AP2 2014.1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2014
Questa˜o 1 [2,5 pts]
Uma pesquisa recente com trabalhadores em empregos relacionados a` tecnologia, selecionados
aleatoriamente, foi realizada para se estimar, com 95% de confianc¸a, a proporc¸a˜o p daqueles
que gostariam que seus patro˜es pagassem por treinamento em servic¸o.
(a) [1,0 pt] Suponha que na˜o se conhec¸a qualquer estimativa pre´via de p. Qual e´ o tama-
nho amostral necessa´rio para que o limite do erro de estimac¸a˜o seja 0,04, com o n´ıvel de
confianc¸a dado?
(b) [0,5 pt] Se for utilizada uma amostra aleatoria de 1200 funciona´rios, a margem de erro
sera´ maior ou menor que 0,02? Responda sem fazer qualquer ca´lculo adicional .
(c) [1,0 pt] Em uma amostra aleto´ria de 1000 funciona´rios, 813 responderam que gostariam
que seus patro˜es pagassem por treinamento em servic¸o. Ache um intervalo de confianc¸a para
a proporc¸a˜o populacional de todos os trabalhadores em empregos relacionados a` tecnologia
que gostariam de treinamento em servic¸o.
Soluc¸a˜o
(a) 1− α = 0, 95⇒ z0,025 = 1, 96
� = 0, 04 = 1, 96×
√
0, 5× 0, 5
n
⇒ √n = 1, 96
0, 04
× 0, 5⇒ n = 600, 25
(b) Como 1200 > 600, 25, a margem de erro sera´ menor.
(c) p̂ =
813
1000
= 0, 813
� = 1, 96×
√
0, 813× 0, 187
1000
= 0, 0242
IC: (0, 813− 0, 0242; 0, 813 + 0, 0242) = (0, 7888; 0, 8372)
Questa˜o 2 [2,5 pts]
O airbag e´ um dispositivo de seguranc¸a planejado para explodir para fora do painel frontal ou
de um painel lateral na porta no caso de colisa˜o do automo´vel. Um airbag protege o motorista
e o passageiro do impacto com o pa´ra-brisa, coluna e painel. Os airbags mais novos abrem
a uma velocidade proporcional a` velocidade do impacto. Os modelos mais antigos abrem a
uma velocidade constante, de ate´ 300 km/h. Obteve-se uma amostra aleato´ria de airbags de
modelos antigos, que foram testados. Essa amostra acusou uma velocidade me´dia de abertura
de 259,8 km/h. Suponha que σ = 19 km/h.
Ha´ alguma evideˆncia que sugira que a velocidade me´dia de abertura populacional em modelos
mais antigos de airbags seja superior a 250 km/h? Use α = 0, 01. Certifique-se de especificar
claramente
(a) as hipo´teses nula e alternativa;
(b) a estat´ıstica de teste e a regia˜o cr´ıtica;
(c) a conclusa˜o;
(d) o valor P ;
(e) o resultado utilizado para resolver a questa˜o.
Soluc¸a˜o
σ = 19 α = 0, 01 n = 40 grande!
(a)
H0 : µ = 250
H1 : µ > 250
(b) Z0 =
√
40
X − 250
19
RC : Z0 > 2, 33
(c) z0 =
√
40
259, 8− 250
19
= 3, 26 > 2, 33
Rejeita-se H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que a velocidade me´dia de abertura populacional
em modelos mais antigos de airbags seja superior a 250 km/h.
(d) P = P(Z ≥ 3, 26) = 0, 5− tab(3, 26) = 0, 5− 0, 4996 = 0, 0004
(e) Como n e´ grande, usou-se o Teorema Limite Central
Questa˜o 3 [1,0 pt]
Determine as hipo´teses nula e alternativa para as seguintes afirmativas. Certifique-se de utilizar
o paraˆmetro apropriado.
(a) A temperatura me´dia deve ser menor que 38◦C.
(b) O tempo me´dio tem que ser, no mı´nimo, 20 minutos.
