2012 1 AD1 Metodos Estatisticos II GAB

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CURSO DE ADMINISTRAÇÃO - CEDERJ
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
1a Avaliação à Distância (AD1) - 1o semestre de 2012 - Profa. Ana Maria Farias
Cada item vale 0,5 ponto.
1. Na figura 1 é dado o gráfico da função de densidade fX de uma variável aleatória contínua X.
Figura 1: Função de densidade para a questão 1
(a) Determine o valor de k e a expressão matemática de fX .
Solução
Área = 1⇐⇒ 1
2
× k × 0, 2 = 1⇐⇒ k = 10
f(x) = 0, 2 + ax =⇒ 0 = 0, 2 + 10a =⇒ a = −0, 2
10
a = −0, 02
f(x) = 0, 2− 0, 02x x ∈ [0, 10]
(b) Determine a função de distribuição acumulada FX de X.
Solução
Temos que FX(x) = 0 para x < 0 e FX(x) = 1 para x > 10. Para x ∈ [0, 10], Fx(x) é
a área de um trapézio com base menor igual a fX(x), base maior igual a 0,2 e altura x.
Logo
Fx(x) =
(0, 2 + 0, 2− 0, 02x)× x
2
= 0, 2x− 0, 01x2
Resumindo:
Fx(x) =
⎧
⎨
⎩
0 x < 0
0, 2x− 0, 01x2 0 ≤ x ≤ 10
1 x > 10
(c) Determine o primeiro e o nono decis da distribuição da variável aleatória X.
Solução
1
Sejam D1 e D9 o primeiro e o nono decis, respecitivamente. Usando a definição de decis
e a função de distribuição acumulada, temos que ter
Fx(D1) = 0, 1 =⇒ 0, 2D1 − 0, 01D21 = 0, 1 =⇒ 0, 01D21 − 0, 2D1 + 0, 1 = 0
=⇒ D21 − 20D1 + 10 = 0 =⇒ D1 =
20±√360
2
A solução dentro do domínio de definição da função é
D1 =
20−
√
360
2
= 10− 3
√
10 = 0, 51317
Fx(D9) = 0, 9 =⇒ 0, 2D9 − 0, 01D29 = 0, 9 =⇒ 0, 01D29 − 0, 2D9 + 0, 9 = 0
=⇒ D21 − 20D1 + 90 = 0 =⇒ D9 =
20±√40
2
A solução dentro do domínio de definição da função é
D9 =
20−
√
40
2
= 10−
√
10 = 6, 8377
Em termos da função de densidade, temos que a área abaixo da curva de densidade e à
esquerda de D1 é 0,1 e a área à direita de D9 é 0,1. Ambas são áreas de triângulos e
levam à mesma solução obtida acima:
D1 :
1
2
×D1 × f(D1) = 0, 1 =⇒ D1 × (0, 02− 0, 02D1) = 0, 2
D9 :
1
2
× (10−D9)× f(D9) = 0, 1 =⇒ (10−D9)× (0, 02− 0, 02D9) = 0, 2
2. Quando o Departmento de Transportes (DOT) repinta as faixas centrais, laterais ou de zonas
de não ultrapassagem em uma rodovia, a tinta epóxi é usada algumas vezes. Essa tinta é
mais cara do que o látex, mas dura mais. Se essa tinta espirra em um veículo, ela tem que
ser completamente removida, e a área do carro atingida tem que ser repintada. O DOT avisa
aos motoristas que o tempo de secagem dessa tinta epóxi (em minutos) tem uma distribuição
uniforme no intervalo (80, 120). Suponha que a tinta epóxi seja aplicada a uma pequena seção
de faixa central.
(a) Qual é a probabilidade de que a tinta seque entre 90 e 110 minutos?
Solução
Seja T a variável que representa o tempo de secagem. Então, T ∼ Unif(80; 120).
P (90 < T < 110) =
110− 90
120− 80 = 0, 5
(b) Ache um valor t tal que a probabilidade de a tinta levar, pelo menos, t minutos para secar
seja 0,82.
Solução
Pr(T ≥ t) = 0, 82⇐⇒ t− 80
120− 80 = 0, 82⇐⇒ t = 80 + 40× 0.82⇐⇒ t = 112, 8min
2
(c) Se a equipe de estradas do DOT remove todos os cones da faixa central 102 minutos
depois da pintura, qual é a probabilidade de que a tinta ainda esteja molhada nesse
instante?
