logaritmos 10 11

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LOGARITMOS 
1. PRINCÍPIOS BÁSICOS
	Considere as expressões:
373 245 + 62 531 e 373 245 x 62 531			
373 245 – 62 531 e 373 245 : 62 531
Quais delas você resolveria mais rapidamente? (sem calculadora)
	De modo geral é mais simples somar ou subtrair dois números do que multiplicá-los ou dividi-los. Com base nessas idéias, o escocês John Napier (ou Neper) formalizou a teoria dos logaritmos, cuja finalidade é simplificar cálculos numéricos.
	Nessa época não se dispunha de máquinas e equipamentos que auxiliassem as pessoas na execução desses cálculos nas mais diversas situações do cotidiano – como no comércio, economia, engenharia astronomia, etc. Nos dias de hoje, com a disponibilidade de calculadoras eletrônicas e computadores, é evidente que não utilizamos logaritmos para cálculos mais complicados e sim para cálculos especiais, onde os logaritmos serão a melhor ou talvez a única saída. 
2. LOGARÍTMO
	Para compreender o que é logaritmo, considere uma potência de base positiva e diferente de 1, isto é, uma exponencial. 
	Exemplos:
Definição
3. CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
a) 
	 b) 
	 c) 
, fazendo loga b = x, temos ax = b 
 
d) loga b = loga c ( b = c, fazendo 
, temos c = b
4. SISTEMAS DE LOGARITMOS
	O conjunto formado por todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (a>0 e a ( 1) é chamado de sistemas de logaritmos de base a.
 Existem dois sistemas de logaritmos que são os mais usados em Matemática:
	a) o sistema de logaritmos decimais, que é o de base 10, foi desenvolvido pelo matemático inglês Briggs (1536-1630), o primeiro a destacar as vantagens dos logaritmos de base 10 como instrumento auxiliar dos cálculos numéricos. Briggs foi também quem publicou a primeira tábua dos logaritmos de 1 a 1000, em 1617.
	b) o sistema de logaritmos neperianos, que é o de base 
. O nome neperiano deriva de Jonh Napier (1550-1617), matemático escocês, autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos.
	Na calculadora:
Tecle 2 ( LOG e obterá 0,30103..., tecle 2 ( LN e obterá 0,69315....
 Isto indica que: 
Isto também indica que:
0,30103 é expoente ao qual devo elevar 10 para obter o resultado 2 ( 10 0,30103 = 2.
0,69315 é o expoente ao qual devo elevar 2,718 para obter o resultado 2 ( 2,718 0,69315 = 2 .
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ATENÇÃO
Se a base não estiver escrita, subentendemos que a base é 10, assim: 
.
Se a base é e indica-se por 
, assim: loge 3 = 
EXERCÍCIOS
1) Aplicando a definição de logaritmos, calcule o valor de x:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
e) 
 f) 
 g) 
 h) 
i) 
 j) 
 l) 
 m) 
n) 
 o) 
 p) 
 q) 
 
2) Dê o valor dos logaritmos:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
3) Determine o valor das expressões:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
4) Calcule o valor de x:
a) 
 b) 
 c) 
5) Determine os valores reais de x para que seja possível definir:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
6) Calcule o valor de 
.
5. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 
		 ex.) 
 
			ex.) 
c) 
				ex.) 
d) 
		ex.) 
EXERCÍCIOS
1) Desenvolva, aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos:
a) 
= b) 
= c) 
 = d)
=
2) Determine o valor de P:
a) log P = log 6 + log m + log n b) log b P = 3 log b A + 2 log b B – 5 log b M
c) log P = 
log M – 
 log N – 
 log S
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6- MUDANÇA DE BASE
Para calcularmos logaritmos que não estão em tabelas, necessitamos fazer uma mudança de base.
	
Exemplos:
3 x = 5
 
 S = {1,465}
	b) 2 4x – 1 = 7
	
	
 S = {0,952}
7- COLOGARITMO
 
 Ao oposto do logaritmo de um número na mesma base denominamos cologaritmo desse número, isto é:
 Com b > 0, a > 0 e ≠ 1.
Exemplo
EXERCÍCIOS
Qual o valor de y = log3 5 . log25 27? 
 
