Preparacao para a AV2

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Aula do dia 01/06/2017 
A concentração do gás ozônio no ar das grandes cidades é um dos principais indicadores da poluição. Em 1998, 
durante o inverno, houve a medição da concentração de ozônio na atmosfera da cidade de São Paulo. A seguir, os 
dados já estão apresentados em ordem crescente (ROL). Conte o número total de dados. 
1,1 1,4 1,4 1,4 1,6 1,7 2,0 2,4 2,5 2,5 2,8 3,0 3,0 3,1 3,1 3,3 
3,4 3,4 3,5 3,5 3,7 3,7 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,1 4,2 4,4 4,4 4,4 
1) O número total de medições (n) são: _______ 32 
2) Qual é a média aritmética (X) dos dados acima? _____________3,078125 
3) Qual é a variância dos dados acima? 
4) Qual é o Desvio Padrão dos dados acima? O Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância. 
Variância (Cálculo) 
∑xi2 / n = 
31,2346875 / 32 = 0,976084 
Concentração de 
Ozônio (X) 
 
X - X = xi 
 
xi2 
 1,1 -1,978125 3,912978516 
1,4 -1,678125 2,816103516 
1,4 -1,678125 2,816103516 
1,4 -1,678125 2,816103516 
1,6 -1,478125 2,184853516 
1,7 -1,378125 1,899228516 
2 -1,078125 1,162353516 
2,4 -0,678125 0,459853516 
2,5 -0,578125 0,334228516 
2,5 -0,578125 0,334228516 
2,8 -0,278125 0,077353516 
3 -0,078125 0,006103516 
3 -0,078125 0,006103516 
3,1 0,021875 0,000478516 
3,1 0,021875 0,000478516 
3,3 0,221875 0,049228516 
3,4 0,321875 0,103603516 
3,4 0,321875 0,103603516 
3,5 0,421875 0,177978516 
3,5 0,421875 0,177978516 
3,7 0,621875 0,386728516 
3,7 0,621875 0,386728516 
3,7 0,621875 0,386728516 
3,8 0,721875 0,521103516 
3,9 0,821875 0,675478516 
4 0,921875 0,849853516 
4,1 1,021875 1,044228516 
4,1 1,021875 1,044228516 
4,2 1,121875 1,258603516 
4,4 1,321875 1,747353516 
4,4 1,321875 1,747353516 
4,4 1,321875 1,747353516 
∑ 31,2346875 
 
5) Um casal deseja ter 4 crianças quando casarem. A probabilidade de que pelo menos uma criança seja uma 
garotinha é de (F – Feminino; M – Masculino): 
Espaço Amostral (S) = {(F,F,F,F), (F,F,F,M), (F,F,M,F), (F,F,M,M), (F,M,F,F), (F,M,F,M), (F,M,M,F), (F,M,M,M), (M,F,F,F), 
(M,F,F,M), (M,F,M,F), (M,F,M,M), (M,M,F,F), (M,M,F,M), (M,M,M,F), (M,M,M,M)}  n(S) = 16 
Probabilidade de não menina  P(não F) = 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/16 = 0,0625 
Probabilidade de pelo menos 1 menina  P(pelo menos 1 menina) = 1 – 0,0625 = 0,9375 
OU 
Probabilidade de pelo menos 1 menina  ver no Espaço Amostral  15 / 16 = 0,9375 
 
6) Coeficiente de Variação 
Uma distribuição apresenta Média (X) = 41,6 e Desvio Padrão (S) = 0,82. Qual é o coeficiente de variação? 
CV = (0,82 / 41,6) * 100  CV = 1,97 % 
Agora, você tem Coeficiente de Variação (CV) 11,9% e Desvio Padrão (S) = 0,2. Qual é a média da distribuição? 
11,9 = 
0,,2
𝑋
∗ 100  
11,9
100
= 
0,2
𝑋
  X * 11,9 = 100 * 0,2  X = 20 / 11,9  X = 1,68 
 
