Poligrafo Mecanica Eng Civil

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Universidade Federal do Pampa (UFP/UFSM) 
Centro de Tecnologia de Alegrete - CTA 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígrafo 
Mecânica para Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof Almir Barros da S. Santos Neto 
 
Polígrafo elaborado pela Profa. Denise de Souza Saad (Eng. Civil/UFSM) 
 
 
 
Mecânica para Engenharia Civil 
Capítulo 1 
 
1. Conceito: Sistema Estrutural é o agrupamento de pontos materiais interligados entre si. 
 
2. Estrutura: é o suporte material que serve para o transporte de esforços; 
 
3. Objetivo: perceber os elementos estruturais e identificar os esforços a que eles estão 
submetidos, possibilitando a criação de condições estruturais passíveis de cálculo real. 
 
1.CARGAS 
 
1.1. Conceito de carga: 
A grande maioria das forças nas edificações é vertical, isto é, dirigidas para o centro da 
Terra 
 
1.2. Peso Próprio e Carga Acidental: 
Fala-se de peso próprio quando se pretende designar o peso dos elementos estruturais. 
 O PP da estrutura atua constantemente sendo também conhecido como “Peso 
Permanente”. Os PP da estrutura são cargas verticais. 
 As Cargas Acidentais são as dotadas de mobilidade devido às pessoas, instalações, 
materiais depositados, maquinários. As CA são chamadas de cargas móveis e estas poderão 
ser verticais e/ou horizontais. 
 As CA possuem seus valores pré-fixados e normalizados através da ABNT. 
 
1.3. Formas de Absorção e Transmissão das cargas nas edificações: 
 Devido às cargas atuantes na estrutura está irá transmitir os esforços atuantes para 
alguns pontos como os vínculos ou ligações e os apoios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4. Carga Concentrada e Carga Uniformemente Distribuída: 
 
1.4.1. Carga Concentrada: aquela que o ponto de aplicação é apenas um ponto. Representada 
geralmente pela letra “P”. 
 
 
 
 
 
1.4.2. Carga Distribuída: cargas que atuam ao longo de um trecho. Representa-se pela letra 
“q”. 
 
 
 
 
 
1.4.2.1. Carga Uniformemente Distribuída: quando o carregamento permanece constante 
durante todo o trecho. 
 
 
 
 
 
1.4.2.2. Carga Distribuída Variável: a carga varia ao longo do trecho. 
 
 
 
 
 
 
2 – Princípios da Estática: 
2.1. Conceitos Fundamentais: 
a) Noção de força: a primeira noção de força foi dada ao homem pela sensação de esforço 
muscular. 
 A definição mecânica de força é o resultado da ação de um corpo sobre outro corpo. 
 
b) Características de uma força: 
Módulo – seu valor numérico 
Direção – reta suporte 
Sentido – Valor numérico. 
 
c) Efeitos: 
 A ação de um corpo sobre outro acarreta efeitos agrupados em duas características. 
Efeitos externos e efeitos internos. 
 - Efeitos externos: é o conjunto de ações e das reações (ativa e reativa) 
Efeito Interno: são as tensões 
d) Representação: por P, G 
 
 
 
P 
q 
q 
q q 
2.2 – Adição de Forças: 
 Quando duas forças atuam sobre um mesmo ponto seus efeitos são os mesmos como 
se atuasse uma única força. 
 
2.2.1. Forças de mesma direção e sentido 
 
 
 
 
2.2.2. Forças de mesma direção e sentidos contrários 
 
 
 
 
 
2.2.3. Forças concorrentes: 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 Transmissibilidade 
 Como as forças se transmitem nos sistemas e do sistema para o solo, para tanto 
precisamos conhecer os tipos de forças 
 
a)Classificação das forças 
 - Forças Externas: são aquelas que se originam da ação de uma causa externa ao sistema 
material, pode ser: 
1) Forças Externas Ativas: são aquelas aplicadas diretamente ao sistema material; 
 
2) Forças Externas Reativas: são aquelas que surgem em reação as forças aplicadas. As FER 
ocorrem em locais específicos chamados de apoios e sendo denominadas de REAÇÃO DE 
APOIO. 
C) Forças Internas: são aquelas que ocorrem entre os pontos do sistema material. 
 
Ex: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1 F2 
R =F1+F2 
 F1 F2 
R= F1-F2 
 
F1 
F2 
R 
R= √ F12+F22+2.F1.F2.cosα 
P1 
P2 
P3 
R1 R2 
P1, P2 e P3- FEA 
R1 e R2 – FER 
2.4 Transmissibilidade 
 As forças nunca agem sozinhas, pois segundo a 3º Lei de Newton: 
“A cada ação corresponde uma reação de mesmo módulo, direção, mas sentido contrário”. 
 
2.5 Sistema de Forças: Condições de Equilíbrio: 
 Define-se como sistema de forças ao conjunto formado pela reunião de várias forças 
que atuam em um corpo qualquer. Para as estruturas planas que serão abordadas em Sistemas 
Estruturais, os sistemas de forças serão chamados coplanares, isto é, sistema formado por 
forças que atuam no mesmo plano. Estas forças coplanares poderão ser concorrentes ou 
paralelas. 
 
Condição para que o sistema de forças esteja em equilíbrio é que a resultante e o 
momento resultante do sistema sejam NULOS em qualquer ponto do sistema. 
Para determinarem-se as condições de equilíbrio da estática tomamos como base as 
equações de equilíbrio da estática: 
ΣΣΣΣF = 0 
ΣΣΣΣM = 0 
 
Para os sistemas planos, considerando os eixos x e y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - Diagrama de Corpo Livre: 
 É a representação do corpo e de todas as Forças e Momentos que atuam sobre ele. 
 
3. Forças no Plano 
 
3.1 Composição de forças: 
 Consiste na determinação da resultante de um sistema de forças, podendo ser 
resolvido graficamente ou analiticamente> 
 
 
 
3.2.1. Forças de mesma direção e sentido 
 
 
 
 
3.2.2. Forças de mesma direção e sentidos contrários 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
z 
 
 
 ΣΣΣΣFx=0 
 
 
 ΣΣΣΣFy=0 
 
 
 ΣΣΣΣMz=0 
 F1 F2 
R =F1+F2 
 F1 F2 
R= F1-F2 
 
3.2.3. Forças concorrentes: 
 
 
 
 
 
 
 
3.2. Componentes cartesianas de uma força 
 Decomposição das forças sobre os eixos cartesianos x e y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos α = Cateto adjacente = F1x F1x = F1.cos  
 Hipotenusa F1 
 
 
sen α = Cateto oposto = F1y F1y = F1.sen  
 Hipotenusa F1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos α = Cateto adjacente = F2y F2y = F2.cos  
 Hipotenusa F2 
 
 
sen α = Cateto oposto = F2x F2x = F2.sen  
 Hipotenusa F2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1 
F2 
R 
R= √ F12+F22+2.F1.F2.cosα 
α 
F1 
F1x 
F1y 
x 
y 
Hipotenusa: F1 
Cateto Oposto: F1y 
Cateto Adjacente: F1x 
α 
F2 
F2x 
F2y 
x 
y 
Hipotenusa: F2 
Cateto Oposto: F2x 
Cateto Adjacente: F2y 
Exemplo: 
A construção representada na figura está em equilíbrio. Calcular as forças normais atuantes 
nos cabos 1, 2 e 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 Momento de uma Força: 
 Defini-se momento de uma força em relação a um ponto qualquer de referência, como 
sendo o produto entre a intensidade da carga aplicada e a respectiva distância em relação ao 
ponto de referência. 
É importante observar que a direção da força e a distância estarão sempre defasados de 
90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 - Teorema de Varignon 
 O momento resultante de duas forças concorrentes em um ponto E qualquer do seu 
plano, em relação a um ponto A de referência, é igual a soma algébrica dos momentos das 
componentes da força resultante em relação a este ponto.Observação: Nunca esqueça que a distância é sempre tomada PERPENDICULAR ao ponto 
de referência. 
 
3.5 Forças Paralelas: 
Considere as forças no plano xy. Entende-se por forças paralelas ao eixo y, quando não 
existirem projeções em relação ao eixo x, tendo momento apenas em relação ao eixo x. 
 
 
5K
45º 
A d F M=F.d 
A 
b 
a 
c 
 R V 
H 
R.c = H.a+V.b 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
z 
ΣΣΣΣFy=0 
ΣΣΣΣMz=0 
É o caso mais comum da estática 
4. Vínculos 
Graus de Liberdade: 
 Defini-se como grau de liberdade a possibilidade de movimento. 
No espaço tem-se 6 GL, o que significa 3 translações e 3 rotações 
 
 
 
 
 
No plano têm-se 3 GL, 2 translações e 1 rotação 
 
 
 
 
 
 
Vínculos: 
 A função dos vínculos é restringir a possibilidade de movimento dos corpos. É função 
também dos vínculos despertar reações chamadas reações vinculares exclusivamente na 
direção dos movimentos impedidos. 
 Os vínculos ou apoios serão classificados de acordo com os graus de liberdade. 
 
