AFR Notas de Aula 2005 1 Joaquim

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Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 1 
1. SINAIS E SISTEMAS 
 
1.1. SINAL 
Um sinal é uma abstração de qualquer quantidade mensurável que é função de 
uma ou mais variáveis independentes como tempo ou espaço. 
Exemplos: tensão som lousa 
 
1.2. “TAMANHO” DE UM SINAL 
Queremos um valor para quantificar o “tamanho” de um sinal. 
Como medir o “tamanho” de uma pessoa? 
Não é só a altura que caracteriza o tamanho de uma pessoa, precisamos 
também da largura. Com a altura e a largura podemos calcular o volume de 
uma pessoa e aí podemos ter uma idéia do “tamanho” dela por um único valor. 
Como medir o tamanho de um sinal? 
Não basta a amplitude, precisamos também da duração dele. 
 
1.2.1. ENERGIA DE UM SINAL 
Podemos considerar a área abaixo de um sinal )(tf como sendo uma medida 
do seu tamanho. 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 2 
Qual é o problema com esta solução? As áreas positivas podem ser canceladas 
pelas áreas negativas. 
Solução: utilizar a área sob o sinal de )(tf ao quadrado. 
 
fE → ENERGIA DO SINAL )(tf 
 
Para um sinal real: 
∫+∞∞−= dttfE f )(2 
 
Para um sinal complexo: 
 ∫+∞∞−= dttfE f 2|)(| 
 
1.2.2. POTÊNCIA DE UM SINAL 
Qual é o problema com a medida de energia de um sinal? 
Esta medida pode ser infinita se a amplitude do sinal NÃO tender a zero 
quando o tempo tende a mais ou menos infinito. 
Nestes casos, uma medida mais significativa é a média temporal da energia, se 
esta existir. 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 3 
fP → POTÊNCIA DO SINAL )(tf 
 
Para um sinal real: 
∫+−∞→= 2
2
2 )(1lim
T
TTf
dttf
T
P 
 
Para um sinal complexo: 
 ∫+−∞→= 2
2
2|)(|1lim
T
TTf
dttf
T
P 
 
O que é fP ? 
É a média temporal do quadrado da amplitude do sinal. 
O que é RMS? 
ROOT MEAN SQUARE 
Ou seja, a raiz de fP é o valor RMS de )(tf . 
 
1.2.3. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 
Existem casos que nem a energia do sinal e nem a potência do sinal são 
aplicáveis. 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 4 
Exemplo: um sinal tipo rampa. 
A energia do sinal ( fE ) não indica a verdadeira energia do sinal, pois esta 
depende não somente do sinal, mas também da carga a qual o sinal está sendo 
aplicado. 
Por isso, cuidado com as unidades de fE e fP . Elas NÃO são J (joule) e W 
(watt). 
 
1.3. CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 
Os sinais podem ser classificados de diversas formas, iremos considerar a 
seguinte classificação: 
A. Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto; 
B. Sinais Analógicos e Digitais; 
C. Sinais Reais e Complexos; 
D. Sinais Determinísticos e Probabilísticos; 
E. Sinais Pares e Ímpares; 
F. Sinais Periódicos e Não-Periódicos; 
G. Sinais de Energia e de Potência. 
 
1.3.1. SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DE TEMPO DISCRETO 
Um sinal )(tx é um sinal de tempo contínuo se t é uma variável contínua. 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 5 
Se t é uma variável discreta, ou seja, )(tx é definido em pontos discretos, 
então )(tx é um sinal de tempo discreto. 
Como um sinal de tempo discreto é definido em instantes discretos, um sinal 
de tempo discreto é geralmente identificado por uma seqüência de números, 
denotado por ][nx onde n é um inteiro. 
 
Notação: não existe um padrão. Oppenheim et al. (1997) utilizam )(tx para 
um sinal de tempo contínuo e ][nx para um sinal de tempo discreto. 
 
Vamos trabalhar, na maior parte deste curso, com sinais de tempo contínuo. 
Sinais de tempo discreto serão abordados quando falarmos em amostragem. 
 
1.3.2. SINAIS ANALÓGICOS E DIGITAIS 
Se um sinal de tempo contínuo )(tx pode assumir qualquer valor em um 
intervalo contínuo ]b,a[ , então o sinal de tempo contínuo )(tx é chamado 
de sinal analógico. 
Se um sinal de tempo discreto ][nx pode assumir somente um número finito 
de valores distintos, então esse sinal é chamado de sinal digital. 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 6 
1.3.3. SINAIS REAIS E COMPLEXOS 
Um sinal complexo geral )(tx é uma função da forma: 
)()()( 21 txjtxtx ⋅+= 
onde )(1 tx e )(2 tx são sinais reais. 
 
1.3.4. SINAIS DETERMINÍSTICOS E PROBABILÍSTICOS 
Sinais determinísticos são aqueles cujos valores são completamente 
especificados em um dado instante. 
Então, um sinal determinístico pode ser modelado por uma função conhecida 
no tempo t . 
Sinais probabilísticos ou estocásticos são aqueles que assumem valores 
aleatórios em um dados instante e devem ser caracterizados estatisticamente. 
 
1.3.5. SINAIS PARES E ÍMPARES 
Um sinal é chamado PAR (ou apresenta simetria par) se: 
 )()( txtx parpar −= 
Um sinal é chamado ÍMPAR (ou apresenta simetria ímpar) se: 
)()( txtx ímparímpar −−= 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 7 
1.3.6. SINAIS PERIÓDICOS E NÃO-PERIÓDICOS 
Um sinal de tempo contínuo )(tx é dito periódico com período T se existe 
um valor positivo não-nulo de T tal que: 
 
)()( Ttxtx += para todo t 
 
O período fundamental 0T de )(tx é o menor valor positivo de T para qual 
a equação acima continua valendo. 
Para um sinal constante )(tx , o período fundamental é indefinido, já que 
)(tx é periódico para qualquer escolha de T (e por isso não há um menor 
valor positivo). 
Qualquer sinal de tempo contínuo que não é periódico é chamado de sinal 
não-periódico. 
 
Observação: na literatura estrangeira existe o termo “quasi-periodic” usado 
para sinais não-periódicos que podem ser aproximados por periódicos. 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 8 
1.3.7. SINAIS DE ENERGIA E DE POTÊNCIA 
)(tx é considerado um SINAL DE ENERGIA se e somente se: 
∞<< xE0 
e logo 0=xP . 
)(tx é considerado um sinal de POTÊNCIA se e somente se: 
∞<< xP0 
implicando em ∞=xE . 
 
1.4. OPERAÇÕES BÁSICAS COM SINAIS 
1.4.1. ESCALONAMENTO EM AMPLITUDE 
O escalonamento em amplitude de )(tx por C ocorre quando todos os 
valores do sinal )(tx são multiplicados por C para gerar: 
 )(txC ⋅ 
 
1.4.2. DESLOCAMENTO EM AMPLITUDE 
Um deslocamento em amplitude adiciona uma constante K a )(tx em todos 
os lugares (mesmo onde o sinal é nulo) para formar: 
 )(txK + 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 9 
1.4.3. DESLOCAMENTO NO TEMPO 
Um deslocamento no tempo move um sinal )(tx no tempo sem mudar seu 
formato. 
Considere o sinal )()( α−= txty . 
O valor de )(ty em α=t corresponde ao valor de )(tx em 0=t . 
Em outras palavras, se 0>α , o sinal )(ty é uma réplica atrasada 
(deslocada à direita por α ) de )(tx . 
De forma similar, se 0>α , o sinal )()( α+= txtf é uma réplica 
avançada (deslocada à esquerda por α ) de )(tx . 
 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 10 
1.4.4. ESCALONAMENTO NO TEMPO 
Um escalonamento no tempo aumenta ou diminui a velocidade do sinal, 
resultando em compressão ou expansão do sinal. 
O sinal 

=
2
)( txtg descreve uma expansão de 2 vezes do sinal )(tx , já 
que t é diminuído para 2
t
. 
De forma similar, o sinal ( )txtg ⋅= 3)( descreve uma compressão de 3 
vezes do sinal )(tx , já que t é aumentado para t⋅3 . 
Para esboçar ( )txty ⋅= α)( , comprime-se ( 1>α ) ou expande-se 
( 10 <<α ) o sinal ( )tx por α . 
Isto é equivalente a esboçar o sinal ( )tx em uma nova base de tempo nt em 
posições dadas por ntt ⋅= α ou α
ttn = . 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 11 
 
 
1.4.5. INVERSÃO TEMPORAL OU REFLEXÃO 
Inversão temporal, reflexão ou “dobramento” é apenas uma operação de 
escalonamento no tempo com 1−=α . 
Esta operação cria um sinal )( tx − como uma imagemrefletida de )(tx em 
relação ao eixo vertical que passa pela origem 0=t . 
 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 12 
1.4.6. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
Note que o deslocamento no tempo ou a inversão temporal de um sinal )(tx 
não irá modificar sua área ou energia, mas a operação de escalonamento 
temporal de )(tx para )( tx ⋅α irá reduzir tanto a sua área como a sua 
energia por ||α . 
 
1.4.7. COMBINAÇÃO DE OPERAÇÕES 
O sinal )()( βα −⋅= txty pode ser gerado a partir de )(tx esboçando 
)(tx em uma nova base de tempo nt onde βα −⋅= ntt . 
Pode-se, também, utilizar as operações de deslocamento e escalonamento 
sucessivamente. 
Por exemplo, pode-se gerar o sinal )62( −⋅ tx a partir de )(tx de duas 
formas: 
• )(tx → atraso de 6 (deslocamento à direita) → )6( −tx → 
compressão por 2 → )62( −⋅ tx 
• )(tx → compressão por 2 → )2( tx ⋅ → atraso de 3 (deslocamento 
à direita) → )62( −⋅ tx 
Na segunda maneira, note que após a compressão a transformação 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 13 
))3(2()62()2( −⋅=−⋅⇒⋅ txtxtx 
implica em um atraso de somente 3 (e não 6) unidade (porque o sinal )2( tx ⋅ 
já está comprimido). 
Em ambos os casos, utilize, como um teste de consistência para o esboço, o 
fato de que posições na nova base tempo nt são obtidas a partir de 
62 −⋅= ntt . 
 
1.5. SIMETRIA DE SINAIS 
Se um sinal é idêntico a sua versão invertida no tempo, com 
 )()( txtx parpar −= , 
ele apresenta simetria par. 
Se um sinal e sua versão invertida no tempo diferem somente no sinal, com 
 )()( txtx ímparímpar −−= 
ele apresenta simetria ímpar. 
Qualquer sinal )(tx pode ser expresso como uma soma de dois sinais, um 
par e outro ímpar. Ou seja: 
)()()( txtxtx ímparpar += 
onde: 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 14 
{ })()(
2
1)( txtxtxpar −+⋅= 
{ })()(
2
1)( txtxtxímpar −−⋅= 
 
1.5.1. SIMETRIA DE MEIA-ONDA 
Simetria de meia-onda é definida somente para sinais periódicos. 
Se o valor de um sinal periódico )(tx p (com período T) em α=t e em 
Tt ⋅±= 5,0α , meio período distante, difere apenas no sinal, )(tx p é 
chamado de um sinal simétrico de meia-onda (ou apresenta simetria de meia-
onda). 
Sinais simétricos de meia-onda sempre apresentam dois meio-ciclos em um 
período, sendo cada meio-ciclo uma réplica invertida do outro e com a área do 
período sendo igual a zero. 
 
