Teoria da Relatividade Restrita Uma perspectiva Geométrica

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Teoria da Relatividade Restrita: 
Uma Perspectiva Geométrica 
 
Sofia Isabel Dias Farinha 
 
 
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em 
Engenharia Electrotécnica e de Computadores 
 
 
Júri 
Presidente: Professor Doutor José Bioucas Dias 
Orientador: Professor Doutor Carlos Paiva 
Co-Orientador: Professor Doutor António Topa 
Vogal: 
 
Dezembro 2009 
 
 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO 
Universidade Técnica de Lisboa 
INSERIR I MA 
GEM 
II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III 
 
" Pedras no caminho? 
Guardo todas. 
Um dia vou fazer um castelo ... " 
 
Fernando Pessoa 
 
Agradecimentos 
 
Pela carga simbólica da conclusão da Dissertação de Mestrado, há um sem número de pessoas a quem são 
devidos os meus mais sinceros agradecimentos por directa ou indirectamente tornarem possível a concretização 
desta longa etapa. Infelizmente, não posso mencioná-las a todas neste espaço, pelo que me cinjo às que 
estiveram presentes mais de perto nesta última fase, a todas as outras, não menos importantes, o meu obrigada 
por me terem acompanhado e ajudado de uma forma ou de outra no meu percurso pessoal. 
 
Em primeiro lugar um agradecimento muito especial aos meus pais, porque eles e só eles estiveram sempre 
presentes, tanto nos bons mas especialmente nos maus momentos. Quero agradecer-lhes pela sua humildade, 
espírito de sacrifício, incentivo, dedicação e paciência ao longo de todos estes anos. A eles devo tudo o que sou e 
o que tenho. Obrigada. 
 
 Também aos professores Carlos Paiva e António Topa quero agradecer pelo enorme privilégio que foi tê-los 
como Orientadores. Durante a realização desta Dissertação deram um apoio incondicional e constante, 
sacrificando inclusive as próprias férias de Verão. A par da sabedoria académica, que sempre se empenharam em 
transmitir, prevaleceu sempre um ambiente de boa disposição e muita energia nas várias reuniões que tivemos. 
 
Aos meus irmãos e avós por tudo o que me ensinaram e por saber que poderei contar sempre com eles. 
 
À Mariana que me fez descobrir uma nova felicidade desde os seus primeiros instantes de vida. 
 
Ao Hugo, que embora tenha aparecido recentemente, me fez enriquecer e evoluir muito em termos 
pessoais. Veio pintar com o seu sentido de humor, a sua criatividade, a sua arte, o seu carinho e apoio, algumas 
cores que começavam a desbotar. 
 
A todos os meus amigos que me têm acompanhado e que foram surgindo ao longo destes anos e a quem 
nem sempre pude dar a devida atenção. 
 
Ao meu Director de Curso, o Tenente-Coronel Fernando Carmo, por toda a dedicação e competência com 
que se entregou ao desempenho da sua tarefa e pela motivação que me deu ao longo do meu percurso 
académico. 
 
IV 
 
Resumo 
 
A Teoria da Relatividade Restrita, proposta por Albert Eistein em 1905, veio abalar toda uma 
comunidade científica acomodada à Mecânica Clássica de Isaac Newton. Foram necessários vários anos 
para a comprovar e hoje passados 105 anos, das suas implicações, continuam a brotar um sem número 
de aplicações reais. 
Embora a Teoria da Relatividade tenha sido formulada no contexto da Álgebra Tensorial, já desde 
1844 que se davam os primeiros passos na criação de uma álgebra universal para o cálculo geométrico. 
A Álgebra Geométrica, como ficou denominada, sofreu uma considerável evolução ao longo dos anos, e 
embora tenha permanecido no esquecimento durante algum tempo, preterida à álgebra vectorial de 
Gibbs-Heaviside, recuperou o seu destaque em 1963 com os trabalhos desenvolvidos pelo professor 
David Hestenes que a reformulou e lhe deu a consistência moderna. Desde então, tem ganho crescente 
importância, sendo a sua força reconhecida pela maneira como consegue numa única estrutura servir de 
base a temas tão díspares da física e da matemática, de maneira clara e concisa. 
Nesta Dissertação, analisa-se a Álgebra Geométrica aplicada ao espaço-tempo de Minkowski 
como estrutura natural e eficiente, para a formulação da Teoria da Relatividade Restrita. A Álgebra 
Geométrica revela-se neste campo uma poderosa ferramenta, pois permite uma suave passagem da 
métrica euclidiana para a de Minkowski, assim como, do espaço tridimensional para o quadrimensional. 
Começa-se por estudar as propriedades fundamentais da Álgebra Geométrica e a sua aplicação no 
espaço tridimensional de métrica euclidiana. Progressivamente e de uma forma natural passa-se para o 
espaço-tempo de Minkowski , que constitui o cerne da Dissertação. Nele estudam-se os pontos chaves 
da Teoria Da Relatividade Restrita de Einstein: Dinâmica Relativista, Dilatação Temporal, Contracção do 
Espaço, entre outros. A Dissertação encerra com o famoso “Paradoxo” dos Gémeos numa situação de 
Movimento Hiperbólico (movimento uniformemente acelerado), uma aplicação concreta da Teoria da 
Relatividade Restrita e suas consequências. 
 
 
 
 
 
 
 
Palavras Chave 
Álgebra Geométrica; Álgebra Tensorial; Mecânica Clássica; Einstein; Teoria da Relatividade Restrita de 
Einstein; Métrica de Minkowski; Métrica Euclidiana; Dinâmica Relativista; Dilatação Temporal; Contracção 
do Espaço; Paradoxo dos Gémeos; Movimento Hiperbólico. 
 
 
V 
 
Abstract 
 
The Special Theory of Relativity proposed by Albert Einstein in 1905 has shaken an entire scientific 
community used to Isaac Newton’s Classical Mechanics. It took several years to prove it, and after 105 years 
its implications continue to raise a multitude of real applications. 
Although the Theory of Relativity was formulated in the context of the Tensorial Algebra, it has been 
taking the first steps towards creating a universal algebra for geometric calculus since 1844. Geometric 
Algebra, as it was called, has evolved substantially over the years, and although it remained in oblivion for 
some time, overshadowed by Gibbs-Heaviside’s Vectorial Algebra, regained its importance in 1963 with the 
works developed by Professor David Hestenes who reformulated it and gave it the modern consistency. 
Since then it has been gaining importance, and its strength is recognized by the way one structure can serve 
as a basis for such unrelated topics in physics and mathematics, in a clear and concise manner. 
This thesis analyzes Geometric Algebra applied to Minkowski’s space-time as a natural and efficient 
structure for the formulation of the Special Theory of Relativity. Geometric Algebra is found to be a powerful 
tool in this field because it allows a smooth transition from Euclidean to Minkowski metric as well as from the 
three-dimensional to the four-dimensional space. 
One begins by studying the fundamental properties of Geometric Algebra and its application in three 
dimensional space of Euclidean metric. Progressively and in a natural way one is moved to Minkowski’s 
space-time, which is the core of the dissertation. In it the key points of Einstein's Special Theory of Relativity 
are studied: Relativistic Dynamics, Relativistic Doppler Effect, Time Dilation, Length Contraction, among 
others. The thesis ends with the famous Twin “Paradox” in a Hyperbolic Motion (uniformly accelerated 
motion) context, a practical application of the Theory of Relativity and its consequences. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Keywords 
Geometric Algebra; Tensorial Algebra; Classical Mechanics; Einstein; Einstein’s Special Theory 
Relativty; Minkowski Metric; Euclidean Metric; Relativistic Dynamics; Time Dilation; Length Contraction; Twin 
Paradox; Hyperbolic Motion. 
 
VIÍndice 
Agradecimentos III 
Resumo IV 
Abstract V 
Índice VI 
Lista de Tabelas VIII 
Lista de Figuras VIII 
Lista de Símbolos VIII 
Notação XI 
Capítulo 1 – Introdução 1 
 1.1 Enquadramento e Motivação 2 
1.2 Objectivos 5
 1.3 Estrutura e Organização da Tese 5 
1.4 Bibliografia Consultada 7 
1.5 Contribuições originais 7
 Bibliografia e Referências 8 
 
Capítulo 2 - Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço Euclidiano Tridimensional 9 
 2.1 A Álgebra Geométrica 10 
 2.1.2 Caracterização da Estrutura Axiomática e Algébrica 18 
 2.1.3 A Operação de Contracção 21 
2.2 Álgebra Geométrica do Espaço Euclidiano 26 
 2.2.1 Estrutura Algébrica de Cl3 31 
 2.2.2 Reflexões 34 
 2.2.3 Rotações 38 
 2.3 Conclusões 43 
 Bibliografia 44 
 
Capítulo 3 - Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço-Tempo de Minkowski: Aspectos 
Fundamentais 45 
 3.1 Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço-tempo e Métrica Euclidiana 46 
 3.2 A métrica de Minkowski 51 
 3.3 A Construção de Um Espaço-Tempo 54 
 3.3.1 Diagramas de Minkowski 54 
 3.3.2 Cone de Luz 55 
 3.4 As Transformações de Lorentz 57 
 3.4.1Transformação de Lorentz Activa – Boosts 57 
 3.4.2 Transformação de Lorentz Passiva 61 
 3.5 Conclusões 63 
Bibliografia 64 
VII 
 