Classificação dos vínculos ou apoios: 
1º)Apoio Simples ou Apoio do 1º. Gênero – impede uma translação 
 Apresenta apenas uma reação de apoio, na direção do movimento impedido. 
 Representação: 
 
 
 
 
 
 
2º)Apoio Duplo ou Apoio do 2º. Gênero – impede uma 2 translações 
 Apresenta duas reações de apoio, uma horizontal e uma vertical 
 Representação: 
 
 
 
 
 
 
 
3º) Engastes ou Vínculos do 3º Gênero: 
 Representação 
 
 
 
 
 
z 
y 
x 
z 
y 
x 
V V 
V 
H 
V 
H 
M 
5.Esforços Solicitantes: 
5.1. Fundamentos: 
 O estudo da Mecânica abrange a relação entre as diversas forças que atuam em 
um sólido rígido baseado nas condições de equilíbrio da estática, ou seja, na determinação das 
reações vinculares externas (equilíbrio externo) e a caracterização das solicitações 
fundamentais (equilíbrio interno). 
A Resistência dos Materiais amplia este estudo, procurando determinar a relação 
entre as solicitações externas e os efeitos provocados no interior dos sólidos por estas e, 
admite que os corpos sofram deformações, por menores que estas possam ser, podendo estas 
deformações, quando excessivas, levar o material até a ruptura. 
Os problemas abrangidos pela Resistência dos Materiais são: 
• projetada a estrutura, verificar a segurança quanto ao carregamento imposto; e, 
• dimensionar a estrutura, a fim de resistir aos esforços com segurança. 
Para a determinação das solicitações fundamentais, faz-se necessário a análise dos 
esforços internos, para que nas diversas seções da estrutura, possa-se verificar a existência e a 
grandeza dos mesmos. 
 
 
5.2. Método das Seções: 
 
Considera-se um corpo rígido em equilíbrio qualquer submetido a forças externas 
ativas e reativas. 
 
 F1 F2 m F3 
 F1 F2 F3 
 
 (E) (D) 
 
 RA n RB 
 RA RB 
 
 (a) (b) 
Figura 1.1 
 
A Mecânica, utilizando as equações de equilíbrio externo da estática (ΣFH=0, 
ΣFV=0, ΣM=0), proporciona a determinação das resultantes das forças aplicadas, o que 
possibilita a verificação do equilíbrio do corpo. 
A Resistência dos Materiais estuda a DISTRIBUIÇÃO INTERNA DOS 
ESFORÇOS provocados pelas forças exteriores ativas e reativas. Para a determinação desta 
distribuição secciona-se o corpo por um plano m-n, conforme indicado na figura 1.1.b, 
dividindo-o em duas partes, esquerda (E) e direita (D). Este processo será denominado de 
MÉTODO DAS SEÇÕES. 
Para ser possível esta divisão, mantendo o equilíbrio das duas partes, aplica-se na 
parte (E), um SISTEMA ESTÁTICO EQUIVALENTE aos das forças que atuam na parte (D), 
e na parte (D), um sistema estático equivalente ao das forças que atuam na parte (E). Este 
sistema estático é obtido reduzindo-se às forças à esquerda e à direita da seção S em relação a 
um ponto, sendo este geralmente o centro de gravidade da seção. 
Assim, a resultante R das forças e o momento resultante M, os quais atuam na 
parte (E), foram obtidos através das forças que atuam na parte D, e vice-versa. 
Logo pode-se dizer que a seção S de um corpo em equilíbrio, também esta em 
equilíbrio submetida a um par de forças R e -R e a um par de momentos M e -M aplicados no 
seu centro de gravidade e resultante das forças atuantes em (D) e (E), respectivamente. 
 
 
 F1 F2 F3 
 R M 
 
 (E) (D) 
 M R 
 RA RB 
 
Figura 1.2 
 
Para uma melhor compreensão dos efeitos estáticos provocados por R e M na 
seção S da parte (E), far-se-á a decomposição da força e do momento resultante segundo um 
triedro escolhido. Para a origem do sistema de eixos do mesmo considera-se o Centro de 
Gravidade da seção. 
O triedro será constituído por um eixo normal a seção e ao baricentro (eixo X) e 
dois eixos tangenciais a seção (eixo Y e eixo Z), coincidindo com os eixos principais de 
inércia da seção 
 
 y 
 
 My 
 F1 F2 Fy=Qy 
 Mx=T 
 (E) 
 Fx=N x 
 RA Fz=Qz 
 Mz 
 z 
 
Figura 1.3 
 
Cada uma das seis componentes obtidas, representa um efeito provocado pelas 
forças aplicadas sobre o sólido em estudo, que a seguir são descritas: 
 
• ESFORÇO NORMAL (indicado pela letra N): 
Representa a soma algébrica das projeções sobre a normal à seção, das forças 
exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção considerada. As forças normais, que atuam 
em um elemento, tendem a provocar um alongamento (tração) ou encurtamento (compressão) 
do elemento na direção da força normal. 
 
• ESFORÇO CORTANTE (indicado pela letra Q): 
Representa a soma vetorial das projeções sobre o plano da seção das forças 
exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção considerada. As forçascortantes que agem 
sobre um elemento tendem a provocar um deslizamento de uma face em relação a outra face 
vizinha. 
 
• MOMENTO TORSOR (representado pela letra T): 
 Representa a soma algébrica das projeções sobre um eixo perpendicular ao plano 
da seção e passando pelo seu centro de gravidade, dos momentos das forças exteriores 
situadas à esquerda ou à direita da seção. Os momentos torsores tendem a torcer as faces em 
sentidos opostos em torno da normal baricêntrica. 
 
• MOMENTO FLETOR (representado pela letra M): 
Representa a soma vetorial das projeções sobre o plano da seção dos momentos 
das forças exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção. Os momentos fletores tendem a 
fazer girar em sentidos opostos as faces do elemento em torno de retas localizadas nos planos 
das faces. 
 
 
Exercícios de Diagramas 
 
Exercícios resolvidos: 
1) Determine as reações de apoio, os DEC e DMF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,3m 0,8 m 0,3 0,2 
8,1 KN 
1) 4,5 KN 1,2 KN/m 
2,1 KN/m 
A B C D E 
 0,2m 0,3 m 0,3 m 0,2 m 0,4 m 0,3 
3,1 KN 2) 5,2 KN 
0,8 KN/m 0,5 KN/m 
A B C D E F G 
 1,0 m 0,5 m 0,4m 
0,8 m 
0,5 KN/m 2,5 KN 
3 KNm 3) 0,2 KN/m 
A B C D E 
10,6 KN 
 0,6 0,2 0,8 0,8 m 
A B C D E 
8 KN 
 
0,3 KN/m 
0,8 KN/m 
5 KNm 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)Reações de Apoio: 
Inicialmente serão calculadas as reações de apoio, através das 3 equações da estática: 
ΣFH = 0 
ΣFV = 0 Equações da estática 
ΣMA = 0 
 
ΣFH = 0 HA=0 
ΣFV = 0 VA + VC – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN – 2,1 KN/m * 0,5 m - 4,5 KN = 0 
 VA + VC = 15,0 KN 
ΣMA = 0 1,2 KN/m x 1,1 m * 1,1m/2 + 8,1 KN * 1,3 m + 4,5 KN * 1,4 m + 2,1 KN/m * 
0,5m * ( 0,5m/2 + 1,4 m) – 1,1 m * VC = 0 
 
 
 
b) DEC 
 A partir das reações de apoio, será calculado o diagrama de esforço cortante. Para 
cálculo será empregada a seguinte convenção, na esquerda, quando a força estiver subindo, 
será positivo. Caso o cálculo seja iniciado na direita, o esforço será positivo, quando a força 
estiver descendo. Em ambos os casos a representação será acima do eixo da viga. Assim, 
tem-se: 
 
 
 
 
 
VA= + 5,1 KN VB= +9,9 KN 
 0,3m 0,8 m 0,3 0,2 
8,1 KN 
1) 4,5 KN 1,2 KN/m 
2,1 KN/m 
A B C D E 
+ + Esq Esq 
 0,5 0, 7 0,9 m 
A B C 
1,1 KN/m 8,1 
KN 
4,7 KN/m 
0,5 KN/m 
5 
3 KNm 
 
 Lembre-se que na construção do DEC, sempre que houver uma carga ou um apoio 
(exceto o inicial), faz-se o cálculo “antes” e “depois” da carga. 
O diagrama será iniciado pelo ponto A, lembre que você sempre está no ponto considerado: 
Entrando pela esquerda tem-se somente a reação de apoio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QA= +5,1 KN 
 
Entrando pela direita tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QA= +2,1 KN * 0,5 m + 4,5 KN – 9,9 KN + 1,2 KN * 1,1 m +8,1 KN = +5,1 KN 
 
No ponto B, entrando pela esquerda, antes da carga de 8,1 KN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5,1 KN 
0,3 m 
1,2 KN/m 
A B 
5,1 KN 
A 
8,1 KN 
 0,3m 0,8 m 0,3 0,2 
4,5 KN 
1,2 KN/m 
2,1 KN/m 
9,9 KN 
 A B C D E 
 
 
 
 
QBa= +5,1 KN – 1,2 KN/m * 0,3 m = + 4,7 KN 
 
Entrando pela direita: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QBa= +2,1 KN * 0,5 m + 4,5 KN – 9,9 KN + 1,2 KN * 0,8 m +8,1 KN = + 4,7 KN 
 
Na seção B, depois da carga de 8,1 KN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QBd= +5,1 KN – 1,2 KN/m * 0,3 m – 8,1 KN = -3,4 KN 
 
Ou, pela direita: 
QBd=+2,1 KN * 0,5 m + 4,5 KN – 9,9 KN + 1,2 KN * 0,8 m = -3,4 KN 
 
Na seção C, antes do apoio C: 
 
 0,8 m 0,3 
4,5 KN 
1,2 
KN/m 
9,9 
2,1 
KN/m 
5,1 
0,3 
8,1 
KN 1,2 
A B C D 
8,1 KN 
 0,8 m 0,3 0,2 
4,5 KN 
1,2 KN/m 
9,9 KN 
2,1 KN/m 
 B C D E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QCa= +5,1 KN – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN= - 4,3 KN 
 