1.6. FUNÇÃO COSSENOIDAL (SENOIDAL) 
Um sinal senoidal contínuo pode ser expresso como: 
 )cos()( 0 θω +⋅⋅= tAtx 
onde: 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 15 
 A → amplitude (real) 
 0ω → freqüência angular em radianos por segundo 
 θ → fase em radianos 
Período fundamental 0T : 
 
0
0
2
ω
π⋅=T (s) 
Freqüência fundamental 0f : 
 
0
0
1
T
f = (Hz) 
Freqüência angular fundamental 0ω : 
 00 2 f⋅⋅= πω (rad/s) 
Utilizando a fórmula de Euler, temos: 
 
( )[ ]θωθω +⋅⋅⋅=+⋅⋅ tjeAtA 0Re)cos( 0 
 
( )[ ]θωθω +⋅⋅⋅=+⋅⋅ tjeAtsenA 0Im)( 0 
 
1.7. FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPLEXA 
A função exponencial complexa: 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 16 
 
tjeAtx ⋅⋅⋅= 0)( ω 
é um importante exemplo de sinal complexo. 
Utilizando a fórmula de Euler, este sinal pode ser definido como: 
 )()cos()( 000 tsenAjtAeAtx
tj ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅= ⋅⋅ ωωω 
Então, )(tx é um sinal complexo cuja parte real é )cos( 0 tA ⋅⋅ ω e a parte 
imaginária é )( 0 tsenA ⋅⋅ ω . 
Uma importante propriedade do sinal exponencial complexo contínuo )(tx é 
que ele é sempre periódico e único para qualquer escolha de período ou 
freqüência (em contraste com sinais exponenciais complexos digitais). 
O período fundamental 0T é dado por: 
0
0
2
ω
π⋅=T (s) 
 
1.7.1. FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPLEXA GERAL 
Seja ωσ ⋅+= js um número complexo. 
Define-se )(tx como: 
 
( ) [ ])()cos()( tsenjteeetx ttjts ⋅⋅+⋅⋅=== ⋅⋅⋅+⋅ ωωσωσ 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 17 
O sinal )(tx é conhecido como sinal exponencial complexo geral cuja parte 
real )cos( te t ⋅⋅⋅ ωσ e a parte imaginária é )( tsene t ⋅⋅⋅ ωσ são sinais 
senoidais exponencialmente crescentes ( 0>σ ) ou decrescentes ( 0<σ ). 
 
 
1.8. SINAL DEGRAU UNITÁRIO 
A função degrau unitário )(tu é definida como: 


>
<=
01
00
)(
t
t
tu 
Note que esta função é descontínua em 0=t e que o valor em 0=t é 
indefinido. 
O sinal )( tu −α descreve um degrau à esquerda que é zero após α=t . 
 
1.9. SINAL RAMPA UNITÁRIA 
A função rampa unitária )(tr é definida como: 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 18 
 

>
<=⋅=
0
00
)()(
tt
t
tuttr 
 
1.10. FUNÇÃO SINAL 
A função sinal )sgn(t é definida como: 
 

>
<−=
01
01
)sgn(
t
t
t 
 
1.11. FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO 
A função impulso unitário )(tδ , também conhecida como função delta de 
Dirac, exerce um papel central na análise de sistemas. 
Tradicionalmente, )(tδ é geralmente definido como o limite de uma função 
devidamente escolhida que apresenta área unitária sobre um intervalo 
infinitesimal de tempo. 
 00)( ≠= ttδ 1)( =∫
∞
∞−
ττδ d 
 
 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 19 
1.11.1. MULTIPLICAÇÃO DE UMA FUNÇÃO POR UM IMPULSO 
Considere agora o que acontece quando multiplica-se o impulso unitário 
)(tδ por uma função )(tf que seja contínua em 0=t . 
Como o impulso existe somente em 0=t e o valor de )(tf em 0=t é 
)0(f , obtém-se: 
)()0()()( tfttf δδ ⋅=⋅ 
De forma similar, se )(tf é multiplicado por um impulso deslocado 
)( Tt −δ (impulso localizado em Tt = ), então: 
 )()()()( TtTfTttf −⋅=−⋅ δδ 
desde que )(tf seja contínuo em Tt = . 
 
1.11.2. PROPRIEDADE DA AMOSTRAGEM DA FUNÇÃO IMPULSO 
UNITÁRIO 
Como: 
 )()0()()( tfttf δδ ⋅=⋅ 
segue que: 
 )0()()0()()( fdttfdtttf =⋅=⋅ ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
δδ 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 20 
desde que )(tf seja contínuo em 0=t . 
Este resultado significa que a área sob o produto de uma função )(tf por um 
impulso )(tδ é igual ao valor da função no instante em que o impulso 
unitário se localiza. 
Esta propriedade é muito importante e útil, sendo conhecida como propriedade 
da amostragem do impulso unitário. 
Assim, como: 
 )()()()( TtTfTttf −⋅=−⋅ δδ 
segue que: 
 )()()()()( TfdtTtTfdtTttf =−⋅=−⋅ ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
δδ 
desde que )(tf seja contínuo em Tt = . 
 
1.11.3. DEFINIÇÃO GENERALIZADA DE )(tδ 
A função impulso unitário )(tδ é a derivada da função degrau 
 dt
tdut )()( =δ 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 21 
dtttu
t∫
∞−
= )()( δ 
 
1.11.4. DERIVADAS DE SINAIS COM MUDANÇAS ABRUPTAS 
Como um sinal com mudanças abruptas pode ser descrito por funções degrau, 
a derivada de tais sinais deve conter impulsos. 
Por exemplo, a derivada de: 
)()()( α−⋅−⋅= tuBtuAtx 
é dada por: 
 )()()(' αδδ −⋅−⋅= tBtAtx 
Isto descreve dois impulsos cujas amplitudes A e B− correspondem às 
mudanças abruptas (para cima e para baixo) em 0=t e α=t . 
De forma geral, a derivada em uma descontinuidade resulta em um impulso 
cuja amplitude é igual ao tamanho da descontinuidade. 
 
1.12. SISTEMAS 
Em geral, um sistema é uma abstração de algo que recolhe um sinal de 
entrada, opera sobre ele e produz um sinal de saída. 
Em outras palavras, um sistema estabelece uma relação entre suas entradas e 
suas saídas. 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 22 
Um sistema pode consistir de componentes físicos (realização por hardware) 
ou pode consistir de um algoritmo que irá operar computacionalmente o sinal 
de entrada dando origem ao sinal de saída (realização por software).1.12.1. CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS 
A. Lineares e não-lineares; 
B. Parâmetros constantes e parâmetros variantes no tempo; 
C. Com e sem memória; 
D. Causais e não-causais; 
E. Parâmetros concentrados e parâmetros distribuídos; 
F. Tempo contínuo e tempo discreto; 
G. Analógicos e digitais. 
 
 23 
2. SÉRIE DE FOURIER 
 
2.1. ANALOGIA ENTRE SINAIS E VETORES 
Um vetor pode ser representado como a soma de seus componentes de 
diversas formas (dependendo da escolha do sistema de coordenadas). 
Um sinal também pode ser representado como a soma de seus componentes. 
Logo, há uma perfeita analogia: 
 VETOR ↔ SINAL 
 
2.1.1. VETORES 
 
 Magnitude: || f
r
 e || x
r
 
 Direção 
 Sentido 
 
 
 24 
2.1.1.1. PRODUTO ESCALAR 
θcos|||| ⋅⋅=⋅ xfxf rrrr 
onde 
 
 
2||0cos|||| xxxxx o rrrrr =⋅⋅=⋅ 
 
2.1.1.2. COMPONENTES DE UM VETOR 
 
 11 excf
rrr +⋅= 
 25 
 22 excf
rrr +⋅= 
 
A componente do vetor f
r
 em relação ao vetor x
r
 será a projeção do vetor 
f
r
 em x
r
. 
 
 excf
rrr +⋅= 
Esta escolha minimiza o vetor de erro e
r
. 
 
Como calcular c ? 
θcos|||| ⋅=⋅ fxc rr 
xfxfxxc r
rrrrr ⋅=⋅⋅=⋅⋅ θcos|||||||| 
 26 
xx
xf
x
xfc rr
rr
r
rr
⋅
⋅=⋅= 2|| 
Se f
r
 e x
r
 forem perpendiculares (ou ortogonais), f
r
 não apresentará 
componente em relação ao vetor x
r
. 
Dois vetores serão ortogonais se o produto escalar entre eles for nulo. 
 
2.1.2. COMPONENTE DE UM SINAL REAL 
Sejam dois sinais reais )(tf e )(tx . 
Vamos aproximar )(tf em termos de )(tx em um certo intervalo 
( 21 ttt ≤≤ ): 
 )()( txctf ⋅≅ )( 21 ttt ≤≤ 

 ≤≤⋅−=
...0
)()(
)( 21
vdp
ttttxctf
te 
Qual é o valor de c para a melhor aproximação? 
Critério para melhor aproximação: minimizar a energia do sinal )(te . 
dtteE
t
t
e ∫= 2
1
)(2 
 27 
[ ] dttxctfE t
t
e ∫ ⋅−= 2
1
2)()( 
Para calcular c que irá minimizar eE : 
 0=dc
dEe
 
ou seja: 
 [ ] 0)()(
2
1
2 =




 ⋅−∫ dttxctfdcd
t
t
 
[ ] 0)()()(2)(2
1
222 =




 ⋅+⋅⋅⋅−∫ dttxctxctftfdcd
t
t
 
 
0)()()(2)(
2
1
2
1
2
1
222 =⋅+⋅⋅⋅− ∫∫∫ dttxcdcddttxctfdcddttfdcd
t
t
t
t
t
t
 
0)(2)()(2
2
1
2
1
2 =⋅⋅+⋅⋅− ∫∫ dttxcdttxtf
t
t
t
t
 
dttxtfdttxc
t
t
t
t
∫∫ ⋅⋅=⋅⋅ 2
1
2
1
)()(2)(2 2 
 28 
dttx
dttxtf
c t
t
t
t
∫
∫ ⋅
=
2
1
2
1
)(
)()(
2 
 
x
t
t
E
dttxtf
c
∫ ⋅
=
2
1
)()(
 
 
Por analogia com vetores, dizemos que )(tf tem uma componente )(txc ⋅ . 
Se 0=c , então )(tf não contém nenhuma componente do sinal )(tx e 
dizemos que os dois sinais são ortogonais no intervalo ),( 21 tt . 
Duas funções, )(1 tf e )(2 tf , são ortogonais no intervalo ),( 21 tt , se: 
 
0)()(
2
1
=⋅∫ dttxtf
t
t
 
 
 29 
2.1.3. COMPONENTE DE UM SINAL COMPLEXO 
Sejam )(tf e )(tx funções complexas da variável t : 
 )()( txctf ⋅≅ )( 21 ttt ≤≤ 

 ≤≤⋅−=
...0
)()(
)( 21
vdp
ttttxctf
te 
O valor de c para minimizar a energia do sinal )(te é: 
 
x
t
t
E
dttxtf
c
∫ ⋅
=
2
1
)()( *
 
)(* tx : complexo conjugado de )(tx . 
)(tf e )(tx são ortogonais em )( 21 ttt ≤≤ se: 
 0)()()()(
2
1
2
1
** =⋅=⋅ ∫∫ dttxtfdttxtf
t
t
t
t
 
 
2.1.4. ENERGIA DA SOMA DE SINAIS ORTOGONAIS 
Se os vetores x
r
 e y
r
 forem ortogonais e se: yxz
rrr += , então: 
222 yxz rrr += 
Temos um resultado similar para sinais: 
 30 
A energia da soma de dois sinais ortogonais é igual à soma das energias dos 
dois sinais. 
Então, se os sinais )(tx e )(ty são ortogonais sob um intervalo [ ]21,tt e 
se )()()( tytxtz += , então: 
 yxz EEE += 
 
2.2. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 
 
2.2.1. VETORES 
Como sabemos se um vetor é similar ao outro? 
Suponha dois vetores f
r
 e x
r
. 
Poderíamos utilizar o parâmetro c calculado nos itens anteriores para 
verificar a similaridade entre dois vetores. 
Ou seja, supondo: 
 xcf
rr ⋅≅ (ou fcx
rr ⋅≅ ) 
 xx
xfc rr
rr
⋅
⋅= (ou ff
fxc rr
rr
⋅
⋅= ) 
 31 
c poderia ser um parâmetro utilizado para verificar qual é o grau de 
similaridade entre os vetores f
r
 e x
r
. 
Entretanto, a similaridade não pode ser afetada pelo aumento da magnitude de 
um dos vetores. 
Como c é um parâmetro dependente da magnitude dos vetores, c não é um 
bom parâmetro para medir a similaridade. 
 