 
Capítulo 4 – Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço-Tempo de Minkowski: Aplicações 65 
4.1 Simultaneidade de eventos 66 
4.2 Dilatação Temporal 68 
 4.3 Contracção do Espaço 71 
4.4 Dinâmica relativista de uma partícula 73 
 4.4.1 Adição de velocidades colineares 73 
 4.4.2 Inércia da Energia 75 
4.5 Conclusões 79 
Bibliografia 80 
 
Capítulo 5 – “Paradoxo” dos Gémeos 81 
5.1 Movimento Hiperbólico 82 
 5.1.1 Transformação da Aceleração 82 
 5.1.2 O Efeito da Aceleração no tempo 83 
5.2 O Pseudo Paradoxo dos Gémeos 87 
5.3 Conclusões 95 
Bibliografia 96 
 
Capítulo 6 – Conclusão 97 
 Epílogo final 98 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VIII 
 
Lista de Tabelas 
 
Tabela 1- Tabela multiplicativa de Cl3 31 
Tabela 2- Tabela de Classificação dos vectores no espaço tempo de Minkowski 56 
 
Lista de Figuras 
A figura da capa corresponde a um diagrama computorizado do universo pelo Instituto Max Plank. 
Cada ponto de Luz corresponde a um aglomerado de galáxias 
Figura 1- As quatro personalidades que mais contribuíram para o desenvolvimento da Álgebra Geométrica3 
Figura 2- Evolução dos sistemas algébricos e a sua convergência para a Álgebra Geométrica 4 
Figura 3- Simetria do produto interno 11 
Figura 4- Distributividade do produto interno em relação à adição 11 
Figura 5- Duas representações possíveis para bivector 
B = a b
, admitindo as áreas dos polígonos iguais. 
 
Figura 6- Duas representações possíveis para o bivector 
-B = b a
 , admitindo as áreas dos polígonos 
iguais. 12 
Figura 7- Ilustração do módulo do bivector 
 B a b
 como área do paralelogramo: 
 sin B a b
 
 13 
Figura 8 – O plano a azul representa o lugar geométrico dos afixos dos vectores 
r tais que
  r - b a =0
. 
16 
Figura 9 – componente paralela e perpendicular do vector 
a
. 23 
 
Figura 10- Uma possível representação do vector 
d
, resultado da contracção de um vector 
a
 por um 
bivector 
B= b c
. 25 
 
Figura 11- Representação do vector 
r
 em eixos ortogonais. 27 
 
Figura 12- Rotação do vector 
a
, originando o vector
d 29 
 
Figura 13- A rotação do vector 
a
 originada da multiplicação deste por
12
e
,origina vectores diferentes 
consoante a ordem em que a multiplicação é feita. 29 
 
Figura 14- Resultado da multiplicação do vector 
a
por 
i
. 30 
 
Figura 15- Uma possível representação para o trivector unitário
1 2 3 e e e
. 30 
 
Figura 16- Soma geométrica de bivectores evidenciando a distributividade do roduto exterior sobre a 
adição. 31 
 
 
Figura 17 -Um bivector (
F
) e o seu dual (
123
Fe
) 34 
 
Figura 18-Reflexão de um vector 
r
em relação ao hiperplano perpendicular ao vector 
a
 . 35 
12 
IX 
 
 
Figura 19-Reflexão de um vector 
r
 ao vector 
a
 . 36 
 
 
Figura 20- Reflexão do bivector
B
 em relação ao plano perpendicular (a azul) ao vector 
a
. 37 
 
Figura 21 - Vector 
c
como rotação do vector
a
em duas reflexões sucessivas. 38 
 
Figura 22 - Projecção dos vectores 
a
, 
b
e
c
 no plano definido por 
m n
, 
a evidenciar o ângulo de rotação sofrido. 39 
 
Figura 23- Projecção das componentes de projecção perpendicular e paralela do 
vector 
r
 e seu significado nas rotações. 42
 
Figura 24- Composição de velocidadeparalelas 47 
Figura 25- A transformação do vector 
v
para o vector 
u
equivale a uma rotação de 

graus. 49 
Figura 26- Secção de corte do gráfico da equação 3.16 para 
2
0,5 
 50 
Figura 27- Representação geométrica de 2 1r 54 
Figura 28- Representação geométrica de 2 1r 55 
Figura 29- Cone de Luz, obtido quando se considera os diferentes tipos de 
trajectórias no espaço-tempo tridimensional. 56 
Figura 30- Diagramas a evidenciar as diferenças da aplicação de 
uma rotação 
   0 1 0 1e e g g
 e de um boost
   0 1 0 1e e f f
 59 
Figura 31- Grelha resultante da transformação axial
   0 1 0 1e e f f
 60 
Figura 32- Construção do eixo 
c t
. 62 
 
Figura 33- Construção do eixo 
X
. 62 
 
Figura 34- A amarelo encontra-se o plano onde sinais luminosos emitidos por P1 e P2 embatem 
simultaneamente. Qualquer observador que se encontre nesse plano regista os acontecimentos P1 e P2 
como simultâneos. 66 
 
Figura 35- Diagrama de Minkowski a evidenciar o fenómeno da simultaneidade relativa. 67 
 
Figura 36- Diagrama de Minkowski a evidenciar o fenómeno da simultaneidade relativa: 
os acontecimentos O e B são simultâneos para o referencial 
S
 mas não o são para 
S
 . 68 
 
Figura 37- Dilatação temporal num diagrama de Minkowski. 69 
 
Figura 38- Dilatação temporal registada pelo observador do referencial
S
. 70 
 
Figura 39- Diagrama de Minkowski a evidenciar a contracção espacial segundo 
a perspectiva do observador inercial. 71 
 
Figura 40- Diagrama de Minkowski a evidenciar a contracção espacial quando 
a régua se encontra em repouso no referencial em movimento. 72 
 
Figura 41-Representação geométrica da dinâmica relativista de uma partícula. 78 
 
X 
 
Figura 42- Movimento Hiperbólico para diferentes valores de X : a azul X=1; 
a verde X=2; a vermelho X=3. 87 
 
Figura 43- Diagrama de Minkowski a evidenciar o percurso dos 
gémeos A e B do paradoxo dos gémeos, encontrando-se o gémeo A sobre o referencial inercial. 88 
 
Figura 44- Quebra do triângulo [ODC] em dois triângulos rectângulos [OEC] e [EDC] 89 
 
Figura 45- Diagrama de Minkowski a evidenciar o percurso dos gémeos 
A e B do paradoxo dos gémeos, encontrando-se a primeira parte do movimento 
do gémeo B sobre o referencial inercial. 90 
 
Figura 46- Diagrama de Minkowski a evidenciar o percurso dos gémeos 
A e B do paradoxo dos gémeos, encontrando-se a segunda parte do movimento 
do gémeo B sobre o referencial inercial. 91 
 
Figura 47- Análise do movimento hiperbólico quando o gémeo terrestre se 
encontra num referencial inercial. O movimento do gémeo espacial pode ser 
dividido em 4 fases: duas de aceleração e as outras duas de desaceleração. 93 
 
Figura 48- Análise do movimento uniformemente acelerado segundo 
a perspectiva do gémeo espacial. 94 
 
Figura 49- Ampliação do Loop anterior e respectivas linhas de simultaneidade. 95 
 
 
Lista de Símbolos e Notação 
 
0e
 vector unitário da álgebra geométrica associado à componente temporal; 
1e
 vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial; 
2e
 vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial; 
3e
 vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial; 
 Base ortonormada de um espaço; 
B
 bivector; 
 
 produto interno; 
 
 produto externo; 
 
 produto exterior; 
u
 elemento genérico da álgebra: multivector; 
n
u
 projecção de 
u
 em relação ao grau 
n
; 
XI 
 
 uˆ
 involução de grau; 
 u
 dual de Clifford; 
 u
 conjugação de Clifford; 
⋀2 3 bivectores no espaço tridimensional; 
⋀3 3 trivectores no espaço tridimensional; 
⋀2 1,3 bivectores no espaço-tempo de Minkowski; 
⋀3 1,3 trivectores no espaço-tempo de Minkowski; 
⋀4 1,3 quadrivectores no espaço-tempo de Minkowski; 
 espaço unidimensional; 
2 espaço bidimensional; 
3 espaço tridimensional; 
4 espaço quadrimensional; 
1,1 espaço-tempo de Minkowski no espacial unidimensional; 
1,3 espaço-tempo de Minkowski; 
2C
 álgebra de Clifford do plano; 
3C
 álgebra de Clifford do espaço; 
4C
 álgebra de Clifford do espaço quadrimensional; 
1,3C
 álgebra de Clifford do espaço-tempo de Minkowski; 
1,1C
 álgebra de Clifford do espaço-tempo de Minkowski no espaço unidimensional; 
C 
 parte par de uma álgebra de Clifford; 
C 
 parte ímpar de uma álgebra de Clifford; 
 contracção à esquerda; 
 contracção à direita; 
R rotor; 
,n m
 vectores unitários; 
0
R
 componente de grau zero do rotor; 
XII 
 