O mesmo ponto, fazendo o cálculo pela direita: 
QCa= +2,1 KN * 0,5 m + 4,5 KN – 9,9 KN = - 4,3 KN 
 
No ponto C, depois do apoio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QCd= +5,1 KN – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN + 9,9 KN = + 5,6 KN 
 
No ponto C, entrando pela direita: 
 
QCd=+2,1 KN * 0,5 m + 4,5 KN = + 5,6 KN 
 
 
No ponto D, antes da carga de 4,5 KN e entrando pela esquerda: 
 0,3 
4,5 KN 
9,9 
2,1 
KN/m 
5,1 KN 
0,3 m 0,8 
8,1 
KN 1,2 
A B C C D 
9,9 KN 5,1 KN 
0,3 m 0,8 
8,1 
KN 1,2 KN/m 
4,5 KN 2,1 
KN/m 
 0,3 
 A B C C D E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QDa= +5,1 KN – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN + 9,9 KN – 2,1 KN/m * 0,3 m = + 4,9 KN 
 
 
Pela direita, tem-se somente as cargas distribuída e concentrada: 
QDa== +2,1 KN * 0,2 m + 4,5 KN = + 4,9 KN 
 
 
No ponto D, depois da carga concentrada de 4,5 KN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QDd= + 5,1 KN – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN + 9,9 KN – 2,1 KN/m * 0,3 m - 4,5 KN = 
 + 0,4 KN 
 
Entrando pela direita: 
QDd=+2,1 KN * 0,2 m = + 0,4 KN 
 
4,5 KN 2,1 
KN/m 
 0,2 
5,1 
KN 
0,3 m 0,8 m 0,3 
8,1 
KN 1,2 
2,1 
9,9 
KN 
A B C D D 
E 
2,1 
KN/m 
 0,2 
5,1 
KN 
0,3 m 0,8 m 0,3 
8,1 
KN 1,2 
2,1 
9,9 
KN 
A B C D D 
E 
4,5 
KN 
 
 
 
No final da viga: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entrando pela esquerda: 
QE= + 5,1 KN – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN + 9,9 KN – 2,1 KN/m * 0,5 m - 4,5 KN = 0 
 
E, pela direita: 
QE= 0 
 
 
 0,3m 0,8 m 0,3 0,2 
8,1 KN 
 
4,5 KN 
1,2 KN/m 
2,1 KN/m 
A B C D E 
 c) DMF 
O cálculo do Momento Fletor será realizado empregando a seguinte convenção de 
sinais: 
 - Quando calcular o momento fletor a partir da esquerda para direita, o momento positivoserá no sentido horário; quando se iniciar o cálculo pela direita, o momento positivo terá o 
sentido anti-horário; sendo ambos os casos representados abaixo do eixo da viga. 
 Lembre-se que no DMF, quando houver um momento aplicado na viga, tem-se de 
calcular o momento fletor no ponto, “antes” e “depois” do momento aplicado. 
 
 
 
 
O cálculo será iniciado pelo ponto A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MA = 0 
 
Calculando pela direita o ponto A: 
MA = - 1,2 KN/m x 1,1 m * 1,1m/2 - 8,1 KN * 0,3 m +- 9,9 KN * 1,1 m - 4,5 KN * 1,4 m 
 - 2,1 KN/m * 0,5m * (0,5m/2 + 1,1 m) = 0 
 
Calculando o momento fletor no ponto B, entrando pela esquerda, sendo indiferente 
antes ou depois da carga, pois o momento da carga concentrada de 8,1 KN é zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MB = +5,1 KN * 0,3 m – 1,2 KN/m x 0,3 m * 0,3 m/2 = +1,47 KNm 
 
 Considerando o lado direito da seção e a convenção citada anteriormente: 
+ + Esq Esq 
5,1 
8,1 
KN 
 0,3m 0,8 m 
4,5 KN 
1,2 
KN/m 
2,1 
KN/m 
9,9 
A 
 A B C 
 0,8 m 0,3 
4,5 KN 
1,2 
KN/m 
9,9 
2,1 
KN/m 
5,1 
0,3 
8,1 
KN 1,2 
A B C D 
MB =- - 1,2 KN/m x 0,8 m * 0,8m/2 +- 9,9 KN * 0,8 m - 4,5 KN * 1,1 m - 2,1 KN/m * 0,5m * 
(0,5m/2 + 0,8 m) = +1,47 KNm 
 
 No ponto C, tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MC = +5,1 KN * 1,1 m – 1,2 KN/m x 1,1 m * 1,1 m /2 – 8,1 KN * 0,8 m= - 1,6 KNm 
 
 Ou: 
MC = - 4,5 KN * 0,3 m - 2,1 KN/m * 0,5m * 0,5m/2 = - 1,6 KNm 
 
 No ponto D: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MD = +5,1 KN * 1,4 m – 1,2 KN/m x 1,1 m * (1,1/2 + 0,3) m – 8,1 KN * 1,1 m + 9,9 KN * 
0,3m – 2,1 * 0,3 * 0,3m/2 = 0 KN 
 
Ou: 
MD = - 2,1 KN/m * 0,2m * 0,2m/2 = 0 
 
 
 
 
 0,3 
4,5 KN 
9,9 
2,1 
KN/m 
5,1 KN 
0,3 m 0,8 
8,1 
KN 1,2 
A B C C D 
2,1 
KN/m 
 0,2 
5,1 
KN 
0,3 m 0,8 m 0,3 
8,1 
KN 1,2 
2,1 
9,9 
KN 
A B C D D 
E 
4,5 
KN 
Na extremidade da viga: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ME = +5,1 KN * 1,6 m – 1,2 KN/m x 1,1 m * (1,1m/2 + 0,5) m – 8,1 KN * 1,3 m 
 + 9,9 KN * 0,5m – 2,1 KN/m * 0,5m * 0,5m/2 – 4,5 KN * 0,2 m = 0 
 Ou: 
ME = 0 
 
 A seguir, estão desenhados os DEC e DMF da viga: 
 
 
 
 
 0,3m 0,8 m 0,3 0,2 
8,1 KN 
 
4,5 KN 
1,2 KN/m 
2,1 KN/m 
A B C D E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,3m 0,8 m 0,3 0,2 
8,1 KN 
 
4,5 KN 
1,2 KN/m 
2,1 KN/m 
A B C D E 
5,1 4,7 5,6 4,9 
-3,4 -4,3 
0,4 
1,5 KNm 
-1,6 KNm 
DEC 
DMF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)Reações de Apoio: 
VA= - 0,6 KN VB= +9,9 KN 
 
b) DEC 
QA= 0 
QBa= - 0,5 KN/m * 0,2m = - 0,1 KN 
QBd= - 0,5 KN/m * 0,2m - 0,6 KN= - 0,7 KN 
QCa= -0,5 KN/m * 0,5m - 0,6 KN = - 0,85 KN 
QCd= -0,5 KN/m * 0,5m - 0,6 KN – 3,1 KN = - 3,95 KN 
QD= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN = - 4,1 KN 
QEa= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN = - 4,1 KN 
QEd= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN +9,9 KN = +5,8 KN 
QFa= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN +9,9 KN – 0,8 KN* 0,4m = +5,4 KN 
QFd= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN +9,9 KN– 0,8 KN* 0,4m – 5,2 KN= +0,28 KN 
QG= -0,5 KN/m * 0,8m - 0,6 KN – 3,1 KN +9,9 KN– 0,8 KN* 0,7m – 5,2 KN= 0 
c) DMF 
MA = 0 
MB = - 0,5 KN/m * 0,2m * 0,2m/2 = - 0,01 KN 
MC = - 0,5 KN/m * 0,5m * 0,5m/2 – 0,6 KN * 0,3 m = -0,24 KN 
MD = - 0,5 KN/m * 0,8m * 0,8m/2 – 0,6 KN * 0,6 m – 3,1 KN * 0,3 m = - 1,45 KN 
ME = - 0,5 KN/m * 0,8m * (0,8m/2 + 0,2 m) – 0,6 KN * 0,8 m – 3,1 KN * 0,5 m = -2,27 
KNm 
MF = - 0,5 KN/m * 0,8m * (0,8m/2 + 0,6 m) – 0,6 KN * 1,2 m – 3,1 KN * 0,9 m + 9,9 KN * 
0,4 m – 0,8 KN/m * 0,4 m * 0,4 m/2 = - 0,014 KNm 
MG =- 0,5 KN/m * 0,8m * (0,8m/2 + 0,9 m) – 0,6 KN * 1,5 m – 3,1 KN * 1,2 m + 9,9 KN * 
0,7 m – 0,8 KN/m * 0,7 m * 0,7 m/2 – 5,2 KN * 0,3 m = 0 
 
 
 0,2m 0,3 m 0,3 m 0,2 m 0,4 m 0,3 
3,1 KN 2) 5,2 KN 
0,8 KN/m 0,5 KN/m 
A B C D E F G 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,2m 0,3 m 0,3 m 0,2 m 0,4 m 0,3 
3,1 KN 5,2 KN 
0,8 KN/m 0,5 KN/m 
A B C D E F 
G 
5,8 5,4 
0,28 0 
0 -0,1 
-0,7 -0,85 
-3,95 -4,1 -
0 0,01 -
-0,014 0 
-1,45 -2,27 
DEC 
DMF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)Reações de Apoio: 
VA= - 2,61 KN VB= +10,27 KN 
 
b) DEC 
QA= - 2,61 KN 
QB= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m = - 3,1 KN 
QCa= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m = - 3,1 KN 
QCd= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m – 2,5 KN = -5,6 KN 
QDa= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m – 2,5 KN = -5,6 KN 
QDd= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m – 2,5 KN + 10,27 = 4,7 KN 
QEa= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m – 2,5 KN + 10,27 – 0,2 KN/m * 0,8 m= 4,5 KN 
QEd= - 2,61 KN – 0,5 KN/m * 1,0 m – 2,5 KN + 10,27 – 0,2 KN/m * 0,8 m – 4,5 KN = 0 
 
