 
00 >∆⇒< ii UW . 
 
 Se uma única força iF
→
 atua sobre o corpo material de massa M e o 
trabalho da força iF
→
 é positivo, ou seja, é positiva a variação de energia 
cinética KE∆ do corpo material de massa M é positiva a variação da energia 
potencial iU∆ do corpo material associada com a força é negativa: 
00 <∆⇒>∆ iK UE . Na situação oposta, de variação negativa de energia 
cinética, ocorre a variação positiva de energia potencial 00 >∆⇒<∆ iK UE . 
Assim é possível interpretar a energia potencial como o “armazenamento” da 
energia cinética do corpo material provocado pela mudança de posição 
devido à ação da força conservativa
 
iF
→
. 
 Aplicando a classificação de forças conservativas e não-conservativas 
ao teorema do trabalho-energia pode-se obter a formulação conhecida como 
lei de conservação da energia: 
 
∑∑ +∆−=∆
j
j
nc
i
iK WUE ; 
Variação de energia potencial devido à ação da força 
conservativa iF
→
: iU∆ ; 
 
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4
Trabalho da força não conservativa jF
→
: jncW . 
 
 Pode-se obter a lei de conservação da energia aplicada a uma carga 
elétrica q que se desloca na região do espaço preenchido por linhas do 
campo vetorial elétrico 
→
E e do campo vetorial magnético 
→
B calculando o 
trabalho da força de Lorentz para campos estáticos, ou seja, campos 
vetoriais estáticos que não dependem explicitamente do tempo: �	� 
 �	����
 e 
�	� 
 �	����
: 
 
→→→→→→
×+=+= BvqEqFFF MeLorentz ; 
→→→→
∫ 



 ×+= rdBvqEqWR . ; 
 Lei de conservação da energia elétrica e magnética: 
→→→→→
∫∫ 




×+=∆ rdBvqrdEqE
CC
K .. . 
 
3.2 – A Energia Potencial Elétrica e a Energia Magnética dos 
Campos Vetoriais Estáticos: �		� 
 �		���	�
	�	�		� 
 �		���	�
 
 
 O cálculo da primeira integral no lado direito da lei de conservação da 
energia elétrica e magnética fornece resultado nulo quando o caminho 
percorrido pela carga elétrica q é fechado na região do espaço onde o 
campo vetorial elétrico �	� varia somente com o vetor posição ��. Essa 
situação é mostrada na Fig. 1. Diz-se, então, que o campo vetorial elétrico �	� 
é um campo de força conservativa. Verifica-se facilmente que o campo 
elétrico é conservativo medindo-se os módulos das velocidades de partida iv 
 
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e chegada fv da carga elétrica q em movimento de trajetória fechada. O 
resultado é sempre if vv = . Pode-se chegar à mesma conclusão calculando-
se o trabalho do campo vetorial elétrico �	� no caminho fechado: 
 
 
 
 
Figura 1 – Trajetória fechada percorrida por uma carga 
elétrica q na região do espaço do corpo material de 
referência onde existe o campo elétrico que depende 
apenas do vetor posição ��: �	� 
 �	����
. 
 
∫
→→
=∆
C
K rdEqE . ; 
0.0 =⇒=∆ ∫
→→
C
K rdEqE ; 
0. =∫
→→
C
rdE
 (campo vetorial elétrico é conservativo). 
 
 Fala-se, portanto, que a primeira integral do lado direito na lei de 
conservação da energia elétrica e magnética é o negativo da variação da 
energia potencial elétrica � da carga elétrica q, quando ela se desloca de um 
 
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6
ponto a outro na região do espaço preenchida com as linhas do campo 
vetorial elétrico 
→
E . Ou seja, para a carga elétrica q percorrendo uma 
trajetória que não é fechada entre dois pontos Pi e Pf tem-se: 
 
UrdEq
C
∆−=∫
→→
. ; 
∫
→→
−=−=∆
C
if rdEqUUU . ; 
Uf = energia potencial elétrica de q no ponto Pf ; 
Ui = energia potencial elétrica de q no ponto Pi. 
 
 A obtenção de U∆ para os campos vetoriais elétricos gerados por 
cargas elétricas puntiformes e por corpos materiais com carregamento 
elétrico será o objeto de estudo da secção 3.4. A segunda integral no lado 
direito da igualdade da lei de conservação da energia elétrica e magnética 
para a carga elétrica q é o trabalho da força magnética MF
→
. Independente 
da trajetória da carga elétrica q ser aberta ou fechada, o resultado da integral 
é sempre nulo, uma vez que a força magnética MF
→
 é sempre perpendicular 
ao plano que contém os vetores 
→
v
 e 
→
B . Portanto, a força magnética MF
→
 é 
perpendicular ao elemento de comprimento 
→
rd
 da trajetória da carga 
elétrica q. Mostra-se essa situaçãona Fig. 2. Assim, tem-se para o trabalho 
da força magnética: 
 
0=∆ KE ; 
0.
1
=




 ×= ∫
→→→
C
magnético rdBvqW ; 
 
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7
0
2
=








×=
→→→
∫ rdBvqW
C
magnético 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - Diferentes trajetórias C1 e C2 percorridas 
pela carga elétrica q no espaço da vizinhança do corpo 
material de referência preenchido por linhas do campo 
vetorial magnético 
→
B . 
 
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 Deve-se ressaltar que embora seja nulo o trabalho da força magnética 
→
MF , 0=magnéticaW , ela contribui para a variação do momento linear, 
→→
= vMp , 
da carga elétrica q na trajetória fechada. Aplicando-se a 2a lei de Newton 
pode-se obter 
o
ppp
→→→
−=∆ : 
 
dt
pdF R
→
→
= ; 
→→→→
×+= BvqEqF R ; 
→→→→→→
=


















×+→= pddtBvqEqpddtF R ; 
 
dtBvqEqpd
tp
p o
∫∫


















×+=
→→→→
→
→ 0
; 
dtBvqEqpp o ∫


















×++=
→→→→→
. 
 
3.3 – A Energia Magnética UM do Campo Vetorial Magnético �		� 
Variando com o Tempo t: �		� 
 �		���
 
 
 Uma vez que é nulo o trabalho �� da força magnética MF
→
, não há 
contribuição para a variação da energia cinética ∆�� da carga elétrica q que 
 
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se desloca no espaço preenchido por linhas do campo vetorial magnético 
→
B 
estático. Assim, a energia magnética MU da carga elétrica q é nula nessa 
situação. Verifica-se uma exceção para a afirmação anterior: quando a carga 
elétrica q percorre uma trajetória fechada, por exemplo, a trajetória C2 na 
Fig. 2, e variar com o tempo o campo vetorial magnético: �	� 
 �	���
. Nesse 
caso, o fluxo magnético das linhas de campo do campo vetorial magnético 
que cruzam a área envolvida pela trajetória variam com o tempo t: ( )tmm φφ = . 
A conseqüência do deslocamento das linhas de �	���
 é a variação na energia 
cinética da carga elétrica q, ou seja, 0≠∆ KE . A variação da energia cinética 
KE∆ é proporcional à taxa de variação do fluxo magnético das linhas do 
campo vetorial magnético ( )tB→ : 
 
dt
dNEK −∝∆ ; ∫
→→
==
S
M SdBN .φ ; 
Unidades de Mφ no sistema SI: [ ] [ ][ ] == SBMφ 1 T.m2; 






−=∆
dt
d
qE MK
φ ; 
Condição 1 : se 00 <∆⇒> KM Edt
dφ ; 
Condição 2: se 00 >∆⇒< KM Edt
dφ
. 
 