2
R
 componente de grau dois do rotor; 
Bˆ
 bivector unitário do espaço tridimensional; 
 
/ /
 componente paralela de um vector; 
 

 componente perpendicular de um vector;; 

 factor das transformações de Lorentz; 
r
 acontecimento no espaço-tempo de Minkowski; 
r
 componente espacial do acontecimento r; 
0x ct
 coeficiente do versor temporal no referencial próprio; 
1x
 coeficiente do primeiro versor espacial no referencial próprio; 
2x
 coeficiente do segundo versor espacial no referencial próprio; 
3x
 coeficiente do terceiro versor espacial no referencial próprio; 
0U
 bivector; 
0x ct
coeficiente do versor temporal no referencial relativo; 
1x
 coeficiente do primeiro versor espacial no referencial relativo; 
2x
 coeficiente do segundo versor espacial no referencial relativo; 
3x
 coeficiente do terceiro versor espacial no referencial relativo; 
c velocidade da luz no vácuo; 
u
 vector no espaço-tempo de Minkowski; 
1u
 vector no espaço-tempo de Minkowski; 
2u
 vector no espaço-tempo de Minkowski; 
u
 componente espacial do vector u; 
1u
 componente espacial do vector 
1u
; 
2u
 componente espacial do vector 
2u
; 

 escalar; 
V
 trivector; 
XIII 
 
S referencial próprio; 
Sreferencial relativo; 
I
 pseudo-escalar no espaço-tempo de Minkowski; 
e
 bivector unitário 
 e e
; 

 intensidade de um boost; 
1
 intensidade de um boost; 
2
 intensidade de um boost; 

 ângulo associado a um vector; 
L
 distância no referencial próprio; 
0L
 distância no referencial relativo; 
T
 tempo decorrido no referencial próprio; 
0T
 tempo decorrido no referencial relativo; 
k
 vector de onda no espaço-tempo de Minkowski; 
0k
 componente temporal associada ao vector de onda; 
k
 componente espacial associada ao vector de onda; 
 
 
 
Notação 
Não existe uma única notação, universalmente usada na álgebra geométrica e daí cada autor usar aquela 
que mais se adequa ao seu ramo de aplicação. 
É assim necessário desde já esclarecer as principais notações usadas nesta dissertação: 
1) Como na maioria das aplicações da dinâmica e mecânica de uma partícula, as letras minúsculas a 
itálico reservam-se para grandezas escalares, opta-se pela representação das lâminas 
(multivectores homogéneos) por letras maiúsculas a bold. Constituem excepção os vectores 
(lâmina -1) que se representam também a bold mas em letra minúscula e os escalares (lâminas -
0) que são representados por letras gregas a itálico. Os multivectores genéricos representam-se 
com letra minúscula a itálico; 
2) As funções lineares são escritas com tipo de letra não serifada; 
3) A álgebra geométrica gerada por um espaço de assinatura (+,-)=(a,b) designa-se Cla,b ; 
XIV 
 
4) O produto geométrico de dois vectores e indica-se simplesmente pela justaposição destes: ; 
5) O produto exterior de um multivector 
A
 por um multivector 
B
 representa-se por 
A ∧Β
 em que 
A e 
B são multivectores ; 
6) O produto interno de um multivector 
A
 por um multivector 
B
 representa-se por 
A Β
 em que 
A e 
B são multivectores; 
7) Para simplificar as expressões e evitar um uso excessivo de parêntesis assumem-se as seguintes 
convenções: 
 As operações de produto interno e exterior são realizadas antes do produto 
geométrico 
 A operação de produto exterior tem preferência sobre a do produto interno. 
 Assim virá: 
   
   
   
    
    
       
A B C A BC A BC
A B C A BC A BC
A B C A B C A B C
 
8) 
k
u
representa a projecção de um multivector 
u homogéneo em relação ao grau k , ou seja, a 
dimensão do subespaço k n ; 
9) As várias involuções de um multivector 
u
são representadas com a seguinte notação: 



u
u
u
involução de grau
reversão
conjugação de Clifford
 
10) O elemento de cada álgebra com maior grau designa-se de pseudoescalar e representa-se por 
I
; 
11) Na escrita desta tese usou-se uma notação que não tem em consideração a distinção entre as 
componentes dos vectores das formas-1. Embora se peque no rigor do formalismo matemático, 
confere uma maior simplicidade à escrita matemática, justificada pelas formas-1 não serem 
usadas, uma vez que se trabalhou com bases ortonomadas; 
12) Nesta dissertação consideram-se todos os objectos como corpo rígidos. 
 
 
- 1 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
Introdução 
 
O actual capítulo constitui uma primeira abordagem à presente 
dissertação. Pretende apresentar o quadro de referência em que se 
insere, as razões que a justificam e os avanços que têm sido feitos na 
área. Especifica ainda a sua estrutura e organização e apresenta uma 
síntese dos seus contributos originais. 
- 2 - 
 
“ Todas as coisas começam, de 
facto, a mudar a sua natureza e 
aparência; 
 todo o nosso sentir do mundo é 
radicalmente diferente…. 
 Existe um caminho novo, vasto e 
profundo de sentir, 
 ver, conhecer, contactar as 
coisas.” 
 
 Sri Aurobindo, 1958 
 
1.1 Enquadramento e Motivação 
 
O pensamento grego acreditava que a geometria era inerente às propriedades intrínsecas da 
natureza. Essa mentalidade, enraizou-se no Ocidente e ainda hoje a geometria é vista, não já 
como fazendo parte da natureza, mas como uma útil estrutura que usamos para a descrever. A 
ciência está então “prisioneira” dessa linguagem que tenta expressar o mundo que a envolve, e 
portanto, quanto mais perfeita a tornarmos mais próximos nos encontraremos do dialecto original. 
 Nos últimos anos, assistiu-se a uma profusão de álgebras e sistemas algébricos, cada um 
com as suas próprias vantagens, notações e aplicações específicas. Ver figura 2. Contudo, esta 
variedade acaba por tornar a física desfragmentada e dificulta a conquista da tão desejada física 
global. 
 A busca por um cálculo geométrico universal, iniciou-se no século xvii com Leibnitz (1646-
1716), que escreveu um ensaio sobre uma geometria que designou de situs (geometria de posição 
ou de sítio). Grassman (1809-1877), um matemático alemão, pegou no trabalho de Leibnitz e 
desenvolveu-o. Em 1873 publica o artigo Die Lineable Ausdehnungslehre (Álgebra das Extensões 
Lineares) onde apresentava uma perspectiva inovadora do cálculo geométrico: sugeria que as 
grandezas físicas fossem representadas por objectos geométricos (origem dos objectos vectoriais) 
e surgia com o produto exterior, um produto geométrico válido para espaços de qualquer dimensão 
e, embora sem essa intenção deliberada, válido para espaços de qualquer métrica. 
 Paralelamente aos trabalhos de Grassman, Hamilton (1805-1865), um matemático, físico e 
astrónomo irlandês, fazia surgir a álgebra dos quaterniões ao generalizar os números complexos 
para três dimensões. 
 Um dos poucos matemáticos, a quem a álgebra de Grassman não passou despercebida foi 
Clifford (1845-1879), um matemático e filósofo inglês. Clifford, uniu numa única estrutura o produto 
interno com o exterior. O produto resultante, tinha propriedades associativas à semelhança do 
produto de Grassman e ainda a grande vantagem de ser invertível como a álgebra dos quaterniões 
de Hamilton. Apesar de muitas vezes, se designar a Álgebra resultante como Álgebra Geométrica 
- 3 - 
 
de Clifford, há hoje fortes indícios que Grassman teria chegado aos mesmos resultados, pelo que, 
por uma questão de justiça, é preferível que se designe simplesmente de Álgebra Geométrica. 
 Apesar da dinâmica que Clifford imprimiu à Álgebra Geométrica, esta rapidamente perdeu 
destaque face aos trabalhos que entretanto surgiram de Josiah Gibbs, que também se havia 
baseado na análise da álgebra de Grassman, trazendo à luz um novo cálculo: o cálculo vectorial. 
 O cálculo vectorial, embora não tenha o mesmo rigor das álgebras de Grassman, Hamilton 
ou Clifford, é bastante prático na descrição de fenómenos tridimensionais, simplificando-os de 
maneira considerável. É no entanto apenas válido para espaços tridimensionais de métrica positiva 
e não é associativo. 
A Teoria da Relatividade de Einstein, trouxe com ela a necessidade, de uma nova álgebra, 
uma vez que é formulada num espaço quadrimensional de métrica mista. Autores como Levi-Civita, 
Ricci e Einstein deram a sua contribuição para a formulação da Álgebra Tensorial, uma álgebra 
que substitui a noção de vector por tensor, em que estes mantêm as suas propriedades, 
independentemente do sistema de coordenadas em que são descritos. Apesar da Álgebra 
Tensorial ter sido fundamental no desenvolvimento da Teoria da Relatividade de Einstein, trata-se 
de uma álgebra complexa, cheia de rebuscados formalismos, dependente de um sistema de 
coordenadas e cuja aplicabilidade se limita a uma estrita classe de problemas. 
 Felizmente, David Hestenes, um professor e investigador americano, fez reemergir em 
1963 com a sua Tesede Doutoramento, a Álgebra Geométrica, dando-lhe nos anos que se 
sucederam a reestruturação necessária para acompanhar os avanços que se haviam dado na 
física e matemática. 
 Entretanto, a comunidade científica parece ter despertado, também ela, para a álgebra 
geométrica e assiste-se ao seu profícuo desenvolvimento em áreas tão vastas como: mecânica 
quântica relativista [1] e não relativista [2], electromagnetismo [3], computação [3], robótica [4], 
gravitação[5], teoria da relatividade restrita [2], processamento de sinal [4] e [6], entre outras. 
 Reforça-se que, a sua importância está na sua riqueza da estrutura matemática, mas que 
não é complexa, que contempla espaços de várias dimensões e de várias métricas. É uma álgebra 
associativa e invertível, poderosíssima na maneira como lida com as rotações e que pode ser 
usada como substituta dos vários sistemas algébricos que foram surgindo nos últimos anos e cuja 
aplicabilidade se limita a uma classe limitada de problemas. 
 