 
 
c) DMF 
MA = 0 
MB = - 2,61 KN * 1m – 0,5 KN/m * 1,0 m * 1m/2 = - 2,9 KNm 
MCa = - 2,61 KN * 1,5m – 0,5 KN/m * 1,0 m * (1m/2 + 0,5 m) = - 4,4 KNm 
MCd = - 2,61 KN * 1,5m – 0,5 KN/m * 1,0 m * (1m/2 + 0,5 m) + 3 KNm = -1,4 KNm 
MD = - 2,61 KN * 1,9 m – 0,5 KN/m * 1,0 m * (1m/2 + 0,9 m) + 3 KNm – 2,5 KN * 0,4 m = - 
3,7 KNm 
ME = - 2,61 KN * 2,7 m – 0,5 KN/m * 1,0 m * (1m/2 + 1,7 m) + 3 KNm – 2,5 KN * 1,2 m + 
10,27 KN * 0,8 m – 0,2 KN/m * 0,8 m * 0,8 m/2 = 0 
 
 1,0 m 0,5 m 0,4m 
0,8 m 
0,5 KN/m 2,5 KN 
3 KNm 3) 0,2 KN/m 
A B C D E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1,0 m 0,5 m 0,4m 
0,5 KN/m 2,5 KN 
3 KNm 0,2 KN/m 
A B C D 
-2,6 -3,1 -
4,7 
0 
-2,9 
-4,4 -3,4 
-1,4 
0 
DEC 
DM
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)Reações de Apoio: 
VA= + 21,0 KN MA= +17,23 KNm 
 
b) DEC 
QA= + 21,0 KN 
QBa= + 21,0 KN – 0,8 KN/m * 0,6 m = + 20,5 KN 
QBd= + 21,0 KN – 0,8 KN/m * 0,6 m – 10,6 KN = + 9,9 KN 
QC=+ 21,0 KN – 0,8 KN/m * 0,8 m – 10,6 KN = + 9,8 KN 
QDa= + 21,0 KN – 0,8 KN/m * 1,6 m – 10,6 KN – 0,3 KN/m * 0,8 m= +8,9 KN 
QDd= + 21,0 KN – 0,8 KN/m * 1,6 m – 10,6 KN – 0,3 KN/m * 0,8 m – 8 KN = +0,9 KN 
QE= + 21,0 KN – 0,8 KN/m * 2,4 m – 10,6 KN – 0,3 KN/m * 1,6 m – 8 KN = 0 
 
 
c) DMF 
MA = - 17,23 KNm 
MBa = - 17,23 KNm + 21KN * 0,6 m – 0,8 KN/m * 0,6 m * 0,6 m/2 = - 4,8 KNm 
MBd = - 17,23 KNm + 21KN * 0,6 m – 0,8 KN/m * 0,6 m * 0,6 m/2 – 5 KNm = - 9,8 KNm 
MC = - 17,23 KNm + 21KN * 0,8 m – 0,8 KN/m * 0,8 m * 0,8 m/2 – 5 KNm – 10,6 Kn * 
 0,2 m = - 7,8 KNm 
MD = - 17,23 KNm + 21KN * 1,6 m – 0,8 KN/m * 1,6 m * 1,6 m/2 – 5 KNm – 10,6 Kn * 
 1,0 m - 0,3 KN/m * 0,8 m * 0,8m/2 = - 0,4 m 
ME = - 17,23 KNm + 21KN * 2,4 m – 0,8 KN/m * 2,4 m * 2,4 m/2 – 5 KNm – 10,6 Kn * 
 1,8 m - 0,3 KN/m * 1,6 m * 1,6m/2 – 8,0 KN * 0,8 m = 0 
 
 0,6 0,2 0,8 0,8 m 
A B C D E 
8 KN 
 
0,3 KN/m 
0,8 KN/m 
5 KNm 4) 
10,6 KN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,6 0,2 0,8 0,8 m 
A B C D E 
8 KN 
0,3 
0,8 KN/m 
5 KNm 
10,6 
DEC 
21,0 
9,9 9,8 
0,9 
-17,2 
-4,8 
-
-7,8 -0,4 DMF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)Reações de Apoio: 
VA= + 14,57 KN MA= +18,45 KNm 
 
b) DEC 
QA= + 14,57 KN 
QBa= + 14,57 KN – 1,1 KN/m * 0,5 m = +14,0 KN 
QBd= + 14,57 KN – 1,1 KN/m * 0,5 m – 8,1 KN = + 5,9 KN 
QC=+ 14,57 KN – 1,1 KN/m * 1,2 m – 8,1 KN = + 5,2 KN 
QDa= + 14,57 KN – 1,1 KN/m * 1,2 m – 8,1 KN - 0,5 KN/m * 0,9 m = + 4,7 KN 
QDd= + 14,57 KN – 1,1 KN/m * 1,2 m – 8,1 KN - 0,5 KN/m * 0,9 m - 4,7 KN = 0 
 
c) DMF 
MA = - 18,45 KNm 
MB = - 18,45 KNm + 14,57 KN * 0,5 m – 1,1 KN/m * 0,5 m * 0,5 m/2 = - 11,3 KNm 
MCa = - 18,45 KNm + 14,57 KN * 1,2 m – 1,1 KN/m * 1,2 m * 1,2 m/2 – 8,1 KN * 0,7 m = 
 -7,4 KMn 
MCd = - 18,45 KNm + 14,57 KN * 1,2 m – 1,1 KN/m * 1,2 m * 1,2 m/2 – 8,1 KN * 0,7 m 
 + 3 KNm = -4,4 KMn 
MD = - 18,45 KNm + 14,57 KN * 2,1 m – 1,1 KN/m * 1,2 m * (1,2 m/2 + 0,9 m) – 8,1 KN 
 * 1,6 m + 3 KNm – 0,5 KN/m * 0,9 m * 0,9 m/2 = 0 
 
 
 
 
 
 0,5 0, 7 0,9 m 
A B C 
1,1 KN/m 8,1 
KN 
4,7 KN/m 
0,5 KN/m 
5) 
3 KNm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4,7 KN/m 
 
 0,5 0, 7 0,9 m 
A B C 
1,1 KN/m 8,1 
0,5 
3 KNm 
+14,6 
+5,9 +5,2 
+4,7 0 
-18,45 -11,3 -
-4,4 
DEC 
DMF 
 A seguir encontram-se alguns exercícios para resolução: 
A)Determine as reações de apoio e os DEC e DMF: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 0,4 m 
12 KN 0,8 
KN/m 
1) 
A B 
 0,2m 0,4 m 
10 
KN 2) 3KN 1,2 
KN/m 
A B C 
 0,1m 0,5 m 0,4 m 0,4 m 0,4 0,2 m 
5,8 KN 4,2 KN 
0,8 KN/m 
 A B C D E F 
4) 
 0,3m 0,4m 0,2m 
6 KN 12 KN 
 A B C D 
 0,3 m 0,2 m 0,1 m 
 8,1 KN 4,3KN 5) 5 
A B C D 
 1,3 m 0,2m 
1,5 KN/m 0,3 KN 
2,5 6) 
A B C 
 0,6 m 0,2m 0,7m 
7
) 
3,2 
0,7 KN/m 12 KN 8,3 KN 
 A B C 
8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,8 m 0,6 0,2 0,45 
0,3 KN/m 
8,3 KN 7,5 
KN 
0,5 3,1 
KNm 
A B C D E 
 0,5 0,4 0,6 m 
1,1 KN/m 5,3 KN 
2,3 KN/m 
3,1KN 
3,4 KNm 
 A B C D 
3m 1
2,1 
KN/m 
 
1,3 
5,7 KN 
 
2,1KNm 
A B 
C 
 0,5 0,1 0,8 m 0,6m 
A B C D E 
6,5 KN 
0,3 KN/m 
0,6 KN/m 
4,5 KNm 8,7 KN 
 
 
12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) 
 
 
 
 
 
 
 
14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,4m 0,6 m 0,1 0,1 0,2 
5,4 
KNm 
6,5 KN 
1,1 KN/m 3,2 KN/m 
A B C D E 
 0,8 0, 2 1,3 m 
A B C 
1,2 KN/m 2,3 KNm 
1,2 KN/m 
 
5,1 KN 
 0,3 0,3 m 0,3 m 0,1 0,6 m 0,3 
12,1KN 7,3 KNm 0,6 KN/m 0,8KN/m 
A B C D E F G 
 0,5 0,1 0,4 1,2m 
A B C D 
10,6 KN 0,3 KN/m 
0,8 KN/m 
5 KNm 
16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,2 m 0,8 0,1 0,5 
0,3 KN/m 
7,5 KN 
0,3 2,0 
KNm 
A B C D E 
 0,8 0,3 0,6 0,5m 
4,7 KN 12,0 
KN 1,2 2,4 KNm 
A B C D 
 0,7 1,4 m 0,6m 
A B C D 
9,2 KNm 
7,5 KN 
0,6 KN/m 
5,2 KN 
 0,3 1,8 m 0,7 
0,6 KN/m 
1,5 
4,7 KN 3,5 KNm 7,3 
KN 
A B C D 
20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,4 0,4 0,6 m 0,7m 
A B C D E 
4,7 KN 5 KN 
0,2 KN/m 
0,6 KN/m 
3,1 KNm 
 0,6 1,4 m0,4 m 0,2m 
A B C D 
1,2 
1,1 KN 
 2 KN 
 0,6 0,3 0,8 0,4m 0,15 
0,6 KNm 6,3 
KN 
1,0 
2,7 
KNm 
A B C D E F 
0,8 KN/m 
 1,3 0,4 0,5 2,4 m 
1,3 KN/m 
11,3 
KN 
A B C D 
60º 
4,3 KNm 7,1 
KN 
 
