CAPÍTULO 01- O CARREGAMENTO ELÉTRICO DE CONDUTORES E ISOLANTES

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CAPÍTULO 01 – O CARREGAMENTO ELÉTRICO DE 
CONDUTORES E ISOLANTES 
 
1.1 Fontes dos fenômenos Elétricos e Magnéticos 
 
 Tome, por exemplo, duas canecas de café de forma geométrica 
idêntica. Uma delas é feita de cerâmica e a outra de alumínio. Pode-se 
estabelecer a diferença entre as duas por inspeção visual ou pelo tato. 
Através da luz refletida por ambas, percebe-se que são feitas de materiais 
diferentes. Entretanto, a análise ótica dos objetos utilizando apenas os olhos 
pode parecer incompleta. Sustenta-se, então, uma delas com a mão direita e 
a outra com a mão esquerda. Verifica-se pelo tato1 que uma delas é mais 
pesada do que a outra. Além disso, o contato com as mãos revela que uma 
delas é mais “fria”. Essa sensação de quente e frio quando se toca dois 
objetos simultaneamente com as duas mãos, na maioria das vezes, revela 
que são feitos de materiais diferentes. Pode-se, quase com certeza, afirmar 
que as duas canecas são feitas de materiais diferentes. O odor natural de 
ambas, o sabor devido ao contato com a língua e o som provocado quando 
ambas são batidas com uma caneta, completariam a análise e reforçariam a 
hipótese de serem realmente de materiais diferentes. 
 Tome, agora, outras duas canecas: uma delas é de vidro e a outra de 
quartzo. Pode-se concluir por uma análise idêntica à do parágrafo anterior 
que são feitas de materiais diferentes? Provavelmente, os únicos resultados 
que suportariam que elas são feitas de materiais diferentes seriam o peso de 
ambas, quando fossem sustentadas simultaneamente com as mãos 
esquerda e direita, e o som provocado devido à batida com a caneta. 
Conclui-se, dos dois experimentos expostos, que a análise da realidade 
 
1
 As terminações nervosas da pele são sensores da pressão da força normal ���� exercida sobre a pele 
pelos objetos que tocamos. 
 
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física do mundo que nos rodeia feita apenas com os nossos sentidos é 
incompleta e não é raro levar a uma conclusão falsa. 
 Até o século XVII, as observações dos fenômenos naturais eram 
limitadas pelos sentidos humanos e o entendimento e a descrição dos 
mesmos também eram limitados. A razão humana, que procura desvendar a 
origem e o significado dos fenômenos naturais, era refém dos sentidos do 
homem. Assim foi com os fenômenos elétricos e magnéticos. Percebeu-se, e 
os relatos remontam à Grécia da Antiguidade Clássica, que os materiais 
apresentavam propriedades novas quando as suas superfícies eram 
atritadas e separadas, posteriormente. Deu-se o nome de carregamento 
elétrico para esse fenômeno. Também, alguns minerais apresentavam a 
capacidade “natural” de atrair pequenos pedaços de ferro, o fenômeno do 
magnetismo. 
 Sabe-se hoje em dia que a carga elétrica é a responsável pelos 
fenômenos elétricos e magnéticos. Corpos materiais com carregamento 
elétrico que estão em repouso relativo a um observador em um corpo 
material de referência neutro geram os fenômenos elétricos apenas. Se 
estiverem em movimento relativo ao observador no corpo material de 
referência neutro duas situações são possíveis: (a) quando em movimento 
retilíneo e uniforme (MRU)2 geram campos vetoriais elétricos e magnéticos 
que não variam com o tempo; (b) quando em movimento acelerado (���� � 0), 
geram campos vetoriais magnéticos que variam com o tempo e campos de 
empuxo “tipo elétrico” no fenômeno conhecido como ondas 
eletromagnéticas. 
 O carregamento elétrico de um corpo material A, ou de um dispositivo 
feito do mesmo material, significa que o corpo material adquiriu a 
capacidade de exercer forças elétricas e magnéticas sobre outros corpos 
 
2
 No MRU não há variação do vetor velocidade �� de deslocamento do corpo. Ou seja, tem-se nesse 
caso o vetor aceleração nula (�� � 0). Essa situação corresponde a uma resultante nula das forças que 
atuam sobre o corpo material, ou seja, 	�
 � 0. 
 
