Flexão pura em barra Prismática

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FLEXÃO PURA EM BARRA PRISMÁTICA 
Parte 1 
 
 Uma estrutura é submetida à flexão quando os esforços externos atuantes resultam em deformação da 
estrutura pelo efeito de momentos fletores. 
 
 A deformação e a tensão interna, em relação à seção transversal, são resultantes de tensões normais 
à seção. 
 
 
Teoria elementar de barra prismática 
Hipóteses: 
• Seções planas originalmente ortogonais ao eixo da barra permanecem planas e ortogonais ao eixo da 
barra deformada (Hipótese de Bernoulli-Euler-Navier); 
• Seção transversal da barra tem um plano de simetria; 
• Carregamento externo atua no plano de simetria; 
• Consideram-se pequenas deformações e deslocamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carregamento (qy) na direção do eixo y 
 
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Tensões desenvolvidas na direção do eixo x 
 
Quando a estrutura é submetida à flexão, são desenvolvidas tensões e deformações na seção transversal: 
 Normais (perpendiculares) à seção transversal; 
 Cisalhamento (paralelas) à seção transversal (de pequena intensidade e praticamente desprezíveis); 
 Deformações (deslocamentos) dos pontos em torno de um eixo de referência. 
 
 
1- Flexão Pura em barra Simétrica 
 
De acordo com o esforço solicitante que acompanha o momento fletor M: 
Flexão Pura: 
 Quando o momento fletor é o único esforço solicitante que atua na seção. 
 
 
Flexão Simples: 
 
 Quando, além do momento fletor, atua uma força cortante na seção simultaneamente. 
 
 
 
 
 
 
 
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Considere o exemplo de uma barra bi apoiada e submetida aos esforços externos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise do exemplo: 
 
Condição de Flexão Pura: (somente momento fletor atuando nas seções) 
 
No intervalo compreendido entre os pontos “C e D”: 
- A cortante é nula (não há tensão de cisalhamento); 
- O momento fletor atuante é constante. 
 
 
Condição de Flexão Simples: (momento fletor e força cortante atuando nas seções) 
 
No intervalo compreendido entre os pontos “AC e DB”: 
- A cortante é constante (há tensão de cisalhamento); 
- O momento fletor varia com a distância. 
 
Plano do Momento (PM): PM = Plano que contém do Momento fletor M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A flexão é do tipo Flexão Normal quando: 
O plano do momento (PM) contém um dos eixos centrais de inércia da seção transversal. 
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Considere uma barra em flexão pura (conjugado de momentos fletores) conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na condição de equilíbrio estático: 
Se a estrutura estiver em condição de equilíbrio, qualquer seção desta estrutura também estará. 
 
Quando uma barra prismática é solicitada por um Momento fletor M, as seções transversais deixam de ser 
paralelas, figura (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Barra prismática (b) Barra deformada em função do momento fletor M 
 
 
 Pela ação do momento fletor M, as seções transversais sofrem rotação (rotação diferente para cada 
seção) resultando em um ângulo de inclinação (φ) entre elas. 
 
 
 
 
 
 
 
Deformação da seção transversal pelo efeito de um carregamento (momento fletor M) 
 
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Hipótese de Navier: 
 A seção permanece plana e assim, os pontos que estão á mesma distância do eixo “Y” possuem a 
mesma deformação. 
 As deformações que ocorrem nos pontos são deformações longitudinais (ɛ) às quais estão associadas 
uma Tensão Normal ( σ ) média. 
 
 
 No regime elástico, as deformações dos pontos 
pertencentes à seção transversal são proporcionais 
às tensões que neles atuam em função da distância 
deste ponto ao eixo da linha neutra, medido em “Y”. 
 
