AP2 2014.2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2014
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
ATENC¸A˜O!
• Identifique a prova, colocando nome, matr´ıcula, polo e data. • E´ permitido o uso de calculadoras.
• O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis, mas as • Devolva a folha de respostas ao responsa´vel.
respostas devera˜o estar a caneta. • E´ proibido o uso de corretivo nas resposas.
Questa˜o 1 [2,5 pts] Deseja-se realizar uma pesquisa no campus de uma grande universidade
com o objetivo de se estimar a proporc¸a˜o p de alunos que possuem laptop.
(a) [1,0 pt] Suponha que na˜o se conhec¸a qualquer estimativa pre´via de p. Qual e´ o tamanho
amostral necessa´rio para que o limite do erro de estimac¸a˜o seja 0,04, com n´ıvel de confianc¸a
de 95%?
(b) [0,5 pt] Se for utilizada uma amostra aleato´ria de 750 alunos, a margem de erro sera´ maior
ou menor que 0,04, mantidas as demais condic¸o˜es do item anterior? Responda sem fazer
qualquer ca´lculo adicional .
(c) [1,0 pt] Em uma amostra aleato´ria de 1000 alunos, 416 informaram possuir laptop. Ache
um intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜o populacional de todos os alunos desse
campus que possuem laptop.
Soluc¸a˜o
(a) 1− α = 0, 95⇒ z0,025 = 1, 96
� = 0, 04 = 1, 96×
√
0, 5× 0, 5
n
⇒ √n = 1, 96
0, 04
× 0, 5⇒ n = 600, 25
(b) Como 750 > 600, 25, a margem de erro sera´ menor.
(c) p̂ =
416
1000
= 0, 416
� = 1, 96×
√
0, 416× 0, 584
1000
= 0, 03055
IC: (0, 416− 0, 03055; 0, 416 + 0, 03055) = (0, 38545; 0, 44655)
Questa˜o 2 [1,0 pt] Determine as hipo´teses nula e alternativa para as seguintes afirmativas.
Certifique-se de utilizar o paraˆmetro apropriado.
(a) O peso me´dio deve ser, no ma´ximo, 300 g.
(b) A idade me´dia tem que ser pelo menos 30 anos.
(c) A proporc¸a˜o de itens defeituosos tem que ser menor que 1%.
(d) O nu´mero me´dio de alunos tem que ser 30.
Soluc¸a˜o
(a)
afirmativa dada: µ ≤ 300 H0 : µ = 300
complementar: µ > 300 H1 : µ > 300
(b)
afirmativa dada: µ ≥ 30 H0 : µ = 30
complementar: µ < 30 H1 : µ < 30
(c)
afirmativa dada: p < 0, 01 H0 : p = 0, 01
complementar: p ≥ 0, 01 H1 : p < 0, 01
(d)
afirmativa dada: µ = 30 H0 : µ = 30
complementar: µ 6= 30 H1 : µ 6= 30
Questa˜o 3 [1,0 pt] Para cada valor P e n´ıvel de significaˆncia, determine se a hipo´tese nula
deve ser rejeitada, ou na˜o.
(a) P = 0, 0043 α = 0, 01
(b) P = 0, 0670 α = 0, 05
(c) P = 0, 1590 α = 0, 05
(d) P = 0, 0150 α = 0, 025
Soluc¸a˜o
(a) P < α⇒ rejeita-se H0.
(b) P > α⇒ na˜o se rejeita H0.
(c) P > α⇒ na˜o se rejeita H0.
(d) P < α⇒ rejeita-se H0.
Questa˜o 4 [1,0 pt] Com base na tabela e nas propriedades da func¸a˜o de densidade t de
Student determine a abscissa t que satisfaz as condic¸o˜es pedidas:
(a) P(t(12) > t) = 0, 99 Sol: t = −2, 681
(b) P(t(19) > t) = 0, 05 Sol: t = 1, 729
(c) P(|t(16)| < t) = 0, 96 Sol: t = 2, 235
(d) P(|t(8)| > t) = 0, 30 Sol: t = 1, 108
Questa˜o 5 [2,0 pts] Para cada uma das situac¸o˜es a seguir, especifique a estat´ıstica de teste
e a regia˜o cr´ıtica para o teste das hipo´teses dadas sobre a me´dia de uma populac¸a˜o normal:
(a)
H0 : µ = 40 n = 10 σ = 3, 6 α = 0, 05
H1 : µ 6= 40
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(b)
H0 : µ = 15 n = 18 s = 2, 3 α = 0, 01
H1 : µ < 15
(c)
H0 : µ = 6 n = 67 s = 1, 1 α = 0, 10
H1 : µ > 6
(d)
H0 : µ = 100 n = 16 s = 14, 2 α = 0, 10
H1 : µ > 100
Soluc¸a˜o
(a) Z =
√
10
X − 40
3, 6
∼ N(0, 1) RC : |Z| > 1, 96
(b) T =
√
18
X − 15
2, 3
∼ t(17) RC : T < −2, 567
(c) T =
√
67
X − 6
1, 1
∼ t(66) ≈ N(0, 1) RC : |Z| > 1, 28
(d) T =
√
16
X − 100
14, 2
∼ t(15) RC : T > 1, 341
Questa˜o 6 [2,5 pts]
Uma empresa de cosme´ticos alega que a quantidade de algas marinhas especiais contidas em
frascos de 400g e´, no mı´nimo, 58 g. Uma amostra de 23 frascos acusou uma me´dia x = 52 e
desvio-padra˜o s = 18.
(a) [1,5 pts] Ha´ alguma evideˆncia para se refutar a afirmativa da empresa? Justifique sua
resposta, realizando um teste de hipo´tese apropriado com n´ıvel de significaˆncia de 2,5%.
Certifique-se de especificar claramente as hipo´teses nula e alternativa, a estat´ıstica de teste
e a regia˜o cr´ıtica, bem como a sua conclusa˜o em linguagem na˜o te´cnica.
(b) [0,5 pt] Ache limites para o valor P associado a esse teste de hipo´tese.
(c) [0,5 pt] Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para a verdadeira quantidade de algas
marinhas especiais contida em frascos de 400 g dessa empesa.
Soluc¸a˜o
(a)
afirmativa dada: µ ≥ 58 H0 : µ = 58
complementar: µ < 58 H1 : µ < 58
T0 =
√
23× X − 58
18
∼ t(22) RC : T0 < −2, 074
t0 =
√
23× 52− 58
18
= −0, 33
Como t0 ≮ −2, 074, na˜o se rejeita H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que a afirmativa da empresa
seja correta.
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(b) Vamos utilizar a simetria da distribuic¸a˜o t. Na tabela, na linha correspondente a 22 graus
de liberdade, vemos que o valor observado de −t0 = 0, 33 e´ menor que a menor abscissa
apresentada, que e´ 1,061, correspondente a p = 0, 15. Assim, podemos dizer que P > 0, 15.
( O valor exato e´ P = 0, 3723.)
(c) IC:
(
52− 2, 074× 18√
23
; 52 + 2, 074× 18√
23
)
= (44, 216; 59, 784)
Note que o intervalo de confianc¸a conte´m o valor 58!
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