Figura 1- As quatro personalidades que mais contribuíram para o desenvolvimento da Álgebra Geométrica. 
 
 
 
 
- 4 - 
 
Da esquerda para a direita: Hermann Grassman (1809-1877); William Hamilton (1805-1865); William 
Clifford (1845-1879) e David Hestenes (1933-?). 
 
 
 
Figura 2- Evolução dos sistemas algébricos e a sua convergência para a Álgebra Geométrica. 
 
 
 
Formas 
diferenciais 
E.Cartan, 1908 
Álgebra Spinor 
Pauli, Dirac, 1928 
Geometria Euclidiana 
Euclide 300 AC 
Álgebra de Grassman 
Extensiva 
1844-1862 
 
 
Álgebra de Clifford 
Clifford, 1878 
Álgebra Geométrica 
Cálculo Vectorial 
Gibbs, 1881 
Cálculo Tensorial 
Ricci, 1980 
Álgebra Matrixial 
Cayley, 1854 
 
Determinantes 
Sylvester, 1878 
Quaterniões 
Hamilton, 1843 
Álgebra Sincopática 
Diophantus, 250 DC 
Álgebra dos Complexos 
Wessel, Gauss, 1798 
Geometria Analítica 
Descartes,1637 
Boole 
1854 
- 5 - 
 
1.2 Objectivos 
 
Pretende-se com esta dissertação, um estudo aprofundado da estrutura base da Álgebra 
Geométrica, para a partir desta, se reformularem os aspectos principais da Teoria da Relatividade 
Restrita de Einstein. Dá-se especial destaque ao paradoxo dos gémeos, uma vez que, condensa 
num só problema várias questões e implicações pertinentes da teoria da Relatividade de Einstein. 
O paradoxo dos gémeos é abordado tanto da perspectiva clássica de dois referenciais com 
movimento relativo uniforme, como da perspectiva mais realista de referenciais uniformemente 
acelerados, implicando este último caso, o estudo do movimento hiperbólico. 
 
Paralelamente a esse objectivo, está implícito divulgar a Álgebra Geométrica como 
linguagem matemática unificadora e global, útil nas mais diversas áreas de engenharia e nos mais 
diversos problemas, no caso concreto na Teoria da Relatividade Restrita, mostrar que a mesma 
permite uma passagem suave da métrica euclidiana do espaço tridimensional para o espaço 
quadrimensional de métrica mista: o espaço-tempo de Minkowski. Assim, reveste-se de grande 
importância, uma primeira abordagem da Álgebra Geométrica aplicada ao espaço euclidiano, que 
fará a passagem para o espaço-tempo de Minkowski, cenário onde se desenrola a Teoria da 
Relatividade Restrita de Einstein. 
 
Foi ainda objectivo, a escrita de uma tese acessível a um público com conhecimentos 
médios de física e matemática, havendo por isso a preocupação de abordar os temas com clareza. 
Infelizmente, uma vez que a tese é limitada tanto em extensão como no tempo em que 
decorre, não me foi possível expandir tanto quanto um tema desta natureza alicia e permite. 
 
 
 
1.3 Estrutura e Organização da Tese 
 
De modo a cumprir os objectivos atrás estabelecidos de forma lógica e articulada, esta Dissertação 
assenta em seis capítulos: 
 
O primeiro capítulo, a Introdução, fornece o quadro motivacional desta dissertação. Uma vez que 
esta recai no estudo das propriedades da Álgebra Geométrica e da sua aplicação no contexto da 
Teoria da Relatividade Restrita, pretende dar-se uma perspectiva global e generalista da Álgebra 
Geométrica: a sua evolução histórica, os avanços que têm sido feitos na área e as razões que a 
justificam, em particular para o caso da Teoria da Relatividade Restrita. Pretende-se ainda, 
clarificar as contribuições originais que resultam desta dissertação, bem como esclarecer a sua 
estrutura e o material consultado que permitiu a sua realização. 
- 6 - 
 
O segundo capítulo, Álgebra Geométrica Aplicada ao Espaço Euclidiano Tridimensional, 
aborda as bases e aspectos essenciais da Álgebra Geométrica, primeiro de uma forma generalista 
e daí partindo para a sua concretização no espaço euclidiano tridimensional, onde se dá especial 
destaque às rotações. Note-se que, estas constituem uma das aplicações poderosas desta 
álgebra, uma vez que podem ser estendidas ao espaço tridimensional. As rotações eram possíveis 
em planos bidimensionais com o uso dos números complexos. 
 
No terceiro capítulo, Álgebra Geométrica Aplicada ao Espaço-Tempo de Minkowski: Aspectos 
Fundamentais, formulam-se e caracterizam-se os aspectos essenciais do espaço-tempo de 
Minkowski, usando como base a Álgebra Geométrica. Apesar de se tratar de uma métrica mista e 
de um espaço de dimensão superior ao euclidiano tridimensional, os resultados são facilmente 
extrapolados deste, evitando assim o corte radical que existe na passagem do produto vectorial de 
Gibbs para a álgebra tensorial. O capítulo encerra com as transformações de Lorentz, 
transformações que mantêm invariantes o intervalo entre eventos no espaço-tempo. 
 
 
No quarto capítulo, Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço-Tempo de Minkowski: 
Aplicações, analisam-se algumas das implicações da Teoria da Relatividade Restrita. Embora a 
simultaneidade de eventos, a contracção espacial e a dilatação temporal sejam o exemplo de 
fenómenos, que ficam perfeitamente explícitos recorrendo aos diagramas de Minkowski, todos os 
cálculos auxiliares são feitos recorrendo à Álgebra Geométrica. Analisam-se ainda alguns aspectos 
relativistas da dinâmica de uma partícula como a adição de velocidades e a inércia da energia. 
 
No quinto capítulo, “Paradoxo” dos Gémeos, é analisado o clássico problema do paradoxo dos 
gémeos, segundo os referenciais do gémeo terrestre e espacial, tanto da perspectiva tradicional de 
referenciais com movimento relativo uniforme, como da perspectiva mais realista de referenciais 
com movimento relativo uniformemente acelerado. O capítulo inicia-se, com uma exposição do 
efeito da aceleração no tempo de onde se deduzem as expressões do movimento hiperbólico 
(movimento uniformemente acelerado). 
 
A dissertação encerra com o capítulo da Conclusão, onde se faz uma síntese dos resultados 
obtidos mais importantes face aos objectivos e se sugerem, face ao panorama presente, trabalhos 
futuros que possam vir a ser relevantes. 
 
Todos os capítulos são iniciados com uma pequena introdução / motivação para o assunto que se 
segue e encerram com uma conclusão dos resultados obtidos mais importantes. A listagem 
bibliográfica é também feita por capítulo. 
 
 
- 7 - 
 
1.4 Bibliografia Consultada 
 
Para a realização desta dissertação, consultaram-se essencialmente livros e artigos que têm sido 
publicados sobre o assunto. Apesar das publicações que têm sido feitas na área, serem 
maioritariamente de autores internacionais, a nível nacional o Professor Carlos Paiva 
conjuntamente com o seu núcleo de doutoramento, tem contribuído para a dinamização e 
divulgação da álgebra geométrica com a publicação de diversos artigos e participaçãoem vários 
congressos. 
 