Sabendo que log 2 ( 0,3010, calcule log100 
.
Se log3 5 = x e log9 25 = y, qual é o valor de x – y?
Sabendo que log 2 = 0,301, calcule log 80.
Resolva as equações: a) log2(x – 1) + log2 (x – 2) = 1 b) log4 x + log4 4 = 2 
Resolva as equações, sendo U = IR : 
a) 2 x+ 4 = 8	 b) 3 5– x = 81	 c) 10 1 – x = 10 5 d) 2 x = 3		e) 3 –x = 4	 f) 10 1 – x = 5	 
g) 2,7 x = 3 5 - 2x h) e 2x = 3	 i) e x + 1 = 2	 j) (0,1)x + 2 = 2	 k) (0,0001)2x – 1 = 5
7) Escreva em base 10 os seguintes logaritmos:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
8) Calcule o valor das seguintes expressões:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 
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9) Pela definição de cologaritmo, calcule:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
10)Se 
, qual é o valor de 
?
8- FUNÇÃO LOGARTIMICA
Uma função f: IR +* ( IR, definida por y = loga x , a constante positiva e diferente de 1, denomina-se função logarítmica.
 D(f) = IR +* Im(f) = IR
Exemplos 
y = 
 y = 
Função Exponencial e Função Logarítmica são funções inversas.
 a > 1 o < a < 1
EXERCÍCIOS
1) Represente, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos de y = 
 e y = 
.
2) Uma imobiliária acredita que o valor de um imóvel varia segundo a lei v = 60 000 (0,9)t, em que t é o número de anos contados a partir de hoje. Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$ 35.429,00?
3) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro logo depois de ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N(t) = 2(0,5)t, onde t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível foi constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo, se o limite de álcool no sangue para dirigir com segurança é de 0,8 grama por litro?
4) A intensidade de um terremoto na escala Richter é definida por 
, em que E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora (kWh) e E0 = 7.10 – 3 kWh. Qual é a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
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5) A expressão N(t) = 1500.20,2t permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao completar t horas do início de sua observação (t = 0).Após quantas horas da primeira observação haverá 250 0000 bactérias nessa cultura?
6) Observe a figura. Nessa figura está representado o gráfico de f(x) = loga x. Calcule f(128).
7) A curva ao lado representa o gráfico da função y = log x, se x > 0. 
 Qual o valor da área hachurada?
8) A massa de uma substância, que se desintegra segundo uma taxa de 5% ao ano, é dada por M = M0 e – i t, onde M0 é a massa num instante t = 0, t é dado em anos e meses e i é a taxa anual de desintegração. Nestas condições M0 = 200g. Em quanto tempo (a/m) esta massa estará reduzida a 100g? R.: 13 anos 10 meses 
 
9) A área de uma floresta vem diminuindo 20% ao ano devido à exploração humana. Se isso continuar acontecendo, em quanto tempo (a/m/d) a área ficará reduzida à quinta parte de sua área atual? R.: 7 anos 2 meses 17 dias 
10) Uma central telefônica emite transmissão com uma potência de 0,1 w. A transmissão vai perdendo 5% dessa potência a cada quilômetro de cabo telefônico. Depois de quantos quilômetros de cabo a potência cai à metade da inicial? R.: 13,51 km 
11Uma região tem 20 milhões de habitantes. Se essa população cresce 2% ao ano, em quanto tempo (a/m/d) ela será de 120 milhões de habitantes? R.: 90 anos 5 meses 24 dias
 
12) Um material radioativo perde diariamente 2% de sua massa. Em quantos dias a massa deste material ficará a décima parte da atual? R.: 114 dias
 13) Um capital de R$300,00 foi aplicado a uma taxa de 0,56% ao mês. Em quantos anos este capital triplicará? 
 R.: 16,39 anos
14) Resolva as equações, sendo U = IR 
a) log 2 (3x + 5) = 1 S = {– 1} b) log 2x 4 = 2 S = {1} c) log 2 (x – 8) – log 2 (x + 6) = 3 S = {}
d) 2 log 7 x = log 7 3x + log 7 6 S = {18} e) 5 log x = 3 log x + 6 S = {103} f) log 2x = log (x + 2) S = {2} 
g) log 4 (– x2 + 5x) = log 4 6 S = {2; 3} h) log 2 x 2 – 4 = 0 S = {( 4} i) log 20 (x 2 – 2x + 20) = 1 S = {0; 2} 
j) log 2 (x – 1) = 5 S = {33} l) log (x2 – 3x – 4) – log (x + 1) = 1 S = {14} m) 
 S = {1}
15) Calcule o valor de x, através da definição de logaritmo:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
g) 
 h) 
 i) 
Respostas 
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
 g) 
 h) 
 i) 
Sejam a e b números reais positivos, com a ( 1, chama-se logaritmo de b na base a ao expoente x tal que ax = b.
� EMBED Equation.3 ���, com a>o, b>o e a ( 1 
Onde: b é o logaritmando a é a base x é o logaritmo
� EMBED CorelPhotoPaint.Image.10 ���
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� EMBED CorelPhotoPaint.Image.10 ���
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