 
A similaridade entre dois vetores é indicada pelo ângulo θ entre eles. Quanto 
menor o valor de θ , maior é a similaridade (e vice-versa). 
O grau de similaridade entre dois vetores pode ser convenientemente medido 
por θcos . 
||||
cos
xf
xfcn rr
rr
⋅
⋅== θ 
correlação de ecoeficient⇒nc 
11 ≤≤− nc 
sentido mesmo no alinhados estão vetoresos1⇒=nc 
 32 
opostos sentidos com mas alinhados, estão vetoresos1⇒−=nc
nula é desimilarida a ,ortogonais são vetores0⇒=nc 
 
2.2.2. SINAIS REAIS 
Utilizamos os mesmos argumentos utilizados para os vetores para definir um 
índice de similaridade (coeficiente de correlação). 
Supondo dois sinais )(tf e )(tx . 
)()( txctf ⋅≅ (ou )()( tfctx ⋅≅ ) 
Não utilizamos o parâmetro c para verificar a similaridade entre os sinais 
porque a similaridade não pode ser afetada pelo aumento da energia de um dos 
sinais. 
O grau de similaridade entre dois sinais pode ser convenientemente medido se 
normalizássemos c em relação às energias dos sinais. 
Logo: 
dttxtf
EE
c
xf
n ∫∞
∞−
⋅⋅⋅= )()(
1
 
correlação de ecoeficient⇒nc 
11 ≤≤− nc 
Suponha que: 
 33 
 )()( txktf ⋅= onde k é uma constante. 
positivo é 1 kcn ⇒= 
negativo é 1 kcn ⇒−= 
Se os sinais forem ortogonais: 0=nc 
 
2.2.3. SINAIS COMPLEXOS 
Se )(tf e )(tx forem sinais complexos, o coeficiente de correlação é 
calculado da seguinte maneira: 
dttxtf
EE
c
xf
n ∫∞
∞−
⋅⋅⋅= )()(
1 *
 
onde )(* tx é o conjugado de )(tx . 
 
2.3. FUNÇÕES DE CORRELAÇÃO 
 
 34 
2.3.1. FUNÇÃO DE CORRELAÇÃO CRUZADA ENTRE DOIS SINAIS 
REAIS 
RADAR 
• Um sinal é transmitido com o intuito de detectar um alvo suspeito; 
• Se o alvo está presente, o sinal será refletido por ele; 
• Se o alvo não estiver presente, não haverá sinal refletido, somente 
ruído; 
• Detectando ou não a presença do sinal refletido, confirma-se a presença 
ou ausência do alvo; 
• Medindo-se o atraso entre o sinal transmitido e o recebido (refletido), 
determina-se a distância do alvo. 
• do transmitisinal )( →tg 
• refletido sinal )( →tf 
 
Se utilizarmos o coeficiente de correlação nc : 
dttgtf
EE
c
gf
n ∫∞
∞−
⋅⋅⋅= )()(
1
 
iremos obter .0=nc 
 35 
Isto acontece porque, apesar dos sinais serem similares, há um deslocamento 
no tempo entre eles. 
Para superar esta dificuldade, compara-se o sinal recebido )(tf com o sinal 
atrasado )(tg para vários valores de atraso. 
Se para algum valor de atraso houver uma correlação forte, detecta-se não 
somente a presença do pulso, mas detecta-se, também, o deslocamento 
temporal relativo de )(tf em relação a )(tg . 
Portanto, ao invés de utilizar-se o coeficiente de correlação ( nc ), utiliza-se a 
função de correlação cruzada dos sinais reais )(tf e )(tg : 
τττψ dtgftfg ∫+∞
∞−
−⋅= )()()( 
)( e )( entre cruzada correlação de função)( tgtftfg →ψ 
O sinal )( tg −τ é o sinal )(τg atrasado de t segundos em relação ao 
sinal )(τf . 
Logo, )(tfgψ é uma indicação de similaridade(correlação) do sinal f com 
o sinal g com atraso de t segundos. 
 
 36 
2.3.2. FUNÇÃO DE CORRELAÇÃO CRUZADA ENTRE DOIS SINAIS 
COMPLEXOS 
 
τττψ dtgftfg ∫+∞
∞−
−⋅= )()()( * 
onde: 
)(* tf e )(tg são sinais complexos; 
)(* tf é o conjugado de )(tf . 
 
2.3.2. FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO 
A correlação de um sinal com ele mesmo é chamada de autocorrelação: 
τττψ dtfftf ∫+∞
∞−
−⋅= )()()( 
)( de açãoautocorrel de função)( tftf →ψ 
 
2.4. ESPAÇO VETORIAL ORTOGONAL 
Suponha que queremos aproximar um vetor tridimensional f
r
 em termos de 
dois vetores mutuamente ortogonais 1x
r
 e 2x
r
. 
 37 
 2211 xcxcf
rrr ⋅+⋅≅ 
 
 
O erro na aproximação é: 
( )2211 xcxcfe rrrr ⋅+⋅−= 
11
1
1 xx
xfc rr
rr
⋅
⋅= 
22
2
2 xx
xfc rr
rr
⋅
⋅= 
Vamos agora aproximar o vetor f
r
 em termos de três vetores mutuamente 
ortogonais 1x
r
, 2x
r
 e 3x
r
. 
332211 xcxcxcf
rrrr ⋅+⋅+⋅≅ 
 
 38 
 
Observando a figura, tem-se que não existe um vetor e
r
, ou seja, o vetor f
r
 
pode ser totalmente decomposto nos vetores 1x
r
, 2x
r
 e 3x
r
. 
Assim: 
332211 xcxcxcf
rrrr ⋅+⋅+⋅= 
A razão para que não haja e
r
 é que f
r
 é um vetor tridimensional e 1x
r
, 2x
r
 e 
3x
r
 representam um CONJUNTO COMPLETO de vetores ortogonais no 
espaço tridimensional. 
O fato de o conjunto ser completo significa que é impossível achar outro vetor 
4x
r
 neste espaço que seja ortogonal em relação a todos os outros três vetores 
1x
r
, 2x
r
 e 3x
r
. 
 39 
Qualquer vetor neste espaço pode ser representado (com erro nulo) em termos 
dos três vetores 1x
r
, 2x
r
 e 3x
r
. 
Tais vetores são conhecidos como VETORES DE BASE. 
Se o conjunto de vetores { }ixr não for completo, o erro na aproximação será, 
geralmente, diferente de zero. 
A escolha dos vetores de base não é única. Um conjunto de vetores de base 
corresponde a uma escolha particular de sistema de coordenadas. 
 
2.5. ESPAÇO DE SINAIS ORTOGONAIS 
 
2.5.1. SINAIS REAIS 
Utilizando, mais uma vez, uma analogia com vetores (produto escalar), 
definimos que um conjunto de sinais )(1 tx , )(2 tx , ..., )(txN será 
ortogonal sob um intervalo ],[ 21 tt se: 


=
≠=⋅∫ nmE nmdttxtx n
t
t
nm
0
)()(
2
1
 
Se as energias nE forem iguais a 1 para todo n , então o conjunto de sinais é 
normalizado e é chamado de CONJUNTO ORTONORMAL. 
 40 
Um conjunto ortogonal pode sempre ser normalizado dividindo-se )(txn por 
nE para todo n . 
Considerando a aproximação de um sinal )(tf sob o intervalo ],[ 21 tt por 
um conjunto de N sinais reais mutuamente ortogonais )(1 tx , )(2 tx , ..., 
)(txN 
∑
=
⋅=⋅++⋅+⋅≅
N
n
nnNN txctxctxctxctf
1
2211 )()(...)()()( 
O erro )(te na aproximação é: 
 ∑= ⋅−=
N
n
nn txctfte
1
)()()( 
Utilizando o critério de minimizar eE , obtemos: 
N ..., 2, 1, n 
)(
)()(
2
1
2
1
2
=
⋅
=
∫
∫
dttx
dttxtf
c t
t
n
t
t
n
n
 
 N ..., 2, 1, n )()(
1 2
1
=⋅⋅= ∫ dttxtfEc
t
t
n
n
n 
 41 
Desta forma, a energia eE pode ser assim calculada: 
n
N
n
n
t
t
e EcdttfE ∑∫
=
⋅−=
1
22
2
1
)( 
Observe que a energia do erro eE geralmente diminui com o aumento de N 
(número de termos). Isto acontece porque o termo kk Ec ⋅2 é não negativo. 
Logo, é possível que 0→eE quando ∞→N . Quando isto ocorre, o 
conjunto de sinais ortogonais é dito COMPLETO. 
Neste caso, )(tf não é mais aproximado pelos sinais, temos, então, uma 
igualdade: 
212211 ...)(...)()()( ttttxctxctxctf nn ≤≤+⋅++⋅+⋅= 
21
1
)()( ttttxctf
n
nn ≤≤⋅= ∑∞
= 
∑∞
=
⋅
1
)(
n
nn txc é conhecida como SÉRIE GERAL DE FOURIER de )(tf 
em relação ao conjunto { })(txn . 
Quando o conjunto { })(txn é tal que a energia 0→eE quando ∞→N 
para todos os membros de uma classe particular, dizemos que o conjunto 
 42 
{ })(txn é COMPLETO em ],[ 21 tt para aquela classe de )(tf e o conjunto 
{ })(txn é dito um conjunto de FUNÇÕES DE BASE ou SINAIS de BASE. 
 
Pensando em termos de energia, tem-se: 
...)( 2
2
21
2
1
2
2
1
+⋅+⋅=∫ EcEcdttf
t
t
 
n
n
n
t
t
Ecdttf ∑∫ ∞
=
⋅=
1
22
2
1
)( TEOREMA DE PARSEVAL 
 
2.5.2. SINAIS COMPLEXOS 
Um conjunto de funções )(1 tx , )(2 tx , ..., )(txN é mutuamente ortogonal 
sob o intervalo ],[ 21 tt se: 


=
≠=⋅∫ nmE nmdttxtx n
t
t
nm
0
)()(
2
1
*
 
Se este conjunto for completo para uma certa classe de funções, então a 
função )(tf nesta classe pode ser expressa como: 
212211 ...)(...)()()( ttttxctxctxctf nn ≤≤+⋅++⋅+⋅= 
 43 
21
1
)()( ttttxctf
n
nn ≤≤⋅= ∑∞
= 
onde: 
dttxtf
E
c
t
t
n
n
n ∫ ⋅⋅= 2
1
)()(1 * 
 
2.5.3. ALGUNS EXEMPLOS DE SÉRIES GERAIS DE FOURIER 
Existe um grande número de conjuntos de sinais ortogonais que podem ser 
usados como sinais de base para séries gerais de Fourier. 
Alguns exemplos: 
• funções trigonométricas; 
• funções exponenciais; 
• funções de Walsh; 
• funções de Bessel; 
• funções de Laguerre; 
• polinômios de Legendre; 
• polinômios de Jacobi; 
• polinômios de Hermite; 
• polinômios de Chebyshev. 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 44 
2.6. SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER 
O conjunto de sinais: 
{1, ( )t⋅0cos ω , ( )t⋅⋅ 02cos ω , ..., ( )tn ⋅⋅ 0cos ω , …; 
( )tsen ⋅0ω , ( )tsen ⋅⋅ 02 ω , …, ( )tnsen ⋅⋅ 0ω , …} 
é chamado de conjunto trigonométrico. 
Neste conjunto, usamos a seguinte terminologia: 
→0ω freqüência fundamental 
Uma senóide de freqüência 0ω⋅n é chamada de n-ésima harmônica da 
senóide de freqüência 0ω )( Zn∈ . 
O termo constante 1 é a 0-ésima harmônica: 
 ( ) →=⋅⋅ 10cos 0 tω componente D.C. 
O conjunto trigonométrico é completo em qualquer intervalo de duração 
0
0
2
ω
π⋅=T . 
Logo, pode-se expressar um sinal )(tf por uma série trigonométrica de 
Fourier sob qualquer intervalo de duração 0T segundos. 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 45 
...)2()(
...)2cos()cos()(
0201
02010
+⋅⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅⋅+⋅⋅+=
tsenbtsenb
tataatf
ωω
ωω
 
 011 Tttt +≤≤ 
ou 
 
)()cos()( 0
1
00 tnsenbtnaatf n
n
n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+= ∑∞
=
ωω 
011 Tttt +≤≤ 
onde: 
0
0
2
T
πω ⋅= 
A expressão acima é denominada SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE 
FOURIER. 
Os coeficientes de Fourier 0a , na e nb são calculados da mesma maneira 
apresentada para a série geral de Fourier, ou seja: 
... 1, 0, n 
)(cos
)cos()(
01
1
01
1
0
2
0
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=
∫
∫
+
+
dttn
dttntf
a Tt
t
Tt
t
n
ω
ω
 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 46 
2,... 1, n 
)(
)()(
01
1
01
1
0
2
0
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=
∫
∫
+
+
dttnsen
dttnsentf
b Tt
t
Tt
t
n
ω
ω
 