1.5 Contribuições originais 
 
Demorou mais de um século, desde os primeiros esboços para a criação de um cálculo geométrico 
universal, para a Álgebra Geométrica se instituir e desenvolver-se como corpo matemático sólido e 
eficaz, capaz de servir de base aos mais diversos temas da física e engenharia. Apesar da Álgebra 
Geométrica estar em rápida expansão, tem tido uma aceitação lenta por parte da comunidade 
científica, quer em parte por conformismo com os modelos já existentes, quer por 
desconhecimento das suas potencialidades e aplicações. Esta Dissertação, pretende contribuir 
para a divulgação da Álgebra Geométrica e da sua estrutura matemática, assim como da sua 
potencialidade, em particular na Teoria da Relatividade Restrita. 
 Felizmente, ao nível dos seus fundamentos, vários autores têm contribuído para a sua 
consolidação e aperfeiçoamento, pelo que, a nível pessoal apresento os resultados que obtive de 
uma vasta leitura e estudo de autores, apresentando-os segundo a minha perspectiva crítica. 
Durante a investigação que precedeu esta dissertação, pude no entanto constatar que a Teoria da 
Relatividade Restrita, analisada segundo essa perspectiva geométrica, não está nesse nível de 
desenvolvimento pelo que, muitos dos conceitos aqui apresentados são já conhecidos mas 
segundo a sua formulação pela Álgebra Tensorial. Esta dissertação, formula a Teoria da 
Relatividade Restrita à luz da Álgebra Geométrica, colmatando assim uma lacuna que não tem sido 
suficientemente preenchida quer em dissertações, quer pela literatura científica. Salienta-se ainda 
a análise do paradoxo dos gémeos segundo a perspectiva clássica de referenciais com movimento 
relativo uniforme mas também considerando referenciais uniformemente acelerados. 
Curiosamente, esta última análise, raramente é considerada, mesmo na literatura clássica, mas é 
perfeitamente válida desde que se assuma que os relógios dependem apenas da velocidade 
instantânea e não do ritmo a que essa velocidade varia. 
 
 
 
 
- 8 - 
 
Bibliografia e Referências 
 
[1] I. Benn e R. Tucker, An Introduction to Spinors and Geometry, Adam Hilger, 1987. 
 
[2] David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics, Dordrecht: Kluwer Academic 
Publishers, 2nd ed., 1999. 
 
[3] Leo Dorst, Daniel Fontjne and Stephen Mann, Geometric Algebra for Computer Science: An 
Object-Oriented Approach to Geometry, The Morgan Kaufmann Series in Computer Graphics, 2007. 
 
 [4] Leo Dorst, A. Lasenby and C. Doran and S.Gull, Applications of Geometric Algebra in Computer 
Science and Engeneering, Birkhauser Verlag, 2002. 
 
 
[5] A. Lasenby, C. Doran and S.Gull, “Gravity, Gauge Theories and Geometric Algebra”, Phil. Trans. 
R. Soc. Lond. A.,1998. 
 
[6] Michael Felsberg and Gerald Sommer, “The Multidimensional Isotropic Generalization of 
Quadrature Filters in Geometric Algebra“, AFPAC, 2000. 
 
 
1. Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge: Cambridge 
University press, 2003. 
 
2. David Hestenes, Clifford Algebra to Geometric Calculus, D. Reidel Publishing Company, 1933. 
 
3. C. R. Paiva, "Lição de Síntese", Folhas da cadeira de fotónica, Departamento de Engenharia 
Electrotécnica e de Computadores, Instituto Superior Técnico, 2009. 
 
4. C. R. Paiva, "Álgebra Geométrica do Espaço: Introdução", Folhas da cadeira de fotónica, 
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores, Instituto Superior Técnico, Maio 
2008. 
 
5. J. Vaz Jr., “A Álgebra Geométrica do Espaço-Tempo e a Teoria da Relatividade ” Revista 
Brasileira de Ensino de Física, volume 22, 2000. 
 
6. Fritjof Capra, O Tao da Física, Editorial Presença, 2009. 
 
 
7. http://modelingnts.la.asu.edu/html/evolution.html#FamilyTree, consultado em Agosto de 2009. 
 
8. http://geocities.ws/rickrsv/teorias_arquivos/topicos.pdf, consultado em Maio de 2009. 
 
 
 
 
 
- 9 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 
Álgebra Geométrica 
Aplicada ao Espaço 
Euclidiano Tridimensional 
 
 
O presente capítulo inicia o estudo da álgebra geométrica de uma 
forma generalista, passando pela sua estrutura axiomática. A partir daí 
passa-se para a análise do espaço euclidiano, dando especial ênfase 
às reflexões e rotações. 
 
- 10 - 
 
“ …for geometry, you know, is 
the gate of science, and the gate 
is so low and small that one can 
only enter is a little child.” 
 
William Kingdom Clifford (1845-
1879) 
 
2.1 A Álgebra Geométrica 
 
A matemática é a ferramenta principal de apoio às ciências exactas, em particular à física. Ela 
permite a sua manipulação e consequentemente a sua previsão e estudo. A álgebra constitui-se 
como um dos seus ramos mais abrangentes e antigos, sofrendo uma considerável evolução ao 
longo dos tempos. 
A essência da álgebra geométrica remonta à Grécia Antiga, com Euclides, numa tentativa de 
representar os objectos geométricos através de objectos algébricos e as operações geométricas 
por operações algébricas. 
Existem inúmeros sistemas algébricos, cada um com as suas próprias vantagens e 
desvantagens, contudo a álgebra geométrica, adequa-se facilmente à descrição de fenómenos 
como a relatividade restrita, mecânica quântica, simplificação das equações de Maxwell, entre 
outros. Aplicações recentes desta álgebra passam pela robótica, biomecânica, visão computacional 
e dinâmica dos voos espaciais, o que explica a sua valorização em ascensão. 
A Álgebra Geométrica, também designada por álgebra de Clifford, foi inicialmente 
desenvolvida por William Kingdon Clifford por volta de 1870 que se baseou nos trabalhos 
desenvolvidos anteriormente por Grassman (autor do produto exterior) e Hamilton (autor do 
quaterniões). Na sua base está um novo produto vectorial: o produto geométrico que permite 
passar de uma forma harmoniosa do espaço euclidiano tridimensional para o espaço não 
euclidiano quadrimensional (o espaço-tempo de Minkowski) sem ser pela passagem abrupta do 
produto externo de Gibbs para uma álgebra tensorial. 
A definição da Álgebra Geométrica, assim como da maioria dos sistemas algébricos, passa 
essencialmente pela definição do seu produto entre vectores. Dado dois vectores, 
a
 e 
b 
, o seu 
produto geométrico escreve-se 
ab
 e resulta da soma graduada de um escalar (de origem no 
produto interno) com um bivector (com origem no produto exterior) pela seguinte equação 
 
  ab = a b a b
 (2.1) 
Vale a pena dedicar algumas linhas a relembrar as propriedades do produto interno (à 
partida já nosso conhecido) e apresentar o produto exterior, ambos introduzidos pelo matemático 
Grassman. 
- 11 - 
 
O produto interno entre dois vectores 
a
 e 
b
 define-se como o escalar obtido pela dilatação 
da projecção perpendicular de 
a
 em 
b
 pela magnitude de 
b
 e representa-se por 
a b
. 
Da sua definição surge a seguinte relação, em que θ representa o ângulo entre 
b
 e 
a
:
 
cos cos    a b = a b b a b a
 
 
Na figura 3 encontra-se evidenciado o já expresso na equação 2.2: a simetria do produto 
interno. Na figura 4 é visível outra importante propriedade do produto interno: a sua distributividade 
em relação à soma. 
 
 
 
 
Figura 3- Simetria do produto interno 
 
 
 
Figura 4 - Distributividade do produto interno em relação à adição : 
 
 
De notar ainda que: 
ˆ a c
 
b c
 
b
 
c
 
ˆ a b
 
 ˆ a b c
 
ˆa b
 
a
 
ˆb a
 
b
 

 
 ˆ ˆ ˆ    a b c = a b a c
 
(2.2)
 
- 12 - 
 
 
            a b a b a b
 (2.3) 
 
 
 
 
2
0  a a a
 (2.4) 
 (4) () 8 
 
 
 
Apesar da importância do produto interno, este é insuficiente para uma caracterização global 
da expressão geométrica. O produto exterior vem a esse encontro, colmatando ainda o facto do 
produto externo de Gibbs apenas existir a três dimensões e estar dependente da métrica definida. 
Do produto exterior resulta um novo objecto vectorial: o bivector. 
O bivector é um fragmento de plano orientado, caracterizado pela sua área (magnitude do 
bivector), direcção (direcção do plano suporte do bivector) e sentido (horário e anti-horário). Apesar 
de se representar geralmente como um paralelogramo orientado, apenas interessa o seu plano, 
orientação e área, pelo que, por exemplo, um círculo para a sua representação seria também 
aceitável. Para o efeito definindo 
' a a b
 tem-se que: 
 '    a b a b b b (2.5) 
Conclui-se assim que o mesmo bivector pode ser gerado por diferentes pares de vectores. 
Note-se que esta demonstração faz uso de uma propriedade do produto exterior ainda não 
apresentada: a sua distributividade sobre a adição, ou seja 
       a b c a b a c 
 
Na figura 5 e 6 encontra-se a representação gráfica do produto exterior do vector 
a
 
com
 )b ( a b 
 e 
b
 com 
 )a ( b a 
 respectivamente. 
 
 
 
 
 
Tal como se encontra sugerido pelas figuras o produto exterior é anti-simétrico: 
  a b b a (2.7) 
 
b
 
a
 
a
 
b
 
Relação do produto interno com a multiplicação de escalares 
por vectores. 
 
Relação da magnitude de um vector com o produto interno. 
Repare-se que 
= 0a a
apenas se 
= 0a
. 
Figura 5- Duas representações possíveis para o 
 bivector 
B = a b
, admitindo as áreas 
 dos polígonos iguais. 
 
