2012 1 AP1 Metodos Estatisticos II GAB

Prévia do material em texto

MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
Gabarito da AP1 - 1o. semestre de 2012 - Profa. Ana Maria Farias
1. Considere uma função linear f(x) = ax + b definida para x ∈ [0, 3] e tal que f(0) = 0 e
f(3) = 3k, sendo k > 0.
(a) (0,5 ponto) Esboce o gráfico de f(x) e determine o valor de k para que f(x) seja a
função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X.
Solução
Figura 1: Solução da questão 1a
A área sob a curva é a área de um triângulo com base 3 e altura 3k. Como essa área tem
que ser 1, resulta
9k
2
= 1 =⇒ k = 2
9
(b) (0,5 ponto) Determine a expressão de f(x).
Solução
Como a reta passa pelos pontos (0, 0) e
¡
3; 69
¢
,sua expressão é f(x) = ax.
6
9
= a× 3 =⇒ a = 2
9
Logo
f(x) =
½
2x
9 1 ≤ x ≤ 3
0 c.c.
(c) (0,5 ponto) Calcule Pr(X < 2, 5).
Solução
Veja Figura 2. A probabilidade pedida é a área sombreada, que é a área de um triângulo
com base 2, 5e altura igual a f(2, 5) = f
¡
5
2
¢
. Logo,
Pr(X < 2, 5) =
1
2
× 2
9
× 5
2
=
5
18
= 0, 27778
1
Figura 2: Solução da questão 1c
(d) (0,5 ponto) Calcule Pr(X < 1, 5 |X < 2, 5).
Solução
Pr(X < 1, 5 |X < 2, 5) = P [(X < 1, 5) ∩ (X < 2, 5)]
P (X < 2.5)
=
P (X < 1.5)
P (X < 2.5)
=
1
2 × 29 × 32
1
2 × 29 × 52
=
3
5
= 0, 6
2. Seja X ∼ N(62; 42). Calcule:
(a) (0,5 ponto) Pr(X ≥ 66)
Solução
Pr(X ≥ 66) = Pr
µ
Z ≥ 66− 62
4
¶
= Pr(Z ≥ 1, 0) = 0, 5− tab(1, 0) = 0, 1587
(b) (0,5 ponto) Pr(X < 50).
Solução
Pr(X < 50) = Pr
µ
Z <
50− 62
4
¶
= Pr(Z < −3, 0) = Pr(Z > 3, 0) = 0, 5−tab(3) = 0, 0013
(c) (0,5 ponto) Ache o valor de k tal que Pr(X < k) = 0, 05.
Solução
Pr(X < k) = 0, 05⇔ Pr
µ
Z <
k − 62
4
¶
= 0, 05
⇔ Pr
µ
Z > − k − 62
4
¶
= 0, 05⇔ tab
µ
− k − 62
4
¶
= 0, 45
⇔ − k − 62
4
= 1, 64⇔ k = 55, 44
(d) (0,5 ponto) Extrai-se uma amostra aleatória de tamanho n = 16. Calcule a probabilidade
de a média amostral ser maior que 66.
Solução
2
Temos que X ∼ N
µ
62;
42
16
¶
Pr(X > 66) = Pr
µ
Z >
66− 62
1
¶
= Pr(Z ≥ 4) = 0, 5− tab(4) ≈ 0
3. Em um restaurante universitário, o tempo decorrido entre a chegada de uma pessoa na fila até
o momento em que ela se senta para fazer a sua refeição segue uma distribuição Normal com
média de 8 minutos e desvio padrão de 1 minuto.
(a) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que um usuário gaste mais de 9 minutos até se
sentar?
Solução
Seja T o tempo gasto por um usuário até se sentar. Então, T ∼ N(8; 12)
P (T > 9) = P
µ
Z >
9− 8
1
¶
= P (Z > 1) = 0, 5− tab(1, 0) = 0, 1587
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que um usuário gaste no máximo 6 minutos até
se sentar?
Solução
P (T ≤ 6) = P
µ
Z ≤ 6− 8
1
¶
= P (Z ≤ −2) = P (Z ≥ 2) = 0, 5−tab(2, 0) = 0.5−0.4772 = 0, 0228
(c) (0,5 ponto) Se um usuário já está na fila há 7 minutos, qual é a probabilidade de que
ele leve mais de 9 minutos até se sentar?
