Notas de Aula de Física: Equilíbrio

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19 de setembro de 2002
Notas de Aula de Física
13. EQUILÍBRIO ................................................................................................................. 2
CONDIÇÕES PARA O EQUILÍBRIO........................................................................................... 2
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 3
10 .................................................................................................................................. 3
15 .................................................................................................................................. 3
19 .................................................................................................................................. 4
25 .................................................................................................................................. 5
27 .................................................................................................................................. 6
34 .................................................................................................................................. 7
35 .................................................................................................................................. 8
39 .................................................................................................................................. 8
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13. Equilíbrio
Condições para o equilíbrio
Diz-se que um corpo está em equilíbrio quando o seu momento linear e o seu mo-
mento angular são constantes, ou seja:



=
=
teconsL
teconsP
tan
tan
!
!
Quando as constantes mencionadas acima são nulas, diz-se que o corpo está em
equilíbrio estático. Nessa situação ele não está em movimento de translação e também
não está em movimento de rotação.
As condições expostas nas equações anteriores implicam que:



==
==
0
0
EXT
EXT
dt
Ld
F
dt
Pd
τ
!
!
!
!
ou seja, para que um corpo esteja em equilíbrio estático devemos ter as seguintes condi-
ções satisfeitas:



=
=
0
0
EXT
EXTF
τ
!
!
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Solução de alguns problemas
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
10 Uma esfera uniforme de peso P e raio r é mantida no lugar por uma corda presa a
uma parede, sem atrito, situada a uma distância L acima do centro da esfera, con-
forme a figura a seguir.
a) Encontre a tensão na corda.
Como a esfera está em repouso,
temos que:
0=++ NPT
!!!
ou seja:



=−
=−
0sen
0cos
NT
PT
θ
θ
 T
!
 L
N
!
 P
!
 y
 θ
 T
!
 N
!
 P
!
Logo
P
L
rLTPTPT 


 +
=∴=⇒=
22
cos
cos
θ
θ
onde
22
cos
rL
L
+
=θ
b) Encontre a força exercida pela parede sobre a esfera.
P
L
rNPN
T
T
P
N 


=∴=⇒= θ
θ
θ tan
cos
sen
onde
L
r
=θtan
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
15 Uma viga é transportada por três homens, estando um homem em uma das extremi-
dades e os outros dois sustentando a viga por meio de uma trave transversal, colo-
cada de modo que a carga esteja igualmente dividida entre os três homens. Em que
posição está colocada a trave transversal? (Despreze a massa dessa trave.)
Por exigência do enunciado, temos que:
F1 = F2 = F3 = F
 Eixo
 1F
!
 P
!
 x
 32 FF
!!
+
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Como o corpo está em repouso a resul-
tante de forças é nula, logo:
F1 + F2 + F3 - P = 0
O torque resultante também é nulo. Va-
mos considerar o torque em relação a
uma eixo que passa ao longo da trave
transversal. Desse modo:
( ) 0
21
=


−−− xLPxLF
 2F
!
 P
!
 1F
!
 x
 3F
!
 Eixo
Da primeira equação encontramos que P = 3 F , e usando esse resultado na segun-
da equação:
( ) ( )
4
03
2
30
2
3 LxxxLLxLFxLF =∴=−+


−⇒=


−−−
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
19 Duas esferas idênticas, uniformes e sem atrito, cada uma de peso P , estão em re-
pouso conforme mostra a figura à seguir.
a) Encontre, em termos de P , as forças que atuam sobre as esferas devido às su-
perfícies do recipiente.
θ = 450
F12 = F21 = F
P1 = P2 = P
Os dois corpos estão em repouso, logo
a resultante das forças que atuam em
cada um deles é nula.



=−
=−−
0cos
0sen
1
1
θ
θ
FT
e
FPN
 12F
!
 2T
!
 1N
!
 2P
!
 21F
!
 1T
!
 1P
!



