FRAÇÕES PARCIAIS

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17/07/2016 blogengenhariarodrigo: FRAÇÕES PARCIAIS
http://blogengenhariarodrigo.blogspot.com.br/2014/10/fracoes­parciais.html 1/10
Neste blog, postarei assuntos da área matemática e área tecnológica, explicação de fácil compreensão para todos. Sugestões são bem­vindas. "A matemática
não mente, mente quem faz mau uso dela" Albert Einstein
Referência Bibliográfica MATEMÁTICA (FUNDAMENTAL E MÉDIO) MATEMÁTICA (SUPERIOR) MATEMÁTICA FINANCEIRA
t e r ç a ‐ f e i r a , 2 1 d e o u t u b r o d e 2 0 1 4
FRAÇÕES PARCIAIS
FRAÇÕES PARCIAIS
    Lembre­se que uma função racional é uma razão de dois polinômios. Nesta seção, vamos
fornecer um método geral para a integração de funções racionais, baseado na ideia de decompor
uma função racional em uma soma de funções racionais mais simples, que possam ser
integradas pelos métodos já estudados. 
   Temos dois tipos de funções racionais: 
  FUNÇÕES RACIONAIS PRÓPRIAS: o grau do numerador é menor que o grau do
denominador. 
  FUNÇÕES RACIONAIS IMPRÓPRIAS: o grau do numerador é maior que o grau do
denominador ou são iguais. 
ENCONTRANDO A FORMA DE UMA DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
     O primeiro passo para encontrar a forma de uma decomposição em frações parciais de
uma função racional própria P(x)/Q(x) é fatorar completamente Q(x) em fatores lineares (fatores
lineares são fatores em forma da equação da reta ax + b), quadráticos e irredutíveis (em forma de
equação do 2º grau que não possam mais ser fatorados) e, então, juntar todos os fatores
repetidos, de modo que Q(x) seja expresso como um produto de fatores distintos da forma 
(ax + b)m e (ax² + bx + c)m
      A partir desses fatores, podemos determinar a forma da decomposição das frações
parciais usando duas regras: 
1º REGRA FATORES LINEARES
     Se todos os fatores de Q(x) são lineares, então a decomposição em frações parciais de
P(x)/Q(x) pode ser determinada usando a seguinte regra: 
Em que A1, A2 e Am são constantes a serem determinadas. No caso em m = 1 aparece somente a
primeira parcela da soma.
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17/07/2016 blogengenhariarodrigo: FRAÇÕES PARCIAIS
http://blogengenhariarodrigo.blogspot.com.br/2014/10/fracoes­parciais.html 2/10
EXEMPLO 1: Calcule  .
RESOLUÇÃO: Observe que não possuímos solução para essa integral, mas para integrar
podemos fatorar a integral em frações parciais. Pegamos o integrando e veja que podemos
fatorar o denominador, usando báskara, para achar as raízes da função de 2° grau e escrever de
forma fatorada.
  Colocando na regra de frações parciais, obtemos nossas constantes A e B para cada fator, para
achar os valores de A e B, multiplicamos ambos os  membros por (x ­ 1) (x + 2) e montamos um
sistema juntando as potências de x, veja abaixo:
  Vou substituir minha equação na integral e calcular.
EXEMPLO 2: Calcule  .
RESOLUÇÃO: O integrando pode ser reescrito como: 
  Embora x² seja um fator quadrático, não é irredutível, x² = x × x. Assim, pela regra do fator
linear, x² introduz dois termos A e B (uma vez que m = 2) e o fator (x ­ 2) um termo C (uma vez
que m = 1)
  Multiplicando por x² (x ­ 2), após a multiplicação, junta­se as mesmas potências de x, obtemos
(observe que como não possuo nenhum termo com x² para comparar Ax² + Cx² = 0 ­­­> A + C =
0)
Substituindo a equação na integral e calculando
INTEGRAL
IMPRÓPRIA
INTEGRAÇ
ÃO POR
PARTES
TABELA DE
LOGARITM
OS
SÉRIE DE
FOURIER
EXERCÍCIO
S
TABELA DE
ÂNGULOS
DE 0º A 90º
SÉRIE DE
TAYLOR
rodrigo
schwanck
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engenharia
elétrica. Escrevo
artigos
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FRAÇÕES PARCIAIS
BEM ­ VINDO        
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APLICAÇÕES DA
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17/07/2016 blogengenhariarodrigo: FRAÇÕES PARCIAIS
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2º REGRA FATORES QUADRÁTICOS
  Se alguns dos fatores de Q(x) são quadrados irredutíveis, então, sua contribuição para
decomposição em frações parciais P(x)/Q(x) pode ser determinada usando a seguinte regra:
Em que A1, A2, .... , Am, B1, B2, .... , Bm são constantes a serem determinadas. No caso em m =
1, aparece somente a primeira parcela da soma.
EXEMPLO 1: Calcule  .
RESOLUÇÃO:
O denominador pode ser fatorado por agrupamento usando uma das regras estudadas em
fatoração.
