Calc I F Lista 02 2016 1

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UFPI - CCN - DEPTO DE MATEMÁTICA - DISC: CÁLCULO I - CT
PROF. A. MARREIROS FERRAZ
LISTA DE EXERCÍCIOS - 02
1 - Use a regra de L’hôpital para calcular os limites a seguir:
(a) lim
x!1
lnx
x� 1 (b) limx!0
ex � 1
senx
(c) lim
x!+1
lnx
x
(d) lim
x!+1
x100
ex
2 - Mostre que para todo n inteiro positivo tem-se:
(a) lim
x!+1
lnx
xn
= 0 (b) lim
x!+1
xn
lnx
= +1
3 - Despeja-se areia sobre um monte em forma de cone à taxa de � m3=min :
As forças de atrito na areia são tais que a altura do monte é sempre igual ao
raio de sua base. Com que velocidade a altura do monte aumenta quando ele
tem 4m de altura?
4 - Dadas as funções de…nidas por f (x) = x2+6 e f (x) = �x2+4x; construa
seus grá…cos no mesmo sistema cartesiano e determine a menor distância entre
eles.
5 - Calcule a derivada das funções a seguir:
(a) y =
5
4
x4 � x3 + 2px+ 1
x
+ 10 (b) y =
lnx
2x
(c) y = ln cos e2x
6 - Para a função de…nida por y =
x4
4
� x
3
3
+1 determine: pontos de in‡exão,
intervalos de concavidade para cima e/ou para baixo, intervalos de crescimento
e/ou decrescimento, pontos de máximo e/ou de mínimo e em seguida trace um
esboço do grá…co.
7 - Sejam sA = 15t2+10t+20 e sB = 5t2+40t; t � 0; as funções de posição
de dois carros A e B movendo-se ao longo de faixas paralelas e no mesmo sentido
de uma estrada.
(a) Qual é a distância entre os carros quando t = 0?
(b) Em que instantes os carros estão mais próximos?
(c) Em que instantes os carros têm a mesma velocidade e qual é o carro que
está na frente neste momento?
8 - Calcule dydx por diferenciação implícita nos seguintes casos:
(a) 3x3 + 4y3 + 8 = 0 (b) xy2 � x2y + x2 + 2y2 = 0:
9� Um recipiente em forma de um paralelepípedo com base quadrada deve
ter um volume de 2.250 cm3.O material para a base e a tampa do recipeiente
custa R$ 2,00 /cm2 e o dos lados R$ 3,00 /cm2: Ache as dimensões do recipiente
de menor custo.
10 - Despeja-se areia sobre um monte em forma de cone à taxa de � m3=min :
As forças de atrito na areia são tais que a altura do monte é sempre igual ao
raio de sua base. Com que velocidade a altura do monte aumenta quando ele
tem 4m de altura?
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