 Deduz-se das relações anteriores que o aumento no fluxo das linhas 
de campo que cruzam a trajetória da carga elétrica q devido ao 
deslocamento do campo vetorial magnético ( )tB→ leva a perda de sua energia 
cinética (condição 1). Em vista disso, deve-se considerar que houve a 
geração de um campo vetorial de força sobre a trajetória fechada C2 que 
desacelera a carga elétrica q. 
 
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Quando há o decréscimo no fluxo das linhas de campo magnético que 
cruzam a trajetória de q, ocorre um aumento de sua energia cinética 
(condição 2). Ou seja, nesse caso o campo vetorial de força acelera a carga 
elétrica q. Então, o campo vetorial de força tem o sentido oposto ao da 
situação anterior (condição 1). Utilizando o teorema do trabalho-energia, 
pode-se reescrever a expressão para a energia magnética: 






−=∆=
dt
d
qEU MKM
φ ; 
dt
d
q
U MM φε −== . 
 
 A expressão acima é conhecida como a regra do fluxo. Para ilustrar 
a aplicação dessa regra imagine o fio condutor retilíneo, de comprimento L, 
sobre a direção z de um sistema de eixos cartesianos escolhidos sobre um 
ponto do corpo material de referência. O fio condutor retilíneo conduz a 
corrente elétrica I no sentido positivo do eixo z. Veja a representação 
esquemática na Fig. 3. 
 
 
 
(a) 
 
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(b) 
Figura 3 – (a) Representação das linhas de campo do 
campo vetorial magnético �	� gerado por um fio condutor 
retilíneo na direção z. (b) Anel condutor de raio � 
 �
�
 
no espaço da vizinhança do fio conduto retilíneo ao 
longo da direção z que conduz uma corrente elétrica I 
no sentido positivo do eixo (para cima). 
 
 Quando o anel condutor de raio R envolve o fio (anel C1), como 
mostrado na Fig. 3(a), tem-se 0=Mφ , uma vez que as linhas do campo 
magnético 
→
B , gerado pela corrente I, são tangenciais ao anel. Se Mφ é nulo, 
não ocorre a variação da energia cinética das cargas do anel. Para o 
semicírculo condutor que tem o seu plano paralelo ao plano yz, como 
mostrado na Fig. 3(b), o fluxo magnético Mφ é dado por: 
 
∫∫ ==
→→
SS
M dSBSdB θφ cos.. ; 
 
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12
dydzdS = ; 
y
IB o
pi
µ
2
= ; piθ = ; 
2
22
2






=+
Lyz ; 
2
2
2
yLz −




±= ; 2
2
1 2
yLz −





−= ; 2
2
2 2
yLz −





= 
pi
pi
µ
pi
pi
µφ
δδ
cos
2
cos
2
2
1
2
1
22 dy
y
Idzdydz
y
I z
z
L
o
z
z
L
o
M ∫ ∫∫ ∫ 





=





= ; 
dy
y
yLI
L
o
M ∫
























−





−=
2
2
2
2
2
2
δ pi
µ
φ ; 
dy
y
yL
I
L
o
M ∫














−





−=
2
2
2
2
δpi
µφ ; 
ξξξ dLdysenLy cos
22
=→= ; 
;
22 1
11 





=⇒= −
L
sen
L
sen
δξδξ
 
2
1 22
piξξ =⇒=sen 
ξξ
ξ
ξ
pi
µφ
pi
ξ
dL
sen
L
senLIo
M cos2
2
2
12 2
1
∫


















−
−= ; 
ξξ
ξ
pi
µφ
pi
ξ
d
sen
ILo
M ∫−=
2 2
1
cos
2
; 
 ξξ
ξξξξξ
ξξξ
ξ
pi
ξ
pi
ξ
pi
ξ
pi
ξ
d
sen
send
sen
d
sen
send
sen ∫∫∫∫
−=
−
==Α
2 222 22 2
1111
11cos ; 
 
 
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13
( ) 2222
11
11
coscotseccosln1
pi
ξ
pi
ξ
pi
ξ
pi
ξ
ξξξξξξξ +−=−= ∫∫ dsendsenA 
( )11 cos2ln ξ
ξ
−=A 
( ) ILIL ooM 





−−=Α−= 11 cos2
ln
22
ξξ
pi
µ
pi
µφ 
( )





−= 1
1 cos
2
ln
2
ξξ
pi
µ L
M o
 
MIM −=φ ; M = indutância mútua 
 
 Com o fluxo magnético deduzido acima, pode-se obter a energia 
magnética da carga Q em movimento no semicírculo: 
 






−=
dt
dQU MM
φ ; 
 
( ) ( )
dt
dIMQ
dt
MIdQU M =




 −
−= ; 
 
Quando I é constante: 00 =⇒= MUdt
dI
. 
 
 Conclui-se, portanto, que o fio condutor conduzindo a corrente elétrica 
I gera a energia magnética MU , ou seja, as linhas do campo vetorial 
magnético 
→
B que preenchem o espaço da vizinhança do fio alteram a 
energia cinética da carga Q em movimento no semicírculo, apenas quando I 
variar com o tempo: I = I(t). Nesse caso, escreve-se a potência magnética 
como: 
 
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14






−=
dt
ddQdU MM
φ
 
dt
dt
ddQ
dt
dU
P
M
M
M






−
==
φ
; 
 
dt
dQIQ = ; 






−=
dt
dIP QM
φ ; 
 
 Fala-se em potência magnética da carga Q apenas quando ela 
percorre várias vezes a trajetória fechada. Para finalizar a secção 3.3, uma 
questão importante: qual é o vetor força que executa o trabalho magnético 
�� 
 ∆�� sobre a carga elétrica Q sendo, portanto, a causa da regra do 
fluxo? Discute-se no capítulo sobre a lei de Faraday o fenômeno físico 
relacionado com essa questão. 
 
3.4 – Cálculos da Diferença de Potencial Elétrico 
 
 Definiu-se na secção 3.2 a variação da energia potencial elétrica da 
carga elétrica q em uma região do espaço preenchida com as linhas do 
campo vetorial elétrico 
→
E . Pode-se obter U∆ da seguinte integral: 
 
→→
∫−=−=∆ rdEqUUU
f
i
if . ; 
 
 Reescrevendo-se essa expressão para U∆ em termos da nova 
grandeza física, a diferença de potencial elétrico (ddp) V∆ tem-se: 
 
 
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VqrdEqqU
f
i
∆=






−=∆
→→
∫ . ; 
→→
∫−=−=∆ rdEqVVV
f
i
if . ; 
∫−=∆
f
i
EdrV θcos . 
 
 Quando a carga elétrica q percorre a mesma trajetória entre os pontos 
i e f várias vezes, a variação de sua energia potencial elétrica com o tempo 
fornece a potência elétrica da carga q devido ao campo vetorial elétrico 
→
E : 
 
( ) ( ) V
t
q
t
qV
t
U
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆ ; 
τ
qIq = ; 
( )
t
UPe ∆
∆
= ; 
 
VIP qe ∆= 
Unidades de eP no sistema SI: [ ] Wwatt
s
JPe 111 === . 
Unidades de V∆ no sistema SI: 
[ ] [ ][ ] VvoltC
J
q
UV 11 ===∆=∆ . 
 
