002 Primitivas

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Primitivas
Primitivas
Luís Cláudio LA
FATECS - Faculdade de Tecnologia e Ciências Sociais Aplicadas
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2 de março de 2011
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
Primitivas - Conceitos Iniciais
1 Primitivas
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
O que é uma primitiva?
Definição
Diz-se que uma função F é primitiva de uma outra função f se
esta é a derivada daquela: F ′ = f .
Por exemplo,
x3 é primitiva de 3x2 pois D(x3) = 3x2;
√
x é primitiva de
1
2
√
x
pois D(
√
x) =
1
2
√
x
;
1
x
é primitiva de
−1
x2
pois D
(
1
x
)
=
−1
x2
.
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
O que é uma primitiva?
Definição
Diz-se que uma função F é primitiva de uma outra função f se
esta é a derivada daquela: F ′ = f .
Por exemplo,
x3 é primitiva de 3x2 pois D(x3) = 3x2;
√
x é primitiva de
1
2
√
x
pois D(
√
x) =
1
2
√
x
;
1
x
é primitiva de
−1
x2
pois D
(
1
x
)
=
−1
x2
.
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
O que é uma primitiva?
Definição
Diz-se que uma função F é primitiva de uma outra função f se
esta é a derivada daquela: F ′ = f .
Por exemplo,
x3 é primitiva de 3x2 pois D(x3) = 3x2;
√
x é primitiva de
1
2
√
x
pois D(
√
x) =
1
2
√
x
;
1
x
é primitiva de
−1
x2
pois D
(
1
x
)
=
−1
x2
.
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
O que é uma primitiva?
Definição
Diz-se que uma função F é primitiva de uma outra função f se
esta é a derivada daquela: F ′ = f .
Por exemplo,
x3 é primitiva de 3x2 pois D(x3) = 3x2;
√
x é primitiva de
1
2
√
x
pois D(
√
x) =
1
2
√
x
;
1
x
é primitiva de
−1
x2
pois D
(
1
x
)
=
−1
x2
.
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
O que é uma primitiva?
Definição
Diz-se que uma função F é primitiva de uma outra função f se
esta é a derivada daquela: F ′ = f .
Por exemplo,
x3 é primitiva de 3x2 pois D(x3) = 3x2;
√
x é primitiva de
1
2
√
x
pois D(
√
x) =
1
2
√
x
;
1
x
é primitiva de
−1
x2
pois D
(
1
x
)
=
−1
x2
.
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
Observação sobre “Família de Primitivas”
Como a derivada de uma constante C é sempre zero, se F é
primitiva de f , então F + C também é. De fato,
[F (x) + C]′ = F ′(x) = f (x).
Para cada função f existe uma infinidade de primitivas de f na
forma F (x) + C.
Não há outra família de primitivas para f
Se F é uma primitiva para f e G é uma primitiva qualquer então
G(x) = F (x) + C
.
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
Observação sobre “Família de Primitivas”
Como a derivada de uma constante C é sempre zero, se F é
primitiva de f , então F + C também é. De fato,
[F (x) + C]′ = F ′(x) = f (x).
Para cada função f existe uma infinidade de primitivas de f na
forma F (x) + C.
Não há outra família de primitivas para f
Se F é uma primitiva para f e G é uma primitiva qualquer então
G(x) = F (x) + C
.
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
O Operador Derivada é LINEAR
A linearidade do operador Derivada
dadas duas funções f , g deriváveis e k ∈ R então
(a) D(f + g) = D(f ) + D(g),
(b) D(kf ) = kD(f ).
Para achar primitivas é preciso derivar e saber de cor as
derivadas de várias funções conhecidas.
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
O Operador Derivada é LINEAR
A linearidade do operador Derivada
dadas duas funções f , g deriváveis e k ∈ R então
(a) D(f + g) = D(f ) + D(g),
(b) D(kf ) = kD(f ).
Para achar primitivas é preciso derivar e saber de cor as
derivadas de várias funções conhecidas.
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Primitivas
O Operador Derivada é LINEAR
A linearidade do operador Derivada
dadas duas funções f , g deriváveis e k ∈ R então
(a) D(f + g) = D(f ) + D(g),
(b) D(kf ) = kD(f ).
Para achar primitivas é preciso derivar e saber de cor as
derivadas de várias funções conhecidas.
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
O Operador Derivada é LINEAR
A linearidade do operador Derivada
dadas duas funções f , g deriváveis e k ∈ R então
(a) D(f + g) = D(f ) + D(g),
(b) D(kf ) = kD(f ).
Para achar primitivas é preciso derivar e saber de cor as
derivadas de várias funções conhecidas.
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
Exemplos diversos
Exemplo 1: Primitiva de
1√
x
.
Devemos lembrar que a derivada de
√
x é 12√x . Daí,
D(
√
x) =
1
2
√
x
⇔ 2 · D(√x) = 1√
x
⇔(b) D(2√x) = 1√
x
.
Logo, a primitiva geral é G(x) = 2
√
x + C onde C ∈ R.