 
Como: 
2
)()(cos 00
2
0
2
01
1
01
1
Tdttnsendttn
Tt
t
Tt
t
=⋅⋅=⋅⋅ ∫∫
++
ωω 
tem-se: 
dttf
T
a
Tt
t
∫
+
⋅=
01
1
)(1
0
0 
3,... 2, 1, n )cos()(2
01
1
0
0
=⋅⋅⋅⋅= ∫
+
dttntf
T
a
Tt
t
n ω 
3,... 2, 1, n )()(2
01
1
0
0
=⋅⋅⋅⋅= ∫
+
dttnsentf
T
b
Tt
t
n ω 
 
2.6.1. SÉRIE TRIGONOMÉTRICA COMPACTA DE FOURIER 
Pode-se obter uma Série Trigonométrica Compacta de Fourier 
utilizando a seguinte identidade trigonométrica: 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 47 
)cos()()cos( 000 nnnn tnCtnsenbtnaθωωω +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
onde: 
3,... 2, 1, n 22 =+= nnn baC 
3,... 2, 1, n 
a
b-
n
n1 =


= −tgnθ 
Desta forma, a Série Trigonométrica Compacta de Fourier é a 
seguinte: 
∑∞
=
+⋅⋅⋅+=
1
00 )cos()(
n
nn tnCCtf θω 
011 Tttt +≤≤ 
onde: 
00 a=C 
3,... 2, 1, n 22 =+= nnn baC 
3,... 2, 1, n 
a
b-
n
n1 =


= −tgnθ 
A SÉRIE TRIGONOMÉTRICA COMPACTA DE FOURIER é também 
denominada SÉRIE POLAR DE FOURIER. 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 48 
2.6.2. PERIODICIDADE DA SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE 
FOURIER 
Demonstrou-se que um sinal arbitrário )(tf pode ser expresso como 
uma série trigonométrica de Fourier em qualquer intervalo de 0T segundos. 
Ou seja, um sinal )(tf arbitrário pode ser descrito por uma série 
trigonométrica de Fourier em um intervalo qualquer 011 Tttt +≤≤ . 
Como se comporta a série trigonométrica de Fourier fora deste intervalo 
011 Tttt +≤≤ ? 
 
A SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER, )(tϕ , é uma função 
periódica de período 0T , pois: 
∑∞
=
+⋅⋅⋅+=
1
00 )cos()(
n
nn tnCCt θωϕ para todo t 
e 
( )[ ]∑∞
=
++⋅⋅⋅+=+
1
0000 cos)(
n
nn TtnCCTt θωϕ 
0
0
2
ω
π⋅=T
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 49 
( )[ ]∑∞
=
+⋅⋅+⋅⋅⋅+=+
1
000 2cos)(
n
nn ntnCCTt θπωϕ 
[ ]∑∞
=
+⋅⋅⋅+=+
1
000 cos)(
n
nn tnCCTt θωϕ 
)()( 0 tTt ϕϕ =+ para todo t 
 
Assim, se a função )(tf periódica for periódica de período 0T , então a 
série de Fourier representando )(tf periódica sob um intervalo 0T irá também 
representar )(tf periódica para todo t (não somente para o intervalo 0T ). 
)()cos()( 0
1
00 tnsenbtnaatf n
n
nperiódica ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+= ∑∞
=
ωω 
para todo t desde que )(tf periódica seja periódica com período igual a 
0Tk ⋅ onde *+∈Zk . 
 
2.6.3. CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER 
Para que a série de Fourier para um sinal )(tf exista, o sinal )(tf 
deve respeitar as seguintes condições: 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 50 
1. ∞<∫
+
dttf
Tt
t
01
1
)( 
2. O sinal )(tf deve ter um número finito de máximos e mínimos 
em um intervalo 0T qualquer. 
3. O sinal )(tf deve ter somente um número finito de 
descontinuidades em um intervalo 0T qualquer. 
Estas condições são chamadas de condições de Dirichlet e são suficientes, mas 
não necessárias para a existência da série de Fourier do sinal )(tf . 
 
2.6.4. SIMPLIFICAÇÕES ATRAVÉS DA SIMETRIA DO SINAL 
A série de Fourier de um sinal periódico )(tf periodica , que não apresenta 
simetria, contém tanto componentes ímpares (senos) como componentes pares 
(dc e cossenos). 
)()cos()( 0
1
00 tnsenbtnaatf n
n
nperiódica ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+= ∑∞
=
ωω 
para todo t 
Se )(tf periodica apresenta simetria PAR, este sinal deve ser composto apenas 
pelos termos simétricos PARES (dc e cossenos). Então, 0=kb 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 51 
∑∞
=
⋅⋅⋅+=
1
00 )cos()(
n
npar tnaatf ω 
0
0
2
T
πω ⋅= 
Se )(tf periodica apresenta simetria ÍMPAR, este sinal deve ser composto 
apenas pelos termos simétricos ÍMPARES (senos). Então, 00 == kaa 
∑∞
=
⋅⋅⋅=
1
0 )()(
n
nímpar tnsenbtf ω 
0
0
2
T
πω ⋅= 
Se )(tf periodica apresenta simetria de MEIA-ONDA, este sinal deve ser 
composto apenas pelos termos simétricos de MEIA-ONDA. Somente 
harmônicas ímpares ( ,...5,3, 000 ωωω ⋅⋅ ) apresentam simetria de MEIA 
ONDA. Então, 00 === kk baa para k PAR. 
 
O cálculo dos coeficientes não-nulos para um sinal simétrico pode ser bastante 
simplificado se forem utilizados os limites simétricos 

−
2
,
2
00 TT
 no 
cálculo das integrais e se forem levados em consideração os efeitos da 
simetria. 
Se )(tf par apresenta simetria PAR, )cos()( 0 tktf par ⋅⋅⋅ ω também irá 
apresentar simetria PAR. Para calcular ka para um sinal de simetria PAR, 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 52 
pode-se integrar )cos()( 0 tktf par ⋅⋅⋅ ω somente sobre 


2
,0 0T e 
multiplicar o resultado por 
0
4
T . Assim: 
3,... 2, 1, n )cos()(4
2
0
0
0
0
=⋅⋅⋅⋅= ∫ dttntfTa
T
parn ω
e 
dttf
T
a
T
par∫⋅= 2
00
0
0
)(2 
Se )(tfímpar apresenta simetria ÍMPAR, )()( 0 tksentfímpar ⋅⋅⋅ ω 
também irá apresentar simetria ÍMPAR. Para calcular kb para um sinal de 
simetria ÍMPAR, pode-se integrar )()( 0 tksentfímpar ⋅⋅⋅ ω somente sobre 



2
,0 0T e multiplicar o resultado por 
0
4
T . Assim: 
3,... 2, 1, n )()(4
2
0
0
0
0
=⋅⋅⋅⋅= ∫ dttnsentfTb
T
ímparn ω
 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 53 
2.6.4.1. REMOÇÃO DE COMPONENTE DC PODE REVELAR 
SIMETRIA “ESCONDIDA” 
A adição de um nível dc a um sinal periódico irá modificar somente seu 
coeficiente dc ( 0a e 0C ) e todos os outros coeficientes da série de Fourier 
irão permanecer os mesmos. 
Deve-se, portanto, sempre verificar a possível existência de simetria 
“escondida” em um sinal periódico retirando seu nível dc. Esta verificação se 
faz importante, pois, como já foi visto, a simetria simplifica os cálculos dos 
coeficientes. 
Caso a simetria “escondida” seja verificada, deve-se calcular o coeficiente dc 
utilizando o sinal original. Os demais coeficientes podem ser calculados 
utilizando o sinal simétrico obtido (usando as simplificações devido à 
simetria) ou o sinal original (sem usar as simplificações devido à simetria). 
 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 54 
2.6.5. COMO DETERMINAR A FREQÜÊNCIA FUNDAMENTAL E O 
PERÍODO 
Uma soma de senóides constitui um sinal periódico? 
Não necessariamente. 
Uma soma de senóides constitui um sinal periódico quando a razão entre cada 
par de freqüências individuais for uma fração racional. 
Exemplos: 


 +⋅⋅+

 +⋅⋅+

 +⋅⋅+= 3211 6
7cos5
3
2cos3
2
1cos72)( θθθ ttttf
 Como as razões entre as freqüências de )(1 tf são 4
3
 e 7
4
 (o nível dc não é 
considerado), o sinal )(1 tf é periódico e suas senóides são 
HARMONICAMENTE relacionadas. 
 
( ) ( )212 52cos2)( θπθ +⋅⋅++⋅⋅= tsenttf 
Como a razão entre as freqüências de )(2 tf é π
2
, o sinal )(2 tf não é 
periódico. 
O Período Comum ou Período Fundamental 0T de uma soma periódica de 
senóides é o menor intervalo de tempo no qual cada senóide completa um 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 55 
número inteiro de ciclos. 0T é dado pelo mínimo múltiplo comum (MMC) 
dos períodos individuais. 
A FREQÜÊNCIA FUNDAMENTAL 0f é o recíproco de 0T e é dada pelo 
maior divisor comum (MDC) das freqüências individuais. 
As freqüências presentes em uma soma periódica de senóides são 
HARMÔNICAS da freqüência fundamental 0f . 
 
2.7. SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER 
O conjunto de sinais 
... 2, 1, 0, n 0 ±±=⋅⋅⋅ tnje ω 
é completo em qualquer intervalo de duração 
0
0
2
ω
π⋅=T . 
Logo, pode-se expressar um sinal )(tf por uma SÉRIE EXPONENCIAL 
DE FOURIER sob qualquer intervalo de duração 0T segundos. 
 
∑+∞
−∞=
⋅⋅⋅⋅=
n
tnj
n eDtf 0)(
ω
 011 Tttt +≤≤ 
onde: 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 56 
dtetf
T
D
Tt
t
tnj
n ∫
+
⋅⋅⋅−⋅⋅=
01
1
0)(1
0
ω
 
 
A SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER é basicamente outra forma da 
SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER 
Cada senóide de freqüência ω pode ser expressa como uma soma de duas 
exponenciais 
tje ⋅⋅ω e tje ⋅⋅− ω . Isto faz com que a SÉRIE EXPONENCIAL 
DE FOURIERconsista de componentes da forma 
tnje ⋅⋅⋅ 0ω com n variando 
de ∞− a ∞+ . 
A SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER é periódica com período 0T . 
 
