Resolução Probl. 20 Cap. 04 Halliday 8° Ed.

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
 
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE 
JANEIRO, 2008. 
 
 
FÍSICA 1 
 
 
CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES 
 
20. Na Fig. 4-35 a partícula A se move ao longo da reta y = 30 m com uma velocidade constante v 
de módulo 3,0 m/s e paralela ao eixo x. No instante em que a partícula A passa pelo eixo y a 
partícula B deixa a origem com velocidade inicial zero e aceleração constante a de módulo 0,40 
m/s2. Para que valor do ângulo θ entre a e o semi-eixo y positivo acontece uma colisão? 
 
 
 
 Fig. 4-35 Problema 20 
 (Pág. 85) 
Solução. 
Para que haja colisão entre as duas partículas, no instante t da colisão deveremos ter xA = xB e yA = 
yB. Para resolver o problema, vamos analisar o movimento de cada partícula e igualar suas 
coordenadas finais x e y. A partir daí, desenvolveremos as equações com o objetivo de isolar θ. 
Movimento da partícula A em (movimento retilíneo uniforme): 
 0A A Ax x v= + t 
 0Ax vt= + 
 Ax vt= (1) 
Como o movimento de A é paralelo ao eixo x, sua coordenada y não se altera: 
 0A Ay y= (2) 
Movimento da partícula B (movimento retilíneo uniformemente acelerado): 
 20 0
1
2B B B B
t t− = +r r v a 
 210 0
2B B
t− = +r a 
 21
2B B
t=r a 
Este resultado pode ser desmembrado em duas equações, uma em x e outra em y: 
 2 21 1 sen
2 2B xB B
x a t a tθ= = 
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Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8a Ed. - LTC - 2009. Cap. 04 – Movimento em Duas e Três Dimensões 
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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
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Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8a Ed. - LTC - 2009. Cap. 04 – Movimento em Duas e Três Dimensões 
2
 21 sen
2B
x a tθ= (3) 
De forma semelhante a (3), podemos calcular yB: 
 21 cos
2B
y a tθ= (4) 
Igualando-se (1) e (3) teremos: 
 21 sen
2A
v t a tθ= 
 
2
2
2 2
4
sen
Avt
a θ= (5) 
Igualando-se (2) e (4) teremos: 
 21 cos
2A
y a tθ= 
 2 2
cos
Ayt
a θ= (6) 
Nas equações (5) e (6), t é o instante de tempo em que a colisão ocorre e é o mesmo para os 
movimentos de A e B. Portanto, podemos igualar (5) e (6): 
 
2
2 2
4 2
sen cos
A Av y
a aθ θ= 
Simplificando-se alguns termos e substituindo-se sen2θ = 1 − cos2 θ, teremos: 
 ( )2 22 cos 1 cosA Av y aθ θ= − 
 
2
2 2cos cos 1 0A
A
v
y a
θ θ+ − = 
Fazendo cos θ = X, teremos: 
 
2
2 2 1 0A
A
vX X
y a
+ − = 
Substituindo-se os valores numéricos: 
 ( )( )( )
2
2
2
2 3,0 m/s
1 0
30 m 0, 40 m/s
X X+ − = 
 2 1,5 1 0X X+ − =
As raízes desta equação são X1 = 0,50 e X2 = -2,0. Como X2 = -2,0 não pode ser igual ao cosseno de 
nenhum ângulo, teremos: 
 1cos 0,50Xθ = = 
 60θ = ?