 
24) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2,5 KN/m 
5,3 KN 10 KN 
8,5 
KNm 
 0,8 1,2 1,1 
A B C D 
2,5 
15 KN 
12 KN 
3 
KNm 
0,5 
1,1 
KN/m 1 
 0,6 0,2 0,2 0,5 0,3 
0,5m 
 A B C D E 
 0,1 0,5 m 0,5 m 0,3 0,2 0,5 1,5 
4,3 KN 3,1 KN 
0,6 KN/m 0,9 KN/m 
 
3,0 KNm 
 
 0,5m 0,4m 0,8m 0,2m 
 8 KN 12 KN 
 
 5 KN/m 2 KN/m 
 
28) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,4 0, 6 0,5 m 
A B C D 
0,5 KN/m 6,0 KN 
0,1 KN/m 
 
3 KNm 
 0,4 m 0,9 m 0,4 0,2m 
7,3 KN 
 
5,5 KN 
1,0 KN/m 
1,1 KN/m 
A B C D E 
6. Características Geométricas das Superfícies Planas 
6.1 Momento Estático de uma Superfície 
 
 É definido através do somatório do produto entre a área do elemento e a distância que 
o separa do eixo de referência. 
 
 
 Mx = Σ Ai.yi 
 
 
My = Σ Ai.xi 
 
 
 
 
Centro de Gravidade de uma Superfície Plana 
 É o ponto localizado na própria figura, ou fora desta, na qual se concentra a superfície. 
 A localização do ponto através das coordenadas XG e YG, que serão obtidas através da 
relação entre o momento estático da superfície e a área total desta. 
 
 XG = Mesty YG = Mestx 
 A A 
 
Exemplo 1: 
Cálculo do centro de gravidade da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inicialmente posiciona-se um sistema de eixos X e Y, passando pela base e esquerda da 
figura: 
 
 
 
 
 
 
 
X 
Y 
x 
y 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divide-se a seção em figuras conhecidas, no exemplo, pode-se dividir em 2 retângulos, um 
horizontal e outro vertical (podem-se fazer outras divisões). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideram-se as áreas, centro de gravidade em relação aos dois eixos, separadamente. 
Assim, tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
Y 
X 
1 
2 
 12 cm 3 12 
 
Y 
1 
x1 
X 
x1 
 12 cm 3 12 
 
Y 
1 
X 
y1 
4 cm 
 
 
20 cm 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
Y 
X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura Ai (cm2) xi(cm) yi(cm) Aixi(cm3) Aiyi(cm3) 
Área 1 
 
 
 
 
 
 
 
27 x 4 = 
108 
 
 
27/2 = 
13,5 
 
 
4/2 + 20 = 
22 
 
 
1458 
 
 
2376 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 x 3 = 
60 
 
 
 
12 = 3/2= 
13,5 
 
 
 
20/2 = 
10 
 
 
 
810 
 
 
 
600 
Σ 168 2268 2976 
 
 
 XG = My YG = Mx 
 A A 
 
 
XCG = A1x1 + A2x2 YCG = A1y1 + A2y2 
 A1 + A2 A1 + A2 
 
Conforme cálculo na tabela 
XCG =2268 cm3 = 13,5 cm 
 168 cm2 
 
O que está de acordo com a figura, pois a peça apresenta simetria em relação ao eixo Y 
 
YCG = 2976 cm3 = 17,7 cm 
 168 cm2 
 
 
 
27 cm 
4 cm 
20 cm 
3 cm 
3 cm 
20 
cm 
X 
2 
y 
x2 
3 cm 
20 
cm 
X 
2 
y 
y2 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se que o valor de XCG posiciona o eixo Y e que YCG posiciona o eixo X. 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inicialmente posiciona-se um sistema de eixos X e Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 cm 
 
3 cm 
 
 
14 cm 
 
 
 
 
3 cm 
3 15 cm 
8 cm 
 
3 cm 
 
 
14 cm 
 
 
 
 
3 cm 
3 15 cm 
X 
Y 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
Y 
X 
XCG = 13,5 
cm 
YCG =17,7 
cm 
XCG 
YCG 
Dividindo a seção em figuras conhecidas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura Ai (cm2) xi(cm)* yi(cm)** Aixi(cm3) Aiyi(cm3) 
Área 1 
 
 
 
 
 
 
 
3*8 = 
24 
 
 
8/2 = 
4 
 
 
3/2+14+3 = 
18,5 
 
 
96 
 
 
444 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14*3 = 
42 
 
 
 
3/2 = 
1,5 
 
 
14/2 + 3 = 
10 
 
 
63 
 
 
420 
 
 
 
 
 
 
 
 
3*18 = 
54 
 
 
18/2 = 
9 
 
 
3/2 = 
1,5 
 
 
486 
 
 
81 
Σ 120 645 945 
 
*Lembre-se que xi é a distância, na direção do eixo X (medido na horizontal), do CG da 
figura considerada até atingir o eixo Y e que, 
**yi é a distância, na direção do eixo Y (medido na vertical), do CG da figura considerada 
até atingir o eixo X, 
 
 XG = My YG = Mx 
 A A 
 
XCG = A1x1 + A2x2 YCG = A1y1 + A2y2 
 A1 + A2 A1 + A2 
8 cm 
 
3 cm 
 
 
14 cm 
 
 
 
 
3 cm 
3 15 cm 
1 
2 
3 
8cm 
3 cm 
14 cm 
3 cm 
18cm 
3 cm 
Conforme cálculo na tabela 
XCG =565 cm3 = 5,37 cm 
 120 cm2 
 
YCG = 945 cm3 = 7,88 cm 
 120 cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
Determine o CG da seção abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inicialmente posiciona-se os eixos iniciais X e Y: 
 
Lembre-se que o eixo, por conveniência, deverá estar situado na base da figura e à esquerda 
da mesma. 
 
 
8 cm 
 
3 cm 
 
 
14 cm 
 
 
 
 
3 15 cm 
X 
Y 
7,88 cm 
5,37 cm 
2 cm 
 
 
 
15 cm 
 
 
 
4 cm 
7 cm 5 cm 
5 cm 12cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divide-se a seção em figuras conhecidas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você poderia ter dividido a seção desta maneira também:2 cm 
 
 
 
15 cm 
 
 
 
4 cm 
7 cm 5 cm 
5 cm 12cm 
Y 
X 
2 cm 
 
 
 
15 cm 
 
 
 
4 cm 
7 cm 5 cm 
5 cm 12cm 
Y 
X 
1 
2 
3 
2 cm 
 
 
 
15 cm 
 
 
 
4 cm 
7 cm 5 cm 
5 cm 12cm 
Y 
X 
1 
2 
3 
No primeiro caso: 
 
 
Figura Ai (cm2) xi(cm)* yi(cm)** Aixi(cm3) Aiyi(cm3) 
Área 1 
 
 
 
 
 
 
 
12*2 = 
24 
 
 
12/2 = 
6 
 
 
2/2+15+4 = 
20 
 
 
144 
 
 
480 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15*5 = 
75 
 
 
 
7+5/2 = 
9,5 
 
 
15/2 + 4 = 
11,5 
 
 
712,5 
 
 
862,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
4*17= 
68 
 
 
17/2+7 = 
15,5 
 
 
4/2 = 
2 
 
 
1054 
 
 
136 
Σ 167 1910,5 1478,5 
 
No segundo caso: 
 
Figura Ai (cm2) xi(cm)* yi(cm)** Aixi(cm3) Aiyi(cm3) 
Área 1 
 
 
 
 
 
 
 
2*7 = 
14 
 
 
7/2 = 
3,5 
 
 
2/2+15+4 = 
20 
 
 
49 
 
 
280 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21*5 = 
105 
 
 
 
7+5/2 = 
9,5 
 
 
21/2 = 
10,5 
 
 
997,5 
 
 
1102,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
12*4 = 
48 
 
 
12/2+7+5 = 
18 
 
 
4/2 = 
2 
 
 
864 
 
 
96 
Σ 167 1910,5 1478,5 
 
12cm 
2 cm 
15 cm 
5 cm 
17cm 
4 cm 
7cm 
2 cm 
21 cm 
5 cm 
12cm 
4 cm 
No primeiro caso: 
 
XCG = A1x1 + A2x2 YCG = A1y1 + A2y2 
 A1 + A2 A1 + A2 
 
Conforme cálculo na tabela 
XCG =1910,5 cm3 = 11,44 cm 
 167 cm2 
 
YCG = 1478,5 cm3 = 8,85 cm 
 167 cm2 
 
No segundo caso, conforme a segunda tabela: 
 
XCG = Mesty = A1x1 + A2x2 YCG = Mestx = A1y1 + A2y2 
 ΣA A1 + A2 ΣA A1 + A2 
 
Conforme cálculo na tabela 
XCG =1910,5 cm3 = 11,44 cm 
 167 cm2 
 
YCG = 1478,5 cm3 = 8,85 cm 
 167 cm2 
 
sendo que o resultado é o mesmo da divisão anterior. Verifica-se assim, ser possível qualquer 
divisão da seção. 
 
Momento de Inércia (I) 
 É definido como o somatório do produto da área que compõe a superfície e o quadrado 
da distância ao eixo de referência. Matematicamente tem-se: 
 
Ix = ∫y2 dA e Iy = ∫x2 dA 
 
Ou ainda: 
 Ix = Σ Ai.yi2 
 Iy = Σ Ai.xi2 
 
 O momento de inércia é a primeira característica geométrica importantíssima no 
dimensionamento dos elementos de construção, pois fornece através de seus valores 
numéricos uma noção de resistência da peça. Quanto maior o momento de inércia da estrutura 
da peça, maior a resistência. 
 
