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MATEMA´TICA – ICET – UFMT (2012/1) – Prof. Geraldo L. Diniz – Engenharia Sanita´ria e Ambiental Primeira lista de exerc´ıcios - P1 1. Nos exerc´ıcios a seguir, encontre as coordenadas do vetor indicado. a) Sejam P = (1,3) e Q = (2,-1). Obtenha o vetor v, equivalente a −−→ PQ, a partir da origem. b) O vetor −−→ OP , onde O e´ a origem e P e´ o ponto me´dio do segmento RS, sendo R = (2,−1) e S(−4, 3). c) O vetor v, equivalente a −→ AO, onde A = (2, 3) e O = (0, 0). d) O vetor v = −−→ AB + −−→ CD, onde A = (1,−1), B = (2, 0), C = (−1, 3) e D = (−2, 2). e) O vetor unita´rio u que forma um aˆngulo θ = pi/3 com o eixo x positivo. f) O vetor unita´rio u que forma um aˆngulo θ = −3pi/4 com o eixo x positivo. g) O vetor unita´rio u = (1, 0) com a rotac¸a˜o de 120o no sentido anti-hora´rio ao redor da origem; h) O vetor unita´rio obtido pela rotac¸a˜o de 135o no sentido anti-hora´rio em torno da origem, do vetor (1, 0). 2. Sejam u = (3,−2) e v = (−2, 5). Encontre as componentes e a magnitude (mo´dulo) dos vetores (w) indicados. a) w = 3u; b) w = u+ v; c) w = 2u− 3v; d) w = 35u+ 45v; e) w = −2v; f) w = u− v; g) w = −2u+ 5v; h) w = − 513u+ 1213v. 3. Expresse cada um dos vetores abaixo na forma v = xi+ yj+ zk. a) −−−→ P1P2, onde P1 = (5, 7,−1) e P2 = (2, 9,−2); b) −−−→P1P2, onde P1 = (1, 2, 0) e P2 = (−3, 0, 5); c) −−→ AB, onde A = (−7,−8, 1) e B = (−10, 8, 1); d) −−→AB, onde A = (1, 0, 3) e B = (−1, 4, 5); e) w = 5u− v, onde u = (1, 1,−1) e v = (2, 0, 3); f) w = −2u+ 3v, onde u = (−1, 0,−1) e v = (2, 0, 3). 4. Encontre a direc¸a˜o do vetor −−−→ P1P2 e o ponto me´dio (M) do segmento de reta P1P2. a) P1 = (−1, 1, 5) e P2 = (2, 5, 0); b) P1 = (1, 4, 5) e P2 = (−3, 0, 5); c) P1 = (3, 4, 5) e P2 = (2, 3, 4); d) P1 = (0, 0, 0) e P2 = (2,−2,−2). 5. Se −−→ AB = i+ 4j− 2k e B e´ o ponto (5,1,3), encontre A. 6. Se −−→ AB = −7i+ 3j+ 8k e A e´ o ponto (-2,-3,6), encontre B. 7. Um avia˜o esta´ voando na direc¸a˜o 30o oeste de norte, com velocidade de 800 km/h. Encontre as componentes da velocidade do avia˜o, considerando que o eixo x positivo representa a direc¸a˜o leste e o eixo y positivo representa a direc¸a˜o norte. 8. Para os vetores u e v a seguir, calcule u · v, |u|, |v|, o cosseno do aˆngulo entre u e v e o vetor projvu. a) v = 2i− 4j+√5k e u = −2i+ 4j−√5k; b) v = 35 i+ 45k e u = 5i+ 12j; c) v = 10i+ 11j− 2k e u = 3j+ 4k; d) v = 2i+ 10j− 11k e u = 2i+ 2j+ k;. 9. Determine o aˆngulo entre os vetores u e v dados. a) u = 2i+ j e v = i+ 2j− k; b) u = 2i− 2j+ k e v = 3i+ 4k; c) u = √ 3i− 7j e v = √3i+ j− 2k; d) u = i+√2j−√2k e v = −i+ j+ k;. 