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AP2 2013.1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estatisticos II – 1/2013
GABARITO
Questa˜o 1 [1,0 pt]
Voceˆ usa um programa para realizar um teste de significaˆncia sobre a me´dia de uma populac¸a˜o
normal. O programa lhe diz que o valor P e´ P = 0, 031. Verifique se esse resultado e´, ou
na˜o, significante nos n´ıveis α = 0, 05 e α = 0, 01, esboc¸ando um desenho da curva normal para
justificar sua resposta.
Soluc¸a˜o
O resultado e´ significante no n´ıvel 0,05, mas na˜o ao n´ıvel 0,01, pois 0, 01 < P < 0, 05. Veja a
Figura 1.
Figura 1: Questa˜o 1
Questa˜o 2 [3,5 pts]
A proporc¸a˜o de motoristas que usam cinto de seguranc¸a depende de fatores como idade, sexo,
etnia e leis locais. Como parte de um estudo mais amplo, pesquisadores observaram uma
amostra aleato´ria de 117 motoristas de origem hispaˆnica do sexo feminino, em Boston; 68 dessas
motoristas estavam usando cinto de seguranc¸a.
(a) [1,0 ponto] Fornec¸a um intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜o de todas as mo-
toristas hispaˆnicas em Boston que usam cinto de seguranc¸a.
(b) [2,0 pontos] Esses dados fornecem uma boa evideˆncia para apoiar a conclusa˜o de que mais
da metade das motoristas hispaˆnicas em Boston usa cinto de seguranc¸a? Responda a essa
pergunta atrave´s de um teste de hipo´tese adequado, usando o n´ıvel de significaˆncia de 2,5%.
(c) [0,5 ponto] Calcule o valor P.
Soluc¸a˜o
(a) Aproximac¸a˜o normal para a binomial: z0,025 = 1, 96
p̂ =
68
117
= 0, 5812[
0, 5812− 1, 96×
√
0, 5812× (1− 0, 5812)
117
; 0, 5812 + 1, 96×
√
0, 5812× (1− 0, 5812)
117
]
=
[0, 4918; 0, 6706]
(b)
H0 : p = 0, 5
H1 : p > 0, 5
z0 =
0.5812− 0.5√
0.5× 0.5
117
= 1, 7566
Como o valor observado da estat´ıstica de teste e´ menor que o valor cr´ıtico de 1,96, na˜o
rejeitamos a hipo´tese nula, ou seja, os dados na˜o trazem evideˆncia de que a proporc¸a˜o de
mulheres hispaˆnicas que usam cinto de seguranc¸a seja maior que 50%.
(c) Soluc¸a˜o
Pr(Z ≥ 1, 7566) ' Pr(Z ≥ 1, 76) = 0, 5− tab(1, 76) = 0.5− 0.4608 = 0, 0392
Questa˜o 3 [1,5 pts]
Transforme as seguintes afirmativas nas hipo´teses nula e alternativa apropriadas. Certifique-se
de utilizar a notac¸a˜o apropriada para o paraˆmetro envolvido.
(a) [0,5 ponto] Ha´, em me´dia, 15 alunos.
(b) [0,5 ponto] A proporc¸a˜o de pessoas favora´veis e´, no ma´ximo, 26%.
(c) [0,5 ponto] A largura me´dia tem que ser maior que 20 cm.
Soluc¸a˜o
(a)
afirmativa dada: µ = 15 H0 : µ = 15
complementar µ 6= 15 H1 : µ 6= 15
(b)
afirmativa dada: p ≤ 0, 26 H0 : p = 0, 26
complementar p > 0, 26 H1 : p > 0, 26
(c)
afirmativa dada: µ > 20 H0 : µ = 20
complementar µ ≤ 20 H1 : µ > 20
Questa˜o 4 [1,5 pts]
Use a tabela da distribuic¸a˜o t para determinar
2
(a) [0,5 ponto] o valor cr´ıtico para um teste unilateral a` esquerda com n´ıvel α = 0, 05 quando
gl = 5;
(b) [0,5 ponto] o valor cr´ıtico para um teste bilateral com n´ıvel α = 0, 05 quando gl = 5.
(c) [0,5 ponto] o valor cr´ıtico para construc¸a˜o de um intervalo de confianc¸a de 80% quando
gl = 12.
Obs.: gl = n− 1 graus de liberdade
Soluc¸a˜o
Note que foi dado o nu´mero de graus de liberdade, e na˜o o tamanho amostral.
(a) −t0,05;5 = −2, 015
(b) t0,025;5 = 2, 571
(c) t0,10;12 = 1, 356
Questa˜o 5 [2,5 pts]
O produtor de uma nova papinha nutritiva infantil realizou um teste para verificar a efica´cia de
seu novo produto no aumento de peso de crianc¸as. Quinze bebeˆs foram alimentados, durante
treˆs semanas, com a nova papinha, verificando-se os seguintes aumentos de peso (em gramas):
380 350 290 370 280
300 320 330 300 290
340 326 340 324 320
(a) [0,5 ponto] Calcule a me´dia e o desvio padra˜o amostral. (Dica:
15∑
i=1
xi = 4860;
15∑
i=1
x2i =
1586552)
(b) [1,0 ponto] Teste a afirmativa do fabricante de que o aumento de peso e´ superior a 300
gramas. Use um n´ıvel de significaˆncia de 10%. Certifique-se de explicitar as hipo´teses sendo
testadas.
(c) [1,0 ponto] Determine um intervalo de confianc¸a de 90% para o verdadeiro ganho me´dio
de peso de todas as crianc¸as alimentadas com a nova papinha.
Soluc¸a˜o
(a)
x =
4860
15
= 324
s =
√
1
14
(
1586552− 4860
2
15
)
= 29, 16946
(b)
H0 : µ = 300
H1 : µ > 300
3
Supondo que os ganhos de peso possam ser aproximados por uma Normal, podemos usar a
distribuic¸a˜o t de Student para a estat´ıstica de teste:
t0 =
√
15× 324− 300
29, 16946
= 3, 1866
O valor cr´ıtico da t(14) e´ t14;0,10 = 1, 345. Como o valor observado t0 encontra-se na regia˜o
cr´ıtica, conclui-se que o ganho me´dio e´ maior que 300 gramas.
(c) t14;0,05 = 1, 761[
324− 1, 761× 29, 16946√
15
; 324 + 1, 761× 29, 16946√
15
]
= [310, 74 ; 337, 26]
Resultados importantes e fo´rmulas
Distribuic¸o˜es Amostrais
X ∼ N (µ;σ2) =⇒

X − µ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − µ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = P̂ ≈ N
(
p;
p(1− p)
n
)
(amostra grande)
S2 =
1
n− 1
n∑
i=1
(
Xi −X
)2
=
1
n− 1
[
n∑
i=1
X2i − nX2
]
=
1
n− 1
[
n∑
i=1
X2i −
(
∑
Xi)
2
n
]
Regio˜es cr´ıticas
X < µ0 − zα/2 σ√
n
ou X > µ0 + zα/2
σ√
n
X > µ0 + zα
σ√
n
X < µ0 − zα σ√n
X < µ0 − tn−1;α/2 S√
n
ou X > µ0 + tn−1;α/2
S√
n
X > µ0 + tn−1;α
S√
n
X < µ0 − tn−1;α S√
n
P̂ < p0 − zα/2
√
p0(1−p0)
n
ou P̂ > p0 + zα/2
√
p0(1−p0)
n
P̂ > p0 + zα
√
p0(1−p0)
n
P̂ < p0 − zα
√
p0(1−p0)
n
4

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