(c) O tempo me´dio tem que ser 20 minutos.
(d) O volume me´dio tem que ser de pelo menos 250 ml.
(e) A proporc¸a˜o de so´cios contra´rios a` proposic¸a˜o tem que ser, no ma´ximo, 15%.
Soluc¸a˜o
(a)
afirmativa dada: µ < 38 H0 : µ = 38
complementar: µ ≥ 38 H1 : µ < 38
(b)
afirmativa dada: µ ≥ 20 H0 : µ = 20
complementar: µ < 20 H1 : µ < 20
(c)
afirmativa dada: µ = 20 H0 : µ = 20
complementar: µ 6= 20 H1 : µ 6= 20
(d)
afirmativa dada: µ ≥ 250 H0 : µ = 250
complementar: µ < 250 H1 : µ < 250
(e)
afirmativa dada: p ≤ 0, 15 H0 : p = 0, 15
complementar: p > 0, 15 H1 : p > 0, 15
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Questa˜o 4 [1,0 pt]
Com base na tabela e nas propriedades da func¸a˜o de densidade t de Student determine a
abscissa t que satisfaz as condic¸o˜es pedidas:
(a) P(t(12) > t) = 0, 99 Sol: t = −2, 681
(b) P(t(19) > t) = 0, 05 Sol: t = 1, 729
(c) P(t(28) ≤ t) = 0, 90 Sol: t = 1, 313
(d) P(|t(16)| < t) = 0, 96 Sol: t = 2, 235
(e) P(|t(8)| > t) = 0, 30 Sol: t = 1, 108
Questa˜o 5 [3,0 pts]
O gerente de uma rede se supermercados afirma que o carta˜o de membro economizara´ ao cli-
ente, atrave´s de descontos automa´ticos, no mı´nimo 45,00 reais por semana. Para verificar
essa afirmac¸a˜o, obteve-se uma amostra aleato´ria de 11 clientes com carta˜o de membro e foram
examinadas suas contas de compras nos supermercados da rede. A me´dia amostral da econo-
mia foi de 43,05 reais e o desvio-padra˜o amostral de 2,25 reais. Suponha que a distribuic¸a˜o
populacional da economia seja normal.
(a) [1,5 pts] Ha´ alguma evideˆncia para se refutar a afirmativa do gerente? Justifique sua
resposta, realizando um teste de hipo´tese apropriado com n´ıvel de significaˆncia de 2,5%.
Certifique-se de especificar claramente as hipo´teses nula e alternativa, a estat´ıstica de teste
e a regia˜o cr´ıtica, bem como a sua conclusa˜o em linguagem na˜o te´cnica.
(b) [0,5 pt] Ache limites para o valor P associado a esse teste de hipo´tese.
(c) [1,0 pt] Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para o verdadeiro desconto me´dio me´dio
semanal de clientes com carta˜o de membro dessa rede de supermercados.
Soluc¸a˜o
(a)
H0 : µ = 45
H1 : µ < 45
T0 =
√
11× X − 45
2, 25
RC : T0 < −2, 228
t0 =
√
11× 43, 05− 45
2, 25
= −2, 87
Como t0 < −2, 228, rejeita-se H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que o desconto me´dio semanal
dos clientes com carta˜o de membro e´ menor que 45 reais.
(b) Vamos utilizar a simetria da distribuic¸a˜o t. Na tabela, na linha correspondente a 10
graus de liberdade, vemos que o valor observado de −t0 = 2, 87 esta´ entre as abscissas
2,764 e 3,169, que correspondem a`s probabilidades 0,01 e 0,005, respectivamente. Logo,
0, 005 < P < 0, 01. ( O valor exato e´ P = 0, 008334)
(c) IC:
(
43, 5− 2, 228× 2, 25√
11
; 43, 5 + 2, 228× 2, 25√
11
)
= (43, 05 − 1, 5115; 43, 05 + 1, 5115) =
(41, 9885; 44, 5615)
Note que o intervalo de confianc¸a esta´ totalmente abaixo do valor 45!!
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