Introdução a Probabilidade

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Professor M. Sc. Frederico Miglio Neiva 1 
PROBABILIDADE 
 
Introdução 
Modelo Matemático Determinístico: 
No modelo determinístico, podemos a priori dizer qual o resultado do experimento. Este 
termo determinístico refere-se a um modelo que estipule as condições sob as quais um 
experimento seja executado e determine o resultado do experimento. 
Exemplos: 
• Lançamento de um projétil. 
• Lei da Gravitação, explica precisamente o que acontece com um corpo que cai sob 
determinadas condições. 
Modelo Matemático Não-determinístico: 
No modelo não-determinístico, não podemos dizer a priori qual o resultado do experimento. 
Neste modelo, as condições de experimentação determinam somente o comportamento 
probabilístico do resultado observável. 
Exemplos: 
� Lançamento de um dado. 
� Lançamento de uma moeda. 
Observação: 
No modelo determinístico emprega-se considerações físicas para prever o resultado, 
enquanto que em um modelo não-determinístico emprega-se a mesma espécie de 
considerações para especificar uma distribuição de probabilidade. 
Experimento Aleatório 
É quando efetuamos um experimento repetidas vezes sob as mesmas condições, e os 
resultados obtidos não são essencialmente os mesmos. Um experimento aleatório possui as 
seguintes características: 
� Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições 
essencialmente inalteradas. 
� Não somos capazes de afirmar o resultado particular que ocorrerá, contudo somos 
capazes de descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 
� Quando o experimento for executado repetidamente, os resultados individuais 
parecerão ocorrer de forma acidental, entretanto, quando o experimento for 
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realizado um grande número de vezes, uma certa regularidade ocorrerá, a qual 
chamaremos de regularidade estatística. 
Exemplos: 
� E1: Jogue um dado uma única vez e observe o número mostrado na face 
superior do mesmo. 
� E2: Jogue uma moeda três vezes e observe o número de caras obtidas. 
� E3: Jogue uma moeda três vezes e observe a seqüência de caras e coroas 
obtidas. 
� E4: Na produção em série de uma peça para o motor de um automóvel, conte 
o número de peças defeituosas produzidas no período das 8h às 18h do dia 
20-07-12. 
� E5: Retirar bolas de uma urna que contém bolas pretas e vermelhas, até 
retirar a primeira bola vermelha. 
Espaço Amostral 
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento εεεε. O 
espaço amostral será representado pela letra S. 
Exemplos: Para os cinco exemplos de experimentos citados acima, temos os seguintes 
espaços amostrais, respectivamente: 
� S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 
� S2 = {0, 1, 2, 3}; 
� S3 = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk}; 
� S4 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,..........., N}, onde N é o número máximo de peças 
produzidas das 8h às 18h do dia 20-07-12; 
� S5 = {v, pv, ppv, pppv, ppppv, pppppv, ..........., ppppppppp....v}. 
Evento 
Um evento A, relativo a um espaço amostral S associado a um experimento εεεε é 
simplesmente um conjunto de resultados possíveis. Um evento nada mais do que um 
subconjunto de um espaço amostral S. Qualquer resultado individual pode também ser 
considerado um evento. 
Exemplo: Para os cinco exemplos de experimentos e espaços amostrais criados e 
desenvolvidos acima, podemos ter os seguintes eventos, respectivamente: 
� Um número ímpar ocorre em um lançamento do dado, isto é: A1 = {1, 3, 5}. 
� Duas caras ocorrem, isto é: A2 = {2}. 
� Mais caras do que coroas ocorrem, isto é: A3 = {ccc, cck, ckc, kcc}. 
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� Na produção em série, ocorrem no máximo quatro peças defeituosas 
produzidas das 8h às 18h do dia 20-07-12, isto é: A4 = {0, 1, 2, 3, 4}. 
� Sai no máximo quatro bolas pretas antes de sair uma bola vermelha, isto é: 
A5 = {v, pv, ppv, pppv, ppppv}. 
Observação: 
Agora, pode-se empregar várias técnicas de combinar conjuntos, que são eventos, e 
obter a formação de novos conjuntos, que são novos eventos. 
Exemplos: 
� Se A e B forem eventos, A ∪∪∪∪ B será o evento que ocorrerá se, e somente se, 
A ou B ou ambos ocorrerem. 
� Se A e B forem eventos, A ∩∩∩∩ B será o evento que ocorrerá se, e somente se, 
A e B ocorrerem. 
� Se A for um evento, Ā será o evento que ocorrerá se, e somente se, não 
ocorrer A. 
� Eventos mutuamente excludentes: Dois eventos A e B são denominados 
mutuamente excludentes, se eles não puderem ocorrer juntos. Isto será expresso 
da seguinte maneira: A ∩∩∩∩ B = ∅, isto é, a interseção de A e B é formada pelo 
conjunto vazio. 
� Eventos independentes: Dois eventos A e B são denominados independentes, se a 
ocorrência de um não influenciar na ocorrência do outro. 
Definição Frequentista de Probabilidade 
Suponha que repetimos n vezes o experimento εεεε e sejam A e B dois eventos associados ao 
experimento εεεε. Admita que sejam nA e nB o número de vezes que o evento A e o evento B 
ocorrem nas n repetições do experimento εεεε, respectivamente. Então, fA = nA/n denomina-se 
freqüência relativa do evento A nas n repetições do experimento εεεε. A freqüência relativa fA 
apresenta as seguintes propriedades: 
� 0 ≤ fA ≤ 1. 
� fA = 1 se, e somente se, A ocorrer em todas as n repetições. 
� fA = 0 se, e somente se, A nunca ocorrer nas n repetições. 
� Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, e se fA ∪∪∪∪ B for a freqüência relativa 
associada ao evento A ∪∪∪∪ B, então: fA ∪∪∪∪ B = fA + fB. 
� Com base nas n repetições fA é considerada como uma função de n, e converge em 
certo sentido probabilístico para P(A), quando n → ∞. 
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Noções Fundamentais de Probabilidade 
Consideremos um experimento εεεε, bem como um espaço amostral S associado. A cada 
evento A, será associado um número real representado por P(A) e denominado 
probabilidade de A, que deve satisfazer as seguintes propriedades. 
a) 0 ≤ P(A) ≤ 1. 
b) P(S) = 1. 
c) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, temos que P(A ∪∪∪∪ B) = P(A) + 
P(B). 
d) Se A1, A2, A3, ............, An .......... forem, dois a dois, eventos mutuamente 
exclusivos, então: 
........)(.........)()()()( 321
1
+++++=
∞
=
ni
i
APAPAPAPAP U 
e) Para qualquer n finito, temos que: 
∑
==
=
n
i
ii
n
i
APAP
11
)()(U 
Cálculo da Probabilidade 
 
S
A
ssíveissultadosponúmerodere
voráveissultadosfanúmerodereAP ==)(