4 Funções 2a. parte

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4.4 - Funções do 2º. grau
A função quadrática é um ótimo exemplo para uma série de situações problemas das mais
variadas. Seu aspecto gráfico (a parábola) é bastante conhecido e, nesta aula, a fim de
construirmos e analisarmos os gráficos de funções de segundo grau, começaremos
obtendo e estudando os pontos notáveis da parábola.
Toda função do tipo y = ax² + bx + c, com {a, b, c}  R e a ≠ 0, é chamada de função
quadrática ou função do 2º. grau.
Ex.: y = 3x² - x - 2 f(x) = 4x² - 2 
A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo.
Considerando a parábola de equação f(x) = ax² + bx + c,
Se a > 0, a parábola possui concavidade para cima
Se a < 0 , a parábola possui concavidade para baixo.
Exercícios
19) Determine a, b e c nas funções abaixo:
𝑎) 𝑦 = 𝑥² − 1
𝑏) 𝑦 = −𝑥² + 1
𝑐) 𝑦 = 𝑥²
𝑑) 𝑦 = −𝑥²
𝑒) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥
𝑓) 𝑦 = −2𝑥2 − 4𝑥
𝑔) 𝑦 = −3𝑥2 − 3
ℎ) 𝑦 = 𝑥² − 2𝑥 + 4
4.4.1 - Pontos Notáveis da Parábola
Alguns pontos da parábola, por facilitarem a construção do gráfico da função do
2º. grau, merecem destaque.
- Intersecção com o eixo Ox
Para obtê-los a partir de y = ax² + bx + c, basta atribuirmos o valor zero à variável
y e resolver a equação:
ax² + bx + c = 0
Utilizamos a fórmula de Baskara,
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2𝑎
onde,
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
- Intersecção com o eixo Ox
ax² + bx + c = 0
Se a equação tiver  > 0, então terá duas raízes reais e distintas: x1 ≠ x2
Assim, os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox são (x1, 0) e (x2, 0)
Se a equação tiver  = 0, então terá duas raízes reais e iguais: x1 = x2
Assim, a parábola será tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2
Se a equação tiver  < 0, então não terá raízes reais
Assim, a parábola não terá ponto em comum com o eixo Ox
- Intersecção com o eixo Ox
Ex.:
y = 2x² - x – 1
 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: 
2x² - x - 1 = 0 onde, a = 2 b = -1 c = -1
 = b² - 4ac 
 = (-1)² - 4.2.(-1) = 1 – (-8) = 1 + 8 = 9
Como  > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos:
(x1, 0) e (x2, 0)
onde x1 e x2 são as raízes da equação.
Determinando x1 e x2, temos:
𝑥 =
− −1 ± 9
2.2
=
1 ± 3
4
𝑥1 =
1+3
4
=
4
4
= 1 𝑥2 =
1−3
4
=
−2
4
= −
1
2
Como o coeficiente de x² é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima.
Ex.:
y = - 4x² - 12x - 9
 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: 
-4x² - 12x - 9 = 0 onde, a = -4 b = -12 c = -9
 = b² - 4ac 
 = (-12)² - 4.(-4).(-9) = 144 – 144 = 0
Como  = 0, temos duas raízes reais e iguais (x1 = x2). Portanto a parábola 
tangencia o eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. 
Determinando essas raízes, temos:
𝑥 =
− −12 ± 0
2. (−4)
=
12 ± 0
−8
𝑥1 = 𝑥2 = −
12
8
= −
3
2
Como o coeficiente de x² é negativo (a < 0), a parábola tem concavidade para baixo.
- Intersecção com o eixo Oy
ax² + bx + c
Basta atribuirmos o valor zero à variável x.
Assim, o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é (0, y)
Ex.: y = x² - 6x + 5
 pontos de intersecção de seu gráfico com o eixo Oy: 
Fazendo x = 0  y = 5
Então, a parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, 5) 
Ex.:
y = x² - 6x + 5
 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: 
x² - 6x + 5 = 0 onde, a = 1 b = -6 c = 5
 = b² - 4ac 
 = (-6)² - 4.(1).(5) = 36 – 20 = 16
Como  > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos:
(x1, 0) e (x2, 0)
onde x1 e x2 são as raízes da equação.
Determinando x1 e x2, temos:
𝑥 =
− −6 ± 16
2.1
=
6 ± 4
2
𝑥1 =
6+4
2
=
10
2
= 5 𝑥2 =
6−4
2
=
2
2
= 1
Como o coeficiente de x² é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima.
-O vértice da parábola
Outro ponto notável da parábola é o seu vértice.
O vértice V é o ponto de intersecção da parábola com seu eixo de simetria.