 Apresentam-se nessa secção os cálculos da ddp V∆ (também 
chamada de tensão elétrica V entre dois pontos) quando a carga elétrica q 
se desloca na região do espaço preenchida por linhas do campo vetorial 
elétrico 
→
E gerado por distribuições de cargas puntiformes e por corpos 
materiais com carregamento elétrico. Faz-se o mesmo para alguns 
dispositivos utilizados nas aplicações em circuitos elétricos e eletrônicos. 
 
 
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16
 
DISTRIBUIÇÕES DE CARGAS PUNTIFORMES 
 
 Suponha uma única carga puntiforme Q que permanece em algum 
ponto do espaço da vizinhança de um corpo material de referência neutro. O 
próprio corpo material de referência neutro, ou outro corpo material sobre 
ele, é tomado como paralelepípedo cartesiano e utilizado para definir os 
eixos cartesianos x, y e z. Utilizam-se, então, os eixos cartesianos x, y e z 
para localizar o ponto do espaço onde se encontra a carga Q. Mede-se, 
também, r , a distância de qualquer ponto do espaço a partir da carga Q. A 
Terra é o corpo material que é tomado freqüentemente como corpo material 
de referência neutro na maioria das aplicações. Viu-se no Capítulo 2 que o 
campo vetorial elétrico no espaço da vizinhança de qualquer carga Q é dado 
por: 
 
r
r
QKE ˆ2=
→
. 
 
O vetor unitário rˆ está na direção radial a partir da carga Q até um 
ponto qualquer do espaço da vizinhança da mesma: 
 
1
1
ˆ
→→
→→
−
−
=
RR
RR
r ; 
Vetor posição de localização da carga elétrica Q no 
sistema xyz: 1
→
R . 
Vetor posição do ponto do espaço na vizinhança de Q 
em xyz: 
→
R . 
 
 
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17
 Mostram-se na Fig. 4, as linhas de campo de 
→
E gerado pela carga 
elétrica puntiforme Q e a trajetória ao longo de uma linha de campo. Uma 
vez que o campo vetorial elétrico 
→
E é conservativo, a ddp V∆ entre os 
pontos Pi e Pf é a mesma qualquer que seja a trajetória. Portanto, por 
simplicidade de cálculo, escolhe-se a trajetória sobre a linha de campo. 
 
 
 
 
 
Figura 4 − Trajetória sobre uma linha de campo elétrico 
para obter a ddp V∆ . 
 
 Com a trajetória mostrada na Fig. 4, calcula-se facilmente a integral 
de
→
E : 
 
∫∫ −=−=∆
→→ f
i
r
r
f
i
EdrrdEV θcos. ; 
0ˆ;ˆ2 =⇒==
→→
θrdrrdr
r
QKE ; 
 
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18
f
i
f
i
f
i
r
r
r
r
r
r r
KQ
r
drKQdr
r
QKV 10cos 22 =−=−=∆ ∫∫ ; 








−=−=∆
if
if
rr
KQVVV 11 . 
 
 Costuma-se tomar a ddp V∆ entre um ponto qualquer rrf = do 
espaço da vizinhança de Q e um ponto ir de potencial estável do corpo 
material de referencia neutro. Se o referencial elétrico é um ponto da Terra, 
0=iV para esse ponto. Caso a distância desse ponto de referência ir seja 
algumas ordens de grandeza maior que r , pode-se chamar simplesmente 
de tensão elétrica V à diferença de potencial entre os dois pontos: 
 
0=iV ; +∞→ir ; 
( ) ( )
r
f
r
f
r
QKrVQK
r
QKrV =⇒
∞+
−=− 0 ; 
Em geral: ( )
r
QKrV = . 
 
 Quando várias cargas puntiformes Qis ocupam os pontos de uma 
mesma região do espaço nas vizinhanças do corpo material de referencia, 
como mostrado na Fig. 5, a tensão elétrica ( )rV de um ponto do espaço na 
vizinhança da distribuição de três cargas puntiformes, por exemplo, deve-se 
ao campo elétrico resultante 321
→→→→
++= EEEE R . O valor de ( )rV é obtido da 
soma dos potenciais individuais no ponto de cada uma das cargas que 
compõem a distribuição: 
 
( ) ( ) ( ) ( )332211 rVrVrVrV ++= ; 
3
3
2
2
1
1)(
r
QK
r
QK
r
QKrV ++= 
 
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19
( ) ∑
=
=
3
1i i
i
r
QKrV . 
 
 
 
 
Figura 5 − Distribuição de três cargas elétricas 
puntiformes no plano yz. 
 
 Se N cargas elétricas puntiformes compõem a distribuição, a tensão 
elétrica do ponto, devido ao campo elétrico resultante RE
→
 no espaço da 
vizinhança da distribuição de cargas e a energia potencial elétrica de uma 
carga puntiforme q no ponto são dados por: 
 
( ) ∑
=
=
N
i i
i
r
QKrV
1
; 
( ) ( ) ∑
=
==
N
i i
i
r
QKqrqVrU
1
. 
 
 Também, pode-se obter para a distribuição de cargas puntiformes sua 
energia potencial elétrica própria. Essa energia é obtida somando a energia 
potencial elétrica de cada uma das cargas puntiformes que compõem a 
distribuição: 
 
 
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20








= ∑∑
−
==
1
12
N
i ij
i
N
j
jãoDistribuiç
r
QKQU ; 
......
23
2
13
1
3
12
1
2 +





++





=
r
QK
r
QKQ
r
QKQU ãoDistribuiç . 
 
POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES DE CARGA EM 
ELETRODOS E ISOLADORES ELÉTRICOS COM CARREGAMENTO 
ELÉTRICO 
 
 Quando se tem corpos materiais com carregamento elétrico, como os 
eletrodos metálicos e os isoladores elétricos, as expressões de soma 
discreta obtidas anteriormente para a tensão elétrica ( )rV e para a energia 
potencial elétrica ( )rU levam às seguintes integrais: 
 
( ) ∫= '
r
dQKrV ; 
 
( ) ∫= r
dQKqrU ; 
 
∫= VdQU ãoDistribuiç ; 
 
Corpo material com distribuição volumétrica de carga: 
dVdQ ρ= ; 
Corpo material com distribuição superficial de carga: 
dSdQ σ= ; 
Corpo material com distribuição linear de carga: 
dLdQ λ= . 
 
 
 
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21
EXEMPLO 1 − FOLHA CONDUTORA COM CARREGAMENTO ELÉTRICO 
DE DENSIDADE SUPERFICIAL CONSTANTE σ . 
 
 Para a folha condutora plana mostrada na Fig. 6, a tensão elétrica V 
entre a folha e um ponto qualquer do espaço da sua vizinhança é obtida por 
integração direta do campo vetorial elétrico 
→
E gerado pela folha. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 − Linhas do campo vetorial elétrico 
→
E
preenche o espaço da vizinhança da folha condutora 
plana. As linhas do campo são geradas pelo 
carregamento elétrico da folha. 
 