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materiais localizados no espaço da sua vizinhança sem que haja a 
necessidade de haver contato entre eles. O carregamento elétrico de um 
corpo material pode ser de dois tipos: o negativo (−) e o positivo (+). Dois 
corpos materiais com carregamento elétrico do mesmo tipo (+ + ou − −) 
exercem forças elétricas repulsivas entre si. Quando o carregamento elétrico 
dos corpos materiais for de tipos diferentes (+ − ou − +) as forças elétricas 
entre eles são atrativas. 
 Com o advento da teoria atômica no século XX, descobriu-se que o 
carregamento elétrico dos corpos materiais deve-se a uma propriedade 
fundamental dos elétrons e dos prótons, as partículas materiais que 
compõem o átomo. Ainda de acordo com a teoria atômica, os elétrons se 
movimentam em órbitas fechadas em torno da região central imóvel 
chamada de núcleo. O núcleo contém os prótons e os nêutrons. Os elétrons 
têm a unidade fundamental de carga elétrica negativa e os prótons a de 
carga elétrica positiva. Em módulo, as duas unidades fundamentais de carga 
elétrica são iguais, cujo valor medido em coulombs é dado por: 
Cxe 19106,1 −= . 
 O modelo atômico de órbitas foi proposto pelo físico dinamarquês 
Neils Bohr em 1912 e teve como base os experimentos de J.J. Thompson, 
cujos resultados foram publicados em 1897, e os de Ernest Rutherford 
publicados em 1910. Thompson mostrou com um tubo de raios catódicos a 
natureza corpuscular da carga negativa da matéria, ou seja, a existência dos 
elétrons de carga negativa. Os experimentos de Rutherford, medindo o 
espalhamento das partículas α que incidiam sobre finas lâminas de ouro, 
evidenciaram a existência da carga positiva da matéria dentro de um caroço, 
o núcleo central do modelo de Bohr. O modelo de Bohr, suportado por esses 
experimentos, é mostrado na Fig. 1. 
 
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Figura 1 – O modelo atômico de Bohr. 
 
 Uma vez que qualquer corpo material (A) apresenta-se neutro, se ele 
não for submetido ao processo de carregamento elétrico, então o número de 
elétrons e o de prótons da matéria ordinária deve ser igual: Ne = NP. Ou seja, 
o processo de carregamento elétrico consiste em alterar a igualdade no 
número de elétrons e de prótons, transferindo elétrons do corpo material (A) 
para outro corpo material (B), ou vice-versa. Assim, o carregamento elétrico 
positivo (+) do corpo material (A) significa que o processo de carregamento 
elétrico transfere uma quantidade ne de elétrons dele para o outro corpo 
material (B) e que o corpo material (A) fica com uma quantidade np (= ne) de 
prótons a mais que a de elétrons. O corpo material (B) recebendo a 
quantidade adicional ne de elétrons fica carregado negativamente (−). O 
processo inverso, ou seja, o carregamento elétrico negativo (−) do corpo 
material (A) também pode ocorrer. Veja na Fig. 2 as duas situações 
possíveis para o carregamento elétrico do corpo material (A). 
 Atribui-se uma grandeza física para o carregamento elétrico de 
qualquer corpo material, a chamada quantidade de carga elétrica 
desbalanceada Q. Mede-se Q em coulombs (1 C) no sistema internacional 
de medidas (SI). Algumas subunidades do coulomb de uso comum são: o 
 
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milicoulomb (1mC); o microcoulomb (1µC); o nanocoulomb (1nC) e o 
picocoulomb (1pC). 
 
[Q] = 1 coulomb = 1 C 
1 mC = 1x10-3 C 
1 µC = 1x10-6 C 
1 nC = 1x10-9 C 
1 pC = 1x10-12 C 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Os dois tiposcarregamento elétrico de um 
corpo material (A). 
 
 
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 Foi o físico norte-americano Robert Millikan quem mediu pela primeira 
vez o valor em coulombs da carga elétrica de um único elétron. Deduz-se, 
então, que a quantidade de carga elétrica Q de um corpo material que foi 
submetido ao processo de carregamento elétrico escreve-se como: 
neQ = ; Cxe 19106,1 −= 
=n Número de elétrons transferidos. 
 
1.2 O Carregamento elétrico de eletrodos metálicos e de 
isoladores elétricos 
 
1.2.1 O carregamento elétrico de eletrodos metálicos 
 
 Objetos metálicos de forma geométrica adequada para uma aplicação 
específica são chamados de eletrodos. Pode-se carregar eletricamente um 
par de eletrodos metálicos utilizando-se uma bateria ou uma pilha. A bateria 
foi inventada por Alessandro Volta nos anos 90 do século XVIII. Ela consiste 
de um par de eletrodos metálicos, um deles carregado positivamente com + 
Q, o eletrodo positivo (+), e o outro carregado negativamente com – Q, o 
eletrodo negativo. O carregamento elétrico dos eletrodos é mantido por meio 
da reação química que ocorre entre uma substância apropriada em contato 
com os eletrodos. Veja na Fig. 3 o esboço de uma pilha. 
 
 
 
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Figura 3 – Pilha voltaica de dois eletrodos. 
 