Translação de Eixos (Teorema de Steiner): 
Sejam os eixos X e Y os eixos baricêntricos da superfície A. Para determinar o 
momento de inércia da superfície, em relação aos eixos x e y, paralelos a X e Y, aplica-se o 
teorema de Steiner que é definido como: 
“Momento de Inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo baricêntrico é igual a soma do 
momento de inércia em relação ao baricentro e o produto da área pelo quadrado da distância 
entre os eixos considerados”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calculando o momento de inércia para um retângulo, em relação ao eixo passando 
pela base e lado, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inércia é o produto da área pelo quadrado da distância ao eixo considerado. Considerando o 
retângulo com base b e largura dy, a sua distância ao eixo h, a área da figura será A= b*dy, 
logo: 
 
Ix = ∫A*y2 = ∫ y2*b*dy = b∫ y2*dy = b*h3 – b*03 
3 3 
 
Ix = b*h3 
 3 
 
Por analogia ao eixo y tem-se: 
 
Iy = h*b3 
 3 
 
 
Ix = IX + A.d12 
Iy = IY + A.d22 
XCG CG 
YCG 
x 
y 
d2 
d1 
 
x 
y 
b 
h 
dy 
0 
h 
0 
 
h 
 
0 
 
h 
 
 
FIGURA ÁREA 
Posição do 
CG 
Mto. de inércia 
em relação ao eixo x 
Mto. de inércia 
em relação ao eixo y 
Retângulo 
b h 
 
I
 b h
3x
3
= I
 h b
3y
3
= 
Retângulo 
b h 
x =
 b 
2
 
y =
 h 
2
 
I
 b h
12x
3
= I
 h b
12y
3
= 
Triângulo 
 b h 
2
 
 
I
 b h
12x
3
= I
 h b
12y
3
= 
Triângulo 
 b h 
2
 
x =
 b 
3 
y =
 h 
3 
I
 b h
36x
3
= I
 h b 
36y
3
= 
Círculo 
pi r2 
I
 r
4x
4
=
pi
 I
 r
4y
4
=
pi
 
Semicírculo 
 r 
2
2pi
 
y =
 4 r 
3 pi
 I 0,1098 rx 4= I
 r
8y
4
=
pi
 
Quadrante 
 r 
4
2pi
 
x =
 4 r 
3 pi
 
y =
 4 r 
3 pi
 
I x =
 rpi 4
16 I y =
 rpi 4
16 
b 
h 
x 
y 
 b 
h 
x 
y 
y 
y 
x 
 
y 
C y 
y 
C 
x 
 
y 
x 
x 
C 
r 
C 
 b 
h 
x 
y 
y 
x 
b 
h x C y 
x 
Determina-se o momento de inércia em relação ao eixo passando pelo CG, empregando-se 
Steiner, assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ix = IXCG + A*d2 
 
 b*h3 = IXCG – b*h*(h/2)2 
 3 
 
 b*h3 = IXCG – b*h3 
 3 4 
Logo: 
 4b*h3 = IXCG – 3 b*h3 
 12 12 
 
IXCG = b*h3 
 12 
Conforme valor dado na tabela anterior. Por similaridade, a inércia em relação ao eixo YCG 
será dada por: 
IXCG = h*b3 
 12 
x 
y 
b 
h/2 
 
h/2 
 
Exercícios resolvidos 
1) Determine o momento de inércia em relação ao eixo XCG e YCG, calculados anteriormente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo XCG, considere apenas este eixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se que Ix = Σ Ai.yi2 .Para tanto, divida a figura em áreas conhecidas. Procure 
empregar figuras cuja base esteja sobre o eixo XCG para não necessitar usar Steiner. Assim, o 
exemplo será dividido as áreas da seguinte maneira: um retângulo maior de base 27 cm na 
parte superior da peça e descontaremos dois retângulos pequenos de base 12 cm. Na parte 
inferior considera-se apenas um retângulo apoiado sobre o eixo de base 3 cm: 
Assim, 
 
 
 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
Y 
X 
XCG = 13,5 
cm 
YCG =17,7 
cm 
XCG 
YCG 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
X 
XCG = 13,5 
cm 
YCG =17,7 
cm 
XCG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descontando os retângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, tem-se 
 
Ix = Σ Ai.yi2 
 
 
Ix = Ix - Ix + Ix 
Assim usa-se apenas uma única inércia, retângulo com eixo passando pela base, portanto, 
empregando a tabela (primeira linha e quarta coluna), tem-se: 
Ix = bh3 
 3 
 
Ix = 27*6.33 + 2 * 12*2,33 + 3*17,73 
 3 3 3 
 
Ix = 2250,4 - 97,34 + 5545,2 
Ix = 7698,97 cm4 
 
Ainércia em relação ao eixo XCG também poderia ser calculada empregando o Teorema de 
Steiner, ou seja: 
 
27 cm 
6,3cm 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
X 
XCG = 13,5 
YCG =17,7 
cm 
XCG 
24-17,7 = 6,3 cm 
12 12 cm 
 2,3 cm 
17,7 cm 
3 cm 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
X 
YCG =17,7 
cm 
XCG 
24-17,7-4 = 2,3 
cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim divide-se a seção em 3 retângulos, 2 acima do eixo e 1 abaixo deste: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ix = Ix + Ix + Ix 
 
Para o cálculo do primeiro termo, usa-se o teorema de Steiner, pois o eixo não está 
passando nem na base do retângulo e nem no seu CG. Pelo teorema, o cálculo da inércia em 
relação a um eixo é dado pelo valor da inércia com o eixo passando no CG mais o produto da 
área pelo quadrado da distância entre os eixos, ou seja: 
Ix = IxCG + A*d2 
 
 
 
Nas demais parcelas, segunda e terceira, têm o retângulo com eixo passando pela base, 
portanto, empregando a tabela (primeira linha e quarta coluna), tem-se: 
Ix = bh3 
 3 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
X 
XCG = 13,5 
cm 
YCG =17,7 
cm 
XCG 
27 cm 
4 cm 3 cm 
 2,3 cm 
17,7 cm 
3 cm 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
X 
XCG = 13,5 
cm 
YCG =17,7 
cm 
XCG 
6,3 cm 
 
Assim: 
Ix = 27*43 + 27*4*(6,3 – 2)2 + 3*2,33 + 3*17,73 
 12 3 3 
 
Ix = 144 + 1996,91 + 12,17 + 5545,32 
Ix = 7698,40 cm4 
 
Verifica-se que qualquer uma das soluções o resultado será o mesmo. 
 
Para o cálculo de Iy: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a figura for dividida em 2 retângulos, o eixo YCG passa pelo CG dos 2 retângulos. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
Y 
X 
XCG = 13,5 cm 
 
YCG 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
Y 
X 
XCG = 13,5 cm 
 
YCG 
Para o cálculo do Iy tem-se: 
 
 
Iy = Iy + Iy 
 
Assim usa-se apenas uma única inércia, retângulo com eixo passando pelo CG, portanto, 
empregando a tabela (segunda linha e quinta coluna), tem-se: 
 
Iy = hb3 
 12 
 
Iy = 4 *273 + 20*33 
 12 12 
 
Iy = 6561 + 45 
Iy= 6606 cm4 
 
2) Determine o CG do perfil em I abaixo e o momento de inércia em relação aos eixos XCG e 
YCG 
 
 
 
 
 
 
Inicialmente será determinado o centro de gravidade da figura. Posicionando os eixos na base 
da seção e à esquerda da mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a figura tem simetria em relação ao eixo y o valor de XCG é 12,5 (lembre que para 
marcar o eixo YCG você necessita de XCG). Para o cálculo de YCG, para posicionar o eixo 
horizontal, pois a figura não apresenta simetria, divide-se a figura em dois retângulos 
horizontais e um retângulo vertical central: 
 
 
 
 12 1 12cm 
6 1 6 cm 
1cm 
 
 
20cm 
 
 
2cm 
27 cm 
4 cm 
20 cm 
3 cm 
 12 1 12cm 
6 1 6 cm 
1cm 
 
 
20cm 
 
 
2cm 
X 
Y 
 
Figura Ai (cm2) yi(cm)** Aiyi(cm3) 
Área 1 
 
 
 
 
 
 
 
13*1 = 
13 
 
 
1/2+20+2 = 
22,5 
 
 
292,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20*1 = 
20 
 
 
 
20/2 + 2 = 
12 
 
 
240 
 
 
 
 
 
 
 
 
25*2 = 
50 
 
 
2/2 = 
1 
 
 
50 
Σ 83 582,5 
 
YCG = A1y1 + A2y2 
 
A1 + A2 
 
YCG = 582,5 cm3 = 7,02 cm 
 83 cm2 
 
XCG = 7,02 cm YCG = 12,5 cm 
 
Cujos eixos serão representados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo XCG, tem-se: 
13cm 
1 cm 
20 cm 
1 cm 
25 cm 
2cm 
 12 1 12cm 
6 1 6 cm 
1cm 
 
 
20cm 
 
 
2cm 
X 
Y 
XCG 
YCG 
7,02 cm 
12,5 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o cálculo têm-se duas soluções. A primeira, considerando um retângulo grande e 
descontando dois pequenos na parte superior e inferior: Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cujo eixo passa pela base dos dois retângulos e utiliza-se a fórmula: 
Ix = hb3 
 3 
 
Entretanto, precisa-se descontar os retângulos superiores e inferiores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E estes retângulos também apresentam o eixo passando pela base portanto, a inércia será dada 
por: 
 Ix = hb3 
 3 
Calculando; 
Ix = Ixsup + Ixinf 
 