 Os pontos da seção sofrerão deformação na direção 
perpendicular à seção transversal. 
Distribuição das Tensões Normais para uma 
seção transversal com simetria em relação ao 
eixo horizontal “Z” (no regime elástico) 
 
Linha Neutra (LN): 
A linha formada pelos pontos onde a Tensão Normal é nula é denominada LINHA NEUTRA. 
No exemplo acima, a LINHA NEUTRA é coincidente com o eixo “Z”. 
A LINHA NEUTRA divide a seção em duas partes: 
a) Partes onde os pontos são tracionados, orientação positiva ( + ); 
b) Partes onde os pontos são comprimidos, orientação negativa ( - ). 
 
Obs.: quanto mais distante da LINHA NEUTRA, maior será a Tensão Normal atuante na seção transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1 Tensões e Deformações no Regime Elástico: 
 
 Para um determinado Momento fletor M, as tensões normais na viga permanecem abaixo da Tensão 
de Escoamento do material (σe); 
 
 Não há deformação permanente; 
 
 Vale a Lei de Hooke para tensão uniaxial; 
 
 Para material homogêneo, na direção longitudinal de “X”: σx = E . εx 
 
 
Análise das tensões e deformações em uma viga prismática: 
 
 
 
 
 
 
 Seções paralelas e planas (ausência de Momento fletor M) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seções inclinadas e planas em função de Momento fletor M 
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O = centro de curvatura do eixo longitudinal 
ρ = raio de curvatura 
dƟ = ângulo de inclinação entre os planos mn e pq 
dx = distância entre os planos mn e pq 
 
 
Da geometria da figura acima: 
 
K = curvatura (correspondente à deformação da viga em relação ao eixo longitudinal) 
 
Deformação longitudinal εx , na direção de X: 
 
 
εx: é diretamente proporcional à curvatura (K) e à distância (Y) da superfície neutra. 
 
 
 
No regime elástico: σx = E . εx 
 
 
 
Para uma área elementar dA da seção transversal, distante “y” do eixo neutro desenvolve-se: 
 
Força normal elementar no elemento infinitesimal dA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama das tensões normais por efeito de flexão 
 
 
 
 
 
 
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 Integrando na área da seção transversal: 
 
 
 
 Para a curvatura K e E constantes: 
 
 
 Momento da força elementar “ σx . dA “ em relação ao eixo neutro = σx . Y . dA 
 
 
 Integrando estes Momentos elementares na seção transversal, resulta em: 
 
 
 
 
 
 
 = Momento de Inércia ( I ) em relação ao eixo “z” (linha neutra) 
 
 
Logo, M = E . K . I 
 
 
 
 
 Tensão Normal de Flexão na direção do eixo x: 
 
 
Substituindo (5) em (4): 
 
 
“ A tensão é diretamente proporcional à distância Y “ (no regime elástico). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama das tensões normais por efeito de flexão 
 
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 Módulo de Resistência à flexão (W): 
Propriedade matemática que relaciona o momento de inércia I com a distância Y, em relação ao eixo ou 
linha neutra. 
 
 
Obs.: é inversamente proporcional ao W, portanto, as vigas devem ser projetadas com W maior. 
possível. 
 
Tensões Extremas: 
 Em uma seção submetida à Flexão, 
a Tensão Normal que ocorre em um 
ponto depende de sua posição na seção. 
 
 A Tensão Extrema em uma seção ocorre 
na maior distância entre o ponto material 
(na seção) e a linha neutra. 
 
 Tensão Extremade Tração, : ocorre no lado em que a seção tem os pontos materiais 
tracionados; 
 
 Tensão Extrema de compressão, : ocorre no lado em que a seção tem os pontos 
materiais comprimidos. 
 
 
 
Para o Dimensionamento: 
 
 
 
 
 
 
 
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Deformação longitudinal da viga em função do momento fletor M: 
 Deformação medida pela curvatura (K) da superfície neutra. 
 A curvatura (K) é definida como o inverso do raio de curvatura ( ρ ) 
 
 
portanto: 
 
 
No regime elástico: e 
 
 
Substituindo a equação (6) em (12) tem-se: 
 
 
Substituindo a equação (13) em (11) tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
Resistências dos Materiais: R. C. Hibbeler 
Tensões na Flexão: J. C. Morilla