 Pode-se facilmente carregar eletricamente com cargas + Q e – Q 
qualquer outro par de objetos metálicos utilizando a bateria. Veja na Fig. 4 
como se faz isso. Nesse caso, o módulo Q da carga elétrica dos objetos 
metálicos, resultante do processo de carregamento, é obtido utilizando a 
seguinte expressão: 
CVQ = . 
Q = módulo da carga elétrica. 
C = Capacitância do par de objetos metálicos. 
V
 = Tensão elétrica da bateria ou diferença de 
potencial elétrico (ddp). 
 
 
 
 
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Figura 4 – Carregamento elétrico de um par de 
eletrodos metálicos utilizando uma bateria. 
 
 A tensão elétrica ou diferença de potencial elétrico V (ddp) é uma 
grandeza física que é definida quando se analisa o carregamento elétrico de 
um corpo material utilizando a conservação de energia elétrica. Essa forma 
de abordar os fenômenos elétricos é muito útil uma vez que a energia 
elétrica é uma grandeza física escalar, ou seja, não é necessário utilizar a 
geometria euclidiana para executar as operações algébricas de soma, 
subtração, produto e divisão com ela. Mede-se a tensão elétrica V utilizando-
se o voltímetro. No sistema SI de unidades, o volt (1 V) é a unidade de 
tensão elétrica. 
 Acompanha-se a transferência de carga do processo de 
carregamento elétrico de um par de eletrodos metálicos utilizando-se o 
medidor de corrente elétrica, o amperímetro. O amperímetro mede a 
corrente elétrica em ampères (1 A), a unidade de corrente elétrica do 
 
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sistema SI. A corrente elétrica I medida pelo amperímetro é definida como a 
quantidade de carga elétrica que passa através dele por unidade de tempo: 
 
dt
dQI = → [ ] [ ][ ] As
coulomb
dt
dQI 1=== . 
 
Pode-se mostrar que para o carregamento elétrico do par de eletrodos 
metálicos, a corrente elétrica I varia no tempo exponencialmente de acordo 
com a seguinte equação: 
 
RC
t
oeItI
−
=)( . 
 
Nesta equação, R é a soma das resistências elétricas da pilha e de 
todos os cabos que conectam a pilha com o par de eletrodos. A capacitância 
C do par de eletrodos metálicos é medida em farad (1 F). Utilizando a 
equação Q = CV, podem-se obter as unidades da capacitância: 
 
V
QC = → [ ] [ ][ ] Fvolt
coulomb
V
QC 1=== . 
 
A resistência elétrica de um cabo, ou de um pedaço de condutor 
metálico, é medida por um ohmímetro. As unidades de R são obtidas da lei 
de Ohm. Essa lei relaciona a tensão aplicada pela bateria com a corrente 
elétrica de carregamento: 
 
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RIV =
 (Lei de Ohm) → Ω=== 1
ampére
volt
I
VR . 
 
 Vê-se, portanto, que o produto RC, que aparece no fator exponencial 
para a corrente I do carregamento elétrico do par de eletrodos metálicos, 
tem unidades de tempo: 
s
s
coulomb
coulomb
volt
coulomb
x
ampere
voltRC === . 
 
 Pode-se, ainda, utilizar outros métodos para carregar eletricamente 
um par de eletrodos metálicos. Têm-se utilizado em larga escala o método 
fotovoltaico. Em um dos dispositivos que empregam o método fotovoltaico, o 
carregamento elétrico do par de eletrodos é mantido incidindo luz ultravioleta 
sobre a superfície dos eletrodos metálicos, quando eles estão dentro de um 
tubo onde se faz vácuo. Em outro dispositivo, incide-se luz visível, ou luz 
com comprimento de onda na região do infravermelho, sobre as junções 
semicondutoras de um transistor. Isto provoca o carregamento dos dois 
eletrodos metálicos ligados a ela. Há ainda o método de indução 
eletromagnética. Nesse caso, a taxa de variação temporal do fluxo 
magnético MΦ de um campo vetorial magnético gerado externamente por 
imãs, ou por correntes elétricas que circulam numa bobina (os eletroímãs), 
carrega eletricamente os eletrodos metálicos. Mostram-se na Fig. 5 esses 
outros métodos. 
 
 
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Figura 5 – Método fotovoltaico e de indução 
eletromagnética. 
 
 Uma situação especial de muita importância prática ocorre quando um 
dos eletrodos é a Terra. Devido aos seus minerais, pode-se considerar a 
Terra como um grande eletrodo metálico esférico de raio RT = 6.370 km = 
 
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6,37x106 m. Assim, de posse de uma bateria, o carregamento elétrico do par 
eletrodo/Terra pode ocorrer como mostrado na Fig. 6. 
 
 
 
Figura 6 – Carregamento elétrico do par eletrodo/Terra. 
 