 
 12 1 12cm 
6 1 6 cm 
1cm 
 
 
20cm 
 
 
2cm 
XCG 7,02 cm 
15,98 
 12 1 12cm 
6 1 6 cm 
1cm 
 
 
20cm 
 
 
2cm 
XCG 7,02 cm 
15,98 
 12 1 12cm 
6 1 6 cm 
1cm 
 
 
20cm 
 
 
2cm 
XCG 7,02 cm 
 
 
 
 
Ix = Ix - Ix + Ix - Ix 
 
Ix = 13*15,983 – 2* 6*14,983 + 25*7,023 – 2* 12*5,023 
 3 3 3 3 
 
Ix = 17682,85 – 13446,07 +2882,90 – 1012,05 
Ix = 6107,63 cm4 
 
Ou o valor de Ix pode ser calculado empregando Steiner, ou seja dividindo a figura um dois 
retângulos superiores e dois retângulos inferiores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, tem-se: 
 
 
 
Ix – Ix +Ix +Ix +Ix 
 
Ix = bh3 + A*d2 + bh3 + bh3 + bh3 +A*d2 
 12 3 3 12 
 
Ix = 13*13 + 13*1*.(15,98-0,5)2 + 1*14,983 + 1*5,023 + 25*23 +2*25*(7,02-1)2 
 12 3 3 12 
 
Ix = 1,08 +3115,2 + 1120,5 + 42,17 + 16,66 +1812,02 
Ix = 6107,63 cm4 
 
Para o cálculo de Iy, como o eixo passa pelo CG dos 3 retângulos, emprega-se a fórmula: 
Iy = hb3 
 12 
 
 
 
 
 
6 6 cm 
 15,98
13c
 
7,02 
25c
 
 
5,02 cm 
 
 12 1 12cm 
6 1 6 cm 
1cm 
 
 
20cm 
 
 
2cm 
XCG 7,02 cm 
15,98 cm 
13 cm 
1 cm 14,98 cm 
1 cm 
6,02 cm 
1 cm 25 cm 
1 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Iy = Iy + Iy + Iy 
 
Iy = hb3 + hb3 + hb3 
 12 12 12 
 
Iy = 1*133 + 20*13 + 2*253 
 12 12 12 
 
Iy = 183,08 + 1,67 + 2604,17 
Iy = 2789 cm4 
 
3) Determine o CG do perfil em I abaixo e o momento de inércia em relação aos eixos XCG e 
YCG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como nos exemplos anteriores, para o cálculo do CG, posiciona-se os eixos x e y, na base e à 
esquerda da seção: 
 
 
 
 
 
 
 121 12cm 
6 1 6 cm 
1cm 
 
 
20cm 
 
 
2cm 
12,5 cm 
 
YCG 
 
13 cm 
1 cm 21 cm 
25 cm 
20 cm 
1 cm 
 2 6 3 cm 
 
 
10 cm 
 
 
6 cm 
 
2 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o cálculo do CG faz-se a Área 1 – Área 2, assim: 
 
 
Figura Ai (cm2) xi(cm) yi(cm) Aixi(cm3) Aiyi(cm3) 
Área 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18*11 = 
198 
 
 
11/2 = 
5,5 
 
 
18/2= 
9 
 
 
1089 
 
 
1782 
Área 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pi62 = 
 4 
28,27 
 
 
 
2+6/2 = 
5 
 
 
6/2 + 2 = 
5 
 
 
 
141,35 
 
 
 
141,35 
Σ 226,27 1230,35 1923,35 
 
 
XCG = Mesty = A1x1 + A2x2 YCG = Mestx = A1y1 + A2y2 
 ΣA A1 + A2 ΣA A1 + A2 
 
Conforme cálculo na tabela 
XCG =1230,35 cm3 = 5,43 cm 
 226,27 cm2 
 
YCG = 1923,35 cm3 = 8,50 cm 
 226,27 cm2 
 
Lembre-se que o valor de XCG posiciona o eixo Y e que YCG posiciona o eixo X. 
 
 
 
 2 6 3 cm 
 
 
10 cm 
 
 
6 cm 
 
2 cm 
x 
y 
18 
cm 
11 cm 
d = 6 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo XCG: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A inércia em relação ao eixo XCG será dada pela inércia do retângulo superior mais a 
inércia do retângulo inferior menos a inércia do círculo, sendo que neste caso será utilizado 
Steiner, portanto: 
 
 
 
 
 
 
Ix = Ix +Ix -Ix 
 
Ix = 11*19,53 + 11*8,503 - pi34 + pi62∗(8,50 − 5)2 
 3 3 4 4 
 
Ix = 27187,87 + 2251,8 - 63,61 - 346,36 
Ix = 29029,7 cm4 
 
Para o cálculo de Iy 
 
 2 6 3 cm 
 
 
10 cm 
 
 
6 cm 
 
2 cm 
x 
y 
XCG 
YCG 
5,43 cm 
8,50 cm 
 2 6 3 cm 
 
 
10 cm 
 
 
6 cm 
 
2 cm 
XCG 
8,50 cm 
19,5 cm 
11 cm 
 
 19,5 
 
 
 
 8,50 cm 
 
 11 cm 6 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como o eixo YCG não é de simetria necessita-se calcular separadamente cada uma das 
partes. Tem-se um retângulo à esquerda mais o retângulo a direita e subtrai-se o círculo 
empregando Steiner: 
 
 
 
 
 
Iy = Iy + Iy - Iy 
 
Iy = 18*5,433 + 18*5,573 – pi34 – pi62(5,43 – 5)2 
 3 3 4 4 
 
Iy = 1440,93 + 1555,28 – 63,62 – 5,23 
 
Iy = 2927,36 cm4 
 
Raio de Giração: 
 O raio de giração de uma superfície plana em relação a um eixo de referência 
representa uma distância particular entre a superfície e o eixo, na qual o produto do quadrado 
desta distância, denominada de raio de giração, e a área da superfície da figura, representa o 
momento de inércia da superfície em relação ao eixo considerado. 
 
Ix = A*ix2 
Iy = A*iy2 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 2 6 3 cm 
 
 
10 cm 
 
 
6 cm 
 
2 cm 
YCG 
5,43 cm 
18 cm 
 
 
 5,43 cm 
 18 cm 
 
 
 5,57 cm 
6 cm 
Ix
A ix = 
Iy
A iy = 
A ix 
iy 
X 
Y 
 
Determine ix e iy das figuras dadas: 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os valores da área, inércia em relação a XCG e YCG já foram calculadas: 
A=168 cm2 
Ix = 7698,97 cm4 
Iy= 6606 cm4 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 
 
 
ix = 6,76 cm 
iy = 6,27 cm 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
Y 
X 
XCG = 13,5 
cm 
YCG =17,7 
cm 
XCG 
YCG 
Ix
A ix = 
Iy
A iy = 
7698,97 
168 
ix = 
6606 
168 iy = 
 12 1 12cm 
6 1 6 cm 
1cm 
 
 
20cm 
 
 
2cm 
X 
Y 
XCG 
YCG 
7,02 cm 
12,5 cm 
 
 
Já foram calculados: 
A = 83 cm2 
Ix = 6107,63 cm4 
Iy = 2789 cm4 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 
 
 
 
ix = 8, 57cm 
iy = 5,79 cm 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anteriormente já foram calculados: 
A = 226,27 cm2 
Ix = 29029,7 cm4 
Iy = 2927,36 cm4 
 
 
 
 
 
 
ix = 11,33 cm 
iy = 3,59 cm 
 
Produto de Inércia 
 O produto de inércia, também denominado de momento centrífugo, de uma 
superfície plana é definido pelo produto da área da figura pelas respectivas distâncias ao eixo 
de referência.0, 
 
6107,63 
 83 
ix = 
2789 
 83 iy = 
Ix
A ix = 
Iy
A iy = 
 2 6 3 cm 
 
 
10 cm 
 
 
6 cm 
 
2 cm 
x 
y 
XCG 
YCG 
5,43 cm 
8,50 cm 
29029,7 
226,27 
ix = 
2927,36 
226,27 iy = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ixy - ∫ x*y*dA 
 
O produto de inércia demonstra uma noção de assimetria da seção em relação a seus 
eixos de referência. 
Como o produto de inércia multiplica a área por distâncias, ele poderá ser positivo ou 
negativo de acordo com o quadrante considerado. 
 Ele será positivo, quando a superfície estiver no 1º ou 3º quadrante e negativo para o 
2º e 4º quadrante, conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eixos Principais de Inércia: 
 Pelo CG de uma seção passam infinitos eixos, no qual o de maior importância, são os 
eixos de momento de inércia máximo e mínimo.O eixo de momento máximo estará sempre 
mais distante dos elementos de superfície que formam a seção, o eixo de momento de inércia 
mínimo estará o mais próximo dos elementos da superfície. 
 Determinam-se os momentos principais de inércia através das equações: 
 
2
4IxyIy)(Ix
2
IyIxImáx
22 +−
+
+
= 
 
 
2
4IxyIy)(Ix
2
IyIxImín
22 +−
−
+
= 
 
 
e os ângulos que eles se encontram pode ser calculado através das fórmulas: 
 
A x 
y 
X 
Y 
XCG 
YCG 1ºQuadrante: 
x>0 
y>0 
2ºQuadrante: 
x<0 
y>0 
 
3ºQuadrante: 
x<0 
y<0 
 
4ºQuadrante: 
x>0 
y<0 
 
Ixy
ImáxIx
tgαmáx
−
= 
 
Ixy
ImínIx
tgαmín
−
= 
 
Onde: 
αmáx representa o ângulo formado entre o eixo do momento máximo e o eixo XCG. e αmín 
representa o ângulo formado entre o eixo momento mínimo e o eixo XCG. e: 
 
