lista de exercícios de Álgebra Linear

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MATEMA´TICA – ICET – UFMT (2012/1) – Prof. Geraldo L. Diniz – Engenharia Sanita´ria e Ambiental
Primeira lista de exerc´ıcios - P1
1. Nos exerc´ıcios a seguir, encontre as coordenadas do vetor indicado.
a) Sejam P = (1,3) e Q = (2,-1). Obtenha o vetor v, equivalente a
−−→
PQ, a partir da origem.
b) O vetor
−−→
OP , onde O e´ a origem e P e´ o ponto me´dio do segmento RS, sendo R = (2,−1) e S(−4, 3).
c) O vetor v, equivalente a
−→
AO, onde A = (2, 3) e O = (0, 0).
d) O vetor v =
−−→
AB +
−−→
CD, onde A = (1,−1), B = (2, 0), C = (−1, 3) e D = (−2, 2).
e) O vetor unita´rio u que forma um aˆngulo θ = pi/3 com o eixo x positivo.
f) O vetor unita´rio u que forma um aˆngulo θ = −3pi/4 com o eixo x positivo.
g) O vetor unita´rio u = (1, 0) com a rotac¸a˜o de 120o no sentido anti-hora´rio ao redor da origem;
h) O vetor unita´rio obtido pela rotac¸a˜o de 135o no sentido anti-hora´rio em torno da origem, do vetor (1, 0).
2. Sejam u = (3,−2) e v = (−2, 5). Encontre as componentes e a magnitude (mo´dulo) dos vetores (w) indicados.
a) w = 3u; b) w = u+ v; c) w = 2u− 3v; d) w = 35u+ 45v;
e) w = −2v; f) w = u− v; g) w = −2u+ 5v; h) w = − 513u+ 1213v.
3. Expresse cada um dos vetores abaixo na forma v = xi+ yj+ zk.
a)
−−−→
P1P2, onde P1 = (5, 7,−1) e P2 = (2, 9,−2); b) −−−→P1P2, onde P1 = (1, 2, 0) e P2 = (−3, 0, 5);
c)
−−→
AB, onde A = (−7,−8, 1) e B = (−10, 8, 1); d) −−→AB, onde A = (1, 0, 3) e B = (−1, 4, 5);
e) w = 5u− v, onde u = (1, 1,−1) e v = (2, 0, 3); f) w = −2u+ 3v, onde u = (−1, 0,−1) e v = (2, 0, 3).
4. Encontre a direc¸a˜o do vetor
−−−→
P1P2 e o ponto me´dio (M) do segmento de reta P1P2.
a) P1 = (−1, 1, 5) e P2 = (2, 5, 0); b) P1 = (1, 4, 5) e P2 = (−3, 0, 5);
c) P1 = (3, 4, 5) e P2 = (2, 3, 4); d) P1 = (0, 0, 0) e P2 = (2,−2,−2).
5. Se
−−→
AB = i+ 4j− 2k e B e´ o ponto (5,1,3), encontre A.
6. Se
−−→
AB = −7i+ 3j+ 8k e A e´ o ponto (-2,-3,6), encontre B.
7. Um avia˜o esta´ voando na direc¸a˜o 30o oeste de norte, com velocidade de 800 km/h. Encontre as componentes da
velocidade do avia˜o, considerando que o eixo x positivo representa a direc¸a˜o leste e o eixo y positivo representa
a direc¸a˜o norte.
8. Para os vetores u e v a seguir, calcule u · v, |u|, |v|, o cosseno do aˆngulo entre u e v e o vetor projvu.
a) v = 2i− 4j+√5k e u = −2i+ 4j−√5k; b) v = 35 i+ 45k e u = 5i+ 12j;
c) v = 10i+ 11j− 2k e u = 3j+ 4k; d) v = 2i+ 10j− 11k e u = 2i+ 2j+ k;.
9. Determine o aˆngulo entre os vetores u e v dados.
a) u = 2i+ j e v = i+ 2j− k; b) u = 2i− 2j+ k e v = 3i+ 4k;
c) u =
√
3i− 7j e v = √3i+ j− 2k; d) u = i+√2j−√2k e v = −i+ j+ k;.
10. Para os vetores u e v dados, encontre u× v e v × u
a) u = 2i− 2j− k e v = i− k; b) u = i+ 3j e v = −i+ j;
c) u = 2i− 2j+ k e v = −i+ j− 2k; d) u = −8i− 2j− 4k e v = 2i+ 2j+ k.