 Finalmente, deve-se mencionar a importância de outros dois métodos 
de carregamento elétrico de eletrodos metálicos: (a) o método de 
carregamento elétrico por contato e (b) o método de carregamento elétrico 
por indução eletrostática. O primeiro ocorre quando um eletrodo metálico 
carregado toca o outro. Nesse caso, o eletrodo (A) pode estar carregado 
 
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positivamente (+), negativamente (-) ou neutro. Quando o eletrodo (A) 
estiver carregado positivamente e o eletrodo (B) também estiver carregado 
positivamente, pode ocorrer o aparecimento de uma corrente elétrica I entre 
ambos. O sinal da tensão V = VA – VB indica qual o sentido da corrente 
elétrica. Se V é positivo, então VA > VB e o sentido da corrente elétrica I é do 
eletrodo (A) para o eletrodo (B), ou seja, os elétrons se deslocam do eletrodo 
(B) para o eletrodo (A)3. Se V for negativa, então VA < VB e o sentido da 
corrente elétrica I é do eletrodo (B) para o eletrodo (A) e os elétrons fluem do 
eletrodo (A) para o eletrodo (B). Se o eletrodo (B) estiver carregado 
negativamente, então o sentido da corrente elétrica I é do eletrodo (A) para o 
eletrodo (B). O mesmo ocorre quando o eletrodo (B) estiver neutro. A 
corrente elétrica I entre os eletrodos cessa quando V = 0. Na situação onde 
o eletrodo (A) estiver carregado negativamente ocorre o oposto. Veja na Fig. 
7 o processo de carregamento elétrico por contato.3
 Observe que o sentido da corrente elétrica convencional que é utilizado em Teoria de Circuitos 
Elétricos é o oposto ao sentido real do fluxo de elétrons. Isso se deve às razões históricas do estudo 
dos fenômenos elétricos. 
 
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Figura 7 – Algumas situações de carregamento elétrico 
por contato. 
 
 O carregamento elétrico de eletrodos pelo método de indução 
eletrostática ocorre quando um eletrodo (A) carregado é aproximado de um 
outro eletrodo (B) que está inicialmente neutro. Se o eletrodo (B) neutro for 
ligado à Terra, ou então a um terceiro eletrodo metálico qualquer, aparecerá 
uma corrente elétrica I entre ele e a Terra ou entre ele e o terceiro eletrodo. 
A intensidade e o sentido de I dependem da carga Q do eletrodo (A). Se a 
carga do eletrodo (A) for positiva, então o sentido da corrente elétrica é do 
eletrodo (B) para a Terra, ou seja, elétrons fluem da Terra para o eletrodo 
(B). Posteriormente, se a ligação entre o eletrodo (B) e a Terra for cortada, 
ele ficará carregado negativamente com uma carga – Q. Quando o eletrodo 
(A) estiver carregado com – Q ocorre o oposto. Veja na Fig. 8 as duas 
situações. 
 
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Figura 8 – Carregamento elétrico de um eletrodo neutro 
por indução eletrostática. 
 
O DESCARREGAMENTO ELÉTRICO DE ELETRODOS METÁLICOS 
 
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 O aterramento é a técnica utilizada para o 
descarregamento de eletrodos metálicos. A técnica de 
aterramento consiste em ligar o eletrodo metálico 
carregado eletricamente à Terra, o grande eletrodo 
esférico. A ligação elétrica entre ambos é feita por meio 
de um fio metálico apropriado, o fio terra. Pode-se usar 
também o chamado “terra”, um grande eletrodo que 
desempenha o mesmo papel. Deve-se, nesses casos, 
atentar para o fenômeno de corrosão galvânica, que 
ocorre devido à formação de uma pilha entre o fio terra 
(ou a malha de aterramento) e as estruturas metálicas 
próximas. 
 
1.2.2 – O Carregamento Elétrico de Isolantes 
 
 O atrito entre as superfícies em contato dos corpos materiais é o 
processo mais comum de carregamento elétrico de um par de isoladores 
elétricos ou de um par isolador/eletrodo metálico. Nesse método, dá-se o 
carregamento elétrico por transferência de elétrons na região de contato 
entre os materiais. O fenômeno é conhecido como carregamento tribo-
elétrico. Classificam-se os materiais isolantes de acordo com a sua 
capacidade de transferir elétrons utilizando esse método. Essa classificação 
é chamada de série tribo-elétrica. O material que estiver numa posição 
superior na tabela da série tribo-elétrica tem maior capacidade de transferir 
elétrons para os materiais que estão abaixo dele. Na 
Fig. 9 pode-se ver a posição ocupada na tabela da série tribo elétrica por 
alguns materiais que encontram muita aplicação na indústria. 
 