Vantagens da SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER em relação à SÉRIE 
TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER: 
1. A forma da série é mais compacta; 
2. A expressão matemática dos coeficientes da série é mais compacta; 
3. Na análise de sistemas, a forma exponencial é mais conveniente de ser 
empregada. 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 57 
2.7.1. RELAÇÕES DOS COEFICIENTES DAS SÉRIES DE FOURIER 
 
nj
nn eCD
θ⋅⋅⋅=
2
1
 
 
nj
nn eCD
θ⋅−
− ⋅⋅= 2
1
 
 )(2
1
nnn bjaD ⋅−⋅= 
 
2.7.2. EFEITO DA SIMETRIA NA SÉRIE EXPONENCIAL DE 
FOURIER 
Não há uma simplificação direta nos cálculos de nD devido a existência de 
simetria. Entretanto, usando as relações da Série Trigonométrica de Fourier, é 
possível otimizar o cálculo dos coeficientes nD . 
Se )(tf é par: 
• 0=nb 
• 2
n
n
aD = 
• π±=∠ ouDn 0 
Se )(tf é ímpar: 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 58 
• 0=na 
• 2
n
n
bjD ⋅−= 
• 2
0 π±=∠ ouDn 
 
2.7.3. UTILIZANDO A FÓRMULA DE EULER PARA FACILITAR O 
CÁLCULO DA SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER 
Suponha que: 
)cos()( 0 ttx ⋅= ω 
Utilizando a fórmula de Euler, pode-se calcular nD sem a utilização da 
integral. 
Dessa forma: 
( ) tjtjtjtj eeeet ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=+⋅=⋅ 0000
2
1
2
1
2
1)cos( 0
ωωωωω 
tnj
n
n eDt
⋅⋅⋅+∞
−∞=
⋅=⋅ ∑ 0)cos( 0 ωω 
Logo, os coeficientes nD para )cos()( 0 ttx ⋅= ω são: 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 59 
2
1
1 =−D 2
1
1 =D 0=nD para 1|| ≠n 
 
Se )(tf par apresenta simetria PAR, )cos()( 0 tktf par ⋅⋅⋅ ω também irá 
apresentar simetria PAR. Para calcular ka para um sinal de simetria PAR, 
pode-se integrar )cos()( 0 tktf par ⋅⋅⋅ ω somente sobre 


2
,0 0T e 
multiplicar o resultado por 
0
4
T . Assim: 
3,... 2, 1, n )cos()(4
2
0
0
0
0
=⋅⋅⋅⋅= ∫ dttntfTa
T
parn ω
e 
dttf
T
a
T
par∫⋅= 2
00
0
0
)(2 
Se )(tfímpar apresenta simetria ÍMPAR, )()( 0 tksentfímpar ⋅⋅⋅ ω 
também irá apresentar simetria ÍMPAR. Para calcular kb para um sinal de 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 60 
simetria ÍMPAR, pode-se integrar )()( 0 tksentfímpar ⋅⋅⋅ ω somente sobre 



2
,0 0T e multiplicar o resultado por 
0
4
T . Assim: 
3,... 2, 1, n )()(4
2
0
0
0
0
=⋅⋅⋅⋅= ∫ dttnsentfTb
T
ímparn ω
 
 
2.8. O ESPECTRO DE SINAIS PERIÓDICOS 
Os termos ANÁLISE ESPECTRAL ou ANÁLISE HARMÔNICA são 
geralmente utilizados para descrever a análise de um sinal periódico 
)(tf periodica através de suas Séries de Fourier. 
As quantidades na , nb , nC , nθ ou nD descrevem os COEFICIENTES 
ESPECTRAIS de )(tf periodica . 
Eles podem ser “plotados” em relação ao índice n , à freqüência 0fn ⋅ (Hz) 
ou à 0ω⋅n (rad/s) como mostrado a seguir: 
 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 61 
 
 
O espectro de magnitude e o espectro de fase descrevem graficamente a 
magnitude e a fase de cada harmônica. São exemplos de sinais discretos. 
Existem três representações possíveis para o espectro de sinais periódicos 
1. Utilizando a Série Compacta Trigonométrica de Fourier: 
a. Espectros de magnitude (amplitude) e fase 
i. Magnitudes ( nC ) x Freqüências 
ii. Fases ( nθ ) x Freqüências 
2. Utilizando a Série Exponencial de Fourier: 
a. Parte real e parte imaginária 
i. Parte real de nD x Freqüências 
ii. Parte imaginária de nD x Freqüências 
b. Espectros de magnitude e fase 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 62 
i. Magnitude de nD x Freqüências 
ii. Fase de nD x Freqüências 
Relações: 
 000 CaD == 
 nnn CDD ⋅== − 2
1
 0≠n 
 
nn
nn
D
D
θ
θ
−=−∠
=∠
 
Algumas características interessantes do Espectro Exponencial de Fourier: 
• O Espectro existe para valores positivos e negativos de freqüência; 
• O Espectro de magnitudes é uma função par de ω ; 
• O Espectro de fases é uma função ímpar de ω . 
 
2.8.1. POR QUE HÁ FREQÜÊNCIAS NEGATIVAS? 
Como interpretar uma freqüência negativa? 
Usando uma identidade trigonométrica pode-se expressar uma senóide de uma 
freqüência negativa 0ω− como: 
 )cos()cos( 00 θωθω −⋅=+⋅− tt 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 63 
Esta equação mostra claramente que a freqüência de uma senóide 
)cos( 0 θω +⋅ t é 0ω , que é uma quantidade positiva. 
A mesma conclusão pode ser alcançada observando-se que: 
)()cos( 000 tsenjte
tj ⋅⋅±⋅=⋅⋅± ωωω 
A freqüência das exponenciais 
tje ⋅⋅± 0ω é na verdade 0ω . 
Como, então, interpretar os gráficos do espectro com valores negativos de 
ω ? 
Uma boa forma de encarar a situação é pensar que o espectro exponencial é 
uma representação gráfica dos coeficientes nD como uma função de ω . 
A existência do espectro em 0ωω ⋅−= n é meramente uma indicação do 
fato que uma componente 
tnje ⋅⋅⋅− 0ω existe na série. 
 
2.8.2. LARGURA DE BANDA DE UM SINAL 
A diferença entre a maior e a menor freqüência das componentes espectrais de 
um sinal é a largura de banda do sinal. 
 
2.9. TEOREMA DE PARSEVAL 
Suponha um sinal periódico )(tf : 
Análise de Fourier - Henrique T. Moriya - 2005/1 64 
∑∞
=
+⋅⋅⋅+=
1
00 )cos()(
n
nn tnCCtf θω 
O Teorema de Parseval diz que a potência do sinal )(tf pode ser calculada 
da seguinte forma: 
 ∑∞=⋅+= 1 220 2
1
n
nf CCP 
ou 
 ∑∞−∞== n nf DP
2
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 65 
3. TRANSFORMADA DE FOURIER 
3.1. REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO NÃO-PERIÓDICA 
PELA INTEGRAL DE FOURIER 
Um sinal não-periódico pode ser representado em um determinado intervalo 
pela série exponencial de Fourier. 
Já os sinais periódicos podem ser representados em todo intervalo (-∞, +∞) 
pela série exponencial de Fourier. 
Entretanto, convém representar qualquer função geral (periódica ou não) em 
todo o intervalo (-∞, +∞) em termos de sinais exponenciais. 
Veremos que pode ser mostrado que um sinal não-periódico pode ser 
geralmente expresso como uma soma contínua (integral) de sinais 
exponenciais, em contraste com sinais periódicos que podem ser 
representados por uma soma discreta de sinais exponenciais. 
Suponha um sinal não-periódico )(tf 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 66 
A partir de )(tf , construiremos uma nova função periódica )(0 tfT com 
período 0T de forma a não haver sobreposição dos pulsos. 
 
Quando ∞→0T , os pulsos de )(0 tfT se repetem em intervalos infinitos, 
logo: 
)()(lim
0
0
tftfTT =∞→ 
Assim, a série de Fourier de )(0 tfT irá também representar )(tf no limite 
∞→0T . 
 ∑+∞−∞= ⋅⋅⋅⋅= n tnjnT eDtf 00 )( ω 
dtetf
T
D
Tt
t
tnj
Tn ∫
+
⋅⋅⋅−⋅⋅=
01
1
0
0
)(1
0
ω
 
0
0
2
T
πω ⋅= 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 67 
ou 
dtetf
T
D
Tt
t
tnj
n ∫
+
⋅⋅⋅−⋅⋅=
01
1
0)(1
0
ω
 
 
 
)t(f)t(flim
0
0
TT
=
∞→ 
Definindo uma função contínua em ω : 
 dtetfF
tj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅= ωω )()( 
tem-se 
 )n(FT
1D 0
0
n ω⋅⋅= 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 68 
como: 
 ∑+∞−∞= ⋅⋅⋅⋅= n tnjnT eDtf 00 )( ω 
∑+∞
−∞=
⋅⋅⋅⋅⋅=
n
tnj
T eT
nFtf 0
0
0
0 )()( ωω 
∑+∞
−∞=
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⋅=
n
tnj
T e
nFtf 00 00 2
)()( ωπ
ω ω
 
∑+∞
−∞=
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅= n
tnj
T enFtf 00 00 )(2
1)( ωωπ
ω
 
)(lim)(
0
0
tftf TT ∞→= 
∑+∞
−∞=
⋅⋅⋅
∞→ ⋅⋅⋅⋅⋅= n
tnj
T
enFtf 00 0
0)(
2
1lim)( ωωπ
ω
 
quando ∞→0T → 00 →ω )( 0 ωω d→ 
 ωω =⋅ 0n 
 ∫∑ ⇒ 
ou seja, 
 ωωπ
ω deFtf tj∫+∞
∞−
⋅⋅⋅⋅⋅= )(2
1)( 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 69 
ωω ω deF tj∫+∞
∞−
⋅⋅⋅)( → Integral de Fourier 
Assim, temos a representação de um sinal não periódico )(tf por uma 
integral de Fourier. 
Esta integral é basicamente uma série de Fourier (no limite) com a 
freqüência fundamental 00 →ω . 
Logo, )(ωF funciona como uma função espectral. 
)(ωF → Transformada Direta de Fourier de )(tf 
)(tf → Transformada Inversa de Fourier de )(ωF 
 
Fourier de adas transformdepar 


ℑ=
ℑ=
− )](F[)t(f
)]t(f[)(F
1 ω
ω
 
 
)()( ωFtf →←ℑ 
 
dtetfF tj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅= ωω )()( 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 70 
ωωπ
ω deFtf tj∫+∞
∞−
⋅⋅⋅⋅⋅= )(2
1)( 
 
Vale lembrar que a integral de Fourier é basicamente uma série de Fourier 
com 00 →ω . Com isso, a maioria das propriedades da série de Fourier é 
aplicada também para a transformada. 
 
)(ωF → número complexo. 
)(|)(|)( ωωω FeFF ∠= 
 
Gráficos: 
 Amplitude x Freqüência 
 ωω ×|)(| F 
 Fase x Freqüência 
 ωω ×∠ )(F 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 71 
3.1.1. EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE FOURIER 
Se dtetf
tj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅ ω)( é finita, então a transformada existe. 
Portanto: 
 ∞<∫
+∞
∞−
dt|)t(f| 
Esta condição é suficiente, mas não necessária, para a existência da 
Transformada de Fourier de )(tf . 
Funções como )( tsen ⋅ω , )cos( t⋅ω , )(tu , etc. não satisfazem a 
condição de integrabilidade absoluta e rigorosamente não possuiriam 
transformada de Fourier. Entretanto, elas APRESENTAM transformada de 
Fourier. 
 
3.1.2. LINEARIDADE DA TRANSFORMADA DE FOURIER 
A Transformada de Fourier é linear. 
)()( 11 ωFtf →←ℑ e )()( 22 ωFtf →←ℑ 
 
)()()()( 22112211 ωω FaFatfatfa ⋅+⋅→←⋅+⋅ ℑ 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 72 
 
constantes 21 →aea 
 
3.2. ALGUMAS TRANSFORMADAS DE FOURIER 
3.2.1. ALGUMAS FUNÇÕES ÚTEIS 
3.2.1.1. FUNÇÃO PORTA UNITÁRIA 
Define-se a função porta unitária )x(rect como um pulso de amplitude 
unitária centrado na origem e de duração unitária. 
 
 







<
=
>
=
2
1|x|1
2
1|x|
2
1
2
1|x|0
)x(rect
 
Observe, agora, a função 


τ
xrect 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 73 
 







<
=
>
=


2
|x|1
2
|x|
2
1
2
|x|0
xrect
τ
τ
τ
τ 
Outra notação possível: )x(G
xrect ττ =


. 
Assim: ( ) )x(Gxrect 1= 
 
3.2.1.2. FUNÇÃO TRIÂNGULO UNITÁRIO 
Define-se a função triângulo unitário )x(∆ como um pulso triangular de 
amplitude máxima unitária centrado na origem e de duração unitária. 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 74 



<⋅−
≥
=
2
1|x||x|21
2
1|x|0
)x(∆
 
Observe, agora, a função 


τ∆
x
: 
 



<⋅−
≥
=


2
|x||x|21
2
|x|0x
τ
τ
τ
τ∆ 
 
3.2.1.3. FUNÇÃO SINC(x) 
Esta função desempenha um importante papel no processamento de sinais e 
é comumente denominada de função de interpolação ou função “chapéu 
mexicano”. 
x
)x(sen)x(csin = 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 75 
 
Algumas observações: 
1. )x(csin é uma função par de x . 
2. 0)x(csin = quando 0)x(sen = exceto em 0x = . Isto 
significa que 0)x(csin = para ,...3,2,x πππ ±±±= 
3. Usando a regra de L’Hôpital 
x
)x(senlim)x(csinlim
0x0x →→
= 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 76 
 tem-se que 1)0(csin = . 
4. )x(csin é o produto de um sinal oscilante )x(sen (de período 
π⋅2 ) e uma função monotonicamente decrescente x
1
. Logo, 
)x(csin apresenta oscilações senoidais de período π⋅2 com 
amplitudes decrescendo continuamente de x
1
. 
5. Outra notação utilizada para )x(csin é )x(Sa . 
6. Alguns autores definem )x(csin de forma diferente: 
x
)x(sen)x(csin ⋅
⋅= π
π
 
 
3.2.2. SINAL EXPONENCIAL UNILATERAL 
)t(ue)t(f ta ⋅= ⋅− 
dte)t(f)(F tj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅= ωω 
dte)t(ue)(F tjta∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅− ⋅⋅= ωω 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 77 
dte)(F
0
t)ja(∫+∞ ⋅⋅+−= ωω 
ωωω
ω
⋅+=


⋅+
−=
+∞⋅⋅+−
ja
1
ja
e)(F
0
t)ja(
 


⋅− −⋅+=⋅+=
a
tgj
22
1
e
a
1
ja
1)(F
ω
ωωω 
Observação: )(F ω converge somente para 0a > . 
 