 O campo vetorial elétrico 
→
E da folha condutora plana mostrada na 
Fig. 6 é uniforme e constante e dado por: 
kKkE
o
ˆ2ˆ
2
σpi
ε
σ
==
→
, para z > 0 (acima da folha); 
( ) ( )kKkE
o
ˆ2ˆ
2
−=−=
→
σpi
ε
σ
, para z < 0 (abaixo da folha); 
 
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22
Acima da folha: 
( ) ( ) ∫∫∫ −=−=−=−=
000
220cos0
zzz
dzKdzKEdzzVVV σpiσpi ; 
( ) ( ) zKzVVV σpi20 =−= ; 
Abaixo da folha: 
( ) ( ) ∫∫∫
−−−
−=−=−=−−=
000
220cos0
zzz
dzKdzKEdzzVVV σpiσpi 
( ) ( ) ( )zKzVVV −=−−= σpi20 ; 
 
Em geral pode-se escrever: ( ) ( ) ( ) zKzVVzV σpi20 =−= . 
 
 Se o carregamento elétrico produziu uma distribuição de carga 
negativa, então o resultado anterior altera-se para: 
 
( ) ( ) zKzVVV σpi20 −=−= . 
 
EXEMPLO 2 − CAPACITOR DE PLACAS PLANAS PARALELAS 
 
 Duas folhas condutoras planas paralelas com carregamento elétrico 
de densidades de carga σ+ e σ− constituem o dispositivo chamado de 
capacitor de placas paralelas. Para o cálculo da tensão elétrica V considere 
as folhas planas paralelas ao plano xy, uma em z = 0 e a outra em z = + d, 
conforme mostrado na Fig. 7. 
 
 
 
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23
 
 
 
 
Figura 7 – Capacitor de placas planas paralelas no 
plano xy. 
 
 A tensão elétrica V entre as folhas e um ponto qualquer do espaço 
da sua vizinhança, obtida no Exemplo 1, será utilizada para calcular a tensão 
elétrica V entre as folhas condutoras do capacitor de placas paralelas. 
 
Tensão elétrica da folha condutora com densidade de 
carga σ+ : 
( ) zKzV σpi2=+ ; 
No ponto z = + d: ( ) dKdV σpi2=+ ; 
Tensão elétrica da folha condutora com densidade de 
carga σ− : 
( ) dzKzV −−=− σpi2 ; 
No ponto z = 0: ( ) dKV −−=− σpi20 ; 
Tensão elétrica V do capacitor de placas paralelas: 
( ) ( ) [ ]dKdKVdVV σpiσpi 220 −−=−= −+ ; 
σ
ε
σ
piε
piσpi 





=





==
oo
dddKV
4
144 ; 
A
Q
=σ ; 
 
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24
Q
A
dV
o






=
ε
. 
 
 A expressão anterior relaciona o módulo da carga Q distribuída sobre 
as folhas planas condutoras com a tensão elétrica V . Em geral, o 
carregamento elétrico das folhas é produzido por uma bateria de tensão 
elétrica V entre os seus eletrodos. Então, comparando esse resultado com a 
relação fundamental CVQ = , válida para qualquer capacitor, deduz-se a 
capacitância do capacitor de placas planas paralelas: 
d
AC oε= . 
 
 A energia potencial elétrica do capacitor de placas planas paralelas é 
obtida por integração: 
( )∫= VdQU ãoDistribuiç ; 
CdVdQC
dV
dQCVQ =→=→= ; 
( ) ∫∫ ==
V
V
ãoDistribuiç
o
VdVCVCdVU ; 
22
2
1
2
1
oãoDistribuiç CVCVU −= ; 
Uma vez que →=
C
QV 22
2
1
2
1
oãoDistribuiç QCQCU −= . 
 
EXEMPLO 3 − CONDUTOR CILÍNDRICO COM CARREGAMENTO 
ELÉTRICO NAS EXTREMIDADES (POLARIZADO NAS EXTREMIDADES). 
 
 Considere o condutor cilíndrico de secção reta circular com área A, 
mostrado na Fig. 8. Quando as extremidades do condutor adquirem 
carregamento elétrico, devido ao contato com os pólos de uma bateria, por 
exemplo, a polarização das extremidades do condutor gera o campo vetorial 
 
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25
elétrico 
→
E uniforme e constante no seu interior. Ou seja, as linhas do campo 
vetorial elétrico preenchendo o interior do condutor são paralelas e 
igualmente espaçadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Mostra-se as linhas do campo vetorial 
elétrico 
→
E no interior do condutor cilíndrico polarizado 
nas extremidades. 
 
 Calcula-se facilmente para o condutor cilíndrico mostrado na Fig. 8 a 
tensão elétrica V entre dois pontos ao longo do condutor. Para os pontos Pi 
e Pf ao longo de uma linha do campo vetorial elétrico, ou seja, sobre a 
direção x, a tensão elétrica V é dada por: 
 
∫∫ −=−=∆
→→ f
iC
EdrrdEV θcos. ; 
 
0ˆ;ˆ =⇒==
→→
θidxrdiEE ; 
 
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26
( )if
x
x
x
x
x
x
xxEdxEEdxEdxV
f
i
f
i
f
i
−−=−=−=−= ∫∫∫ 0cos ; 
 
 Tomando xf =0 (ponto sobre o pólo positivo do fio condutor) e xi = L, a 
expressão anterior simplifica-se para: 
 
( ) ELVLEV =∆→−−= 0 . 
 
 Ou seja, tem-se a relação linear entre a tensão elétrica V e o 
comprimento do condutor. Na Fig. 9 mostra-se o gráfico de VxL para o 
condutor polarizado nas extremidades por uma bateria. Observe que a 
inclinação desse gráfico é o módulo do campo vetorial elétrico dentro do 
condutor metálico gerado pela polarização das suas extremidades. 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 − Gráfico VxL cuja reta tem inclinação igual a 
E , o módulo do campo vetorial elétrico 
→
E . 
 
 
 
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27
EXEMPLO 4 − CONDUTOR CILÍNDRICO COMPRIDO (L >> R1) COM 
CARREGAMENTO ELÉTRICO DE DENSIDADE LINEAR λ SOBRE A SUA 
SUPERFÍCIE. 
 
 O campo vetorial elétrico 
→
E gerado no espaço da vizinhança (r > R1) 
de um condutor cilíndrico com carregamento elétrico de densidade de carga 
elétrica λ+ sobre a sua superfície é semelhante ao de um fio comprido. O 
campo vetorial elétrico gerado por um fio comprido foi deduzido no Capítulo 
2 e é dado por: 
 
ra
r
KE ˆ2 λ=
→
; 
 
 A tensão elétrica V entre um ponto sobre a superfície do condutor 
cilíndrico mostrado na Fig. 10 e outro ponto do espaço da sua vizinhança é 
obtida por integração de 
→
E ao longo de uma linha de campo. 
 
 
 
 
Figura 10 − Condutor cilíndrico ao longo da direção z 
com carregamento elétrico de densidade linear λ+ . 
 
 
 
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28
ra
r
KE ˆ2 λ=
→
; radrrd ˆ=
→
; 0=θ ; 
∫∫ =−=
→→ f
i
C
EdrrdEV θcos. ; 
111 ln220cos2 R
r
R
r
R
r
rK
r
drKdr
r
KV λλλ −=−=





−= ∫∫ ; 
( ) 





−=−−=
r
R
KrRKV 11 ln2lnln2 λλ ; 






=
1
ln2
R
rKV λ . 
 