=−
=−
0cos
0sen
2TF
PF
θ
θ
Das equações acima encontramos que:
T1 = T2 = F cosθ
 1N
!
 θ 1T
!
 21F
!
 1P
!
 12F
!
 θ
 2T
!
 2P
!
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e
N1 - P - P = 0 ⇒ N1 = 2 P
2
sen
PPF ==
θ
PTanPFT =⇒== θθ cotcos
b) Encontre, em termos de P , as forças que atuam sobre as esferas devido uma à
outra, se a linha que une os centros das esferas faz um ângulo de 450 com a
horizontal.
2
sen
PPF ==
θ
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
25 Uma placa quadrada uniforme, pesando 50,0kg e tendo 2,0m de lado, está pendu-
rada em uma haste de 3,0m de comprimento e massa desprezível. Um cabo está
preso à extremidade da haste e a um ponto na parede situado 4,0m acima do ponto
onde a haste é fixada na parede, conforme mostra a figura a seguir.
a) Qual é a tensão no cabo?
M = 50kg
L1 = 4,0m
L2 = 2,0m
L3 = 3,0m
Vamos considerar apenas as forças
que atuam na haste horizontal.
Como a placa é uniforme as forças P1
e P2 são tais que:
P1 = P2 = P / 2 = M g / 2
Vamos considerar o torque das forças
que atuam na haste, em relação a um
eixo perpendicular ao papel e que pas-
se no ponto onde a haste está presa na
parede.
 L1
 VF
!
 T
!
 θ HF
!
 2P
!
 1P
!
 L2
 L3
T senθ L3 - P2 L3 - P1 ( L3 - L2 ) = 0
( )[ ] P
L
LL
TLLLPLT 


 −
=⇒−+=
θ
θ
sen2
2
2
sen
3
23
2333
Mas
( )
P
LL
LLLL
T
LL
L



 +−
=⇒
+
=
31
2
3
2
123
2
3
2
1
1
2
2
senθ = 408,34N
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b) Qual é a componente vertical da força exercida pela parede sobre a haste?
Vamos considerar o torque das forças que atuam na haste, em relação a um eixo
perpendicular ao papel e que passe no ponto onde o cabo suspende a haste.
P1 L2 - FV L3 = 0
3
2
3
21
2L
PL
L
LP
FV == = 163,34N
c) Qual é a componente horizontal da força exercida pelaparede sobre a haste?
Como a placa está em repouso, a resultante das forças que atuam nela é zero,
Segundo um eixo horizontal, as forças que atuam são tais que:




+
==⇒=−
2
3
2
1
3cos0cos
LL
L
TTFFT HH θθ
Usando o resultado para T deduzido anteriormente, temos que:
P
L
LL
FH 


 −
=
1
23
2
2
= 245N
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
27 Na figura a seguir, qual a magnitude da força F
!
 , aplicada horizontalmente no eixo
da roda, necessária para fazer a roda ultrapassar um obstáculo de altura h ? Consi-
dere r como sendo o raio da roda e P o seu peso.
Na iminência da ultrapassagem do obstá-
culo, a roda perdeu o contato com o solo,
e as forças que atuam nela estão mostra-
das na figura ao lado. Como ainda não
existe movimento, a resultante é nula.
Logo:
F - N cosθ = 0
P - N senθ = 0
 N
!
 F
!
 r θ r - h
 h
 P
!
θ
θ
θ
θ
tan
tan
cos
sen PF
N
N
F
P
=⇒==
Mas
( ) Phr
hrhF
hrh
hr
hrr
hr




−
−
=⇒
−
−
=
−−
−
=
2
222
2
2
tanθ
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Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
34 Uma barra não uniforme de peso P está suspensa em repouso, na horizontal, por
duas cordas sem massa, como mostra a figura a seguir. Uma corda faz um ângulo
θ = 36,90 com a vertical e a outra faz um ângulo ϕ = 53,10 , também com a vertical.
Se o comprimento L da barra é 6,1m , calcule a distância x entre a extremidade
esquerda da barra e o seu centro de gravidade.
θ = 36,90
ϕ = 53,10
L = 6,1m
Vamos calcular o torque das forças que
atuam na barra em relação a um eixo
perpendicular ao papel, e que passe por
um ponto da extremidade esquerda da
barra.
τ = P x - T2 cosϕ L = 0
 1T
!
 x 2T
!
 L ϕ
 θ
 P
!
ou seja:
L
P
Tx 


=
ϕcos2
Por outro lado, como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam
é nula:



=−
=−+
⇒=++
0sensen
0coscos
0
21
21
21
ϕθ
ϕθ
TT
PTT
PTT
!!!
Da última equação temos que:



=
θ
ϕ
sen
sen
21 TT
e usando esse resultado na penúltima equação, encontramos:
PTT =+

 

 ϕθ
θ
ϕ coscos
sen
sen
22
ou seja:
{ } θθϕθϕ sensencoscossen2 PT =+
( ) ( ) PTPT 


+
=⇒=+
θϕ
θθθϕ
sen
sensensen 22
Mas
( ) PP
LxL
P
T
x 


+



=⇒


=
θϕ
θϕϕ
sen
sencoscos2
logo
( ) Lx 


+
=
θϕ
θϕ
sen
sencos = 2,23m
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Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
35 Na figura a seguir, uma barra horizontal fina AB , de massa desprezível e compri-
mento L , é presa a uma dobradiça em uma parede vertical no ponto A e sustenta-
da em B , por um fio fino BC , que faz um ângulo θ com a horizontal. Um peso P
pode ser movido para qualquer posição ao longo da barra, sendo a sua posição defi-
nida pela distância x desde a parede até o seu centro de massa.
a) Encontre a tensão no fio.
 Iremos considerar apenas as for-
ças que atuam na barra.
 Vamos calcular o torque em rela-
ção a um eixo perpendicular à folha de
papel e que passe pelo ponto onde a
barra está presa á parede pela dobradi-
ça (ponto A)
 Como a barra está em repouso o
torque em relação a qualquer eixo é
nulo, logo:
T senθ L - P x = 0
P
L
xT 


=
θsen
 C
 T
!
 VF
!
 B θ HF
!
 A
 x
 P
!
 L
b) Encontre a componente horizontal da força exercida sobre a barra pelo pino da
dobradiça em A .
Como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam é nula. A
componente horizontal da resultante é:
P
L
xFTFFT HHH 


=∴=⇒=−
θ
θθ
tan
cos0cos
c) Encontre a componente vertical da força exercida sobre a barra pelo pino da do-
bradiça em A .
Vamos considerar, agora, o torque das forças em relação a um eixo perpendicu-
lar à folha de papel e que passe pelo ponto onde o fio está preso na barra (ponto
B).
( ) P
L
xFP
x
xLFLFxLP VVV 


−=∴

 −
=⇒=−− 10
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
39 Uma tábua uniforme de comprimento L = 6,1m e peso P = 444,8N está em repou-
so no chão, encostada numa quina sem atrito, situada no alto de uma parede de altu-
ra h = 3,0m conforme a figura a seguir. A tábua permanece em equilíbrio para qual-
quer valor do ângulo θ ≥ 700 , mas escorrega para θ < 700 . Encontre o coeficiente
de atrito entre a tábua e o chão.
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θ é o ângulo limite para o deslizamento, e
isso significa que para esse ângulo a força
de atrito estático é máxima, logo
Fa = µE N
Pode-se perceber que os ângulos α e θ
são complementares, logo:
α = π/2 - θ
A força da quina na tábua é perpendicular à
tábua pois não existe atrito entre as duas.
 T
!
 α
 α
 N
!
 h
 P
!
 θ aF
!
 d
Como o corpo está em equilíbrio, a resultante de forças é nula e o torque resultante
também é nulo.
O torque em relação a um eixo que passe pelo ponto de apoio da escada no chão e
que seja perpendicular à folha de papel tem a forma:
-(T cosα ) h - (P senα) L/2 = 0
α
α
cos
sen
2h
PLT =
A resultante de forças tem a forma:



=+−
=+−
∴=+++
0cos
0sen
0
aE
aE
FT
NPT
FNPT
α
α
!!!!
ou seja:
α
αµµ
α
α
sen
cos
sen
cos
TP
T
N
N
TP
T
N
F
E
EaE
−
=∴=
−
=
e usando o resultado anterior para T , encontramos:
3981,0
cos
sen
2
1
sen
2
sen
cos
sen
2
cos
cos
sen
2
2 =
−
=∴



−



=
α
α
α
µ
α
α
α
α
α
α
µ
h
L
h
L
h
PLP
h
PL
EE