 
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DOADORES NEUTROS RECEPTORES 
(Mais positivos) (Mais negativos) 
PELE HUMANA SECA MADEIRA 
ASBESTO ÂMBAR 
ACETATO BORRACHA 
PELE DE COELHO ALGODÃO DURA 
AR SECO AÇO NÍQUEL E 
VIDRO COBRE 
MICA LATÃO E 
CABELO PRATA 
NYLON OURO E 
LÃ PLATINA 
CHUMBO ACRÍLICO 
PELE DE GATO POLIURETANO 
SEDA POLIÉSTER 
ALUMÍNIO ISOPOR 
PAPEL FILME PVC 
 POLIETILENO 
 SILICONE 
 TEFLON 
 
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Figura 9 – Posição de alguns materiais na série tribo 
elétrica. 
 
 Utilizando-se a série tribo-elétrica pode-se, por exemplo, explicar 
porque quando se atrita um balão de festas nos cabelos, ele passa a atrair 
os fios do mesmo. Quando atritado com o balão de borracha, de acordo com 
a série da Fig. 9, os fios de cabelo transferem elétrons para o balão de 
borracha, ficando carregados positivamente (+). Recebendo os elétrons 
transferidos dos fios de cabelo, o balão de borracha torna-se carregado 
negativamente (−). Observa-se, então, o fenômeno de atração eletrostática 
entre os fios de cabelo e o balão de borracha, que parece querer “colar” no 
cabelo. Observe na Fig. 10 esse fenômeno elétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 10 – Atração eletrostática entre um balão de 
festas e os fios de cabelo. 
 
 
 Em alguns casos, é possível o carregamento elétrico por contato entre 
um metal e um isolante. De acordo com a série tribo elétrica da Fig. 9, pode 
ocorrer o carregamento do par eletrodo de alumínio/borracha. Nesse caso, o 
eletrodo de alumínio transfere elétrons para a borracha, ficando carregado 
positivamente (+) e a borracha negativamente (−). Também, o ar seco, um 
bom isolante elétrico, pode carregar negativamente a carroceria de aço de 
um automóvel ou caminhão, ou ainda a fuselagem de alumino dos aviões. 
Após o pouso, as aeronaves devem ser descarregadas. Em algumas 
situações, o carregamento elétrico da fuselagem das aeronaves gera 
tensões que podem chegar a V = 300.000 volts. O acidente com o foguete 
brasileiro na base aérea de Alcântara deveu-se, provavelmente, a faíscas 
geradas pelas altas tensões devido ao carregamento elétrico estático. 
 
 
O DESCARREGAMENTO ELÉTRICO DE ISOLANTES 
 
 Ao contrário dos eletrodos de metal, onde a ligação 
à Terra (ou ao terra) é o método comumente 
empregado para a neutralização do carregamento 
elétrico, a neutralização do carregamento elétrico de 
isolantes não pode ser feita por este método, sendo, 
portanto, mais complicada. Empregam-se os chamados 
 
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ionizadores para neutralizar o carregamento elétrico de 
isolantes. Os ionizadores são ventiladores que 
produzem um fluxo de ar ionizado com íons positivos 
(+) e negativos (−) sobre os isolantes carregados, 
possibilitando, dessa forma, a sua neutralização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3 Distribuições de Carga Elétrica 
 
 O carregamento elétrico do par eletrodo/eletrodo, eletrodo/isolante ou 
isolante/isolante, pode gerar situações onde o carregamento elétrico dos 
mesmos dá origem uma distribuição da carga elétrica Q que é não uniforme. 
Ou seja, pedaços do eletrodo que têm o mesmo volume elementar dV, ou a 
mesma área elementar dS, ou ainda o mesmo comprimento elementar dL, 
possuem quantidades de carga elementar dQ que são diferentes. A 
informação sobre as variações da quantidade de carga elétrica sobre o 
volume V, a área S ou o comprimento L de um corpo material com 
carregamento elétrico é obtida das chamadas distribuições de carga elétrica. 
 
1.3.1 Distribuições de Carga Elétrica em Eletrodos Metálicos 
 
 No caso de eletrodos metálicos, a carga Q do carregamento elétrico 
se distribui de maneira uniforme e homogênea sobre a área da superfície do 
eletrodo. Essa característica de eletrodos metálicos se deve ao grande 
número de elétrons livres presentes no material. Quando os átomos de um 
metal se juntam para formar o material metálico, a interação dos elétrons 
das órbitas mais externas resulta numaconfiguração eletrônica estável 
quando 1 ou 2 elétrons por átomo são liberados. O número de elétrons 
 
