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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP2 – Me´todos Estatisticos II – 1/2013 GABARITO Questa˜o 1 [1,0 pt] Voceˆ usa um programa para realizar um teste de significaˆncia sobre a me´dia de uma populac¸a˜o normal. O programa lhe diz que o valor P e´ P = 0, 031. Verifique se esse resultado e´, ou na˜o, significante nos n´ıveis α = 0, 05 e α = 0, 01, esboc¸ando um desenho da curva normal para justificar sua resposta. Soluc¸a˜o O resultado e´ significante no n´ıvel 0,05, mas na˜o ao n´ıvel 0,01, pois 0, 01 < P < 0, 05. Veja a Figura 1. Figura 1: Questa˜o 1 Questa˜o 2 [3,5 pts] A proporc¸a˜o de motoristas que usam cinto de seguranc¸a depende de fatores como idade, sexo, etnia e leis locais. Como parte de um estudo mais amplo, pesquisadores observaram uma amostra aleato´ria de 117 motoristas de origem hispaˆnica do sexo feminino, em Boston; 68 dessas motoristas estavam usando cinto de seguranc¸a. (a) [1,0 ponto] Fornec¸a um intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜o de todas as mo- toristas hispaˆnicas em Boston que usam cinto de seguranc¸a. (b) [2,0 pontos] Esses dados fornecem uma boa evideˆncia para apoiar a conclusa˜o de que mais da metade das motoristas hispaˆnicas em Boston usa cinto de seguranc¸a? Responda a essa pergunta atrave´s de um teste de hipo´tese adequado, usando o n´ıvel de significaˆncia de 2,5%. (c) [0,5 ponto] Calcule o valor P. Soluc¸a˜o (a) Aproximac¸a˜o normal para a binomial: z0,025 = 1, 96 p̂ = 68 117 = 0, 5812[ 0, 5812− 1, 96× √ 0, 5812× (1− 0, 5812) 117 ; 0, 5812 + 1, 96× √ 0, 5812× (1− 0, 5812) 117 ] = [0, 4918; 0, 6706] (b) H0 : p = 0, 5 H1 : p > 0, 5 z0 = 0.5812− 0.5√ 0.5× 0.5 117 = 1, 7566 Como o valor observado da estat´ıstica de teste e´ menor que o valor cr´ıtico de 1,96, na˜o rejeitamos a hipo´tese nula, ou seja, os dados na˜o trazem evideˆncia de que a proporc¸a˜o de mulheres hispaˆnicas que usam cinto de seguranc¸a seja maior que 50%. (c) Soluc¸a˜o Pr(Z ≥ 1, 7566) ' Pr(Z ≥ 1, 76) = 0, 5− tab(1, 76) = 0.5− 0.4608 = 0, 0392 Questa˜o 3 [1,5 pts] Transforme as seguintes afirmativas nas hipo´teses nula e alternativa apropriadas. Certifique-se de utilizar a notac¸a˜o apropriada para o paraˆmetro envolvido. (a) [0,5 ponto] Ha´, em me´dia, 15 alunos. (b) [0,5 ponto] A proporc¸a˜o de pessoas favora´veis e´, no ma´ximo, 26%. (c) [0,5 ponto] A largura me´dia tem que ser maior que 20 cm. Soluc¸a˜o (a) afirmativa dada: µ = 15 H0 : µ = 15 complementar µ 6= 15 H1 : µ 6= 15 (b) afirmativa dada: p ≤ 0, 26 H0 : p = 0, 26 complementar p > 0, 26 H1 : p > 0, 26 (c) afirmativa dada: µ > 20 H0 : µ = 20 complementar µ ≤ 20 H1 : µ > 20 Questa˜o 4 [1,5 pts] Use a tabela da distribuic¸a˜o t para determinar 2 (a) [0,5 ponto] o valor cr´ıtico para um teste unilateral a` esquerda com n´ıvel α = 0, 05 quando gl = 5; (b) [0,5 ponto] o valor cr´ıtico para um teste bilateral com n´ıvel α = 0, 05 quando gl = 5. (c) [0,5 ponto] o valor cr´ıtico para construc¸a˜o de um intervalo de confianc¸a de 80% quando gl = 12. Obs.: gl = n− 1 graus de liberdade Soluc¸a˜o Note que foi dado o nu´mero de graus de liberdade, e na˜o o tamanho amostral. (a) −t0,05;5 = −2, 015 (b) t0,025;5 = 2, 571 (c) t0,10;12 = 1, 356 Questa˜o 5 [2,5 pts] O produtor de uma nova papinha nutritiva infantil realizou um teste para verificar a efica´cia de seu novo produto no aumento de peso de crianc¸as. Quinze bebeˆs foram alimentados, durante treˆs semanas, com a nova papinha, verificando-se os seguintes aumentos de peso (em gramas): 380 350 290 370 280 300 320 330 300 290 340 326 340 324 320 (a) [0,5 ponto] Calcule a me´dia e o desvio padra˜o amostral. (Dica: 15∑ i=1 xi = 4860; 15∑ i=1 x2i = 1586552) (b) [1,0 ponto] Teste a afirmativa do fabricante de que o aumento de peso e´ superior a 300 gramas. Use um n´ıvel de significaˆncia de 10%. Certifique-se de explicitar as hipo´teses sendo testadas. (c) [1,0 ponto] Determine um intervalo de confianc¸a de 90% para o verdadeiro ganho me´dio de peso de todas as crianc¸as alimentadas com a nova papinha. Soluc¸a˜o (a) x = 4860 15 = 324 s = √ 1 14 ( 1586552− 4860 2 15 ) = 29, 16946 (b) H0 : µ = 300 H1 : µ > 300 3 Supondo que os ganhos de peso possam ser aproximados por uma Normal, podemos usar a distribuic¸a˜o t de Student para a estat´ıstica de teste: t0 = √ 15× 324− 300 29, 16946 = 3, 1866 O valor cr´ıtico da t(14) e´ t14;0,10 = 1, 345. Como o valor observado t0 encontra-se na regia˜o cr´ıtica, conclui-se que o ganho me´dio e´ maior que 300 gramas. (c) t14;0,05 = 1, 761[ 324− 1, 761× 29, 16946√ 15 ; 324 + 1, 761× 29, 16946√ 15 ] = [310, 74 ; 337, 26] Resultados importantes e fo´rmulas Distribuic¸o˜es Amostrais X ∼ N (µ;σ2) =⇒ X − µ σ√ n ∼ N(0; 1) X − µ S√ n ∼ t(n− 1) X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = P̂ ≈ N ( p; p(1− p) n ) (amostra grande) S2 = 1 n− 1 n∑ i=1 ( Xi −X )2 = 1 n− 1 [ n∑ i=1 X2i − nX2 ] = 1 n− 1 [ n∑ i=1 X2i − ( ∑ Xi) 2 n ] Regio˜es cr´ıticas X < µ0 − zα/2 σ√ n ou X > µ0 + zα/2 σ√ n X > µ0 + zα σ√ n X < µ0 − zα σ√n X < µ0 − tn−1;α/2 S√ n ou X > µ0 + tn−1;α/2 S√ n X > µ0 + tn−1;α S√ n X < µ0 − tn−1;α S√ n P̂ < p0 − zα/2 √ p0(1−p0) n ou P̂ > p0 + zα/2 √ p0(1−p0) n P̂ > p0 + zα √ p0(1−p0) n P̂ < p0 − zα √ p0(1−p0) n 4
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