 Quando o condutor cilíndrico de raio R1 é envolvido por outro condutor 
cilíndrico oco de raio R2, onde R2 > R1, carregado com densidade de carga 
elétrica −λ, o arranjo é conhecido como capacitor cilíndrico. Mostra-se esse 
dispositivo na Fig. 11. 
 
 
 
 
 
Figura 11 − Capacitor constituído de dois cilindros 
concêntricos de raios R1 e R2, sendo R2 > R1. 
 
 
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29
 A tensão elétrica V entre o cilindro interno e o cilindro externo, 
localizado em 2Rr = , é obtida utilizando a expressão deduzida acima: 
 
2Rr = ; L
Q
=λ ; 











=





=
1
2
1
2 ln2ln2
R
R
L
QK
R
RkV λ ; 
V
R
R
K
LQ




















=
1
2ln2
. 
 
 O carregamento elétrico dos cilindros condutores com Q+ e −Q faz-
se utilizando uma bateria cuja tensão entre os eletrodos (+) e (−) é igual a V
Comparando a relação entre Q e V obtida acima com a relação 
fundamental CVQ = , deduz-se a capacitância do capacitor cilíndrico de 
comprimento L: 
 




















=
1
2ln2
R
RK
LC . 
 
EXEMPLO 5 − ANEL ISOLANTE DE RAIO R COM CARREGAMENTO 
ELÉTRICO DE DENSIDADE LINEAR DE CARGA +λ. 
 
 Nos exemplos de 1 até 4, calculou-se a tensão elétrica V por 
integração direta do campo vetorial elétrico 
→
E . Em muitos casos pode-se 
calcular a tensão elétrica V partindo do resultado obtido para as cargas 
puntiformes. Imagina-se que o volume elementar dV em torno de cada ponto 
 
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30
do corpo material com carregamento elétrico contenha a carga dQ. Portanto, 
o potencial de um ponto no espaço da vizinhança de um corpo material, no 
qual se produziu o carregamento elétrico, é obtido executando a seguinte 
integral: 
 
( ) ∫= r
dQKrV . 
 
 
 Considere o anel isolante de raio R com distribuição de carga de 
densidade linear λ+ , que tem o seu plano paralelo ao plano xy. Esse anel é 
mostrado na Fig. 12. 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 −Anel isolante com carregamento elétrico de 
densidade linear de carga λ+ . 
 
 O potencial elétrico do ponto z é obtido por integração sobre todas as 
cargas elementares dQ da distribuição: 
 
( )φλλ RddLdQ == ; 22 Rzr += ; 
 
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31
( ) ∫∫ ∫
+
=
+
==
pipi
φλφλ
2
0
22
2
0
22
d
Rz
RK
Rz
RdK
r
dQKzV ; 
( ) ( )
22
2
Rz
RKzV
+
=
piλ ; 
R
Q
pi
λ
2
= ; 
( ) ( )
22
2
2 Rz
R
R
QKzV
+
=
pi
pi
; 
( )
22 Rz
QKzV
+
= ; Q = Carga total do anel. 
 
 
3.5 – O Campo Vetorial Elétrico �		� Obtido Derivando V(r) 
 
 Pode-se obter por diferenciação da tensão elétrica ( )rV o campo 
vetorial elétrico 
→
E no espaço da vizinhança do corpo material no qual se 
produziu o carregamento elétrico. Deriva-se a expressão calculada de ( )rV 
ou, eventualmente, a expressão empírica de ( )rV , deduzida a partir das 
medidas da tensão elétrica ( )rV utilizando um voltímetro. Observe que a 
derivada do potencial ( )rV , que é uma função escalar, tem como resultado o 
vetor
→
E . Assim, diz-se que o campo vetorial elétrico 
→
E é o gradiente de ( )rV : 
 
( ) ∫= r
dQKrV ; 
( )rVE →→ ∇−= ; 
( )rV
z
k
y
j
x
iE
z
k
y
j
x
i 





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⇒
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
→→
ˆˆˆˆˆˆ ; 
z
Vk
y
Vj
x
ViE
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
→
ˆˆˆ
. 
 
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32
 Para o Exemplo 5 da secção anterior, encontra-se o campo vetorial 
elétrico 
→
E aplicando o gradiente de ( )zV : 
 
( ) ( ) 2122
22
−
+=
+
= RzKQ
Rz
QKzV ; 
0=
∂
∂
=
∂
∂
y
V
x
V ; 
( ) ( ) ( )zRzKQ
z
RzKQ
z
V 2
2
1
2
3
222
1
22
−
−
+





−=
∂
+∂
=
∂
∂ ; 
( ) ( ) ( )2322
2
3
22
Rz
KQz
zRzKQ
z
V
+
−=+−=
∂
∂ − ; 
( )322 Rz
KQz
z
V
+
−=
∂
∂
. 
( ) ( ) ( ) 







+
−−−−=
→
322
ˆ0ˆ0ˆ
Rz
KQzkjiE ; 
( ) kRz
KQzE ˆ
322 +
=
→
. 
 
3.6 – Cálculos da Energia Magnética 
 
A presente secção será dedicada ao estudo do trabalho do campo 
vetorial de origem magnética responsável pela energia magnética da carga q 
se deslocando na região do espaço preenchida com linhas de campo do 
campo vetorial magnético �	���
. Limitar-nos-emos a calcular a energia 
magnética de q no espaço da vizinhança de condutores em equilíbrio 
eletrostático ( 0=→E fora condutor) que conduzem a corrente elétrica ���
. 
 
 
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33
EXEMPLO 1 − FIO CONDUTOR RETILÍNEO COMPRIDO CONDUZINDO A 
CORRENTE ELÉTRICA ( ) tsenItI ω0= . 
 Suponha o fio condutor retilíneo na direção z conduzindo a corrente 
elétrica ( ) tsenItI oz ω= , conforme mostrado na Fig. 14. A carga elétrica q 
desloca-se na trajetória de raio R que está a uma pequena distância δ do fio 
retilíneo. 
 
 
 
 
 
Figura 14 − Fio condutor retilíneo conduzindo uma 
corrente elétrica que varia com o tempo. O campo 
magnético ( )tB→ é mostrado no plano yz. 
 
 Utiliza-se a expressão deduzida na secção 3.3 para se obter a energia 
magnética da carga q na trajetória mostrada na Fig. 14: 
 






−=
dt
d
qU MM
φ ; ∫
→→
=
S
M SdB .φ . 
 