Solução
P (T > 102) =
120− 102
120− 80 = 0, 45
Como essa probabilidade é bastante alta, é recomendável que o DOT espere mais tempo
antes de remover os cones.
3. Seja X ∼ N(20; 72). Calcule:
(a) Pr(X ≥ 28, 4)
Solução
Pr(X ≥ 28, 4) = P
µ
Z >
28.4− 20
7
¶
= P (Z > 1, 2) = 0, 5− tab(1, 2)
= 0.5− 0.3849 = 0, 1151
(b) Pr(X < 6)
Solução
Pr(X < 6) = P
µ
Z >
6− 20
7
¶
= P (Z < −2) = P (Z > 2) = 0, 5− tab(2)
= 0.5− 0.4772 = 0, 0228
(c) Pr(8, 8 < X < 22, 8)
Solução
Pr(8, 8 < X < 22, 8) = P
µ
8.8− 20
7
< Z <
22.8− 20
7
¶
= P (−1, 6 < Z < 0, 4)
= tab(0, 4) + tab(1, 6) = 0.1554 + 0.4452 = 0, 6006
(d) Pr(6 < X < 13)
Solução
Pr(6 < X < 13) = P
µ
6− 20
7
< Z <
13− 20
7
¶
= P (−2 < Z < −1)
= P (1 < Z < 2) = tab(2)− tab(1) = 0.4772− 0.3413 = 0, 1359
: 0.135 9
(e) Pr[(X > 11, 6) ∪ (X < 25, 6)]
Solução
(X > 11, 6) ∪ (X < 25, 6) = (−∞,+∞)
Logo, a probabilidade pedida é 1.
4. Seja X ∼ N(μ;σ2).
3
(a) Calcule Pr(|X − μ| > kσ) para k = 1, 2, 3.
Solução
Pr(|X − μ| > 1σ) = Pr(X − μ < −σ) + Pr(X − μ > σ)
= Pr
µ
X − μ
σ
< −1
¶
+Pr
µ
X − μ
σ
> 1
¶
= Pr(Z < −1) + Pr(Z > 1)
= 2× Pr (Z > 1) = 2× [0, 5− Pr (0 ≤ Z ≤ 1)]
= 2× [0, 5− tab(1, 0] = 2× (0, 5− 0.34134) = 0, 31732 ≈ 0, 32
Pr(|X − μ| > 2σ) = Pr(X − μ < −2σ) + Pr(X − μ > 2σ)
= Pr
µ
X − μ
σ
< −2
¶
+Pr
µ
X − μ
σ
> 2
¶
= Pr(Z < −2) + Pr(Z > 2) = 2× Pr (Z > 2) = 2× [0, 5− Pr (0 ≤ Z ≤ 2)]
= 2× [0, 5− tab(2, 0] = 2× (0, 5− 0.47725) = 0, 0455 ≈ 0, 05
Pr(|X − μ| > 3σ) = Pr(X − μ < −3σ) + Pr(X − μ > 3σ)
= Pr
µ
X − μ
σ
< −3
¶
+Pr
µ
X − μ
σ
> 3
¶
= Pr(Z < −3) + Pr(Z > 3) = 2× Pr (Z > 3) = 2× [0, 5− Pr (0 ≤ Z ≤ 3)]
= 2× [0, 5− tab(3, 0] = 2× (0, 5− 0.49865) = 0, 0027 ≈ 0, 003
(b) Calcule o valor de k tal que Pr(|X − μ| < kσ) = 0, 95
Solução
Pr(|X − μ| < kσ) = 0, 95⇐⇒ Pr(−kσ < X − μ < −kσ) = 0, 95⇐⇒
Pr
µ
−k < X − μ
σ
< k
¶
= 0, 95⇐⇒ Pr (−k < Z < k) = 0, 95⇐⇒
2× Pr (0 < Z < k) = 0, 95⇐⇒ Pr (0 < Z < k) = 0, 475⇐⇒
tab (k) = 0, 475⇐⇒ Φ(k) = 0, 975⇐⇒ k = 1, 96
(c) Calcule o valor de k tal que Pr(X − μ > kσ) = 0, 05
Solução
Pr(X − μ > kσ) = 0, 05⇐⇒ Pr (Z > k) = 0, 05
Note que k tem que ser positivo, pois à direita dele tem 5% de área e à esquerda, 95%.
Assim, k tem que estar do lado positivo do eixo!