3.2.3. SINAL EXPONENCIAL BILATERAL 
tae)t(f ⋅−= 
dtee)(F tjta∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅− ⋅= ωω 
 
dtedte)(F
0
t)ja(
0
t)ja( ∫∫ +∞ ⋅⋅+−
∞−
⋅⋅− += ωωω 
22a
a2)(F ωω +
⋅= 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 78 
3.2.4. FUNÇÃO PORTA 
 

⋅= τα
trect)t(f 
onde α e τ são constantes. 
dte)(F
2
2
tj∫
+
−
⋅⋅−⋅=
τ
τ
ωαω
 
ω
τωα
ω
αω
τωτω 

 ⋅⋅⋅
=


 −⋅⋅=
⋅⋅−⋅⋅ 2
sen2
ee
j
)(F 2
j
2
j
 


 ⋅⋅⋅=
⋅


 ⋅⋅⋅
=
2
csin
2
2
sen
)(F τωτατω
τωτα
ω
 
 
A transformada de Fourier de )(F ω apresenta valores positivos e 
negativos. 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 79 
Uma amplitude negativa pode ser considerada como uma amplitude positiva 
com fase de π− ou π+ . Assim: 
 
 
O espectro de fase, que é uma função ímpar de ω para )t(f real, pode 
ser esquematizada de diversas outras formas, já que um sinal negativo pode 
ser representado por uma fase de π⋅± n , onde Zn∈ e n é ímpar. 
 
3.2.5. FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO 
 )t()t(f δ= 
dte)t()(F tj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅= ωδω 
1)(F =ω 
 
3.2.6. FUNÇÃO CONSTANTE 
 α=)t(f 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 80 
Observação: esta função não satisfaz as condições de integrabilidade 
absoluta, mas a transformada de Fourier existe no limite. 


⋅==
∞→ ταα τ
trectlim)t(f 
Como: 

 ⋅⋅⋅→←

⋅ ℑ
2
csintrect τωτατα 
 

 ⋅⋅⋅=
∞→ 2
csinlim)(F τωταω τ 
 444 3444 21
)(
2
csin
2
lim2)(F
ωδ
τ
τωπ
ταπω 

 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∞→ 
 )(2)(F ωδαπω ⋅⋅⋅= 
 
3.2.7. FUNÇÃO sgn(t) 
 )tsgn()t(f = 
1)t(u2)tsgn( −⋅= 
[ ])t(ue)t(uelim)tsgn( tata
0a
⋅−⋅= ⋅⋅−
→ 
dte)tsgn()(F tj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅= ωω 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 81 
[ ] dte)t(ue)t(uelim)(F tjtata
0a
⋅⋅−
∞
∞−
⋅⋅−
→∫ ⋅⋅−⋅= ωω 


 ⋅−⋅= ∫∫
∞−
⋅⋅−⋅+
∞
⋅⋅−⋅−
→
dteedteelim)(F
0
tjta
0
tjta
0a
ωωω 


 −= ∫∫
∞−
⋅⋅−
∞
⋅⋅+−
→
dtedtelim)(F
0
t)ja(
0
t)ja(
0a
ωωω 




⋅−−⋅+−= ∞−
⋅⋅−∞⋅⋅+−
→
0t)ja(
0
t)ja(
0a )ja(
e
)ja(
elim)(F ωωω
ωω
 



⋅−−⋅+= → )ja(
1
)ja(
1lim)(F
0a ωωω 



+
⋅−−⋅−=
→ 220a a
jajalim)(F ω
ωωω 



+
⋅⋅−=
→ 220a a
j2lim)(F ω
ωω 
ωωω
2j
j
2)(F ⋅−=⋅= 
 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 82 
3.2.8. FUNÇÃO DEGRAU) 
 )t(u)t(f = 
)]tsgn(1[
2
1)t(u +⋅= 
{ } )]t[sgn(
2
1]1[
2
1)t(u ℑ⋅+ℑ⋅=ℑ 
ω
ωδπω ⋅⋅+
⋅⋅=
j
2
2
1
2
)(2)(F 
ωωδπω ⋅+⋅= j
1)()(F 
 
3.2.9. FUNÇÃO SEN(ω0.t) 
 )t(sen)t(f 0 ⋅= ω 
Este sinal não satisfaz a condição de integrabilidade absoluta, mas sua 
transformada existe e pode ser encontrada por um processo de limite. 
Supondo que a função )t(sen 0 ⋅ω exista no intervalo 

−
2
,
2
ττ
 e seja 
nula fora desse intervalo.No limite, τ será infinito. 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 83 
{ } dte)t(senlim)t(sen 2
2
tj
00 ∫
−
⋅⋅−
∞→
⋅⋅=⋅ℑ
τ
τ
ω
τ ωω 
dte)t(senlim)(F
2
2
tj
0∫
−
⋅⋅−
∞→
⋅⋅=
τ
τ
ω
τ ωω 
( ) dte
j2
eelim)(F
2
2
tj
tjtj 00∫
−
⋅⋅−
⋅⋅−⋅⋅
∞→
⋅⋅
−=
τ
τ
ω
ωω
τω 
( ) ( )
dt
j2
eelim)(F
2
2
tjtj 00∫
−
⋅+⋅−⋅−⋅−
∞→ 


⋅
−=
τ
τ
ωωωω
τω 
( )
( )
( )
( )
2
2
0
tj
0
tj
j
e
j
elim
j2
1)(F
00
τ
τ
ωωωω
τ ωωωωω −
⋅+⋅−⋅−⋅−
∞→ 


+⋅+−⋅−⋅⋅= 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) 







+⋅
−+−⋅
+−⋅⋅=
⋅+⋅⋅+⋅−⋅−⋅⋅−⋅−
∞→
0
2
j
2
j
0
2
j
2
j
j
ee
j
eelim
j2
1)(F
0000
ωωωωω
τωωτωωτωωτωω
τ
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 84 
( )
( )
( )
( )






+


 ⋅+
−−


 ⋅−
⋅−=
∞→
0
0
0
0 2
sen
2
sen
limj)(F ωω
τωω
ωω
τωω
ω τ 
( ) ( ) 





 ⋅+−

 ⋅−⋅⋅−=
∞→ 2
csin
2
csin
2
limj)(F 00
τωωτωωτω τ
 
como 

 ⋅⋅⋅= ∞→ 2
kcsin
2
klim)(
k
ωπωδ , então: 
( ) ( )[ ]00j)(F ωωδωωδπω −−+⋅⋅= 
 
3.2.10. FUNÇÃO COS(ω0.t) 
 )tcos()t(f 0 ⋅= ω 
De forma análoga ao desenvolvimento de { })t(sen 0 ⋅ℑ ω , tem-se: 
dte)tcos(lim)(F
2
2
tj
0∫
−
⋅⋅−
∞→
⋅⋅=
τ
τ
ω
τ ωω 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 85 
( )
( )
( )
( ) 





⋅+


 ⋅+
+
⋅−


 ⋅−
⋅=
∞→
2
2
sen
2
2
sen
2
lim)(F
0
0
0
0
τωω
τωω
τωω
τωωτω τ 
( ) ( )[ ]00)(F ωωδωωδπω ++−⋅= 
 
3.2.11. FUNÇÃO ej.ω0.t 
 
tj 0e)t(f ⋅⋅= ω 
como: 
 )t(senj)tcos(e 00
tj 0 ⋅⋅+⋅=⋅⋅ ωωω 
{ })t(senj)tcos()(F 00 ⋅⋅+⋅ℑ= ωωω 
{ } { })t(senj)tcos()(F 00 ⋅ℑ⋅+⋅ℑ= ωωω 
portanto: 
 ( )02)(F ωωδπω −⋅⋅= 
 
3.2.12. FUNÇÃO PERIÓDICA 
A rigor não existe a transformada de Fourier para uma função )t(f 
periódica, já que: 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 86 
∞=∫∞
∞−
dt)t(f , se )Tnt(f)t(f ⋅+= 
Entretanto, a transformada de Fourier de uma função periódica )t(f 
existe no limite (como foi feito para )t(sen 0 ⋅ω e )tcos( 0 ⋅ω ). 
Para o caso de uma função periódica )t(f , podemos representá-la pela 
série exponencial de Fourier da seguinte maneira: 
 ∑∞−∞= ⋅⋅⋅⋅= n tnjn oeD)t(f ω (I) 
onde: 
 
dte)t(f
T
1D
2
T
2
T
tnj
n
o∫
−
⋅⋅⋅−⋅⋅= ω
 
 T
2
o
πω ⋅= 
Aplicando as transformadas de Fourier nos dois membros da Equação (I), 
tem-se: 
 { } 


 ⋅ℑ=ℑ ∑∞
−∞=
⋅⋅⋅
n
tnj
n
oeD)t(f ω 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 87 
 { }∑∞−∞= ⋅⋅⋅ℑ⋅= n tnjn oeD)(F ωω 
∑∞
−∞=
⋅−⋅⋅⋅=
n
on )n(2D)(F ωωδπω 
∑∞
−∞=
⋅−⋅⋅⋅=
n
on )n(D2)(F ωωδπω 
A equação acima estabelece que a função de densidade espectral ou a 
transformada de Fourier de um sinal periódico é formada por impulsos 
localizados nas freqüências harmônicas do sinal e que o peso de cada 
impulso é igual a π⋅2 vezes o valor do coeficiente correspondente na série 
exponencial de Fourier. 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 88 
3.2.13. TABELA DE PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER 
TABLE 4.1 – PÁGINA 252 – LATHI 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 89 
4. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 
 
ωωπ
ω deFtf tj∫+∞
∞−
⋅⋅⋅⋅⋅= )(2
1)( 
dtetfF tj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅= ωω )()(
 
 
)()( ωFtf →←ℑ 
As equações de )t(f e )(F ω guardam grande similaridade, daí tem-se 
a dualidade tempo-freqüência. 
Para qualquer resultado ou relação entre )t(f e )(F ω , existe um 
resultado ou relação dual obtida trocando-se os papéis de )t(f e )(F ω 
no resultado original (algumas pequenas modificações se fazem necessárias 
devido ao fator π⋅2 e à troca de sinal) 
 
4.1. SIMETRIA 
Se )()( ωFtf →←ℑ 
Então )(f2)t(F ωπ −⋅⋅→←ℑ 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 90 
4.1.1. DEMONSTRAÇÃO 
ωωπ
ω deFtf tj∫
+∞
∞−
⋅⋅⋅⋅⋅= )(2
1)( 
ωωπ ω de)(F)t(f2 tj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅=−⋅⋅ 
x=ω e dxd =ω 
dxe)x(F)t(f2 txj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅=−⋅⋅π 
ω=t 
dxe)x(F)(f2 xj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅=−⋅⋅ ωωπ 
tx = e dtdx = 
dte)t(F)(f2 tj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅=−⋅⋅ ωωπ 
logo: 
)(f2)t(F ωπ −⋅⋅→←ℑ 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 91 
4.1.2. EXEMPLO 
{ } ?)tk(csin =⋅ℑ 
solução: 


 ⋅⋅↔


2
csintrect τωττ 


−⋅⋅↔

 ⋅⋅ τ
ωπττ rect2
2
tcsin 


⋅⋅↔

 ⋅
τ
ω
τ
πτ rect2
2
tcsin 
mas: k2k2
⋅=→= ττ 
( ) 


⋅⋅⋅
⋅↔⋅
k2
rect
k2
2tkcsin ωπ 
Portanto: 
( ) 


⋅⋅↔⋅ k2rectktkcsin
ωπ
 
 
4.2. ESCALONAMENTO 
Se )()( ωFtf →←ℑ 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 92 
Então, para qualquer constante real a: 
 

⋅→←⋅ ℑ
a
F
|a|
1)ta(f ω
 
 
4.2.1. DEMONSTRAÇÃO 
Para a constante positiva real: 
{ } dte)ta(f)ta(f tj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅⋅=⋅ℑ ω 
fazendo dtadxtax ⋅=→⋅= 
{ } dxe)x(f
a
1)ta(f a
xj∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅⋅=⋅ℑ ω 
{ } 

⋅=⋅ℑ
a
F
a
1)ta(f ω 
Da mesma forma, para a < 0: 


⋅−→←⋅
ℑ
a
F
a
1)ta(f ω 
Portanto: 


⋅→←⋅ ℑ
a
F
|a|
1)ta(f ω 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 93 
4.2.2. SIGNIFICADO DO ESCALONAMENTO 


⋅→←⋅ ℑ
a
F
|a|
1)ta(f ω
 
A propriedade do escalonamento diz que a compressão no tempo de um 
sinal resulta na sua expansão espectral; a expansão no tempo de um sinal 
resulta na sua compressão espectral. 
 