O vértice V(xv, yv) da parábola de equação
y = ax² + bx + c, com {a, b, c}  R e a ≠ 0, é o ponto
𝑉 = −
𝑏
2𝑎
, −
∆
4𝑎
onde
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Ex.:
No exemplo anterior y = x² - 6x + 5
 pontos de intersecção de seu gráfico com o eixo Oy: (0, 5) 
 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: (5, 0) e (1, 0)
x² - 6x + 5 = 0 onde, a = 1 b = -6 c = 5
 = b² - 4ac 
 = (-6)² - 4.(1).(5) = 36 – 20 = 16
Determinando xv e yv, temos:
𝑥𝑣 = −
(−6)
2.1
=
6
2
= 3 𝑦𝑣 = −
16
4.1
= −
16
4
= −4
Portanto, o vértice da parábola é o ponto V(3, -4)
4.4.2 - Máximo eMínimo de uma Função
Seja f uma função real de variável real.
A função f admite valor máximo se, e somente se, existe xmax, com xmax  D(f), tal que:
f(xmax)  f(x),  x, x  D(f)
O número f(xmax) é chamado de valor máximo da função f .
Seja f uma função real de variável real.
A função f admite valor mínimo se, e somente se, existe xmin, com xmin  D(f), tal que:
f(xmin)  f(x),  x, x  D(f)
O número f(xmin) é chamado de valor mínimo da função f .
4.4.2 - Máximo eMínimo de uma Função
Seja f : R  R tal que 
f(x) = ax² + bx + c, com {a, b, c}  R e a ≠ 0
 f admite valor de máximo se, e somente se, a < 0. 
Seu valor de máximo é yv = −
∆
4𝑎
e o ponto máximo é xv = −
𝑏
2𝑎
 f admite valor de mínimo se, e somente se, a > 0. 
Seu valor de mínimo é yv = −
∆
4𝑎
e o ponto mínimo é xv = −
𝑏
2𝑎
onde ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Note que estes pontos de mínimo e máximo correspondem respectivamente aos 
vértices, quando a > 0 (mínimo) ou a < 0 (máximo).
Ex.:
Determine o valor mínimo e o ponto de mínimo da função y = 2x² + 2x + 1 
2x² + 2x + 1 onde, a = 2 b = 2 c = 1
 = b² - 4ac 
 = (2)² - 4.(2).(1) = 4 – 8 = -4
Determinando o valor mínimo, temos:
𝑦𝑣 = −
(−4)
4.2
=
4
8
=
1
2
Determinando o ponto mínimo, temos:
𝑥𝑣 = −
2
2.2
= −
2
4
= −
1
2
Portanto, a coordenada será V(-1/2, 1/2)
4.4.3 - Variação de Sinal de uma Função do 2º. Grau
De um modo geral, a discussão da variação de sinal de uma função do 2º. grau, 
f(x) = ax2 + bx + c
recairá sempre em um dos seguintes casos:
Ex.:
No exemplo y = 2x² - x – 1
 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: 
(1, 0) e (-1/2, 0)
Como o coeficiente de x² é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima.
O valor da função será 
negativo para o intervalo do domínio ] -1/2, 1[ 
e positivo, para ] -, - 1/2[ U ] 1, + [
4.5 - Função EXPONENCIAL
As funções exponenciais são utilizadas na representação de situações nas quais a
taxa de variação é considerada grande. Em rendimentos financeiros, por exemplo,
capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias
químicas, no desenvolvimento de bactérias e/ou micro-organismos, ou ainda no
crescimento populacional, dentre outros.
A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e
sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra
no expoente.
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1
y=2x f(x)=(1/2)x
x y
1 2-1=1/2
0 20=1
1 21=2
2 22=4
x y
-2 (1/2)-2=4
-1 (1/2)-1=2
0 (1/2)0=1
1 (1/2)1=1/2
4.6 - Função LOGARÍTMICA
Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do
conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia, Gestão entre
outras.
Função Logarítmica é toda função definida por essa lei de formação:
f(x) = loga x
Com a ≠ 1 e a > 1, é uma função Logarítmica de base a.
O domínio desse tipo de função é o conjunto
dos números reais maiores que zero e o
contradomínio é o conjunto do números reais.
1) Os gráficos das funções logarítmicas semprecortam o eixo X no ponto (1,0).
2) Quando a base é maior que 1, os números maiores que 1 tem logaritmos
positivos e os números entre 0 e 1 tem logaritmos negativos.
3) Quando a base é menor que 1, os números maiores que 1 tem logaritmos
negativos e os números entre 0 e 1 tem logaritmos positivos.