αmáx + αmín = 90º 
 
Qualquer par de eixos passando pelo CG e sendo defasados de 90º terão a soma dos seus 
momentos de inércia constante: 
Ix + Iy = Imáx + Imín 
 
Exercícios Resolvidos: 
Determine o produto de inércia e os eixos principais de inércia das figuras abaixo: 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
Y 
X 
XCG = 13,5 
cm 
YCG =17,7 
cm 
XCG 
YCG 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
Y 
X 
XCG = 13,5 
cm 
YCG =17,7 
cm 
XCG 
YCG 
A1 
A2 
A3 
A4 
A5 A6 
Verifique as posições das áreas: 
Na parte superior e no 1ºquadrante tem-se A1 e A2 
 
Na parte superior e no 2ºquadrante tem-se A3 e A4 
 
Na parte inferior e no 3ºquadrantetem-se A5 
 
Na parte inferior e no 4ºquadrante tem-se A6 
 
Assim: 
 
Ixy = A1*x1*y1 + A2*x2*y2 + A3*x3*y3 + A4*x4*y4 + A5*x5*y5 + A6*x6*y6 
A1*x1*y1 =4*13,5*(+7,5)*(+4,3) = 1741,5 cm4 
A2*x2*y2 = 2,3*1,5*(+0,75)*(+1,15) = + 2,97 cm4 
A3*x3*y3 = 4*13,5*(-7,5)*(+4,3) = - 1741,5 
A4*x4*y4 = 2,3*1,5*(-0,75)*(+1,15) = - 2,97 cm4 
A5*x5*y5 = 17,7*1,5*(-0,75)*(-8,85) = + 176,22 cm4 
A6*x6*y6 = 17,7*1,5*(+0,75)*(-8,85) = - 176,22 cm4 
Logo: 
Ixy = 0, pois a figura apresenta simetria em relação aos eixos. 
 
 Determinam-se os momentos principais de inércia através das equações: 
 
2
4IxyIy)(Ix
2
IyIxImáx
22 +−
+
+
= 
 
 
2
4IxyIy)-(Ix 
2
IyIxImín
22 +
−
+
= 
 
 
Os valores de Ix e Iy já foram calculados: 
Ix = 7698,97 cm4 
Iy= 6606 cm4 
 
 
2
4.06606) (7698,97
2
66067698,97Imáx
22 +−
+
+
= 
 
2
4.06606) (7698,97
2
66067698,97Imín
22 +−
−
+
= 
 
 
Imáx = 7152,20 + 546,2 = 7698,4 cm4 
Imín = 7152,20 - 546,2 = 6606,0 cm4 
 
e os ângulos que eles se encontram pode ser calculado através das fórmulas: 
 
Ixy
ImáxIx
tgαmáx
−
= 
 
Ixy
ImínIx
tgαmín
−
= 
 
tgαmáx = 0 
ααααmáx = 0o 
αmáx + αmín = 90º 
 α
 α α αmín = 90º 
 
 
 
Logo, verifica-se que Imáx = Ix e Imín = Iy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 cm 
 
3 cm 
 
 
14 cm 
 
 
 
 
3 15 cm 
X 
Y 
7,88 cm 
5,37 cm 
 12 cm 3 12 
4 cm 
 
 
 
20 cm 
XCG = 13,5 cm 
 
YCG =17,7 cm 
 
XCG 
YCG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verifique as posições das áreas: 
Na parte superior e no 1ºquadrante tem-se A1 
 
Na parte superior e no 2ºquadrante tem-se A2 A3 
 
Na parte inferior e no 3ºquadrante tem-se A4 A5 
 
Na parte inferior e no 4ºquadrante tem-se A6 
 
Assim: 
 
Ixy = A1*x1*y1 + A2*x2*y2 + A3*x3*y3 + A4*x4*y4 + A5*x5*y5 + A6*x6*y6 
A1*x1*y1 = 2,63*3*(+1,31)*(+10,62) = 109,77 cm4 
A2*x2*y2 = 5,37*3*(-2,68)*(+10,62) = - 458,52 cm4 
A3*x3*y3 = 3*9,12*(-3,87)*(+4,56) = - 482,83 cm4 
A4*x4*y4 = 3*4,88*(-3,87)*(-2,44) = 138,24 cm4 
A5*x5*y5 = 5,37*3*(-2,68)*(-6,38) = 275,45 cm4 
A6*x6*y6 = 12,63*3*(+6,31)*(-6,38) = -1525,37 cm4 
 
Logo: 
Ixy = - 1943,26 cm4 
Para o cálculo dos eixos de inércia: 
 
2
4IxyIy)(Ix
2
IyIxImáx
22 +−
+
+
= 
 
 
8 cm 
 
3 cm 
 
 
14 cm 
 
 
 
 
3 15 cm 
X 
Y 
7,88 cm 
5,37 cm 
A1 
A2 
 
A3 
A4 
A5 
A6 
 
2
4IxyIy)(Ix
2
IyIxImín
22 +−
−
+
= 
 
Os valores de Ix e Iy já foram calculados: 
Ix = 5838,1 cm4 
Iy = 3003,13 cm4 
Ixy = - 1943,26 cm4 
Substituindo, nas equações anteriores: 
 
2
6)4.(-1943,23003,13)(5838,1
2
3003.135838,1Imáx
22 +−
+
+
= 
 
 
 
2
6)4.(-1943,23003,13)(5838,1
2
3003.135838,1Imáx
22 +−
−
+
= 
 
Imáx = 6825,93 cm4 
Imín = 2015,31 cm4 
 
e os ângulos que eles se encontram pode ser calculado através das fórmulas: 
 
1943,26-
6825,935838,1
tgαmáx
−
= 
 
1943,26-
2015,315838,1
tgαmín
−
= 
 
ααααmáx =26,94º 
ααααmin =63,06º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 cm 
 
3 cm 
 
 
14 cm 
 
 
 
 
3 15 cm 
X 
Y 
7,88 cm 
5,37 cm 
26,94
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a figura apresenta simetria o produto de inércia é nulo. 
Ixy = 0 
 
 
Determinando os momentos principais de inércia através das equações: 
 
2
4IxyIy)(Ix
2
IyIxImáx
22 +−
+
+
= 
 
 
2
4IxyIy) -(Ix 
2
IyIxImín
22 +
−
+
= 
Já foram calculados: 
Ix = 6107,63 cm4 
Iy = 2789 cm4 
Ixy = 0 
 
Assim: 
 
2
4I.02789) (6107,63
2
2789 6107,63Imáx
22 +−
+
+
= 
 
2
4I.02789)- (6107,63
2
2789 6107,63Imín
22 +
−
+
= 
 
 
Imáx = 6107,64 cm4 
Imín = 2789,00 cm4 
 
e os ângulos que eles se encontram pode ser calculado através das fórmulas: 
 
 
 
 12 1 12cm 
6 1 6 cm 
1cm 
 
 
20cm 
 
 
2cm 
X 
Y 
XCG 
YCG 
7,02 cm 
12,5 cm 
 
 
Como Ixy = 0, logo 
Ixy
ImáxIx
tgαmáx
−
= 
 
Ixy
ImínIx
tgαmín
−
= 
 
 
 
1943,26-
6825,935838,1
tgαmáx
−
= 
 
1943,26-
2015,315838,1
tgαmín
−
= 
 
 
tgαmáx = 0 
ααααmáx = 0o 
αmáx + αmín = 90º 
ααααmín = 90º 
 
Exercícios: 
Determinar o centro de gravidade e os momentos de inércia das figuras abaixo: 
1) 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 1 6mm 
 12 1 12mm 
1mm 
 
 
20mm 
 
 
2mm 
 150mm 
20mm 
 
 
90mm 
 
 
25 mm 
 240mm 
50mm 
 
 
180mm 
 
 
40 100 40 mm 
200 mm 
70 mm 
 
 
210 mm 
 
 
 
55 mm 
 60 50 50 60mm 25mm 5 30mm 
3mm 
 
 
 
50mm 
 
 
 
5mm 
30 cm 20 cm 
10 
20 cm 
2,5 cm 
 
7) 8)) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) 12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 6 3 4 2 cm 
3 cm 
 
 
4 cm 
 
 
6 cm 
 2 cm 1 cm 
1 cm 
 
 
 
 
 
10 cm 
 
 
 
 
 
1 cm 
 3,5 cm 1 3, 5cm 
 1 8 1 12 cm 
12 
cm 
 
1 
cm 
 
 3cm 14cm 
 7cm 6 cm 
1 cm 
3 cm 
 
3 cm 
 
3 cm 
 2 4 3 2cm 
2 cm 
 
4 cm 
 
 
3 cm 
 
4 cm 
 
 
2 cm 
 
 7 cm 1,5 cm 
 5 cm 1,5 5 cm 
 
2 cm 
 
 
 
 
14 cm 
 
 
 
 
0,5 cm 
13) 14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) 16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 cm 
 
 
12 cm 
 6 5 5 6cm 
 5 5 10 5 5cm 
15 cm 
 
10 cm 
5 cm 
25mm 5 30mm 
3mm 
 
 
 
50mm 
 
 
 
5mm 
5 15 5 15cm 
5 cm 
 
15cm 
 
 
10cm 
 
5 cm 
Respostas exercícios: 
Capítulo 1 
1) VA = VC = 6,32 KN (para cima) 
3) VB = 5,35 KN (para cima) VE = 6,25 KN (para cima) 
5) VA = 7,36 KN (para cima) VE = 5,58 KN (para cima) 
7) VA = 9,76 KN (para cima)