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liberados depende do tipo de átomo. Na formação do material cobre, por 
exemplo, 1 elétron é liberado. Os elétrons liberados da ligação atômica estão 
livres para se deslocarem através do material ou, caso adquiram energia 
cinética suficiente, abandonar o metal. 
 A quantidade de elétrons livres de um metal é grande. Pode-se utilizar 
a fórmula abaixo para estimar o número de elétrons livres de um eletrodo 
metálico: 
AP
xpn
.
1002,6. 23ρ
= 
V
N
n = = número de elétrons livres/volume 
p = número de elétrons liberados pelo átomo do metal 
ρ = densidade de massa do metal 
1 mol = 6,02x1023 átomos 
P.A = peso atômico do metal 
 Portanto, no caso dos eletrodos metálicos, qualquer desequilíbrio 
local de carga elétrica Q, provocado devido ao carregamento elétrico, altera 
a quantidade de elétrons numa região do material de volume elementar dV e 
é imediatamente acompanhada de uma corrente elétrica dirigida do restante 
do material para a região. Isso se deve ao campo vetorial elétrico resultante 
entre o volume dV com carregamento elétrico e o restante do eletrodo 
metálico. No caso de ocorrer desequilíbrio por aumento do número de 
elétrons em dV, a corrente de elétrons é dirigida do volume dV para o 
restante do material. Caso contrário, ou seja, um decréscimo do número de 
elétrons em dV, a corrente é dirigida do restante do material para o volume 
dV. O processo se repete para qualquer volume dV do interior do metal. 
 
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Então, a superfície do metal é a única região onde o processo de 
neutralização não pode ocorrer. 
 Define-se a distribuição de carga na superfície de eletrodos metálicos 
por σ, a densidade superficial de carga elétrica devido ao carregamento 
elétrico. 
S
Q
=σ 
Q = quantidade de carga elétrica em coulombs 
transferida no carregamento elétrico. 
S = área da superfície do eletrodo em m2. 
Unidades de σ no sistema SI = coulomb/m2 = C/m2. 
 
 Apresentam-se na Fig. 11 abaixo alguns eletrodos com geometrias 
muito utilizadas em aplicações tanto na Física quanto na Engenharia Elétrica 
e Eletrônica e as respectivas densidades de carga elétrica σ devido ao 
carregamento elétrico com carga Q. 
 
 
 
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ba
Q
S
Q
.
==σ ; CVQ = ; 
Kd
ba
Kd
SC
pipi 4
.
4
== ; 
Farad
m
x
C
mN
xK 92
2
9 109.109 == 
(a) Eletrodos planos 
 
RL
Q
S
Q
pi
σ
2
== ; CVQ = ; 
r
Rk
LC
ln2
= 
(b) Eletrodos cilíndricos 
 
 
 
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25
 
 
 
2
1
int 4 R
Q
S
Q
erna
pi
σ == ; 2
24 R
Q
S
Q
externa
pi
σ == ; CVQ = ; ( )12
12
RRK
RRC
−
=
 
(c) Eletrodos esféricos 
Figura 11 – Densidades de carga de eletrodos 
metálicos de diferentes geometrias. 
 
 Se um dos eletrodos é a Terra, dois modos são possíveis para o 
carregamento elétrico do par eletrodo metálico/Terra. Os dois modos são 
mostrados na Fig. 12 abaixo. 
 
 
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26
 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
24 R
Q
S
Q
pi
σ == ; CVQ = ; ( )




















+





+
−
−
=
R
h
R
h
RR
x
RRK
C
T
T
T
11
11
1 ; 
R = raio do eletrodo esférico. 
 
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27
h = distância entre o eletrodo esférico e a superfície da Terra. 
Se h « RT e R « RT → 


















+
−
=
R
h
K
RC
1
11
1
. 
 
Figura 12 – Carregamento elétrico do par eletrodo 
esférico/Terra. 
 
 A constante K nas expressões acima para a capacitância C do par de 
eletrodos metálicos é a constante elétrica. Ela aparece na lei de força entre 
dois corpos materiais carregados de dimensões muita pequenas, as 
chamadas cargas elétricas puntiformes. A lei de força entre cargas 
puntiformes é conhecida como Lei de Coulomb. A lei de Coulomb estabelece 
que o módulo da força 
→
F entre duas cargas elétricas puntiformes separadas 
de uma distância r varia proporcionalmente ao produto da quantidade de 
carga de cada uma delas, Q1Q2, e é inversamente proporcional à distância 
entre elas. A força elétrica que uma carga puntiforme exerce sobre a outra 
ocorre à distância, ou seja, sem que haja contato físico entre as cargas 
elétricas. Esse fenômeno se deve à existência de um campo vetorial elétrico 
→
E gerado no espaço da vizinhança das cargas. 
 