Figura 6 - Duas representações possíveis para o 
 bivector 
-B = b a
 , admitindo as áreas 
 dos polígonos iguais. 
 
 
(2.6)
 
- 13 - 
 
Deste facto resulta que: 
= + = -   ab a b a b b a b a 
Pelo que 
 
 
1
= +
2
e
1
=
2


a b ab b . a
a b ab - b . a
 
As equações 2.7 e 2.8 simplificam a equação 2.1 uma vez que o produto geométrico deixa 
de depender da soma de dois produtos distintos, mas apenas de um. 
A Magnitude do bivector (área varrida pelos vectores que o constituem) tem intensidade: 
sin= a b a b ∧ 
 
Segue-se a demonstração: 
 
    
    
   
 
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
     
     
    
  
a b ab a b a b ba
a b ab ba a b abba
a b a b a b
a b a b
 (2.12)
 
 
 Logo, uma vez que: 
 
virá que 
  
2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin sin ,       a b a b a b a b a b a b 
 
 Pelo que se conclui que: 
 
0   a a aa =a a
. (2.15) 
A magnitude do bivector 
 B a b
 representa uma área orientada. Pela figura seguinte 
pode-se deduzir que a magnitude do bivector é igual à área do paralelogramo com as arestas 
definidas pelos vectores 
.a be
 
cosa b = a b 
(2. 11)
 
(2.9)
 
(2.10)
 
(2.13)
 
(2.14)
 
(2.8)
 
- 14 - 
 
 
 
Figura 7- Ilustração do módulo do bivector 
 B a b
 como área do paralelogramo: 
 sin B a b
 
 
 
Apresentados os produtos interno e exterior, as propriedades do produto geométrico podem 
ser sintetizadas: 
 O produto geométrico de vectores ortogonais é anti-simétrico: 
  a b b a (2.16) 
O produto geométrico na sua forma geral apresenta no entanto a seguinte relação entre 
a b
 e 
ba
: 
= + = -   ab a b a b b a b a (2.17) 
 Tendo presente que os produtos interno e exterior são distributivos na adição, o produto 
geométrico de dois vectores também o será, como se verifica na seguinte demonstração: 
 
     
   
   
+ +
+
  
      
       
 
a b+c = a b c a b c
a b a c a b a c
a b a b a c a c
ab ac
 
 
A mesma demonstração é passível de ser feita para a distributividade à esquerda, de 
onde se concluiria que: 
  + = +b c a ba ca (2.19)
 
 
 É desejável que o produto geométrico seja associativo para facilitar a manipulação 
algébrica. Tomamos portanto como axioma que dados, a título de exemplo, três vectores 
a
,
b e c vem então que: 
     a b a b a bc c c (2.20)
 
 
 Toma-se também como axioma que o quadrado de qualquer vector seja um escalar real: 
 sin b
a
b
 
a
 

 B a b
 
(2. 18)
 
- 15 - 
 
2a (2.21) 
Este axioma permite que se faça a separação da álgebra geométrica das álgebras 
associativas comuns e uma vez que não impõe que o quadrado do vector seja 
necessariamente um número positivo, pode integrar o espaço-tempo de Minkowski. 
 
 Uma outra importante utilidade da álgebra geométrica é a sua capacidade de expressar o 
inverso de um vector não nulo: 
1
2
   

a a a
a
aa a a a
 
 
O produto geométrico de dois vectores é invertível apesar do seu produto interno e exterior o 
não serem. Seguem-se as respectivas demonstrações. 
O produto interno de dois vectores 
a
 e
b
 residentes em ℝ3, supondo conhecido o vector 
a
assim como o escalar 

 resultante da operação, será invertível se o vector 
b
 caracterizar 
univocamente a relação, ou seja dado 
  r a = (2.23) 
 então, 
   r - b a =0 (2.24)
 
No entanto qualquer vector 
r - b que se situe num plano perpendicular a a satisfaz 
  r - b a =0
 pelo que o produto interno não é invertível. 
O produto exterior de 
a
 com
b
 também não é invertível uma vez que qualquer vector 
r - b
paralelo a 
a
satisfaz 
  r - b a =0 (2.25)
 
e portanto
b
não fica caracterizado univocamente. 
 Seguindo a sequência, o produto geométrico
u
 de um determinado vector 
b por um 
vector
a
será invertível se for univocamente caracterizável: 
 
ba =u
 
 
 
 
A condição anterior
  0r b a =
 resulta na intersecção de um plano com uma recta 
perpendicular a este, originando o ponto P como esquematizado na figura seguinte. Daqui resulta 
que 
r b
, de onde se conclui que o produto geométrico é invertível. 
O inverso do multivector 
=abu
, representa-se por 
1u
e segue-se a sua dedução: 
ra =u
então 
           0 0 0r b a = r b a = r b a =
 
(2. 22)
 
(2. 26)
 
- 16 - 
 
    
 
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
 
 
 
      
   
   
ab b a b a
b a b a
u u u u u u
 u uu u u uu u
 
 
1 1 12 2 2 2 2 2
         
ba ab a b a b
b a
a b a b a b
 u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para facilitar a manipulação algébrica, estão previstas na álgebra geométrica as seguintes 
involuções, em que 
u e v representam multivectores genéricos homogéneos: 
 
 Involução de grau 
  
r
r r r
= 1u u u
 (2.29)
 
 Reversão 
o 
 
r 2
r
2
r r r
= 1

u u u
 (2.30)
 
Note-se que: 
 
~
vu
v u

 
uv
vu
 (2.31)
 
 
 
P 
a
 
b
 
Figura 8 – O plano a azul representa o lugar geométrico dos afixos dos vectores 
r tais que
  r - b a =0
. 
 Na recta a verde residem todos os possíveis afixos dos vectores
r tais que
 r - b a =0
. 
 
(2. 27)
 
(2. 28)
 
- 17 - 
 
O reverso do produto de vectores será: 
 
~
... ...abcd k k dcba (2.32) 
 
 Conjugação de Clifford 
 
 
 
~
r r r r r r
=
   
  u u u u u u
 (2.33)
 
 
 Note-se que: 
vu uv
 
 
 Dual de Clifford 
 
Dado um multivector genérico 
u define-se o correspondente dual de Clifford como o novo 
multivector 
v
 tal que: 
 
= Iv u
 
 
 onde 
I se refere ao pseudoescalar da álgebra em questão. 
 
 O Pseudoescalar 
I
 refere-se ao elemento da álgebra com de grau mais elevado. Em 
espaços com dimensão
 r
 ímpar o pseudoescalar comuta com todos os multivectores. Em 
espaços de dimensão par, 
I
 anti-comuta com os multivectores de grau ímpar e comuta com os 
multivectores de grau par: 
    11  A Ar nr rI I (2.35)
 
Contudo a maior utilidade do pseudoescalar é a sua capacidade de fazer uma rápida 
passagem do produto exterior para o interno: 
 
   
  
 
 
 
  
  
1
1
1
2
1
1 1
2
1
1
2

 
   
   
  
 
A A A
A A
A A
A
n r
r r r
n r n
r r
r
r r
r
a I a I Ia
a I aI
a a I
a I
 (2.36)
 
Mais genericamente dado dois multivectores 
Ar
e
sB
com 
 r s n
 vem que: 
(2. 34)
 
- 18 - 
 
 
 
 
 
 
 

 


 
A B A B
A B
A B
A B
r s r s r n s
r s n r s
r s r s
r s
I I
I
I
I
 (2.37)
 
 
 
2.1.1 Caracterização da sua Estrutura Algébrica e Axiomática 
 
Esta secção vem dar consistência aos traços gerais da álgebra geométrica que se 
delinearam na secção anterior, reforçando a sua estrutura axiomática que, como veremos, muito se 
aproxima da álgebra dos escalares. 
Ao elemento genérico, 
u
, desta álgebra, dá-se o nome de multivector. Este é um elemento 
híbrido, que resulta da soma graduada (
 ) de elementos de classes diferentes. As diferentes 
classes constituem os subespaços da álgebra geométrica, e diferenciam-se pelo grau 
k
 que lhe 
está associado. 
Uma representação esquemática da dimensão dos vários subespaços, com o aumento 
gradual do espaço, revela uma estrutura simétrica que forma o Triângulo de Pascal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada subespaço tem uma determinada dimensão que depende do grau 
k
 do subespaço 
em questão e da dimensão n da álgebra geométrica onde está a ser definido: 
 dim
 
  
 
k
n
n
C
k
l
 
 
A dimensão total da álgebra num determinado espaço, ou seja o número de elementos 
linearmente independentes que compõe o conjunto dos vários subespaços, é dado por: 
 
     
0 0
dim dim dim
 
   
     
   
 
n n
k k
n n n
k k
n n
C C C
k k
l l l
 
 
 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
. . . 
 