Solução
P (T > 9|T ≥ 7) = P [(T > 9) ∩ T ≥ 7)]
P (T ≥ 7) =
P (T > 9)
P (T ≥ 7) =
P
µ
Z >
9− 8
1
¶
P
µ
Z ≥ 7− 8
1
¶ = P (Z > 1)
P (Z ≥ −1)
=
0, 5− tab(1, 0)
0, 5 + tab(1, 0)
=
0.5− 0.3413
0, 5 + 0.3413
=
0.1587
0.8413
= 0, 18864
(d) (0,5 ponto) Determine o tempo t tal que 5% dos usuários levam menos que t minutos
até se sentarem.
Solução
P (T < t) = 0, 05⇐⇒ P
µ
Z <
t− 8
1
¶
= 0, 05⇐⇒ t− 8 = −1, 64⇐⇒ t = 6, 36 min
4. (2,0 pontos) De uma população normal com desvio padrão 5, extrai-se uma amostra de
tamanho 64, que acusa uma média amostral de 6,7. Obtenha um intervalo de confiança para
a média populacional com nível de confiança de 90%.
Solução
1− α = 90% =⇒ zα/2 = 1, 64
� = 1.64× 5√
64
= 1.64× 0.625 = 1, 025
3
e o intervalo de confiança é
[6.7− 1.025 , 6.7 + 1.025] = [5, 675 , 7, 725]
5. (2,0 pontos) Verifique se cada uma das afirmativas abaixo é falsa ou verdadeira, justificando
sua resposta em qualquer caso.
(a) (0,5 ponto) Com base nos mesmos dados, foram obtidos os seguintes intervalos de
confiança para a média populacional:
I1 : (4, 450 , 8, 550)
I2 : (3, 275 , 9, 725)
Podemos afirmar que (1) a média amostral é x = 6, 5 e que (2) o nível de confiança
utilizado na obtenção de I1 é menor que o nível de confiança utilizado na construção de
I2.
Solução
A média amostral é o ponto médio do intervalo de confiança. Para I1,o ponto médio
é 4.450+8.5502 = 6, 5 e para I2,
3.275+9.725
2 = 6, 5. Logo, x = 6, 5 e a primeira parte da
afirmativa é verdadeira.
O comprimento de I1 é menor do que o comprimento de I2; logo, o nível de confiança
para I1 é menor do que o nível de confiança para I2. Sendo assim, a segunda parte da
afirmativa é verdadeira.
(b) (0,5 ponto) Pretende-se estimar a média μ de uma população normal que tem desvio
padrão 5. O erro máximo deve ser de 0,02. O tamanho da amostra necessário para um
nível de confiança de 95% será maior que o tamanho necessário para um nível de confiança
de 99%.
Solução
Falsa. Mantidas as outras variáveis constantes (erro e desvio padrão populacional),
quanto menor o nível de confiança, menor deverá ser o tamanho da amostra.
(c) Em um estudo, pretende-se estimar separadamente a média de duas populações normais
com o mesmo nível de confiança 1−α. Para isso, uma amostra de tamanho n será tirada
de cada uma das populações. Se o desvio padrão da população 1 é σ1 = 2 e da população
2 é σ2 = 4, então o erro de estimação será maior para a população 1.
Solução
A população 1 tem desvio padrão menor que a população 2. Logo, o erro de estimação
para a população 1 será menor, já que se mantêm constantes n e α. Logo, a afirmativa é
falsa.
(d) (0,5 ponto) Pretende-se estimar a média μ de uma população normal que tem desvio
padrão 5, com erro máximo ser de 0,1. Então o tamanho n = 7500 é suficiente para se
garantir um nível de confiança de 90%, mas não um nível de confiança de 95%.
Solução
1− α = 90% =⇒ 1, 64× 5√n ≤ 0, 1 =⇒
√
n ≥ 1.64× 50,1 =⇒ n ≥ 6724
1− α = 95% =⇒ 1, 96× 5√n ≤ 0, 1 =⇒
√
n ≥ 1.96× 50,1 =⇒ n ≥ 9604
Logo, a afirmativa é verdadeira.
4