Luís Cláudio LA Primitivas
Primitivas
Exemplos Diversos
Primitiva de
1
x
√
x
a partir da derivada de
1√
x
Derive a função f (x) = 1√x e encontraremos
D
(
1√
x
)
= D(x−1/2) =
−1
2
x−1/2−1 =
−1
2
x−3/2
=
−1
2x3/2
=
−1
2
√
x3
=
−1
2x
√
x
=
−1
2
1
x
√
x
.
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Primitivas
Exemplos Diversos
Primitiva de
1
x
√
x
a partir da derivada de
1√
x
Derive a função f (x) = 1√x e encontraremos
D
(
1√
x
)
= D(x−1/2) =
−1
2
x−1/2−1 =
−1
2
x−3/2
=
−1
2x3/2
=
−1
2
√
x3
=
−1
2x
√
x
=
−1
2
1
x
√
x
.
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Exemplos Diversos
Primitiva de
1
x
√
x
a partir da derivada de
1√
x
Derive a função f (x) = 1√x e encontraremos
D
(
1√
x
)
= D(x−1/2) =
−1
2
x−1/2−1 =
−1
2
x−3/2
=
−1
2x3/2
=
−1
2
√
x3
=
−1
2x
√
x
=
−1
2
1
x
√
x
.
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Exemplos Diversos
Primitiva de
1
x
√
x
a partir da derivada de
1√
x
Derive a função f (x) = 1√x e encontraremos
D
(
1√
x
)
= D(x−1/2) =
−1
2
x−1/2−1 =
−1
2
x−3/2
=
−1
2x3/2
=
−1
2
√
x3
=
−1
2x
√
x
=
−1
2
1
x
√
x
.
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Exemplos Diversos
Primitiva de
1
x
√
x
a partir da derivada de
1√
x
Derive a função f (x) = 1√x e encontraremos
D
(
1√
x
)
= D(x−1/2) =
−1
2
x−1/2−1 =
−1
2
x−3/2
=
−1
2x3/2
=
−1
2
√
x3
=
−1
2x
√
x
=
−1
2
1
x
√
x
.
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Primitivas
Exemplos Diversos
Primitiva de
1
x
√
x
a partir da derivada de
1√
x
Derive a função f (x) = 1√x e encontraremos
D
(
1√
x
)
= D(x−1/2) =
−1
2
x−1/2−1 =
−1
2
x−3/2
=
−1
2x3/2
=
−1
2
√
x3
=
−1
2x
√
x
=
−1
2
1
x
√
x
.
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Primitivas
continuação...
Finalizando...
Daí,
−2 · D
(
1√
x
)
=
1
x
√
x
⇔(b) D
(−2√
x
)
=
1
x
√
x
Conclusão: −2√x é uma primitiva para a função
1
x
√
x .
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continuação...
Finalizando...
Daí,
−2 · D
(
1√
x
)
=
1
x
√
x
⇔(b) D
(−2√
x
)
=
1
x
√
x
Conclusão: −2√x é uma primitiva para a função
1
x
√
x .
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continuação...
Finalizando...
Daí,
−2 · D
(
1√
x
)
=
1
x
√
x
⇔(b) D
(−2√
x
)
=
1
x
√
x
Conclusão: −2√x é uma primitiva para a função
1
x
√
x .
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Primitivas
Exemplo 4
Primitiva de x r
De um modo geral, a primitiva de x r é x r+1/(r + 1), desde que
r 6= −1. De fato,
D(x r+1) = (r+1)x r ⇔ 1
r + 1
D(x r+1) = x r ⇔(b) D
(
x r+1
r + 1
)
= x r .
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Exemplo 4
Primitiva de x r
De um modo geral, a primitiva de x r é x r+1/(r + 1), desde que
r 6= −1. De fato,
D(x r+1) = (r+1)x r ⇔ 1
r + 1
D(x r+1) = x r ⇔(b) D
(
x r+1
r +1
)
= x r .
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Primitivas
Exemplos
Qual é a primitiva de (3x + 7)5?
Para achar uma primitiva de (3x + 7)5 derive (3x + 7)6 e ajuste
as constantes:
D(3x + 7)6 = 6 · 3(3x + 7)5 = 18(3x + 7)5;
Daí,
D(3x + 7)6 = 18(3x + 7)5 ⇔ 1
18
D(3x + 7)6 = (3x + 7)5
⇔(b) D
(
(3x + 7)6
18
)
= (3x + 7)5;
então, uma primitiva (particular) de f (x) = (3x + 7)5 é
F (x) = (3x + 7)6/18.
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Exemplos
Qual é a primitiva de (3x + 7)5?
Para achar uma primitiva de (3x + 7)5 derive (3x + 7)6 e ajuste
as constantes:
D(3x + 7)6 = 6 · 3(3x + 7)5 = 18(3x + 7)5;
Daí,
D(3x + 7)6 = 18(3x + 7)5 ⇔ 1
18
D(3x + 7)6 = (3x + 7)5
⇔(b) D
(
(3x + 7)6
18
)
= (3x + 7)5;
então, uma primitiva (particular) de f (x) = (3x + 7)5 é
F (x) = (3x + 7)6/18.