(2.38) 
(2.39) 
- 19 - 
 
Um multivector, que apenas resulte do produto exterior de vectores designa-se de lâmina. 
Um escalar e um vector podem no entanto ser consideradas lâminas de grau 
k
= 0 e 1 
respectivamente. As restantes lâminas têm graus correspondentes ao número de vectores 
(linearmente independentes) que formam o produto exterior: 
2
3
4
lâmina 2
lâmina 3
d lâmina 4
    
     
      
 a b = ab 
 a b c = abc 
 a b c d = abc 
Bivector
Trivector
Quadrivector
 
 ……. (2.40) 
As lâminas representam-se com letra maiúscula a negrito, constituindo excepção os 
vectores que são representados com letra minúscula a negrito e os escalares que se representam 
com letras gregas. 
A lâmina da álgebra com maior grau possível designa-se pseudoescalar e equivale ao 
elemento representado na equação seguinte por 
n
u
. Representa-se por 
I
 para se diferenciar do 
número imaginário 
i
. 
C n
n0 1 2 n
= .....       u u u u u ul subespaços de ummultivector 
Representa-se por 
k
u
a projecção de 
u
em relação ao grau 
k
, ou seja, a dimensão do 
subespaço k n . Para efeitos de simplicação assume-se 
0
u u
. 
 Se
k
u u
o multivector diz-se homogéneo, já que resulta de uma única lâmina. 
Um multivector pode ainda ser decomposto na soma da sua parte par

u
com a 
impar

u
: 
=
 
u u u (2.41)
 
Por parte par entende-se a soma graduada de todas as lâminas de índice par. 
Analogamente a parte ímpar refere-se à soma graduada das lâminas de índice ímpar. 
Um multivector em que 
=

u u
 diz-se par e será impar se 
=

u u
. 
Embora não se aprofunde neste tese, a decomposição de um multivector na sua parte 
impar e par, tal é importante, uma vez que a parte par gera por si só uma álgebra, enquanto que a 
parte ímpar não. 
O produto interno de um vector por uma lâmina de grau k superior a 1, assume 
propriedades especiais e por essa razão é designado de contracção: 
- 20 - 
 
     
k k 1
k k k k
1
1 1
2

    a U aU U a U a
 (2.42)
 
Mais à frente abordam-se as contracções com maior profundidade. 
O produto exterior de um vector por uma lâmina de qualquer grau vem dado por: 
     
k k
k k k k
1
1 1
2
      a U aU U a U a
 (2.43)
 
Considerando a álgebra 
C l
de dimensão arbitrária e sendo 
A
,
B
e 
C
 multivectores que 
lhe pertencem, podemos estabelecer os seguintes axiomas: 
 
Axioma 1: A álgebra 
C l
é fechada sobre a adição, ou seja, para quaisquer dois multivectores 
C, A B l
 
existe um único multivector 
C
 tal que 
  A B C (2.44) 
 
Axioma 2: A álgebra 
C l
é fechada sobre a multiplicação geométrica, ou seja, para quaisquer dois 
multivectores 
 
C, A B l
 
existe um único multivector 
D
 tal que 
 AB D (2.45) 
 
O axioma 1 conjuntamente com o axioma 2 permitem que a álgebra geométrica seja considerada 
um s istema algebricamente fechado. 
 
Axioma 3: A adição de multivectores é comutativa: 
  A B B A (2.46) 
Axioma 4: A adição de multivectores é associativa: 
       A B C A + B C (2.47)
 
Axioma 5: O produto geométrico de multivectores é associativo: 
    AB C A B C (2.48)
 
Axioma 6: O produto geométrico de multivectores é distributivo à direita e à esquerda: 
 
  
 
A B C AB AC
B C A BA +CA
 (2.49)
 
Axioma 7: Existe um único multivector 
C0  l
(identidade da adição), tal que: 
0 0  A A = A (2.50) 
Axioma 8: Existe um único multivector 
C I l
(identidade da multiplicação) , tal que: 
- 21 - 
 
 IA A (2.51) 
Axioma 9: Cada multivector 
A possui um único -A , tal que: 
    0    A A = A A (2.52)
 
Axioma 10: Apesar de ser uma propriedade útil para efeitos de manipulação algébrica, apenas 
alguns multivectores apresentam um inverso denotado 
1 1 A
A
 , tal que: 
 1 1 A A (2.53) 
 
Axioma 11: A divisão à esquerda e à direita de um multivector 
B por um multivector 
A
(assumindo que existe 1A ) não são equivalentes, excepto quando 1A e B comutem. Assim 
no caso geral vem: 
 
1 11 1    
B
A B B BA B
A A A (2.54)
 
Axioma 12: O conjunto de escalares da álgebra geométrica pertence ao corpo dos números reais. 
Axioma 13: A multiplicação de um multivector por um escalar é comutativa: 
  A = A (2.55) 
Axioma 14: Por cada vector não nulo existe um único escalar de posição
2
a
, tal que: 
 
22 0 a a (2.56)
 
Axioma 15: Todos os vectores não nulos 
C a l
existe um único vector 
C1  a l
(inverso da 
multiplicação), tal que: 
 1 1I  aa a a (2.57) 
onde 
 
1
2
 
a
a
a (2.58)
 
Axioma 16: O produto exterior de um vector genérico 
a
 pela lâmina da álgebra com maior grau 
possível é zero: 
 na u =0 (2.59) 
 
 
 
2.1.2 A Operação de Contracção 
 
A contracção em álgebra geométrica é, num caso particular, uma operação que surge no produto 
geométrico de um vector por um bivector (contracção à esquerda) ou de um bivector por um vector 
- 22 - 
 
(contracção à direita). Designa-se de contracção pois o grau (dois) do bivector é contraído para o 
grau (um) do vector. Apesar de esta ser a aplicação mais comum, a operação de contracção pode 
ser estendida a multivectores de qualquer grau, como veremos nesta secção. 
 A contracção é em certa medida equivalente ao produto interno de dois vectores, mas 
distingue-se deste por não ser necessariamente comutativa. 
 
 Nota: Até se introduzir formalmente o símbolo de contracção nesta secção, essa operação 
será representada pelo símbolo de produto interno a vermelho, de forma a advertir que não se trata 
do símbolo correcto. 
 
Suponhamos então o produto geométrico de um vector 
a
 por um bivector 
B= b c que 
resulta num multivector 
u
 com características por ora desconhecidas. 
 O multivector 
u
pode ser reescrito como a soma da sua parte ímpar com a sua parte par: 
 
 
1 1
( ) ( )
2 2
   
parte ímpar parte par
aB aB Ba aB Ba
 (2.60)
 
 Esta nova apresentação aproxima-se bastante das equações 2.09 e 2.10 que novamente 
recuperamos: 
 
 
1
2
1
2
   
   
a b ab b a
a b ab b a
e
 
Um olhar mais desatento pode induzir a que se faça uma precipitada correspondência entre 
o par de equações anteriores e 2.60, o que leva a contradições das propriedades do produto 
geométrico já apresentadas anteriormente. Repare-se que o produto exterior de um vector por um 
bivector é simétrico: 
 
 
pelo que a correcta correspondência deve ser: 
 
 
1
( )
2
1
( )
2
    
 

  
 a B aB Ba a B B a
a B B a aB Ba
 (2.64)
 
 Outro indício da validade da correspondência é que do produto geométrico de um vector 
por um bivector resulta a soma graduada de um vector com um trivector: 
            a b c b a c b c a a B B a
(2.61) 
(2.62) 
(2.63) 
- 23 - 
 
 
3 3
31 1
( ) ( ) .
2 2
 
     
vector trivector a b c
aB aB Ba aB Ba
 
como seguidamente se demonstra: 
 Considere-se a decomposição, exemplificada na figura seguinte, do vector 
a
 na sua 
projecção (
a
) e rejeição (
a
) em relação ao bivector 
B
 , tal que: 
  a a a (2.66)
 
 Como 
 1a aBB 
onde 
 
1 1ˆ ˆB = B B B = - B
B
e
 (2.67)
 
então, 
  1 1   a aBB a B +a B B (2.68)
 
e portanto 
 
1
1
ˆ ˆ
ˆ ˆ



   
    
a a BB a BB
a a BB a BB 
 
Figura 9 – Componente paralela e perpendicular do vector
a
. 
 
 Como se pode verificar 
a 
está sobre o plano definido por 
B
. Perpendicularmente a 
a
 e no 
mesmo plano de 
B
 define-se o vector 
b tal que 
 a b B
. Daqui se infere que 
 
20 .      
vector
a b a b a b a B a b
 (2.71)
 
 O trivector também surge naturalmente quando se faz 
       a B a a b a a b (2.72)
 
pois o produto geométrico de três vectores perpendiculares entre si é um trivector. 
Apesar de 
a B
poder ser encarado como o típico produto exterior, a operação
a B
 afasta-
se do generalizado produto interno, é uma operação nova e portanto é justificado o uso de um 
a
 
b
 
a
 
a
 
(2. 69)
 
(2. 70)
 
(2. 73)
 
(2.65) 
- 24 - 
 
símbolo diferente e uma nova designação que a identifique. Passa então a ser denotada de 
contracção e representa-se da seguinte maneira: 
 


a B
B a
Contracção à esquerda
Contracção à direita 
 
 
 
 
Estudam-se seguidamente as suas propriedades: 
 
3( ) Cl
1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1
[2( ) ] [2( ) ]
2 2
1
( ) ( ) ( ).
2
   
   
     
     
u aB a b c
a bc cb ab c ac b
a b ba c a c ca b
a b c a c b bac cab
 (2.75)
 
Sendo 
 
 
   
 
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
1 1
2( ) 2( )
2 2
1
( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) .
  