10. Para os vetores u e v dados, encontre u× v e v × u a) u = 2i− 2j− k e v = i− k; b) u = i+ 3j e v = −i+ j; c) u = 2i− 2j+ k e v = −i+ j− 2k; d) u = −8i− 2j− 4k e v = 2i+ 2j+ k. 11. Encontre a a´rea A do triaˆngulo determinado pelos pontos P , Q e R dados e o vetor unita´rio n perpendicular ao plano PQR. a) P = (1,−1, 2), Q = (2, 0,−1) e R = (0, 2, 1); b) P = (1, 1, 1), Q = (2, 1, 3) e R = (3,−1, 1); c) P = (2,−2, 1), Q = (3,−1, 2) e R = (3,−1, 1); d) P = (−2, 2, 0), Q = (0, 1,−1) e R = (−1, 2,−2). 2 Primeira lista de exerc´ıcios - P1 – Geom.Anal´ıtica 12. Qual o volume V do paralelep´ıpedo formado pelos vetores u, v e w dados? a) u = 2i, v = 2j e w = 2k; b) u = i− j+ k, v = 2i+ j− 2k e w = −i+ 2j− k; c) u = 2i+ j, v = 2i− j+ k e w = i+ k; d) u = i+ j− 2k, v = −i− k e w = 2i+ 4j− 2k. Respostas: 1. a) v = (1,−4); b) −−→OP = (−1, 1); c) v = (−2,−3); d) v = (0, 0); e)u = ( 1 2 , √ 3 2 ) ; f) u = ( − √ 2 2 ,− √ 2 2 ) g) ( − 12 , √ 3 2 ) h) (√ 2 2 , √ 2 2 ) 2. a) w = (9,−6) e |w| = 3√13; b) w = (1, 3) e |w| = √10; c) w = (0, 11) e |w| = 11; d) w = ( 1 5 , 14 5 ) e |w| = √ 197 5 ; e) w = (4,−10) e |w| = 2 √ 29; f) w = (5,−7) e |w| = √74; g) w = (−16, 29) e |w| = √1097; h) w = (−3, 7013) e |w| = √642113 . 3. a) −−−→ P1P2 = −3i+ 2j− k; b) −−−→P1P2 = −4i− 2j+ 5k; c) −−→AB = −3i+ 16j; d) −−→ AB = −2i+ 4j+ 2k; e) w = 3i+ 5j− 8k; f) w = 5i+ 3j− 1k;. 4. a) −−−→ P1P2 = 3i+ 4j− 5k e M = ( 1 2 , 3, 5 2 ) ; b) −−−→ P1P2 = −4i− 4j e M = (−1, 2, 5); c) −−−→ P1P2 = −i− j− k e M = ( 5 2 , 7 2 , 9 2 ) ; d) −−−→ P1P2 = 2i− 2j− 2k e M = (1,−1,−1). 5. A = (4,−3, 5) 6. B = (−9, 0, 14) 7. v = (−400, 400√3). 8. a) u · v = −25; |u| = 5; |v| = 5; cos θ = −1 projvu = −2i+ 4j− √ 5k; b) u · v = 3; |u| = 13; |v| = 1; cos θ = 313 projvu = 9 5 i+ 12 5 j; c) u · v = 25; |u| = 5; |v| = 15; cos θ = 13 projvu = 19 (10i+ 11j− 2k); d) u · v = 13; |u| = 3; |v| = 15; cos θ = 1345 projvu = 13225 (2i+ 10j− 11k). 9. a) θ ≈ 0, 75 radianos; b) θ ≈ 1, 7 radianos; c) θ ≈ 1, 77 radianos; d) θ ≈ 1, 83 radianos; 10. a) u× v = 2i+ j+ 2k; v × u = −2i− j− 2k; b) u× v = 4k; v × u = −4k; c) u× v = 3i+ 3j; v × u = −3i− 3j; d) u× v = 6i− 12k; v × u = −6i+ 12k 11. a) A = 2 √ 6 u.a. n = ± √ 6 6 (2i+ j+ k); b) A = 3 u.a. ± 13 (2i+ 2j− k); c) A = √ 2 2 u.a. n = ± √ 2 2 (i− j); d) A = √ 14 2 u.a. ± √ 14 14 (2i+ 3j+ k). 12. a) V = 8 u.v. b) V = 4 u.v. c) V = 3 u.v. d) V = 8 u.v. Bom estudo! Cuiaba´, 29 de Marc¸o de 2012.
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