4.3. DESLOCAMENTO NO TEMPO 
Se )()( ωFtf →←ℑ 
Então: 
0tj
0 e)(F)tt(f
⋅⋅−ℑ ⋅→←− ωω 
 
4.3.1. DEMONSTRAÇÃO 
{ } dte)tt(f)tt(f tj00 ∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅−=−ℑ ω 
dtdxttx 0 =→−= 
{ } dxe)x(f)tt(f )tx(j0 0∫+∞
∞−
+⋅⋅−⋅=−ℑ ω 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 94 
{ } dxee)x(f)tt(f 0tjxj0 ∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅⋅− ⋅⋅=−ℑ ωω 
{ } dxe)x(fe)tt(f xjtj0 0 ∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅⋅− ⋅⋅=−ℑ ωω 
{ } )(Fe)tt(f 0tj0 ωω ⋅=−ℑ ⋅⋅− 
 
4.3.2. EXEMPLO 
?
2
trect =


 

 −ℑ ττ 


 ⋅⋅↔


2
csintrect τωττ 
Portanto: 
2
j
e
2
csin
2
trect
τωτωτττ
⋅⋅−⋅

 ⋅⋅↔

 − 
 
4.3.3. FASE LINEAR 
0tj
0 e)(F)tt(f
⋅⋅−ℑ ⋅→←− ωω 
Atrasar um sinal de 0t segundos não modifica sua amplitude espectral. 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 95 
Um sinal atrasado de 0t segundos tem sua fase espectral original (sinal não 
atrasado) deslocada de 0t⋅−ω . 
Este deslocamento de 0t⋅−ω representa um deslocamento linear na fase 
com coeficiente angular de 0t− 
 
4.4. DESLOCAMENTO EM FREQÜÊNCIA 
Se )()( ωFtf →←ℑ 
Então: 
)(Fe)t(f 0
tj 0 ωωω −→←⋅ ℑ⋅⋅ 
 
4.4.1. DEMONSTRAÇÃO 
{ } dtee)t(fe)t(f tjtjtj 00 ∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅=⋅ℑ ωωω 
{ } dte)t(fe)t(f t)(jtj 00 ∫+∞
∞−
⋅−⋅−⋅⋅ ⋅=⋅ℑ ωωω 
{ } )(Fe)t(f 0tj 0 ωωω −=⋅ℑ ⋅⋅ 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 96 
4.4.2. MODULAÇÃO EM AMPLITUDE 
Como 
tj 0e ⋅⋅ω não é uma função real que possa ser gerada, o deslocamento 
em freqüência é conseguido na prática multiplicando-se )t(f por uma 
cossenóide. 
[ ]tjtj0 00 e)t(fe)t(f21)tcos()t(f ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅⋅=⋅⋅ ωωω 
e 
[ ])(F)(F
2
1)tcos()t(f 000 ωωωωω ++−⋅↔⋅⋅ 
Isto mostra que a multiplicação de um sinal )t(f por uma senóide de 
freqüência 0ω desloca o espectro de )(F ω de 0ω± . 
 
 
Análise deFourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 97 
A multiplicação de )tcos( 0 ⋅ω por )t(f modula a amplitude da 
senóide. 
Este tipo de modulação é conhecida como MODULAÇÃO EM 
AMPLITUDE (AM). 
)tcos( 0 ⋅ω é chamada de PORTADORA. 
)t(f é chamado de SINAL MODULANTE. 
)tcos()t(f 0 ⋅⋅ ω é chamado de SINAL MODULADO. 
Fazendo um esboço de um sinal )tcos()t(f 0 ⋅⋅ ω : 
 
Observa-se que: 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 98 


−=⋅−
=⋅=⋅⋅
1)tcos(quando)t(f
1)tcos(quando)t(f
)tcos()t(f
0
0
0 ω
ωω 
Logo, )tcos()t(f 0 ⋅⋅ ω toca )t(f quando )tcos( 0 ⋅ω está em 
seus picos positivos e toca )t(f− quando )tcos( 0 ⋅ω está em seus 
picos negativos. 
Isto significa que )t(f e )t(f− agem como envelopes para o sinal 
)tcos()t(f 0 ⋅⋅ ω . 
O sinal )t(f− é a imagem refletida de )t(f em relação ao eixo 
horizontal. 
 
4.5. DIFERENCIAÇÃO NO TEMPO 
Se )()( ωFtf →←ℑ 
Então: 
)(F)j(
dt
)t(fd n
n
n
ωω ⋅⋅→←ℑ 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 99 
4.5.1. DEMONSTRAÇÃO 
ωωπ
ω deFtf tj∫
+∞
∞−
⋅⋅⋅⋅⋅= )(2
1)( 
ωωωπ
ω de)(Fj
2
1
dt
df tj∫+∞
∞−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 
assim: 
)(Fj
dt
)t(df ωω ⋅⋅→←ℑ 
e 
)(F)j(
dt
)t(fd n
n
n
ωω ⋅⋅→←ℑ 
 
4.6. INTEGRAÇÃO NO TEMPO 
Se )()( ωFtf →←ℑ 
Então: 
)()0(F
j
)(Fd)(f
t
ωδπω
ωττ ⋅⋅+⋅→←
ℑ
∞−
∫ 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 100 
4.7. CONVOLUÇÃO 
Sejam duas funções: 
)t(f1 e )t(f2 
A integral 
τττ d)t(f)(f)t(f)t(f 2121 ∫+∞
∞−
−⋅=∗ 
ocorre freqüentemente em engenharia e recebe um nome especial de 
INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO. 
A integral de convolução é expressa simbolicamente por: )t(f)t(f 21 ∗ . 
 
4.7.1. PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO 
 
4.7.1.1. COMUTATIVA 
)t(f)t(f)t(f)t(f 1221 ∗=∗ 
 
4.7.1.2. DISTRIBUTIVA 
)t(f)t(f)t(f)t(f)]t(f)t(f[)t(f 3121321 ∗+∗=+∗ 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 101 
4.7.1.3. ASSOCIATIVA 
)t(f)]t(f)t(f[)]t(f)t(f[)t(f 321321 ∗∗=∗∗ 
 
4.7.1.4. DESLOCAMENTO 
Se 
)t(c)t(f)t(f 21 =∗ 
então 
 )Tt(c)Tt(f)t(f 21 −=−∗ 
 )Tt(c)t(f)Tt(f 21 −=∗− 
e 
)TTt(c)Tt(f)Tt(f 212211 −−=−∗− 
 
4.7.1.5. CONVOLUÇÃO COM UM IMPULSO 
A convolução de uma função )t(f com um impulso unitário )t(δ 
resulta na própria função )t(f . 
ττδτδ d)t()(f)t()t(f ∫+∞
∞−
−⋅=∗ 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 102 
como )t( τδ − é um impulso localizado em t=τ . 
)t(f)t()t(f =∗δ 
 
4.7.1.6. PROPRIEDADE DA LARGURA 
Se as durações (larguras) de )t(f1 e )t(f2 forem 1T e 2T 
respectivamente. 
Então, a duração (largura) de )t(f)t(f 21 ∗ é 21 TT + . 
 
4.7.2. PROCEDIMENTO GRÁFICO PARA OBTENÇÃO DA 
CONVOLUÇÃO 
Seja 
τττ d)t(g)(f)t(g)t(f)t(c ∫+∞
∞−
−⋅=∗= 
Para obter )t(c graficamente siga os seguintes passos: 
1. Mantenha a função )(f τ fixa; 
2. Visualize a função )(g τ como uma armação rígida de arame e 
rotacione (ou inverta) esta armação em relação ao eixo vertical 
( 0=τ ) para obter )(g τ− ; 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 103 
3. Desloque a armação invertida sobre o eixo τ por 0t segundos. A 
armação deslocada representa )t(g 0 τ− ; 
4. A área sob o PRODUTO de )(f τ e )t(g 0 τ− (a armação 
deslocada) é )t(c 0 , o valor da convolução em 0tt = . 
τττ d)t(g)(f)t(c 00 ∫+∞
∞−
−⋅= 
5. Repita esse procedimento, deslocando a armação para diferentes 
valores de 0t para obter )t(c para todos os valores de t . 
 
 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 104 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 105 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 106 
4.7.3. CONVOLUÇÃO NO TEMPO 
Se )(F)t(f 11 ω→←ℑ e )(F)t(f 22 ω→←ℑ 
Então: 
)(F)(F)t(f*)t(f 2121 ωω ⋅→←ℑ 
 
4.7.3.1. DEMONSTRAÇÃO 
{ } dted)t(f)(f)t(f*)t(f tj2121 ∫ ∫+∞
∞−
⋅⋅−
+∞
∞−
⋅

 −⋅=ℑ ωτττ 
{ } τττ
τωω
ω ddte)t(f)(f)t(f)*t(f
j
2 e)(F
tj
2121 ∫ ∫+∞
∞−
⋅
+∞
∞−
⋅⋅−
⋅⋅−


 ⋅−⋅=ℑ
444 3444 21 
{ } τωτ τω de)(F)(f)t(f*)t(f j2121 ∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅⋅=ℑ 
{ } ττω τω de)(f)(F)t(f)*t(f j1221 ∫+∞
∞−
⋅⋅−⋅⋅=ℑ 
{ } )(F)(F)t(f*)t(f 2121 ωω ⋅=ℑ 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 107 
4.7.4. CONVOLUÇÃO NA FREQÜÊNCIA 
Se )(F)t(f 11 ω→←ℑ e )(F)t(f 22 ω→←ℑ 
Então: 
[ ])(F)*(F
2
1)t(f)t(f 2121 ωωπ ⋅⋅→←⋅
ℑ
 
 
4.7.4.1. DEMONSTRAÇÃO 
{ } ωττωτπωω ω ded)(F)(F2
1)(F)*(F tj2121
1 ∫ ∫+∞
∞−
⋅⋅
+∞
∞−
− ⋅

 −⋅⋅⋅=ℑ
 
{ } ∫ ∫+∞
∞−
⋅⋅
+∞
∞−
− ⋅−⋅⋅⋅=ℑ ωτωπττωω
ω de)(F
2
1d)(F)(F*)(F tj2121
1
 
{ } [ ]∫+∞
∞−
⋅⋅− ⋅⋅=ℑ τωττωω j21211 e)t(fd)(F)(F)*(F 
{ } ∫+∞
∞−
⋅⋅− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ℑ ττππωω
τω de)(F
2
1)t(f2)(F*)(F j1221
1
 
{ } )t(f)t(f2)(F)*(F 21211 ⋅⋅⋅=ℑ− πωω 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 108 
[ ])(F)*(F
2
1)t(f)t(f 2121 ωωπ ⋅⋅→←⋅
ℑ
 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 109 
5. TRANSMISSÃO DE SINAIS ATRAVÉS DE SLIT DE TEMPO 
CONTÍNUO 
5.1. MULTIPLICAÇÃO DE UMA FUNÇÃO POR UM IMPULSO 



=
≠=
∫∞+
∞−
1dt)t(
0tpara0)t(
δ
δ
 
Suponha que multipliquemos um impulso unitário )t(δ por uma função 
)t(f que seja contínua em 0t = . 
)t()0(f)t()t(f δδ ⋅=⋅ 
De forma similar, se )t(f é multiplicada por um impulso deslocado 
)Tt( −δ 
)Tt()T(f)Tt()t(f −⋅=−⋅ δδ 
desde que )t(f seja contínua em Tt = . 
 