     
     
     
     
bac cab b ac c ab
b a c ca c a b cb
a c b a b c bca cba
a c b a b c bc cb a
a c b a b c b c a
 (2.76)
 
 
O produto geométrico
aB
simplifica-se então para: 
 
 
( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ]
( ) ( ) 2( ) 2( )
          
       
a b c a b c a c b a c b a b c b c a
a b c b c a a b c a c b (2.77)
 
pelo que 
 
 2( ) 2( )     aB Ba a b c a c bℝ
3
.
 (2.78) 
 
A contracção à esquerda define-se como: 
 
(2. 74)
 
- 25 - 
 
 
 
1
( ) ( ) ( )
2
        a B a b c aB Ba a b c a c b d
 (2.79)
 
 Como se pode verificar, na contracção à esquerda o grau 2 do bivector deixa de estar 
presente, resultando da operação um vector 
d
residente no plano do bivector 
B
. Portanto, 
contrariamente ao produto exterior que aumenta a dimensão do espaço, a operação de contracção 
redu-la. 
 
Figura 10 - Uma possível representação do vector 
d
, resultado da contracção de um vector 
a
 por um 
bivector 
B= b c
. 
 
 A contracção à esquerda, pode ser vista como a dual da regra 
bac - cab
da álgebra 
vectorial de Gibbs que estabelece que dados três vectores 
a
,
b
 e
c
( reais ou complexos) em ℝ3 
vem:          a b c b a c c a b (2.80)
 
Em que 

representa o produto externo de Gibbs. 
 
 Analogamente à contracção à esquerda define-se a contracção à direita: 
 
1
( )
2
 B a Ba aB
 (2.81)
 
 Uma vez que 
 
1 1
( ) ( )
2 2
   Ba aB aB Ba
 (2.82)
 
a contracção à esquerda e à direita entre um bivector e um vector são anti-simétricas: 
 .( ) ( )        B a a B a b c a c b d (2.83)
 
 
 O produto geométrico entre um vector e um bivector fica portanto definido como: 
 .
  
  
aB a B a B
Ba B a B a (2.84)
 
 Esta representação pode estender-se ao produto geométrico entre vectores e multivectores 
homogéneos. Faz-se notar que dependendo do grau da lâmina vem: 
b
 
a
 
a
 
a
 
c
d
 
( ) a b c
 
( )a c b
 
- 26 - 
 
 
 
 
 
1
1
1

     
       
k
k k
k
k k
a B B a
a B B a (2.85)
 
 
A equação 2.84 não é contudo genérica ao produto geométrico entre dois quaisquer 
multivectores homogéneos. Pode-se demonstrar que o produto de duas lâminas 
B e C , de grau k 
e k’ respectivamente, vem dado por: 
 ' '' ......           k k k kk kB C BC BC (2.86)
 
 
onde 
'
'
'
'
.



  

   
k k
k k
se k k
se k k
e
B C
BC
B C
BC B C
 (2.87)
 
 
 Conclui-se que do produto geométrico de dois multivectores homogéneos resulta a soma 
graduada de lâminas de diferentes graus, em que a de menor grau corresponde à operação de 
contracção e a de grau maior ao produto exterior dos multivectores. Se os multivectores tiverem o 
mesmo grau, da operação de contracção obtém-se um escalar. 
 
 
Embora seja de maior relevância para esta tese o espaço-tempo de Minkowski, este surge 
de forma mais natural começando-se, pela análise do espaço euclidiano tridimensional e 
explorando aí as bases da álgebra geométrica. Comece-se então pela sua análise. 
 
2.2 Álgebra geométrica Aplicada ao Espaço Euclidiano 
 
A álgebra geométrica euclidiana do espaço tridimensional (Cl3) radica no espaço linear ℝ
3
 e por ser 
euclidiana apresenta como assinatura métrica (+,+,+). É particularmente útil em problemas 
geométricos e da mecânica clássica. Revela-se ainda uma ferramenta eficaz no tratamento de 
rotações sendo para tal preterida às matrizes. 
Retomemos agora o produto geométrico de forma mais analítica considerando o espaço 
linear Cl3. 
 O produto vectorial é o âmago da álgebra geométrica, pois as diversas geometrias 
distinguem-se na maneira própria como interpretam a multiplicação entre vectores. 
- 27 - 
 
 Dado o vector 
 321 eeer zyx
ℝ3 de base ortonomada
1 2 3{ , , }  e e e
 em que 
 
j
1,
, {1, 2, 3} ,
0,

     

k jk
j k
j k
j k
e e
 (2.88) 
 
o seu módulo (comprimento) pode retirar-se directamente da sua representação geométrica num 
sistema de eixos ortogonais usando para o efeito o teorema de Pitágoras como representado na 
figura seguinte: 
 
 (2.89) 
 
 
 
 
 
Figura 11- Representação do vector 
r
 em eixos ortogonais. 
 
 
 O módulo de um determinado número real 
s
 pode no entanto ser determinado 
aritmeticamente, através de 
 
2 2  s ss s s (2.90)
 
 
 Uma vez que um vector também pode ser escrito segundo a sua expressão algébrica, 
procura-se definir nesta álgebra um produto entre vectores, tal que, o quadrado de um determinado 
vector
r
 seja igual ao quadrado do seu módulo: 
2 2
3| | Cl r r Axioma fundamental de
 
 
 
 O axioma fundamental de 
3
Cl
implicará uma assinatura métrica positiva pois 
r
 
3
e
1
e
 
2
e
1
e
 
1
e
 
 
2
2 2 2 2 2 2| |     x y z x y zr
(2.93) 
- 28 - 
 
22
1 1
22
2 2
22
3 3
1
1
1
 
 
 
e e
e e
e e
 (2.92)
 
 
Virá então que 
 
2 2 2 2 2| | ( )( )
1 2 3 1 2 3
        x y z x y z x y zr r e e e e e e 
 
 
 
2
2
1 2 3 1 2 3
2 1 1 2
2 2 2
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 3 1 1 3
0| |
3 2 2 3
( )( )
( ) ( ) ( )
    
 
           
 
x y z x y z
x y z xy xz yz
r
r e e e e e e
e e e e
e e e e e e e e e e e e e e e e
e e e e
 (2.94)
 
 Comprova-se desta maneira o que já fora anunciado anteriormente: o produto geométrico 
não é comutativo no caso geral e é anti-comutativo quando os vectores são perpendiculares entre 
si. 
 Se assumirmos, no entanto a associatividade do produto geométrico vem que 
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1.         e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e (2.95)
 
As considerações anteriores conduzem-nos a um novo objecto geométrico que quadra 
negativamente e portanto duas multiplicações sucessivas de um vector por 
1 2e e
roda-o 180
0
. 
O objecto geométrico que se obtém é o bivector, já analisado anteriormente e que surge no 
produto exterior de dois vectores. 
Note-se contudo que o bivector 
1 2e e
 não pode ser equiparado ao escalar 
imaginário
i
que também quadra negativamente. Supondo qualquer vector 
3a
, este 
comuta com o escalar
i
, mas anti-comuta com o bivector 
1 2e e
: 
12 12
 
a a
ae e a
i = i
 (2.97) 
 
 
Tanto o escalar 
i
como o bivector
1 2e e
podem ser escritos como exponenciais de forma 
genérica: 
     
     12 12
exp cos sin
exp cos sin
    
    e e
i i 
 
 (2.98)
 
A quantidade 
z
 , tal que, 
 (2. 96)
 
(2.93) 
- 29 - 
 
12ez = e

bc (2.99) 
designa-se de spinor e equivale a uma rotação do vector 
a
 para o vector
d
 de acordo com a 
seguinte equação: 
12ez = e

d a a (2.100) 
 
Figura 12- Rotação do vector 
a
, originando o vector
d
. 
 
Uma vez que 
a anti-comuta com o bivector 
1 2e e
, da rotação de 
a obtêm-se vectores 
diametralmente opostos, consoante se tenha 
12
ae
ou 
12
e a
: 
 
 
Figura 13- A rotação do vector 
a
 , resultante da multiplicação deste por
12
e
, origina vectores 
diferentes consoante a ordem em que a multiplicação é feita. 
 
Se substituirmos 
 exp i
por 
2

 
 recuperamos o escalar 
i : 
2


i
e i (2.101)
 
 e portanto a multiplicação do vector 
a
 por 
a equivale a uma rotação de 90º: 
d
 

 
a
 
12
e a
 
12
ae
a
 
- 30 - 
 
 
Figura 14- Resultado da multiplicação do vector 
a por i . 
 
Repare-se que o vector
a comuta com o escalar i , pelo que =a ai i . 
 
Também pelo produto exterior de três vectores (figura15) e fazendo uso da propriedade 
associativa do produto geométrico e anti-comutativa do produto exterior, obtém-se um trivector ou 
volume orientado e que tal como um bivector, quadra negativamente: 
      
2 22 2 2 2
1 2 3 123 123 123 123 123 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1           I e e e e e e e e e e e e e e e e e (2.102)
 
 
 
 
Figura 15- Uma possível representação para o trivector unitário
1 2 3 e e e
. 
 
De facto, pode