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Medidas de Variabilidade – Variância e Desvio Padrão – Dados Agrupados em classes de frequência O cálculo da Variância e do Desvio Padrão de dados agrupados segue praticamente os passos adotados para os dados isolados, com as diferenças: Os Xi vão ser os pontos médios das classes; As discrepâncias (xi) depois de elevadas ao quadrado, deverão ser multiplicadas pelos respectivos ni. Fórmulas Variância S2(X) = n i i n i ii n nx 1 1 2 . Desvio Padrão S(X)= n i i n i ii n nx 1 1 2 . Exemplo Classes de estatura X (cm) Amostra da quantidade de alunos (agrupados por classe) (ni) Ponto Médio do intervalo da classe (Xi) Xi = (li + Li) / 2 Xini (Xi - X) = xi (Discrepância) xi2 xi2.ni 140 145 3 (140 + 145) / 2= 142,5 (142,5 * 3) = 427,5 (142,5 – 159,875) =-17,375 (-17,375)2= 301,890620 905,671860 145 150 5 (145 + 150) / 2 = 147,5 (147,5 * 5) = 737,5 (147,5 – 159,875) =-12,375 153,140620 765,703100 150 155 2 (150 + 155) / 2 = 152,5 (152,5 * 2) = 305,0 (152,5 – 159,875) =-7,375 54,390625 108,781250 155 160 7 (155 + 160) / 2 = 157,5 (157,5 * 7) = 1102,5 (157,5 – 159,875) =-2,375 5,640625 39,484375 160 165 14 (160 + 165) / 2 = 162,5 (162,5 *14) = 2275,0 (162,5 – 159,875) = 2,625 6,890625 96,468750 165 170 6 (165 + 170) / 2 =167,5 (167,5 * 6) = 1005,0 (167,5 – 159,875) = 7,625 58,140625 348,863750 170 175 0 (170 + 175) / 2 = 172,5 (172,5 * 0) = 0 (172,5 – 159,875) = 12,625 159,390620 0,00000000 175 180 1 (175 + 180) / 2 = 177,5 (177,5 * 1) = 177,5 (177,5 – 159,875) = 17,625 310,640620 310,640620 180 185 2 (180 + 185) / 2 = 182,5 (182,5 * 2) = 365,0 (182,5 – 159,875) = 22,625 511,890620 1023,781200 TOTAL 40 ∑ Xini = 6395,0 ∑ xi2.ni= 3599,3746 ∑𝑛𝑖 9 1 ∑𝑋𝑖𝑛𝑖 9 1 9 porque são 9 classes Em primeiro lugar, calcula-se a média aritmética, como já apresentado em sala de aula (colunas Xi e Xini). n i i n i ii n nX X 1 1 . X=6395,0 / 40 = 159,875cm Em segundo lugar, calcula-se as discrepâncias, subtraindo-se do ponto médio o valor da média aritmética: (Xi - X) = xi (verifique os valores da 5ª. coluna). Em terceiro lugar, eleva-se o valor de xi (discrepâncias) ao quadrado (verifique os valores da 6ª. coluna). Em quarto lugar, multiplica-se as discrepâncias elevadas ao quadrado pelas respectivas frequências absolutas (xi2.ni ). E no final, aplica-se as fórmulas para cálculo da variância e do desvio padrão. Variância S2(X) = n i i n i ii n nx 1 1 2 . S2(X) = 3599,3746 / 40 = 89,9844 cm2 Desvio Padrão S(X)= n i i n i ii n nx 1 1 2 . S(X)= 9844,89 = 9,49 cm Observação: variância em cm2; desvio padrão em cm (linear). Variância (Processo Breve) S2(X) = 2 1 1 1 1 2 2 .. . n i i n i ii n i i n i ii n nd n nd h Esta fórmula lembra muito o cálculo de X pelo processo breve. Por isso, valor realizar o cálculo de X pelo processo breve e construir a coluna di 2ni . Exemplo: Classes de estatura X (cm) Amostra da quantidade de alunos agrupados por classe) ni di di . ni (di)2 . (ni) 140 145 3 -4 (-4 * 3) = -12 (-4)2 * (3) = 48 145 150 5 -3 (-3 * 5) = -15 (-3)2 * (5) = 45 150 155 2 -2 (-2 * 2) = -4 (-2)2 * (2) = 8 155 160 7 -1 (-1 * 7) = -7 (-1)2 * (7) = 7 160 165 14 0 (0 *14) = 0 (0)2 * (14) = 0 165 170 6 1 (1 * 6) = 6 (1)2 * (6) = 6 170 175 0 2 (2 * 0) = 0 (2)2 * (0) = 0 175 180 1 3 (3 * 1) = 3 (3)2 * (1) = 9 180 185 2 4 (4 * 2) = 8 (4)2 * (2) = 32 TOTAL ∑ni = 40 ∑ dini = -21 ∑(di)2 . (ni) = 155 Cálculo da Variância 1) Inclua a coluna (di)2 . (ni) na tabela do cálculo da média. 2) Calcule a somatória de (di)2 . (ni) ∑(di)2 . (ni) 3) Use a fórmula da Variância – processo breve: S2(X) = 2 1 1 1 1 2 2 .. . n i i n i ii n i i n i ii n nd n nd h S2(X) = 2 2 40 21 40 155 .5 = 2525,0875,3.25 = 89,9844 cm2 Cálculo do Desvio Padrão Como S(X) = + )(2 XS , temos: S(X) = + = 9844,89 = 9,49 cm Cuidado A variância somente pode ser calculada pelo processo breve se h (intervalo entre as classes) for constante e os Xi formarem uma progressão aritmética.
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