 O fluxo magnético das linhas do campo 
→
B é obtido calculando a 
integral de superfície de 
→
B : 
 
 
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34
;ˆ
2 r
o a
r
I
B
pi
µ
=
→
 iar ˆˆ −= ; yr = ; 
idzdySd ˆ=
→
; 
( ) ( )
dydz
y
Idzdy
y
I RyRRR o
RyRR R
o
M








−=−= ∫∫∫ ∫
−−+−−+ 2222
0
2
0
2
22 δδ pi
µ
pi
µφ ; 
( ) ( ) dyRyR
y
Idy
y
IRdyRyRR
y
I R o
R
o
R
o
M 



−−−−=




−−+−= ∫∫∫
22
22
22
2
222 δδδ pi
µ
pi
µ
pi
µφ
 
( )( )dyRRyyR
y
I
y
IR R oRo
M
222
2
2 2
2
ln
2
+−−−−= ∫
δ
δ pi
µ
pi
µφ ; 
( ) dy
y
RIRIRdyRyy
y
IRIR R oo
R
oo
M 







+−−−=+−−−= ∫∫
21
2
2ln
2
2
2
2ln
2
2
2
2
δδ pi
µ
δpi
µ
pi
µ
δpi
µφ
ξξξξξ dsentg
Rdy
y
R 2
3
2
sec
42
sec −=→= 
δξ
R2
sec 11
−
= ; 0
2
2
sec 12 ==
−
R
Rξ
 
( ) ξξξξξpiµδpiµφ ξ dsentgRIRIR ooM 232
0
sec
41sec
2
2ln
2
1
−−−−= ∫ 
( ) ξξ
pi
µ
δpi
µφ
ξ
dRRsenIRIR ooM
4
0
4
2
2ln
2
1
∫+−= ; 
( )






+−+−= 11
1
8
12
2
3
2
42ln
2
ξξξ
pi
µ
δpi
µφ sensenRIRIR ooM ; 
( )
Isensen
RRR oo
M 











+−−−= 11
1
8
12
2
3
2
42ln
2
ξξξ
pi
µ
δpi
µφ
 
( )












+−−= 11
1
8
12
2
3
2
42ln
2
ξξξ
pi
µ
δpi
µ
sensen
RRRM oo
 
MIM −=φ 
 
 
 
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35
 Quando a trajetória da carga q está muito próxima do fio, 0→δ , o 
fluxo magnético Mφ é dado por: 
 












=→ δpi
µ RRMIndutância o 2ln
2
; 
( ) tsenIRRIRRt ooom ωδpi
µ
δpi
µφ 











−=











−=
2ln
2
2ln
2
 
( ) tsenMIMIt om ωφ −=−= . 
 
Lembre-se que o fluxo magnético negativo significa que as linhas do 
campo vetorial magnético 
→
B estão penetrando na área da superfície S 
envolvida pela trajetória de q. Ou seja, o ângulo entre o vetor elemento de 
área 
→
Sd
 e o campo vetorial magnético 
→
B tem o valor de pi . Derivando-se 
em relação ao tempo o fluxo magnético obtido acima, deduz-se a energia 
magnética da carga q:











−=−=
2
cos
pi
ωωωω
φ
tsenIMtIM
dt
d
oo
M ; 












−−=
2
pi
ωω tsenIqMU oM ; 
 
 A energia magnética MU por unidade de carga elétrica q fornece o 
trabalho do campo vetorial �	��� que acelera a carga elétrica q: 
RERdEldE
q
U
EMEMEM
m piφpi 2. 2
0
=== ∫∫
→→
; 












−−=
2
2 piωωpi tsenIMRE oEM ; 












−−=
22
pi
ω
pi
ω
tsenI
R
ME oEM ; 
 
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36
 
 Mostram-se, na Fig. 15, os esboços dos gráficos de Ixt , de xtMφ e 
de xtU M . Qualquer valor instantâneo no gráfico de xtUM dá a energia 
magnética para a carga executando uma volta completa na trajetória 
mostrada na Fig. 14. No intervalo de tempo de 0=t até 
ω
pi
2
=t , a energia 
magnética da carga q é nula. Ou seja, KE∆ é zero. No intervalo de tempo de 
ω
pi
2
=t até 
ω
pi
=t , a energia magnética é negativa, passando por um mínimo 
em 
ω
pi
=t . Portanto, a variação de energia cinética KE∆ de uma volta 
completa é negativa e a carga perde energia cinética. Ou seja, a carga q é 
desacelerada pela força EMF
→
 nesse intervalo de tempo, com a velocidade 
fv menor do que a velocidade iv . Lembre-se de que ∫
→→
=∆= ldEqEU EMKM .
. Portanto, sendo negativo o trabalho da força EMF
→
, a força tem sentido 
oposto ao sentido de deslocamento da carga q. Assim, se a carga q gira no 
sentido anti-horário, o sentido de EME
→
 é sentido horário, que satisfaz a 
condição de trabalho negativo: dlEdlEldE EMEMEM −==
→→
picos. . No intervalo 
de tempo de 
ω
pi
=t até 
ω
pi
2
3
=t , a energia magnética torna-se menos 
negativa, aproximando-se de zero em 
ω
pi
2
3
=t . A força de empuxo magnético 
EMF
→
 acelera a carga. No intervalo de tempo de 
ω
pi
2
3
=t até 
ω
pi2
=t a energia 
magnética é positiva, 0>MU , o que significa que a carga q continua a ser 
acelerada por EMF
→
, ganhando energia cinética. Então, o ciclo se repete. 
 
 
 
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37
 
 
 
 
 
Figura 15 − Gráficos de Ixt , xtMφ e xtU M para uma 
carga q em trajetória fechada no espaço da vizinhança 
de um fio retilíneo que conduz a corrente elétrica 
tsenII o ω= . 
 
 Se a carga q estiver inicialmente em repouso, ela assim permanece 
desde 0=t até 
ω
pi
2
3
=t . Após a corrente elétrica no fio atingir o valor nulo, 
0=





ω
piI , ela muda de sentido e passa a ter valores negativos. No instante 
ω
pi
2
3
=t , a corrente elétrica tem o seu máximo negativo. A partir desse 
instante de tempo, a carga q, inicialmente em repouso, passa a ganhar 
energia cinética ( 0>MU ) até ω
pi2
=t . Veja no gráfico da Fig. 16. 
 
 
 
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38
 
 
 
Figura 16 − Gráficos de Ixt , xtMφ e xtU M para uma 
carga q, inicialmente em repouso, no espaço da 
vizinhança de um fio retilíneo que conduz uma corrente 
tsenII o ω= . 
 
 Deduziu-se acima o campo vetorial EME
→
 ao longo da trajetória da 
carga q. A intensidade desse campo varia com o tempo de acordo com a 
expressão: 
 












−−=
22
pi
ω
pi
ω
tsenI
R
ME oEM ; 
 
 O campo vetorial EME
→
 é não nulo a partir do instante de tempo 
ω
pi
2
=t , 
quando então assume valores negativos e crescentes. Sua intensidade EME 
passa por um máximo negativo no instante de tempo 
ω
pi
=t . Assume a partir 
desse instante de tempo, valores negativos decrescentes até se anular em 
ω
pi
2
3
=t , quando então assume valores positivos crescentes. Verificou-se, 
 
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39
através da análise dos gráficos da Fig. 15, que a partir do instante de tempo 
ω
pi
2
=t , a força EMF
→
 realiza trabalho negativo, ou seja, desacelera a carga. 
Assim, se a carga q girar no sentido anti-horário, o campo EME
→
 estará no 
sentido horário. Entre os instantes 
ω
pi
=t e 
ω
pi2
=t o sentido de EME
→
 é o 
mesmo do movimento da carga, ou seja, o sentido anti-horário. A partir 
desse instante de tempo, o ciclo se repete, ou seja: (i) quando a corrente 
elétrica está no sentido de z positivo (fluxo magnético 0<mφ ), a taxa de 
variação da intensidade de EME
→
 é negativa ( 0<
dt
dEEM ); (ii) quando a 
corrente elétrica está no sentido negativo do eixo z, a taxa de variação da 
intensidade de EME
→
 é positiva ( 0>
dt
dEEM ). Veja na Fig. 17 essas duas 
condições. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 − Gráficos de Ixt e de xtEEM . 
 