1.3.2 Distribuições de Carga Elétrica em Isoladores Elétricos 
 
 
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28
 As distribuições de carga nos corpos materiais isolantes e nos 
isoladores elétricos carregados eletricamente não se limitam às suas 
superfícies como nos corpos materiais metálicos e nos eletrodos metálicos. 
Podem ocorrer ao longo de todo o volume do objeto. É muito comum que a 
distribuição seja altamente não homogênea, com quantidades de carga dQ 
diferentes para pequenos volumes dV em posições diferentes no objeto. 
Pode ocorrer, inclusive, mudança de sinal do carregamento, com algumas 
partes carregadas positivamente (+) e outras negativamente (−). Tem-se, 
assim, uma situação onde a distribuição de carga pode variar de um ponto 
ao outro. Então, para isolantes elétricos, podem ocorrer três distribuições de 
carga elétrica: (a) a distribuição linear, com densidade linear de carga λ ; (b) 
a distribuição superficial, com densidade superficial de carga σ; (c) a 
distribuição volumétrica, com densidade volumétrica de carga ρ. Ou seja, 
podem-se ter as seguintes situações: 
(a) Densidade linear de carga elétrica. 
 
 
dL
dQ
=λ → ∫= dLQ λ ; dQ = quantidade de carga no 
comprimento dL. 
Se a carga elétrica se distribui de forma homogênea ao 
longo do comprimento do isolante, então λ é constante 
e a relação entre Q e λ é simplificada para: 
 
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29
∫ == LdLQ λλ ; L = comprimento do isolante. 
 
(b) Densidade superficial de carga elétrica. 
 
 
 
dS
dQ
=σ → ∫=
S
dSQ σ
 ; dQ = quantidade de carga 
elétrica na área elementar dS. 
Se a carga elétrica se distribui de forma homogênea ao 
longo da superfície do isolante, então σ é constante e a 
relação entre Q e σ é simplificada para: 
SdSQ
S
σσ == ∫ ; S = área da superfície do isolante. 
No caso de σ constante, as áreas S para algumas 
geometrias importantes são apresentadas abaixo: 
Discos: 2RS pi= ; R = raio do disco. 
Esferas: 24 RS pi= ; R = raio da esfera. 
 
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30
Cilindros: RLS pi2= ; L = comprimento do cilindro. 
 
(c) Densidade volumétrica de carga elétrica. 
 
 
 
 
dV
dQ
=ρ → ∫=
V
dVQ ρ
 ; dQ = quantidade de carga 
elétrica no volume elementar dV. 
Se a carga elétrica se distribui de forma homogênea ao 
longo do volume do isolante, então ρ é constante e a 
relação entre Q e ρ é simplificada para: 
VdVQ
V
ρρ == ∫ ; V = volume do isolante.No caso de ρ constante, os volumes V para algumas 
geometrias importantes são apresentados abaixo: 
Esferas: 3
3
4 RV pi= ; R = raio da esfera. 
 
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31
Cilindros: LRV 2pi= ; L = comprimento do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
1a Lista de Exercícios 
 
1 – Um eletrodo metálico (A) é carregado com uma carga de valor Q = + 
10µC. Calcule o número N de elétrons que foi transferido do eletrodo 
metálico (A) para um outro corpo material condutor (B). 
Dados: e = 1,6x10-19 C; Q = Ne. 
Resposta: N = 6,25x1013 elétrons. 
 
2 - Sabendo que a transferência de carga do eletrodo metálico (A) para o 
corpo material condutor (B) no problema anterior ocorreu durante um 
intervalo de tempo ∆t = 0,2 ms (1 ms = 1x10-3 s), qual a corrente elétrica 
média do processo de carregamento? 
Dados: 
t
QI
∆
∆
= . 
Resposta: I = 0,05 A → I = 50 mA. 
 
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32
 
3 – Mede-se uma tensão de 10.000 V para um eletrodo metálico esférico 
isolado de raio R = 5 cm. (a) Qual é a carga elétrica sobre a superfície do 
eletrodo metálico? (b) Calcule a densidade superficial de carga elétrica do 
eletrodo metálico. 
Dados: Q = CV; 
K
RC = ; 24 R
Q
S
Q
pi
σ == . 
Respostas: (a) Q = 5,556x10-8 C = 5,556 nC; (b) 1,768x10-6 C/m2 = 1,768 
µC/m2. 
 
 
 
 
Figura 13 – Capacitor esférico isolado de raio R. 
 
4 – Lê-se na etiqueta de uma bateria de carro que a carga elétrica Q dos 
eletrodos metálicos é de 54 A.h. (a) Qual o número de elétrons presentes no 
eletrodo negativo da bateria? (b) Resolve-se transferir a carga Q acumulada 
durante uma noite. Considere que a noite tem duração de 12 horas. Qual o 
valor da corrente média do processo de transferência? 
 
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33
Dados: Csx
s
ChA 360036001.1 == ; 
t
QI
∆
∆
= . 
Respostas: (a)1,215x1024 elétrons; (b) I = 4,5 A. 
 
5 – Uma bateria de carro de 12 V é ligada a dois eletrodos metálicos 
esféricos, concêntricos, cuja capacitância C é de 9 nF. (a) Qual é a carga 
elétrica em cada esfera ao final do processo de carregamento elétrico? (b) 
Supondo que os fios que conectam a bateria aos eletrodos tenham 
resistência total R de 0,0025 Ω, escrever a equação horária para a corrente 
de carregamento elétrico dos eletrodos metálicos. 
Dados: Q = CV; RC
t
oeII
−
= ; 
R
VI o = . 
Respostas: (a) Q = 1,08x10-7 C; 111025,24800 −−= x
t
eI . 
 