5.1.1. PROPRIEDADE DA AMOSTRAGEM DA FUNÇÃO IMPULSO 
UNITÁRIO 
Do item anterior, tem-se 
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
=⋅=⋅ )0(fdt)t()0(fdt)t()t(f δδ 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 110 
desde que )t(f seja contínua em 0t = . 
Este resultado significa que a área sob o produto de uma função )t(f com 
um impulso )t(δ é igual ao valor da função )t(f no instante onde o 
impulso unitário é diferente de zero. 
Esta propriedade é muito útil e importante e é conhecida como propriedade da 
amostragem do impulso unitário. 
A propriedade da amostragem do impulso unitário é descrita da seguinte 
forma: 
∫+∞
∞−
=−⋅ )T(fdt)Tt()t(f δ 
como )t()t( −= δδ 
Podemos expressar qualquer sinal de tempo contínuo como: 
∫+∞
∞−
−⋅= ττδτ d)t()(f)t(f 
 
5.2. RESPOSTA DE UM SISTEMA LINEAR INVARIANTE NO 
TEMPO E A INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO 
Suponha um SLIT 
→)t(f SLIT )t(y→ 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 111 
{ })t(fT)t(y = 
como: 
∫+∞
∞−
−⋅= ττδτ d)t()(f)t(f 
tem-se: 



 −⋅= ∫+∞
∞−
ττδτ d)t()(fT)t(y 
como o sistema é linear, tem-se: 
{ }∫+∞
∞−
−⋅= ττδτ d)t(T)(f)t(y 
como o sistema é invariante no tempo, tem-se: 
{ })t(T)t(h δ= - resposta ao impulso unitário 
{ } )t(h)t(T ττδ −=− 
assim: 
∫+∞
∞−
−⋅= τττ d)t(h)(f)t(y 
ou seja, 
)t(h)t(f)t(y ∗= 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 112 
A saída de qualquer sistema linear invariante no tempo (SLIT) de tempo 
contínuo é igual à convolução da entrada )t(f com a resposta ao impulso 
unitário do sistema )t(h . 
 
5.3. RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DE UM SLIT 
Para um SLIT, tem-se: 
)t(h)t(f)t(y ∗= 
Aplicando a propriedade da convolução no tempo da Transformada de 
Fourier, tem-se: 
)(H)(F)(Y ωωω ⋅= 
A transmissão de um sinal de entrada )t(f através de um SLIT modifica 
este sinal e dá origem ao sinal )t(y . 
)(F ω é o espectro de )t(f . 
)(Y ω é o espectro de )t(y . 
)(H ω é a resposta em freqüência do sistema. 
Observação: dá-se o nome de Função de Transferência à Transformada de 
Laplace da resposta ao pulso unitário, )s(H . 
[ ])(H)(Fj)(Yj e)(H)(Fe)(Y ωωω ωωω ∠+∠⋅∠⋅ ⋅⋅=⋅ 
Análisede Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 113 
logo: 
)(H)(F)(Y ωωω ⋅= 
)(H)(F)(Y ωωω ∠+∠=∠ 
Durante a transmissão, a amplitude do espectro do sinal de entrada )(F ω é 
modificado para )(H)(F ωω ⋅ . 
De forma similar, a fase do espectro do sinal de entrada )(F ω∠ é 
modificada para )(H)(F ωω ∠+∠ . 
 
5.4. CAUSALIDADE PARA SLITs 
Um sistema é “causal” se a saída em um instante de tempo depende somente 
da entrada no mesmo instante de tempo e das entradas anteriores. 
Tais sistemas são chamados também de “não-antecipativos”. 
Matematicamente, o sistema causal é representado: 
0tpara0)t(h <= 
Então, se 0)t(h = para 0t < , 
tou0tpara0)t(h ><−=− τττ 
Assim, o limite inferior de )t(h)t(f)t(y ∗= será 0 . 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 114 
5.5. ESTABILIDADE DE SLITs 
Um sistema é estável se sua resposta ao impulso é absolutamente integrável, 
isto é: 
∞<∫+∞
∞−
dt)t(h 
 
5.6. SISTEMAS FISICAMENTE REALIZÁVEIS 
Um sistema é fisicamente realizável se for causal. 
No domínio da freqüência, a condição necessária para que o sistema seja 
fisicamente realizável é: 
∞<+∫
+∞
∞−
ωω
ω
d
1
)(Hln
2 
Esta inequação é conhecida como “Critério de Paley-Wiener”. 
Um sistema onde )(H ω não satisfaça a inequação acima, tem resposta 
não-causal. 
 
5.7. TRANSMISSÃO SEM DISTORÇÃO 
Uma transmissão é dita sem distorção se a forma de onda do sinal de entrada 
for a mesma forma de onda do sinal de saída a menos de uma multiplicação 
por uma constante. 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 115 
Um sinal de saída atrasado que tenha a mesma forma de onda do sinal de 
entrada a menos de uma multiplicação por uma constante também pode ser 
obtido de uma transmissão sem distorção. 
Então, em uma transmissão sem distorção, a entrada )t(f e a saída )t(y 
satisfazem a condição: 
)tt(fk)t(y d−⋅= 
Realizando a Transformada de Fourier, tem-se: 
( ) ( ) dtjeFkY ⋅⋅−⋅⋅= ωωω 
como: 
)(H)(F)(Y ωωω ⋅= 
logo: 
( ) dtjekH ⋅⋅−⋅= ωω 
onde ( )ωH é a resposta em freqüência do SLIT necessário para realizar uma 
transmissão sem distorção. 
Analisando-se ( )ωH , tem-se: 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 116 
 
( ) kH =ω 
( ) dtH ⋅−=∠ ωω 
Isto mostra que, para uma transmissão sem distorção, a resposta em amplitude 
do sistema deve ser ( )ωH e a resposta em fase ( )ωH∠ deve ser uma 
função linear de ω com coeficiente angular dt− , onde dt é o atraso da 
saída em relação à entrada. 
 
5.8. O QUE É FILTRAGEM? 
Lembrando que a Transformada de Fourier mostra o conteúdo em freqüência 
de um sinal. 
A filtragem é o processo de remoção seletiva ou alteração parcial deste 
conteúdo em freqüência para criação de um novo sinal. 
Um tipo comum de filtro que deve ser familiar para você são os botões de 
controle de graves e agudos de aparelhos de som. 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 117 
Ao girar os botões, você está alterando o conteúdo em freqüência do sinal de 
áudio, aumentando ou reduzindo as componentes em altas ou baixas 
freqüências. 
 
FILTRAGEM 
→)t(x )(H ω modificado)t(x)t(y =→ 
)(X)(H)(Y ωωω ⋅= 
 
)(H ω é escolhido arbitrariamente para alterar )(X ω de maneira 
desejada. 
O bloco contendo )(H ω é conhecido como filtro. 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 118 
5.8.1. TIPOS DE FILTROS 
TIPO |)(H| ω IDEAL DESCRIÇÃO 
FILTRO IDEAL 
EXEMPLOS 
Passa-baixas Desenhar um filtro 
com simetria (lado 
positivo e lado 
negativo) 
Remove toda 
informação em 
freqüências acima 
de cω 
Remoção de 
ruído, 
interpolação, 
“alisar” sinais 
Passa-altas Desenhar um filtro 
com simetria (lado 
positivo e lado 
negativo) 
Remove toda 
informação em 
freqüências abaixo 
de cω 
Remoção de DC 
e deriva de baixa 
freqüência, 
detecção de 
borda. 
Passa-banda Desenhar um filtro 
com simetria (lado 
positivo e lado 
negativo) 
Remove toda 
informação fora de 
21 ωω a 
Sintonizar em 
uma estação de 
rádio, 
equalizadores 
gráficos de 
áudio. 
Rejeita-faixa Desenhar um filtro 
com simetria (lado 
positivo e lado 
negativo) 
Remove toda 
informação entre 
21 ωω a 
Remoção de 
ruído em uma 
freqüência 
particular, e.g. 
60 Hz 
 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 119 
5.8.2. FILTROS IDEAIS/FILTROS REALIZÁVEIS 
Filtros ideais permitem a transmissão sem distorção de uma certa banda de 
freqüências e suprimem as componentes de todas as freqüências 
remanescentes. 
O filtro passa-baixas ideal permite a passagem sem distorção de todas as 
componentes abaixo de W=ω rad/s e suprime todas as componentes acima 
de W=ω rad/s. 
 
O filtro passa-baixas ideal acima apresenta uma fase linear com coeficiente 
angular dt− que resulta em um atraso temporal de dt segundos para todas as 
componentes de entrada com freqüências abaixo de W rad/s. 
Logo, se a entrada é um sinal )t(f limitado em banda com freqüência 
máxima W rad/s, a saída )t(y é )t(f atrasado de dt segundos, ou seja: 
)tt(f)t(y d−= 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 120 
O sinal )t(f é transmitido por este sistema sem distorção, mas com um 
atraso temporal de dt segundos. 
Para este filtro: 



⋅= W2rect)(H
ωω e dt)(H ⋅−=∠ ωω 
Assim: 
dtje
W2
rect)(H ⋅⋅−⋅


⋅=
ωωω 
A resposta ao impulso unitário, )t(h , para este filtro é obtido a partir do par: 
( )tWcsinW
W2
rect ⋅⋅→←


⋅
ℑ
π
ω
 
e da propriedade de deslocamento no tempo. 


 ⋅


⋅ℑ=
⋅⋅−− dtj1 e
W2
rect)t(h ωω 
( )[ ]dttWcsinW)t(h −⋅⋅= π 
)t(h é claramente não-causal. Logo, o filtro passa-baixas ideal não é 
fisicamente realizável. 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 121 
De forma similar, pode-se demonstrar que outros filtros ideais (passa-altas, 
passa-banda, rejeita-faixa) também não são fisicamente realizáveis. 
Conforme já visto, para que um sistema seja fisicamente realizável, )t(h 
deve ser causal, ou seja: 
0)t(h = para 0t < 
No domínio da freqüência, esta condição é equivalente ao critério de Paley-
Wiener, que diz que a condição necessária e suficiente para que a resposta em 
amplitude )(H ω seja realizável é: 
∞<+∫
+∞
∞−
ωω
ω
d
1
)(Hln
2 
Se )(H ω não satisfaz esta condição, ele não é fisicamente realizável. 
Note que se 0)(H =ω para qualquer intervalo, ∞=)(Hln ω 
naquele intervalo, logo o critério de Paley-Wiener é violado. 
Entretanto, se 0)(H =ω para uma única freqüência (ou um conjunto de 
freqüências discretas), a integral do critério de Paley-Wiener pode continuar a 
ser finita embora o integrando seja infinito. 
Análise de Fourier - Henrique Takachi Moriya - 2005/1 122 
Logo para um sistema fisicamente realizável, )(H ω pode ser zero para 
algumas freqüências discretas, mas não pode ser nulo durante um intervalo 
finito. 
De acordo com este critério, filtros ideais são claramente não realizáveis. 
 
Uma forma prática para se projetar filtros é cortar a parte de )t(h para 
0t < . 
A resposta ao impulso resultante )t(hˆ é causal: 
)t(u)t(h)t(hˆ ⋅= 
e é fisicamente realizável. 
Se dt é suficientemente grande, )t(hˆ será uma aproximação razoável de 
)t(h e o filtro resultante )(Hˆ ω será uma aproximação razoável de um 
filtro ideal. 
A aproximação será tanto melhor quanto maior for o valor do atraso dt . 
Esta observação significa que o preço de uma melhor realização é um maior 
atraso na saída. 
Teoricamente um atraso de ∞=dt é necessário para se obter um filtro ideal.