1) Calcule para cada conjunto de dados a seguir, a média, a mediana e a moda. 
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 Média (X) = (3+5+2+6+5+9+5+2+8+6)/10 = 51/10 = 5,1 
Mediana(Md)  Ordenar a sequência: 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9 
 Encontrar o centro da sequência: 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9 
 Como a sequência tem um número par de valores, somam-se os valores 
centrais e divide o resultado por 2. 
(5 + 5) / 2 = 5  Md = 5 
Moda(Mo) = 5, pois é o número que mais se repete no conjunto 
b) 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7 Média (X) = (20 + 9 + 7 + 2 + 12 + 7 + 20 + 15 + 7) / 9 = 99 / 9 = 11 
Mediana(Md)  Ordenar a sequência: 2, 7, 7, 7, 9, 12, 15, 20, 20 
 Encontrar o centro da sequência: 2, 7, 7, 7, 9, 12, 15, 20, 20 
 Como a sequência tem um número ímpar de valores, o centro da 
sequência já é a própria mediana. 
Md = 9 
Moda(Mo) = 7, pois é o número que mais se repete no conjunto 
c) 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9 Média (X) = (51,6 + 48,7 + 50,3 + 49,5 + 48,9) / 5 = 49,8 
Mediana(Md)  Ordenar a sequência: 48,7; 48,9; 49,5; 50,3; 51,46 
 Encontrar o centro da sequência: 48,7; 48,9; 49,5; 50,3; 51,46 
 Como a sequência tem um número ímpar de valores, o centro da 
sequência já é a própria mediana. 
Md = 49,5 
Moda(Mo) = não existe repetição de número, a sequência é amodal 
d) 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 Média (X) = (15 + 18 + 20 + 13 + 10 + 16 + 14) / 7 = 106/7 = 15,14 
Mediana(Md)  Ordenar a sequência: 10, 13, 14, 15, 16, 18, 20 
 Encontrar o centro da sequência: 10, 13, 14, 15, 16, 18, 20 
 Como a sequência tem um número ímpar de valores, o centro da 
sequência já é a própria mediana. 
Md = 15 
Moda(Mo) = não existe moda, a sequência é amodal 
 
 
3) Se o desvio padrão é 0,82, qual é a variância? 
 (0,82)2 = 0,6724 
4) 70 atletas tiveram a distribuição de frequência a seguir. Calcule a Média Aritmética, Mediana e Moda. 
Estaturas (cm) Frequência Absoluta (ni) Ponto Médio do intervalo da classe 
(Xi) 
Xi = (li + Li) / 2 
Xi . ni 
150 │--- 158 5 (150 + 158) / 2 = 154 154 * 5 = 770 
158 │--- 166 12 (158 + 166) / 2 = 162 162 * 12 = 1944 
166 │--- 174 18 (166 + 174) / 2 = 170 170 * 18 = 3060 
174 │--- 182 27 (174 + 182) / 2 = 178 178 * 27 = 4806 
182 │--- 190 8 (182 + 190) / 2 = 186 186 * 8 = 1488 
Total ∑ ni = 70 ∑ Xi . ni i = 12068 
 Média Aritmética - Processo Longo 
 




n
i
i
n
i
ii
n
nX
X
1
1
.
, onde Xi é o ponto médio de cada intervalo de classe. 
70
12068
X
  
40,172X
 cm 
Estaturas (cm) Frequência Absoluta (ni) Frequência Acumulada 
(Ni) 
150 │--- 158 5 5 
158 │--- 166 12 5 + 12 = 17 
166 │--- 174 18 17 + 18 = 35 
174 │--- 182 27 35 + 27 = 62 
182 │--- 190 8 62 + 8 = 70 
Total ∑ ni = 70 
Mediana 
 Md = lMd + 
Md
Md
aMdi
h
n
Nn