 
 
 
 
 
 
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34
Figura 14 – Capacitor esférico concêntrico. 
 
6 – Dois condutores metálicos esféricos carregados eletricamente têm raios 
R2 = 2 cm e R1 = 1 cm. Os eletrodos estão separados de 10 cm. A tensão 
medida entre ambos é de 15.000 V. Se as cargas elétricas entre ambos são 
iguais em módulo e de sinais opostos, qual o valor da capacitância C do par 
de eletrodos e do módulo da carga elétrica Q? 
Dados: ( )
























+





+
−
−
=
12
12
21
11
11
11
R
d
R
d
RR
RR
K
C ; CVQ = . 
Respostas: C = 2,26x10-12F = 2,26 pF; Q = 3,39x10-8C = 33,9 nC. 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 – Capacitor esférico com eletrodos não 
concêntricos. 
 
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35
 
7 – Utilizando a série tribo-elétrica, explique porque durante o período de 
inverno no Brasil, época de baixa umidade do ar, as pessoas de pele seca 
que se vestem com roupas feitas de nylon ou de poliéster tomam choques 
ao tocarem em partes metálicas de automóveis. 
 
8 – O carregamento elétrico de um par de isoladores elétricos faz-se, 
principalmente, por contato entre as suas superfícies e a posterior separação 
das mesmas. Tendo em vista a série tribo-elétrica da Fig. 9, discuta o que 
deve fazer um motorista de caminhão tanque antes do descarregamento da 
gasolina em um posto de combustível. Lembre-se de que o tanque é 
metálico e está em contato com o ar. 
 
9 – Um eletrodo metálico é carregado eletricamente com Q = + 6 µC. O 
eletrodo tem a forma cilíndrica, com raio R = 0,2 mm e comprimento total L = 
2 m. (a) Calcule a densidade superficial de carga elétrica do eletrodo. (b) 
Qual o valor de carga elétrica em ¼ do comprimento do eletrodo? 
Dados: 
S
Q
=σ ; RLS pi2= ; SQ σ= . 
Respostas: (a) σ = 2,387 mC; (b) Q = 1,5 µC. 
 
10 – Uma esfera isolante de raio 5 cm tem carga elétrica distribuída 
uniformemente sobre o seu volume. A densidade volumétrica de carga da 
distribuição é dada por ρ = 6 µC/m3. (a) Qual a carga elétrica total da esfera? 
(b) Quanto de carga elétrica existe desde o centro da esfera até r = 3 cm? 
 
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36
Dados: VQ ρ= ; 3
3
4
rV pi= . 
Respostas: (a) Q = 3,1416x10-9 C = 3,1416 nC; (b) Q = 6,7896x10-10C = 
678,96 pC. 
 
11 – Um fio de 2 m de comprimento está ao longo da direção x e tem uma 
distribuição linear de carga elétrica dada por ( ) ( ) mCxx /310 µλ += . Calcular a 
carga elétrica total do fio. 
Dados: ∫= dLQ λ ; dxdL = ; ( )dxx
L
∫
0
λ . 
 
 
 
 
Figura 16 – Fio isolante carregado eletricamente com λ 
variável. 
12 – Carregam-se dois eletrodos metálicos com a mesma carga elétrica Q, 
em módulo, utilizando-se uma bateria. Um deles é esférico de raio R = 2 cm 
e o outro é um disco plano. Sabendo que o carregamento elétrico gerou a 
mesma densidade superficial de carga elétrica σ tanto na esfera quanto no 
disco, achar ao raio do disco. 
 
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37
Dados: 
S
Q
=σ ; 24 eesfera RS pi= ; 
2
ddisco RS pi= . 
Resposta: Rd = 2Re = 4x10-2 m. 
 
 
 
 
 
Figura 17 – Capacitor com eletrodos metálicos de 
geometrias diferentes. 
 
13 – A ligação metálica no cobre libera 1 elétron livre que se desloca através 
do material. (a) Qual o número de elétrons livres do cobre metálico? (b) 
Transferem-se todos os elétrons livres de uma esfera de cobre de raio R = 2 
mm. Qual a carga Q positiva de esfera? (c) Calcular a tensão dessa esfera 
isolada. 
Dados: ( )
AP
xpn massa
.
1002,6 23ρ
= ; 3/95,8 cmgmassa =ρ ; PA = 63,5 g; ρcarga = en; Q 
= ρcargaV; 33
4 RV pi= ; 
K
RC = ; Q = CV. 
 
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Respostas: (a) 8,4849x1022 elétrons/cm3; (b) ρcarga = 13.576 C/cm3; Q = 
4,549x102 C; (c) V = 2,047x1012 V.