3x³ ­ x²+ 3x ­1 = x² . (3x ­ 1) + (3x ­ 1)
x² . (3x ­ 1) + (3x ­ 1) = 0  ­­­> x² = ­ (3x ­ 1) / (3x ­ 1) ­­­> x² = ­1 (raiz complexa) forma
fatorada (x² + 1)
   Uma das raízes que zera essa equação podemos ver que é 1/3 em forma fatorada o mesmo que
(3x ­ 1)
Tenho duas raízes (x² + 1) (3x ­ 1).
   Pela regra do fator linear, 3x ­ 1 introduz um termo, a saber, 
e, pela regra do fator quadrático (x² + 1, veja que esta forma é irredutível, pois não tenho mais
como fatorar), o fator x² + 1 introduz um termo, a saber:
   Assim, montamos a decomposição em frações parciais e multiplicamos ambos os termos por
(3x ­ 1) (x² + 1), e juntamos as potências de x igualando seus valores, montamos e resolvemos o
sistema de equações para achar as constantes.
   Substituindo as constantes e calculando a integral, agora, que colocamos em frações parciais.
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17/07/2016 blogengenhariarodrigo: FRAÇÕES PARCIAIS
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   A resolução da integral está destacada no quadrado, usei o método de substituição e as demais
integrais calculei direto, qualquer dúvida estude o artigo de integral indefinida.
EXEMPLO 2: Calcule  .
RESOLUÇÃO:
    Observe que o integrando é uma função própria uma vez que o numerador tem grau 4 e o
denominador grau 5.
Assim a decomposição em frações parciais do integrando é
  Assim, montamos a decomposição em frações parciais e multiplicamos ambos os termos por (x
+ 2) . (x² + 3)², juntamos as potências de x igualando seus valores, montamos e resolvemos o
sistema de equações para achar as constantes.
   Substituindo as constantes e calculando a integral, agora que colocamos em frações parciais.
INTEGRANDO FUNÇÕES RACIONAIS IMPRÓPRIAS
  O método de frações parciais se aplica somente a funções racionais próprias como vimos até
aqui. Para frações impróprias podem ser integradas efetuando­se uma divisão e expressando­se a
função como o quociente mais o resto sobre o divisor. Lembre­se que fração imprópria o grau do
numerador é maior que o grau do denominador ou iguais.
EXEMPLO:Calcule   .
RESOLUÇÃO:
   Note que o grau do numerador é x4 e do denominador x², portanto uma fração imprópria,
vamos dividi­lá e escrever nossa nova fração
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  Agora, a integração é mais fácil de calcular, pois envolve uma função racional própria à direita
e podemos decompor o integrando em frações parciais, portanto:
  Agora substituímos nossa fração parcial calculada e calculamos a integral
OBSERVAÇÕES FINAIS
   Avalie antes de usar as frações parciais, pois há alguns casos em que é inapropriado o método
de frações parciais quando podemos usar outros métodos.
EXEMPLO: Calcule
RESOLUÇÃO:
(a) Analisando a integral antes de aplicar frações parciais, veja que podemos resolver por
substituição:
(b) Analisando a integral, observe que requer um pouco de álgebra, uma vez que o integrando já
está na forma de frações parciais.
EXERCÍCIOS
1) Calcule as integrais
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RESOLUÇÃO:
(a) Analisando a integral, notamos que não conseguimos resolver por nenhum método
conhecido, mas como o integrando é uma função racional própria (numerador x5 menor que o
denominador x6) podemos decompor em frações parciais:
   Substituindo o integrando para calcular a integral:
(b) Analisando a integral, verificamos que não conseguimos resolver por nenhum método, mas
noto que o integrando é uma função racional imprópria. Seus expoentes de maior grau do
numerador e denominador são iguais, portanto tenho que dividir (no momento que o resto ficou
com expoente menor que o numerador, chegamos ao resultado):
Então substituindo, obtemos:
  Temos à direita uma função racional própria, temos que usar frações parciais, pois não
conseguimos integrar como está:
   Substituindo e calculando a integral:
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(c) Analisando a integral, notamos que não conseguimos resolver por nenhum método
conhecido, mas como o integrando é uma função racional própria (numerador x2 menor que o
denominador x3) podemos decompor em frações parciais.
     Note que usando a regra dos fatores lineares estudados na 1ª regra dos fatores lineares no
início do artigo o denominador tem que ser decomposto dessa forma: (x + 1) (x ­ 3) (x ­ 3)².
Montando a equação, obtemos:
2)  Calcule as integrais fazendo a substituição que converte o integrando em uma função
racional.
RESOLUÇÃO:
(a) Na substituição tenho que escolher o "u" de modo que meu du = cosθ dθ. Portanto, u = sen 
θ, veja que com essa escolha posso resolver a função substituída por u com frações parciais, já
que é uma função racional própria. Assim, obtemos
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       Na reposta inverti sen θ ­ 1, por 1 ­ sen θ, pois como sen θ < 1 sempre vai ficar o valor
positivo. Lembre­se logaritmo (ln) de número negativo é zero não existe.
(b) Mesmo procedimento da letra (a)
3) Encontre a área da região sob a curva  acima do intervalo [­ln 5, ln 5].
(sugestão: faça uma substituição que converta o integrando em uma função racional)
RESOLUÇÃO:
    Observe que podemos multiplicar por 1 sem alterar o resultado é uma constante. Podemos
fazer ex/ex= 1 como uma constante para transformar em função racional. Temos uma função
racional própria já que o numerador é menor que o denominador.