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40
 
 É interessante observar que se a condição inicial de repouso para a 
carga q é satisfeita, ela passa a ganhar energia cinética, girando no sentido 
anti-horário, quando EME
→
 está no sentido anti-horário, a partir do instante de 
tempo 
ω
pi
2
3
=t . Quando a corrente elétrica fluindo no sentido negativo do eixo 
z começa a diminuir, ocorre o decréscimo do fluxo magnético positivo na 
área da trajetória da carga q. Entretanto, o movimento da carga q gera um 
campo magnético próprio através da área de sua trajetória, o campo 
magnético qB
→
. O fluxo magnético positivo das linhas desse campo qB
→
, ou 
fluxo magnético próprio, Sφ , através da área da trajetória da carga q tende a 
compensar a queda no fluxo magnético Mφ das linhas de campo de 
→
B 
gerado pela corrente elétrica I. Pode-se resumir na seguinte regra a 
condição para a circulação de uma carga q, inicialmente em repouso, 
quando varia com o tempo o fluxo das linhas do campo magnético
→
B : 
 
“O sentido de circulação da carga q é tal que tende a 
restabelecer o fluxo magnético original de
→
B através da 
trajetória fechada da carga q.” 
 
Essa regra é conhecida como lei de Lenz. Como se conclui do 
parágrafo acima, a lei de Lenz se baseia na lei de conservação da energia. 
 Suponha não haver carga q em movimento na trajetória fechada da 
Fig. 15. Ainda assim, teríamos o campo vetorial EME
→
, na trajetória circular 
mostrada. A carga q é a carga de prova, ou seja, é o instrumento de medida 
utilizado para se ter acesso ao fenômeno físico. Nesse caso, diz-se que a 
variação com o tempo do fluxo das linhas do campo EME
→
, ( )tee φφ = , no 
 
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41
plano que é perpendicular ao plano da trajetória fechada, ou seja, o plano xy, 
por exemplo, para a trajetória mostrada na Fig. 14, gera o campo magnético 
qB
→
. Veja na Fig. 18 as linhas de qB
→
. 
 
 
Figura 18 − Linhas do campo magnético próprio qB
→
 
gerado pela carga q. 
 
 
 
EXEMPLO 2 − BOBINA CIRCULAR DE RAIO R COM UM ENROLAMENTO 
DE N ESPIRAS DE COMPRIMENTO L. 
 
 Obteve-se no Exemplo 1, o fluxo magnético das linhas do campo 
magnético 
→
B gerado por um fio retilíneo através da área da trajetória de uma 
carga puntiforme q com movimento no plano yz no espaço da vizinhança do 
fio retilíneo: 
MIM −=φ ; 





= δpi
µ RRM o 2ln
2
. 
 
 
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DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA42
 Denomina-se a grandeza M de indutância mútua entre fio 
retilíneo e carga q em movimento circular. Se a invés do par fio retilíneo/ 
carga q em movimento circular de raio R, tem-se uma corrente elétrica 
( ) tsenItI o ω= percorrendo uma espira circular de raio R, o fluxo das linhas 
do campo magnético 
→
B , gerado pela corrente elétrica que percorre a espira, 
através da área da espira pode ser escrito como: 
ILSMM =φ . 
 
 A grandeza SML é chamada de auto-indutância da espira por estar 
relacionada com o fluxo magnético do campo magnético gerado pela 
corrente elétrica da própria espira. As unidades das grandezas físicas M e 
L , no sistema de medidas SI, são os henries (1 H), obtidos da relação 
funcional entre mφ e I : 
 
[ ] [ ][ ] HA
mN
A
m
mA
N
A
mT
I
L mSM 1
.1
.
.
1
.1
2
2
2
==






===
φ
. 
 
 A bobina de comprimento L da Fig. 19, constituída de N espiras 
circulares de raio R, gera o campo vetorial magnético 
→
B uniforme no seu 
interior. Esse campo magnético da bobina é dado por: 
knIB o ˆµ=
→
; 
L
N
n = . 
 
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43
 
 
Figura 19 − Bobina circular de raio R com o eixo de 
simetria na direção z. 
 
 O fluxo magnético Mφ das linhas de campo de 
→
B é dado por: 
 
( )( ) ( )∫∫ ∫ === →→ kkdSnNIkdSknINSdBN ooM ˆ.ˆˆ.ˆ. µµφ ; 
1ˆ.ˆ =kk ; 
nNISdSnNI ooM µµφ == ∫ ; 2RS pi= ; 
( )IRnNRnNI ooM 22 piµpiµφ == ; 
2RnNL oSM piµ= ; 
ILSMM =φ . 
 
 A potência e a energia magnética da bobina são obtidas utilizando a 
lei de Faraday: 
 
( )
dt
dIL
dt
ILd
dt
d
SM
SMM
−=−=−=
φ
ε . 
 
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44
( ) ( )
dt
ILd
dt
ILd
dt
ILd
I
dt
dIILIP
SM
SMSM
SMM






−
=−=−=−==
2
2 2
1
2
1
ε
 
2
2
1 ILU SMM −= ; dt
dUP MM = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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45
3a Lista de Exercícios 
 
1 − Um próton se move na direção y e tem vetor velocidade jxv ˆ105 6=
→
 m/s. 
Ele, então, penetra em uma região do espaço preenchido com linhas dos 
campos elétrico e magnético distribuídas uniformemente e constantes no 
tempo. Sabendo que esses campos são dados por jE ˆ100−=
→
 V/m e 
kB ˆ5,0−=
→
 T, encontre: 
(a) A força de Lorentz LorentzF
→
 sobre o próton. 
(b) O módulo da força de Lorentz, LorentzF . 
(c) O vetor aceleração →a do próton. 
Dados: 
→→→→
×+= BvqEqF Lorentz ; 
→→
= aMF R ; carga do próton: 1910602,1 −= xe C; 
massa do próton: 271067,1 −= xM p kg. 
 
2 −Três cargas elétricas puntiformes de valores Q1 = + 2µC, Q2 = + 4µC e Q3 
= + 4µC estão localizadas no plano yz nos pontos (0,0,4), (0,2,0) e (0,-2,0), 
respectivamente. Calcular: 
(a) O potencial elétrico devido ao campo elétrico resultante RE
r
 no ponto 
(0,0,0). 
(b) A energia potencial elétrica de uma carga q = 10 µC colocada no ponto 
(0,0,0). 
(c) A energia potencial elétrica da distribuição de cargas. 
Dados: ( ) ∑
=
=
3
1i i
i
r
QKrV ; ( ) ∑
=
=
3
1i i
i
r
QKqrU ; ∑∑
−
==
1
12
N
i ij
i
N
j
j
r
QKQ , com N = 3. 
 