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Exemplos
Qual é a primitiva de (3x + 7)5?
Para achar uma primitiva de (3x + 7)5 derive (3x + 7)6 e ajuste
as constantes:
D(3x + 7)6 = 6 · 3(3x + 7)5 = 18(3x + 7)5;
Daí,
D(3x + 7)6 = 18(3x + 7)5 ⇔ 1
18
D(3x + 7)6 = (3x + 7)5
⇔(b) D
(
(3x + 7)6
18
)
= (3x + 7)5;
então, uma primitiva (particular) de f (x) = (3x + 7)5 é
F (x) = (3x + 7)6/18.
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Exemplos
Qual é a primitiva de (3x + 7)5?
Para achar uma primitiva de (3x + 7)5 derive (3x + 7)6 e ajuste
as constantes:
D(3x + 7)6 = 6 · 3(3x + 7)5 = 18(3x + 7)5;
Daí,
D(3x + 7)6 = 18(3x + 7)5 ⇔ 1
18
D(3x + 7)6 = (3x + 7)5
⇔(b) D
(
(3x + 7)6
18
)
= (3x + 7)5;
então, uma primitiva (particular) de f (x) = (3x + 7)5 é
F (x) = (3x + 7)6/18.
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Exemplos
Qual é a primitiva de (3x + 7)5?
Para achar uma primitiva de (3x + 7)5 derive (3x + 7)6 e ajuste
as constantes:
D(3x + 7)6 = 6 · 3(3x + 7)5 = 18(3x + 7)5;
Daí,
D(3x + 7)6 = 18(3x + 7)5 ⇔ 1
18
D(3x + 7)6 = (3x + 7)5
⇔(b) D
(
(3x + 7)6
18
)
= (3x + 7)5;
então, uma primitiva (particular) de f (x) = (3x + 7)5 é
F (x) = (3x + 7)6/18.
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Exercícios
Qual é a primitiva de Primitiva de 1
(2x−1)4 ?
Para achar uma primitiva de 1
(2x−1)4 , o exemplo anterior sugere
que devemos derivar 1
(2x−1)3 e ajustar as constantes:
D
(
1
(2x − 1)3
)
= D
(
(2x − 1)−3
)
= −3·2(2x−1)−3−1 = −6
(2x − 1)4 ,
Daí,
−1
6
D
[
1
(2x − 1)3
]
=
1
(2x − 1)4 ⇔
(b) D
[ −1
6(2x − 1)3
]
=
1
(2x − 1)4
donde se conclui que −1/6(2x − 1)3 é o resultado desejado.
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Exercícios
Qual é a primitiva de Primitiva de 1
(2x−1)4 ?
Para achar uma primitiva de 1
(2x−1)4 , o exemplo anterior sugere
que devemos derivar 1
(2x−1)3 e ajustar as constantes:
D
(
1
(2x − 1)3
)
= D
(
(2x − 1)−3
)
= −3·2(2x−1)−3−1 = −6
(2x − 1)4 ,
Daí,
−1
6
D
[
1
(2x − 1)3
]
=
1
(2x − 1)4 ⇔
(b) D
[ −1
6(2x − 1)3
]
=
1
(2x − 1)4
donde se conclui que −1/6(2x − 1)3 é o resultado desejado.
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Exercícios
Qual é a primitiva de Primitiva de 1
(2x−1)4 ?
Para achar uma primitiva de 1
(2x−1)4 , o exemplo anterior sugere
que devemos derivar 1
(2x−1)3 e ajustar as constantes:
D
(
1
(2x − 1)3
)
= D
(
(2x − 1)−3
)
= −3·2(2x−1)−3−1 = −6
(2x − 1)4 ,
Daí,
−1
6
D
[
1
(2x − 1)3
]
=
1
(2x − 1)4 ⇔
(b) D
[ −1
6(2x − 1)3
]
=
1
(2x − 1)4
donde se conclui que −1/6(2x − 1)3 é o resultado desejado.
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Exercícios
Qual é a primitiva de Primitiva de 1
(2x−1)4 ?
Para achar uma primitiva de 1
(2x−1)4 , o exemplo anterior sugere
que devemos derivar 1
(2x−1)3 e ajustar as constantes:
D
(
1
(2x − 1)3
)
= D
(
(2x − 1)−3
)
= −3·2(2x−1)−3−1 = −6
(2x − 1)4 ,
Daí,
−1
6
D
[
1
(2x − 1)3
]
=
1
(2x − 1)4 ⇔
(b) D
[ −1
6(2x − 1)3
]
=
1
(2x − 1)4
donde se conclui que −1/6(2x − 1)3 é o resultado desejado.
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Fim desta aula. Agora, tente fazer os exercícis que envolvem
cálculo de primitivas, mas use apenas derivadas. Não falamos
ainda no operador integral.
Tudo de bom. Luís Cláudio LA
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