  2/ onde: 
 lMd - Limite inferior da classe mediana; 
 NaMd - frequência acumulada (Ni) da classe anterior à classe mediana (LMd); 
 nMd - é a frequência (ni) da própria classe mediana; 
 hMd - é a amplitude do intervalo (h) da classe mediana. 
 Para achar a Classe Mediana ou Lugar Mediano (LMd) calcule o valor da somatória da Frequência Absoluta e 
divida por 2.  (Σni / 2 = 70/2 = 35 ) . Percorra a coluna Ni e escolha o valor imediatamente superior a Σni / 2. 
Md = 174 + 
8
27
3535





 
  Md = 174 + [0] * 8 = 174 
 
Moda (Mo) - Dados Agrupados Fórmula de CZUBER 
Mo = lMo + 
Mo
MoaMo
aMo
h
nnn
nn
pMo
Mo








2
 
lMo - Limite inferior da classe modal, ou seja, da classe de maior frequência absoluta (maior ni); 
naMo - ni anterior ao maior ni; 
 nMo - é a maior frequência absoluta (ni) da tabela (maior ni da tabela); 
 npMo - ni posterior ao maior ni; 
hMo - é a amplitude do intervalo (h) da classe modal. 
 
Mo = 174 + 
8*
27*2818
2718








  Mo = 174 + 
8*
5426
9








  Mo = 174 + 
8*
28
9








 
 
Mo = 174 + [0,321] * 8  Mo = 174 + 2,571  Mo = 176,57 cm 
 
6) Calcule a variância e o desvio padrão 
 
Idade (X) Quantidade 
de Alunos 
(ni) 
Ponto Médio 
do intervalo 
da classe (Xi) 
 Xi = (li + Li) / 2 
Xi . ni (Xi - X) = xi 
 
(Discrepância) 
xi2 xi2.ni 
20 ⱶ 23 5 (20 + 23) / 2 = 
21,5 
(21,5) * (5) = 
107,5 
(21,5 – 28,5) = 
-7 
(-7)2=49 (49)*(5)= 
245 
23 ⱶ 26 7 (23 + 26) / 2 = 
24,5 
(24,5) * (7) = 
171,5 
(24,5 – 28,5) = 
-4 
(-4)2=16 (16)*(7) 
=112 
26 ⱶ 29 4 (26 + 29) / 2 = 
27,5 
(27,5) * (4) = 
110 
(27,5 – 28,5) = 
-1 
(-1)2=1 (1)*(4) = 4 
29 ⱶ 32 4 (29 + 32) / 2 = 
30,5 
(30,5) * (4) = 
122 
(30,5 – 28,5) = 
2 
(2)2 = 4 (4)*(4) = 16 
32 ⱶ 35 7 (32 + 35) / 2 = 
33,5 
(33,5) * (7) = 
234,5(33,5 – 28,5) = 
5 
(5)2 = 25 (25)*(7)=175 
35 ⱶ 38 3 (35 + 38) / 2 = 
36,5 
(36,5) * (3) = 
109,5 
(36,5 – 28,5) = 
8 
(8)2 = 64 (64)*(3)=192 
TOTAL ∑ni =30 ∑ Xi . ni = 855 ∑ xi2.ni = 744 
 
1º.) calcula-se a média aritmética (colunas Xi e Xini).  X = ∑ Xi . ni / ∑ni  X = 855 / 30 = 28,5 anos 
 
2º.) calcula-se as discrepâncias, subtraindo-se do ponto médio o valor da média aritmética: (Xi - X) = xi (verifique os 
valores da 5ª. coluna). 
3º.) eleva-se o valor de xi (discrepâncias) ao quadrado (verifique os valores da 6ª. coluna). 
4º.) multiplica-se as discrepâncias elevadas ao quadrado pelas respectivas frequências absolutas (xi2.ni ). 
E no final, aplica-se as fórmulas para cálculo da variância e do desvio padrão. 
Variância 
S2(X) = 




n
i
i
n
i
ii
n
nx
1
1
2
.
  S2(X) = 
30
744
  S2(X) = 24,80 
Desvio Padrão 
S(X)= 




n
i
i
n
i
ii
n
nx
1
1
2
.
 S(X)= √24,80  S(X)= 4,98