11. Encontre a a´rea A do triaˆngulo determinado pelos pontos P , Q e R dados e o vetor unita´rio n perpendicular ao
plano PQR.
a) P = (1,−1, 2), Q = (2, 0,−1) e R = (0, 2, 1); b) P = (1, 1, 1), Q = (2, 1, 3) e R = (3,−1, 1);
c) P = (2,−2, 1), Q = (3,−1, 2) e R = (3,−1, 1); d) P = (−2, 2, 0), Q = (0, 1,−1) e R = (−1, 2,−2).
2 Primeira lista de exerc´ıcios - P1 – Geom.Anal´ıtica
12. Qual o volume V do paralelep´ıpedo formado pelos vetores u, v e w dados?
a) u = 2i, v = 2j e w = 2k;
b) u = i− j+ k, v = 2i+ j− 2k e w = −i+ 2j− k;
c) u = 2i+ j, v = 2i− j+ k e w = i+ k;
d) u = i+ j− 2k, v = −i− k e w = 2i+ 4j− 2k.
Respostas:
1.
a) v = (1,−4); b) −−→OP = (−1, 1); c) v = (−2,−3); d) v = (0, 0);
e)u =
(
1
2 ,
√
3
2
)
; f) u =
(
−
√
2
2 ,−
√
2
2
)
g)
(
− 12 ,
√
3
2
)
h)
(√
2
2 ,
√
2
2
)
2.
a) w = (9,−6) e |w| = 3√13; b) w = (1, 3) e |w| = √10; c) w = (0, 11) e |w| = 11;
d) w =
(
1
5 ,
14
5
)
e |w| =
√
197
5 ; e) w = (4,−10) e |w| = 2
√
29; f) w = (5,−7) e |w| = √74;
g) w = (−16, 29) e |w| = √1097; h) w = (−3, 7013) e |w| = √642113 .
3.
a)
−−−→
P1P2 = −3i+ 2j− k; b) −−−→P1P2 = −4i− 2j+ 5k; c) −−→AB = −3i+ 16j;
d)
−−→
AB = −2i+ 4j+ 2k; e) w = 3i+ 5j− 8k; f) w = 5i+ 3j− 1k;.
4.
a)
−−−→
P1P2 = 3i+ 4j− 5k e M =
(
1
2 , 3,
5
2
)
; b)
−−−→
P1P2 = −4i− 4j e M = (−1, 2, 5);
c)
−−−→
P1P2 = −i− j− k e M =
(
5
2 ,
7
2 ,
9
2
)
; d)
−−−→
P1P2 = 2i− 2j− 2k e M = (1,−1,−1).
5. A = (4,−3, 5)
6. B = (−9, 0, 14)
7. v =
(−400, 400√3).
8.
a) u · v = −25; |u| = 5; |v| = 5; cos θ = −1 projvu = −2i+ 4j−
√
5k;
b) u · v = 3; |u| = 13; |v| = 1; cos θ = 313 projvu =
9
5
i+
12
5
j;
c) u · v = 25; |u| = 5; |v| = 15; cos θ = 13 projvu = 19 (10i+ 11j− 2k);
d) u · v = 13; |u| = 3; |v| = 15; cos θ = 1345 projvu = 13225 (2i+ 10j− 11k).
9. a) θ ≈ 0, 75 radianos; b) θ ≈ 1, 7 radianos; c) θ ≈ 1, 77 radianos; d) θ ≈ 1, 83 radianos;
10.
a) u× v = 2i+ j+ 2k; v × u = −2i− j− 2k; b) u× v = 4k; v × u = −4k;
c) u× v = 3i+ 3j; v × u = −3i− 3j; d) u× v = 6i− 12k; v × u = −6i+ 12k
11.
a) A = 2
√
6 u.a. n = ±
√
6
6 (2i+ j+ k); b) A = 3 u.a. ± 13 (2i+ 2j− k);
c) A =
√
2
2 u.a. n = ±
√
2
2 (i− j); d) A =
√
14
2 u.a. ±
√
14
14 (2i+ 3j+ k).
12. a) V = 8 u.v. b) V = 4 u.v. c) V = 3 u.v. d) V = 8 u.v.
Bom estudo! Cuiaba´, 29 de Marc¸o de 2012.