 
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46
3 − Um corpo material de massa M com carregamento elétrico + Q, gera no 
espaço um campo vetorial elétrico 
( ) iRx
QxKE ˆ
2
3
22 +
=
→
. Encontrar a tensão 
elétrica ( ) ( )xVVV −= 0 sobre o eixo dos x devido a esse campo vetorial 
elétrico. 
Dados: ( ) ( ) ∫∫ −=−=−=∆ →→
f
i
x
xC
if EdxrdExVxVV θcos. ; idxrd ˆ=
→
. 
Resposta: ( ) ( ) 






+
−=−=
22
110
RxR
QxVVV . 
4 − O campo vetorial elétrico sobre o eixo dos x gerado por uma pequena 
barra isolante de comprimento L = 20 cm com carregamento elétrico Q = + 
10 µC é dado por: ( ) jLyy
QKE ˆ
−
=
→
. Uma das extremidades da barra está em 
y = 0 e a outra em y = L, conforme mostrado na Fig. 20. Qual é a variação de 
energia potencial elétrica de uma carga q = 3 nC ao se deslocar desde y = 
60 cm até y = 40 cm? 
Dados: ( ) ( ) ∫−=−=−=∆ 4,06,0 cos6,04,0 θEdrqUUUUU if ; jdyrd ˆ=
r
. 
Resposta: U(0,4) – U(0,6) = 3,887x10-4 J. 
 
 
Figura 20 − Barra isolante com carregamento elétrico + 
Q. 
 
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47
 
5 − O capacitor de placas paralelas com A = 0,25 m2 de área de cada uma 
das placas condutoras planas tem separação entre as placas igual a d = 10 
µm. A tensão elétrica do capacitor varia de 5 V até 25 V. (a) Calcular o 
aumento na energia potencial elétrica do capacitor. (b) Calcular a carga 
elétrica armazenada no capacitor ao fim do processo de carregamento 
elétrico. 
Dados: 
C
Q
C
QCVCVU oo 222
1
2
1 2222
−=−= ; 
Respostas: (a) U = 6,63x10-5 J; Q = 5,469x10-6 C. 
6 − Um capacitor cilíndrico tem como condutor central um fio de 1,5 mm2 de 
área e como condutor externo um cilindro oco de raio R2 = 1 mm. Deseja-se 
obter a capacitância C = 9 nF com o arranjo. Encontre o comprimento do 
capacitor cilíndrico. 
Dados: 
1
2ln2
R
RK
LC = . 
Resposta: L = 59,88 m. 
 
7 − Mostram-se na Fig. 21 duas cargas puntiformes + Q e − Q sobre o eixo 
dos z, separadas de d = 1 mm. O arranjo de cargas elétricas puntiformes da 
Fig. 24 constitui o que se chama de dipolo elétrico. A tensão elétrica sobre o 
eixo dos z é dada por ( ) 2
2
2






−
=
d
z
QdKzV , para os pontos da região do 
espaço próxima do dipolo ( dr ≈ ), ou por ( ) 2z
QdKzV = , quando z >>d. 
Calcule o campo vetorial elétrico sobre o eixo z para as duas situações. 
 
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48
Dados: 
z
Vk
y
Vj
x
ViVE
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=∇−=
→→
ˆˆˆ
. 
Respostas: (a) 22
2
2
2ˆ














−
=
→
d
z
KQdzkE ; (b) 32ˆ z
KQdzkE =
→
 
 
 
 
Figura 21 − Dipolo elétrico com o seu eixo ao longo da 
direção z. 
 
8 − A tensão de operação de uma lâmpada de incandescência é de 12 V. As 
linhas do campo magnético 
→
B na região do espaço próxima da lâmpada de 
incandescência provocam uma variação de fluxo magnético na malha que 
liga os dois eletrodos da lâmpada dada por ktm −=φ . (a) Encontre o valor de 
k para fazer a lâmpada operar na tensão nominal. (b) Sabendo que a 
potência da lâmpada é de 3 W, encontre a corrente elétrica que circula na 
malha. 
Dados: 
dt
d Mφε −= ; IPM ε= . 
Respostas: (a) k = 12; (b) I = 0,25 A. 
 
 
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49
9 − O lado móvel da espira retangular mostrada na Fig. 22 se move com 
vetor velocidade de módulo v = 10 m/s. (a) Encontre a tensão induzida ε na 
malha se B = 0,03 T. (b) Sabendo que a resistência elétrica da malha é R = 
0,02 Ω, calcular a corrente elétrica induzida na malha. (c) Encontre a 
potência magnética PM. 
Dados: IPPRIBLv EM εεε ==== ;; . 
Respostas: (a) ε = 0,015 V; (b) I = 0,75 A; (c) PM = 1,125x10-2 W. 
 
 
Figura 22 − Malha retangular de lados L e C, numa 
região de campo magnético uniforme e constante, com 
o lado C se deslocando com uma velocidade v. 
 
10 − A metade inferior da área da espira circular da Fig. 23 é atravessada 
porlinhas do campo vetorial magnético uniforme e variando com o tempo 
dado por ( ) ( )ittB ˆ005,002,0 2+−=→ . Calcule: 
(a) o fluxo magnético Mφ através da área da espira circular. 
(b) A tensão induzida ε e o sentido de circulação da corrente elétrica 
induzida I. 
 
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50
Dados: 
dt
dRSBS MM
φ
εpiφ −==−= ;; 2 
Respostas: (a) φM = - 7,854x10-5 – 1,964x10-5t2; (b) ε = 3,927x10-5t. A 
corrente elétrica circula no sentido anti-horário de modo a se opor ao 
crescimento do módulo do campo vetorial magnético. 
 
 
Figura 23 – A espira circular mostrada encontra-se no 
campo vetorial magnético ( )tB→ . 
 
11 − A bobina de raio R = 5 cm tem enrolamento com N = 400 espiras e 
comprimento L = 0,5 m. A bobina é ligada a uma tensão elétrica de CA ( )tV , 
de valor eficaz V = 12 V. Através da bobina circula a corrente eficaz I = 20 
mA. Encontre: 
(a) A auto-indutância magnética SML da bobina. 
(b) A energia magnética eficaz MU da bobina. 
(c) A potência magnética MP da bobina, considerando ser de 50 Ω a 
resistência elétrica R do enrolamento. 
 
Dados: nNAL oSM µ= ; L
N
n = ; 2
2
1 ILU SMM = ; 
 
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51
( ) 222222 MME PRIPPVIP +=+== ; IPM ε= ; dt
d Mφε −= . 
Respostas: (a) 3,158x10-3 H; (b) 6,316x10-7 J; (c) PM = 0,1939 W. 
 
12 − Duas bobinas coaxiais de raios R1 = 2 cm e R2 = 3 cm e número de 
espiras N1 = 400 e N2 = 1600, respectivamente, são mostradas na Fig. 24. 
Suponha L1 = L2 = 20 cm. Encontre: 
(a) A auto-indutância smL da bobina interna. 
(b) A indutância mútua 12M das bobinas. 
 
Dados: 
2
2
211212
1
1111 ;;; L
N
nANnM
L
N
nANnL ooSM ==== µµ . 
Respostas: (a) LSM = 1,263x10-3 H; (b) M12 = 5,05x10-3 H. 
 
 
 
Figura 24 – O transformador de bobinas coaxiais 
mostrado possui o enrolamento externo de raio R2 e o 
enrolamento interno de raio R1.