Pr (Z > k) = 0, 05⇐⇒ 0, 5− Pr(0 ≤ Z ≤ k) = 0, 05⇐⇒
0, 5− tab(k) = 0, 05⇐⇒ tab(k) = 0, 45⇐⇒ k = 1, 64
(d) Calcule o valor de k tal que Pr(X − μ < kσ) = 0, 10
Solução
Pr(X − μ < kσ) = 0, 10⇐⇒ Pr(Z < k) = 0, 10
Note que k tem que ser negativo, pois à esquerda dele tem 10% de área e à direita, 90%.
Assim, k tem que estar do lado negativo do eixo e seu simétrico −k tem que estar do
lado positivo!
Pr(Z < k) = 0, 10⇐⇒ Pr(Z > −k) = 0, 10⇐⇒ 0, 5− Pr(0 ≤ Z ≤ −k) = 0, 10⇐⇒
0, 5− tab(−k) = 0, 10⇐⇒ tab(−k) = 0, 40⇐⇒ −k = 1, 28⇐⇒ k = −1, 28
4
(e) Interprete os resultados obtidos.
Solução
O importante a notar neste exercício é que os resultados valem para qualquer distribuição
normal. Por exemplo, do item (a), resulta que, para qualquer distribuição normal,
o intervalo [μ− σ;μ+ σ] tem 68% de probabilidade
o intervalo [μ− 2σ;μ+ 2σ] tem 95% de probabilidade
o intervalo [μ− 3σ;μ+ 3σ] tem 99,7% de probabilidade
Veja a Figura 2 Assim, o desvio padrão funciona como uma medida de escala, ou seja,
podemos falar em termos de número de desvios padrões. Por exemplo, do item (c),
conclui-se que acima de 1,64 desvios padrões da média temos sempre 5% de probabilidade
Figura 2: Solução da questão 4(e)
5. A qualidade de uma faca de cozinha é, em geral, medida pela afiação e vida total da lâmina.
Um teste de afiação envolve colocar-se a faca com a lâmina na vertical e baixar-se sobre ela um
maço de papel especialmente produzido para esse fim. A afiação é medida pela profundidade
do corte. Um corte mais profundo indica uma faca mais afiada. Suponha que a profundidade
do corte para uma faca selecionada aleatoriamente tenha uma distribuição normal, com média
92 mm e desvio padrão 21 mm.
5
(a) Qual é a probabilidade de que uma faca de cozinha selecionada aleatoriamente tenha uma
medida de afiação menor do que 75 mm?
Solução
Seja M a medida de afiação (profundidade do corte. Então M ∼ N(92; 21)
P (M < 75) = P
µ
Z <
75− 92
21
¶
= P (Z < −0, 81) = P (Z > 0, 81)
= 0, 5− tab(0, 81) = 0.5− 0.2910 = 0, 2090
(b) Uma faca de cozinha com medida de afiação de, pelo menos, 100 mm é qualificada para
faca de churrasco. Qual proporção das facas de cozinha é de facas de churrasco?
Solução
P (M > 100) = P
µ
Z >
100− 92
21
¶
= P (Z > 0, 38) = 0, 5− tab(0, 38)
= 0.5− 0.1480 = 0, 3520
(c) A Associação de Utensílios de Cozinha gostaria de fixar uma afiação máxima para as
facas de manteiga.Acheum valor c tal que 15% de todas as facas tenham afiação abaixo
de c.
Solução
P (M < c) = 0, 15⇐⇒ P
µ
Z <
c− 92
21
¶
= 0, 15
⇐⇒ P
µ
Z >
92− c
21
¶
= 0, 15⇐⇒ tab
µ
92− c
21
¶
= 0, 35⇐⇒
92− c
21
= 1, 04⇐⇒ c = 92− 21× 1.04 = 70, 16
(d) Suponha que uma faca de cozinha selecionada aleatoriamente tenha afiação superior a 90
mm. Qual é a probabilidade de que tenha afiação superior a 100 mm?
Solução
P (M > 100|M > 90) = P (M > 100 ∩M > 90)
P (M > 90)
=
P (M > 100)
P (M > 90)
P (M > 90) = P
µ
Z >
90− 92
21
¶
= P (Z > 0, 09524) ' 0, 5 + tab(0, 10)
= 0.5 + 0.0398 = 0, 5398
Logo :
P (M > 100|M > 90) = P (M > 100 ∩M > 90)
P (M > 90)
=
P (M > 100)
P (M > 90)
=
0.3520
0.5398
= 0, 6521
6